for students

1. 1
I. Câmpul magnetic al curentului.
1. Introducere
Proprietățile unor roci, de a se atrage între ele, sau de a atrage diferite corpuri care conțin fier, a fost
observată încă din antichitate. Se știe că folosind substanțe care conțin fier, cobalt și nichel putem
construi magneți permanenți care atrag fierul.
Grecii au descoperit, în antichitate, aproape de orașul Magnezia, din Asia Mică, o piatră care are
proprietatea de a atrage bucățile de fier, de aici și numele de magnet. Această rocă este un minereu de
fier numit magnetit.
Există dovezi care atestă faptul că, cu aproximativ 2500
î.Ch, acest minereu era folosit, de chinezi, pentru construcția
unui instrument pentru orientare în deplasările terestre sau
navale. Aceasta este busola. În Europa, busola, sub o formă
asemănătoare cu cea pe care o știm azi, a fost adusă cam pe
la anul 1190 de arabi. Totuși, cu mult înaintea arabilor,
vikingii foloseau un dispozitiv asemănător busolei pentru a
se orienta pe mare.
Cauzele rotirii acului magnetic au fost elucidate abia în anul
1600 de către medicul și fizicianul englez W. Gilbert, care,
în lucrarea sa: "Despre magnet, corpuri magnetice și
Pământul ca mare magnet", remarcă faptul că Pământul
însuși este un magnet uriaș, iar acul magnetic se orientează
de-a lungul liniilor câmpului magnetic terestru, Fig. 1.
Până la Gilbert, oamenii credeau că acul magnetic se
orientează spre Steaua Polară.
Tot Gilbert este cel care a introdus și noțiunea de pol
magnetic, a descoperit fenomenul de interacțiune (atracție și respingere) a polilor magnetici și fenomenul
de magnetizare prin inducție.
După moartea prematură a lui Gilbert, timp de aproape 200 de ani, studiile privind câmpul magnetic
au avansat foarte încet, rezumându-se al următoarele constatări:
- Orice magnet permanent are doi poli, polul nord, notat N și polul sud, notat S, Fig. 2.
- Liniile de câmp magnetic sunt linii închise, ies din polul N și intră în polul S și se închid prin
interiorul magnetului.
- Liniile de câmp sunt tangente, în orice punct, la direcția acului magnetic.
- Polul nord și polul sud al unui magnet permanent nu se pot separa prin nici un fel de diviziune a
magnetului.
- Se credea că între fenomenele magnetice și fenomenele electrice nu există legătură!
A.M. Ampère a emis ipoteza că magneții permanenți se datorează
existenței unor curenți moleculari orientați în același sens. Deși
această ipoteză a fost făcută în timpul în care nu erau, încă, clare
noțiunile de atom și moleculă, ea a permis înțelegerea unor fapte
experimentale precum imposibilitatea separării polilor magnetici.
Faptul că acul magnetic este deviat în apropierea câmpului magnetic
al unui magnet permanent sau al unui conductor străbătut de curent
electric dovedește că atât magneții permanenți cât și conductorii
străbătuți de curent electric generează în jurul lor un câmp magnetic,
prin intermediul căruia se exercită forțe de acțiune asupra acului magnetic. Ulterior s-a constatat acțiunea
câmpului magnetic asupra conductorilor străbătuți de curent electric, ca și asupra purtătorilor mobili de
sarcină.
Fenomenul de exercitare a unor forțe prin intermediul câmpului magnetic se numește acțiune
magnetică.
Fenomene magnetice

2. 2
În baza acestor observații s-a definit câmpul magnetic ca fiind o formă fizica de existență a materiei
care se manifestă prin forțe care se exercită asupra acului magnetic, magneților permanenți,
conductoarelor parcurse de curent electric sau asupra purtătorilor de sarcină electrica aflați în
mișcare.
În anul 1864 J.C. Maxwell a demonstrat pentru prima data ca cele două câmpuri, electric și magnetic,
formează, de fapt, un singur câmp, câmpul electromagnetic, și numai în cazuri particulare se poate
manifesta doar una din componentele sale.
2. Câmpul magnetic al curentului staționar.
Câmpul magnetic al unui mediu este descris de două mărimi fizice vectoriale:
1. Intensitatea câmpului magnetic, notată 𝑯⃗⃗⃗ , a cărei valoare depinde de natura sursei care a generat
câmpul.
2. Inducția câmpului magnetic (sau inducția magnetică),
notată 𝑩⃗⃗ , a cărei valoare depinde atât de natura sursei care a
generat câmpul, cât și de natura mediului în care se maniestă
câmpul.
𝑩⃗⃗ = 𝝁 ∙ 𝑯⃗⃗⃗ = 𝝁 𝟎 𝝁 𝒓 𝑯⃗⃗⃗ (1)
unde µ este o constantă, a cărei valoare depinde de natura
mediului, numită permeabilitate magnetică absolută a
mediului.
Pentru vid 𝝁 𝟎 = 𝟒𝝅 ∙ 𝟏𝟎−𝟕
𝑵/𝑨 𝟐
. (2)
Se definește permeabilitatea magnetică relativă a mediului raportul:
0
r
μ
μ
μ  (2’)
Liniile de câmp magnetic, generat de un curent staționar, sunt linii închise, iar sensul lor se determină
cu regula burghiului drept:
Se așează burghiul paralel cu curentul și se rotește astfel încăt sensul de înaintare să coincidă cu
sensul curentului. Sensul de rotire al burghiului este sensul liniei de câmp magnetic.
Vectorul 𝑩⃗⃗ este tangent la linia de câmp, având sensul liniei de câmp, Fig. 3.
3. Forța electromagnetică, sau forța Laplace.
Asupra unui conductor, de lungime l, străbătul de un curent I, aflat într-un câmp magnetic de inducție
B se exercită o forță, F, numită forța electromagnetică, Fig. 4. Valoarea
ecestei forțe, în cazul în care conductorul este perpendicular pe vectorul
inducța magnetică, 𝑙 ⊥ 𝐵, este dată de relația:
𝐅 = 𝐈𝒍𝐁 (3)
Din relația (3) se poate deduce și unitatea de măsură pentru inducția
magnetică,
lI
F
B

 , de unde:
   
   
T
mA
N
lI
F
B
SISI
SI
SI 1
11
1


 (Tesla)
Tesla, T, este unitatea de măsură pentru inducția câmpului magnetic.
În cazul în care conductorul face un unghi oarecare 𝛼 ≠ 90° cu direcția câmpului magnetic, valoarea
forței F va fi:
𝐅 = 𝐈𝒍𝐁 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝛂 (3’)
Relație care ne sugerează existența unui produs vectorial:
𝐅 = 𝐈 ∙ (𝒍×𝐁⃗⃗ ) (3”)
Din relația (3”) observăm că sensul forței 𝐹 se află tot cu regula burghiului.
4. Inducția câmpului magnetic al unor curenți electrici staționari.
Legea Biot-Savart (numită și Legea Biot-Savart-Laplace) este o ecuație care descrie valoarea
câmpului magnetic în jurul unui conductor parcurs de curent electric în funcție de intensitatea
curentului.
A fost descoperită de Jean-Baptiste Biot și Félix Savart în 1820.

3. 3
4.1. Inducția câmpului magnetic generat în jurul unui conductor liniar foarte lung, parcurs de curent
electric continuu.
r2π
I
μμHμμB r0r0  (4)
Unde I este intensitatea curentului care străbate conductorul, iar r este
distanța de la conductor până într-un punct oarecare al spațiului, Fig. 5a).
4.2. Inducția câmpului magnetic generat în centrul unei bucle
circulare plane (spiră de curent), parcurse de curent electric continuu.
r2
I
μμHμμB r0r0  (5)
Unde I este intensitatea curentului care străbate conductorul, r este raza
buclei, Fig. 5b).
Dacă bucla are N spire, atunci inducția magnetică în centrul buclei va
fi dată de expresia:
r2
IN
μμHμμB r0r0

 (5’)
4.3. Inducția câmpului magnetic generat în centrul unei bobine
parcurse de curent electric continuu, Fig. 5c). Bobina cu un singur
rând de spire este numită solenoid.
l
IN
μμHμμB r0r0

 (6)
Unde I este intensitatea curentului care străbate solenoidul, l este
lungimea solenoidului, iar N este numărul de spire, Fig. 5c).
5. Interacțiunea magnetică a curenților electrici continui. Definiția
amperului.
Fie doi conductori liniari, foarte lungi, străbătuți de curenți electrici, de același sens și aflați unul în
apropierea celuilalt. În Fig. 6.a) am
reprezentat cei doi conductori în
spațiu, iar în Fig. 6.b) aceeași situație
văzută în plan.
Observați că fiecare conductor creează
un câmp magnetic și că fiecare
conductor se află în câmpul magnetic
creat de celălalt. Ca urmare a acestui
fapt, asupra fiecăruia se va exercita o
forță electromagnetică.
Astfel, conform definiției (3) și ținând cont de definiția (4) vom obține expresia forței F12:
ll
r2π
II
μμBIF 21
r02112

 (7)
Analog, pentru F21 obținem:
ll
r2π
II
μμBIF 12
r01221

 (7’)
Se observă că cele două forțe sunt
egale în modul și opuse ca semn:
𝐅𝟏𝟐 = −𝐅𝟐𝟏 (8)
Observăm, de asemenea, că dacă
curenții sunt de același sens forțele
de interacțiune dintre conductori
sunt atractive. Adică, conductorii se
atrag!

4. 4
În fig. 7a) și b) am reprezentat, de asemenea, interacțiunea magnetică dintre doi conductori liniari foarte
lungi, străbătuți de curenți electrici, dar de sens contrar.
Și în acest caz forțele sunt egale și de sens contrar. Observăm, de asemenea, că dacă curenții sunt de
sens contrar forțele de interacțiune dintre conductori sunt repulsive. Adică, conductorii se resping!
Observați, în Fig. 6b) și Fig. 7b), reprezentarea curenților în plan, în funcție de sensul lor!
Definiția amperului.
Pentru situația de mai sus considerăm că cei doi curenți sunt egali: 𝐈 𝟏 = 𝐈 𝟐, se află în vid, 𝝁 𝒓 = 𝟏, la
distanța 𝒓 = 𝟏𝒎 unul de celălalt. În acest caz, forța de interacțiune dintre conductori va avea expresia:
l
2π
I
μF
2
0 (8)
sau:
l
F
μ
2π
I
0
 (9)
Din rel.(9) se observă că I = 1A dacă N/m102π
F 7

l
1 Amper este intensitatea unui curent electric constant, care se stabilește prin două conductoare
rectilinii foarte lungi, aflate în vid, la distanța de 1m unul de celălalt, între care se exercită o forță
de 𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟕
𝐍 pe fiecare metru de lungime.
6. Forța Lorentz.
În capitolul CURENTUL ELECTRIC STAȚIONAR am definit curentul electric ca o mișcare ordonată
a purtătorilor de sarcină electrică liberi, q, sub acțiunea unui câmp electric, caracterizată de o mărime
fizică scalară numită intensitatea curentului electric, notată I. Dacă curentul electric este constant,
intensitatea curentului se exprimă prin relația:
t
q
I
Δ
 (10)
De asemenea, dacă curentul electric este constant,
purtătorii de sarcină liberi se deplasează prin mediu cu o
viteză medie constantă v, definită prin relația:
t
v
Δ
l
 (11)
Dacă comparăm rel. (10) și (11) observăm că:
vqI  l . (12)
Dacă, în rel. (3), înlocuim rel. (12) obținem expresia forței care exercită asupra unei sarcini electrice
oarecare, q, care se deplasează cu viteza v, într-un câmp magnetic B, (cu 𝐯⃗ ⊥ 𝑩⃗⃗ ), Fig. 8:
𝒇 = 𝐪𝐯𝐁 (13)
Dacă v face un unghi 𝜶 ≠ 𝟗𝟎° cu direcția lui B, atunci:
𝒇 = 𝐪𝐯𝐁 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝛂 (13’)
Existența 𝐬𝐢𝐧𝛂 ne sugerează faptul că forța Lorentz este rezultatul unui produs vectorial:
𝒇⃗ = 𝐪 ∙ (𝐯⃗ ×𝐁⃗⃗ ) (13”)
Observați că sensul forței Lorentz depinde de semnul sarcinii electrice!
În cazul unui electron, forța Lorentz va avea expresia:
𝒇⃗ = 𝐞 ∙ (𝐯⃗ ×𝐁⃗⃗ ) (13’’’)
Când va trebui să stabilim sensul forței Lorentz, va trebui să ținem cont că
sarcina electronului este negativă, 𝑒 = −1,6 ∙ 10−19
𝐶.
7. Fluxul magnetic.
Pentru a descrie proprietățile câmpului electric referitor la un ansamblu de
puncte ale mediului, aflate pe o suprafață, este utilizată mărimea fizică scalară
numită fluxul câmpului magnetic, sau fluxul magnetic, Fig. 9, definit prin
relația: 𝚽 = 𝑩 ∙ 𝑺 𝒏 (14)
unde cu Φ am notat mărimea fizică scalară fluxul magnetic, cu Sn aria

5. 5
suprafeței normale pe direcția liniilor de câmp magnetic, cu 𝑩⃗⃗ vectorul inducția câmpului magnetic, iar
cu 𝒏⃗⃗ normala la suprafața considerată.
Sn este dat de relația: 𝑺 𝒏 = 𝑺 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶. Referitor la vectorul 𝒏⃗⃗ , considerăm relația 𝑺⃗⃗ = 𝒏⃗⃗ ∙ 𝑺. În acest
caz, rel. (14) devine:
𝚽 = 𝑩 ∙ 𝑺 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝑩⃗⃗ ∙ 𝑺⃗⃗ (14’)
Adică, fluxul magnetic este rezultatul unui produs scalar. Existența 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ne sugerează faptul că fluxul
magnetic este rezultatul unui produs scalar, de unde rezultă, în mod evident, că fluxul magnetic este o
mărime scalară.
Unitatea de măsură pentru fluxul magnetic este:[ 𝚽] 𝑺𝑰 = [ 𝐁] 𝑺𝑰 ∙ [ 𝐒] 𝑺𝑰 = 𝟏𝑻 ∙ 𝟏𝒎 𝟐
= 𝟏𝑾𝒃 (Weber)
II. Inducția electromagnetică.
1. Fenomenul de inducție electromagnetică.
Experiențele fizicianului danez H.Ch. Ørsted privind deviația acului magnetic în apropierea unui
conductor străbătut de curent electric continuu, precum și experiențele fizicianului francez A.M Ampère
privind punerea în mișcare a unui conductor mobil parcurs de curent electric continuu și adus în
apropierea unui magnet sau a altui conductor parcurs de curent continuu, au permis să se constate că
există o strânsă legătură între fenomenele magnetice și cele electrice, manifestate printr-o acțiune
magnetică transmisă prin intermediul câmpului magnetic prezent în jurul magneților sau ai curenților
electrici.
Pornind de la aceste constatări, oamenii de știință au ajuns la următoarea constatare:
Dacă în jurul unui conductor străbătut de curent electric apare un câmp magnetic, atunci și într-un
conductor aflat în câmp magnetic ar trebui să apară un curent electric.
Într-adevăr, în jurul unui conductor străbătut de un curent apare un câmp magnetic, dar acest lucru se
realizează printr-un consum de energie din exterior, sursa de energie electrică, bateria.
În cazul în care plasăm, și menținem în repaus, un conductor în câmpul magnetic nu se consumă
energie, deci nu are de unde să apară curent electric.
În 1831, M. Faraday a reușit producerea unui curent electric într-un conductor aflat în câmp magnetic.
Experimentul, care a prefigurat construcția
transformatorului, constă din două bobine, L1 și L2,
înfășurate pe un cilindru din lemn, Fig. 10.
OBSERVAȚIE: O bobină se notează cu litera L, așa cum
un rezistor se notează cu litera R, un condensator cu litera C,
dioda cu litera D și așa mai departe. Aceste notații sunt
notații consacrate!
Dacă, în circuitul bobinei L1, închidem și deschidem întrerupătorul k, în circuitul bobinei L2 va apărea
un curent, pus în evidență cu ajutorul galvanometrului.
Curentul care apare, în circuitul bobinei L2, se numește curent indus, iar câmpul magnetic, căruia îi
dă naștere, se numește câmp magnetic indus.
Evident, prin analogie, curentul generat de baterie în bobina B1 se numește curent inductor, iar câmpul
magnetic, căruia îi dă naștere, se numește câmp magnetic inductor.
Din acest experiment s-au constatat următoarele:
1. Curentul indus în L2 dispare chiar dacă prin L1 continuă să circule curentul și deci există un câmp
magnetic ale cărui linii trec prin L2.
2. Prin bobina L2 apare un curent, un timp foarte scurt, doar când închidem și deschidem circuitul.
3. Curentul prin bobina L2 are un sens atunci când închidem circuitul bobinei L1 și va avea sens invers
atunci când deschidem circuitul. Fapt evidențiat de sensul de deviere al acului galvanometrului.
Din cele observate până acum, putem concluziona că prin bobina L2 trece un curent variabil doar dacă
aceasta este străbătută de un flux magnetic variabil.
Fenomenul descoperit de Faraday se numește inducție electromagnetică.
Fenomenul de inducție electromagnetică este fenomenul de apariție a unei tensiuni
electromotoare induse și a unui curent indus, într-un circuit străbătut de un flux magnetic
variabil.
Ulterior s-a constatat că intensitatea curentului indus crește proporțional cu:

6. 6
1. Permeabilitatea magnetică a materialului din care este confecționat miezul bobinelor
2. Numărul, N1, de spire al bobinei L1.
3. Secțiunea, S, a celor două bobine.
4. Viteza cu care are loc modificarea sensului intensității curentului inductor. (Sau invers proporțional
cu intervalul de timp Δt în care are loc modificarea sensului intensității curentului inductor)
2. Sensul curentului indus. Regula lui Lenz
Sensul curentului indus depinde de felul în care variază fluxul magnetic inductor, dacă crește sau scade.
H.F.E. Lenz stabilește o regulă pentru determinarea sensului
curentului indus, numită regula lui Lenz.
Tensiunea electromotoare indusă și curentul indus au un
astfelde sens, încât fluxulmagnetic generat de curentulindus
să se opună variației fluxului magnetic inductor.
Astfel, la creșterea fluxului magnetic inductor curentulindus are
un sens, iar în cazul scăderii fluxului magnetic, curentul indus își
schimbă sensul, Fig. 11.
3. Legea inducției electromagnetice (Legea lui Faraday).
Forța pe care o exercită câmpul magnetic asupra unui
conductor străbătut de un curent electric,
forța electromagnetică, este
perpendiculară pe direcția conductorului
și pe liniile de câmp magnetic, Fig. 12.
Ecuația acesteia este: F=IlB, conform
rel. (3).
Dacă în figura de mai sus se acționează
asupra conductorului cu o forța F’
,
punând în mișcare conductorul l în
câmpul magnetic, se constată că prin acesta va trece un curent electric.
Prin deplasarea conductorului l a variat suprafața circuitului, aflată în câmp magnetic. Deși inducția
câmpului magnetic este constantă, datorită variației suprafeței circuitului aflat în câmp magnetic a variat
fluxul magnetic.
Variația fluxului magnetic permite transformarea energiei mecanice (L) în energie electrică (W),
dispozitivul având rolul de generator de energie electrică. Energia mecanică se transformă în energie
electrică și invers.
Observați că dacă se schimbă sensul de deplasare al conductorului se va schimba și sensul curentului
prin circuit.
Din ecuația de definiție a tensiunii electrice, vezi Câmpul electrostatic, rel. (21), obținem:
ttI
I
Q
xIB
Q
xBI
Q
xF
Q
L
e
Δ
ΔΦ
Δ
ΔΦΔΔΔ










ll
(15)
Având în vedere regula lui Lenz, tensiunea electromotoare indusă, tem, sau e, este dată de relația:
t
e
Δ
ΔΦ
 (15’)
Tensiunea electromotoare indusă într-un circuit este egală cu viteza de variație a fluxului
magnetic prin suprafața acelui circuit, luată cu semn schimbat (legea Faraday).
Tensiunea electromotoare indusă într-un conductor l, care este deplasat cu viteza v, într-un câmp
magnetic de inducție B, este dată de relația:
vB
tI
xIB
Q
xBI
Q
xF
Q
L
e l
ll








Δ
ΔΔΔ
(16)
Dacă conductorul face unghiul 𝛼 ≠ 90°cu direcția liniilor de câmp magnetic, valoarea tensiunii
electromotoare induse, e, este dată de relația:
𝐞 = 𝐁𝒍𝐯 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝛂 (16’)

7. 7
4. Autoinducția.
4.1 Producerea fenomenului de autoinducție
În Fig. 13, am reprezentat un montaj experimental dintr-o bobină cu miez de fier (sesizați că miezul de
fier l-am simbolizat cu două linii paralele cu bobina), conectată cu o sursă de
curent continuu.
În paralel cu bobina, am conectat un bec, a cărui tensiune nominală de
funcționare este mai mare decât tensiunea debitată de sursă. Închidem
întrerupătorul. Vom observa că becul nu luminează, normal!
Întrerupem circuitul. Deși sursa a fost deconectată, becul va lumina puternic,
pentru un timp foarte scurt.
Acest lucru se datorează unui caz particular de inducție electromagnetică,
numit autoinducție.
Autoinducția este fenomenul de inducție electromagnetică produs într-un
circuit datorită variației intensității curentului din acel circuit. Fenomenul de autoinducție este un
caz particular de inducție electromagnetică, la care circuitul inductor este în același timp și circuit indus.
Acest fenomen apare ori de câte ori variază fluxul magnetic propriu ce străbate circuitul.
Variația fluxului magnetic printr-un circuit se poate realiza prin mai multe moduri, de exemplu prin
variația intensității curentului prin circuit, în cazul nostru prin închiderea și deschiderea întrerupătorului
k, Fig. 13.
4.2 Inductanța unui circuit.
În conformitate cu legea Biot-Savart 𝐁~𝐈, ceea ce presupune 𝚽~𝐈. Dacă considerăm suprafața
circuitului, aflată în câmp magnetic, constantă, această ultimă afirmație se poate scrie:
𝚽 = 𝐋 ∙ 𝐈 (17)
unde, cu L am notat o constantă, care depinde de geometria circuitului, numită inductanța circuitului.
Din rel. (17) deducem unitate de măsură pentru inductanță:
   
 
H1
A1
Wb1
I
L
SI
SI
SI 
Φ
(Henry) (18)
1H este inductanța unei spire prin a cărei suprafață este trece de un flux magnetic propriu de 1Wb,
atunci când este străbătută de un curent cu intensitatea de 1A.
4.3 Legea autoinducției.
Dacă rescriem rel. (15’) cu condiția (17) obținem:
t
I
Le
Δ
Δ
 (19)
Care reprezintă legea autoinducției: Tensiunea electromotoare autoindusă este direct proporțională
cu produsul dintre inductanța circuitului și viteza de variație a intensității curentului prin acel
circuit, luată cu semn schimbat.
Inductanța unei bobine, ținând cont că variația fluxului magnetic propriu printr-o bobină cu N spire,
este dat de relația: I
SN
BS)SB(NN
2
r0 ΔΔΔΔΦ 


l
(20)
sau:
t
ISN
e
2
r0
Δ
Δ



l
(21)
Identificând cu relația (19) găsim expresia inductanței:
l
SN
L r


2
0 (22)
După cum se vede, valoarea inductanței depinde de geometria circuitului.
5. Cuplajul inductiv a două circuite electrice. Inductanța mutuală.
În Fig. 14, între cele două bobine, L1 și L2, nu există contact electric.
Totuși, atunci când prin bobina L1, numită bobină primar, circulă un curent variabil, în bobina L2, numită
bobină secundar, apare un curent indus, deși în circuitul secundar un există sursă de tensiune
electromotoare. Acest lucru înseamnă că din circuitul primar a fost transferată energie circuitului
secundar, prin intermediul câmpului magnetic.
Circuitele între care se poate realiza transfer de energie electromagnetică se numesc circuite cuplate.

8. 8
Elementele de circuit care pot realiza cuplajul a două circuite sunt rezistorii, bobinele și condensatorii.
Dacă cuplajul se realizează prin intermediul bobinelor, cuplajul se
numește cuplaj inductiv.
Transferul de energie, între cele două circuite, este caracterizat de
mărimea fizică inductanța mutuală, notată M:
𝑴 = √ 𝑳 𝟏 𝑳 𝟐 (23)
Valoarea lui M depinde de parametrii geometrici ai circuitului și de
proprietățile magnetice ale materialului bobinei (miez magnetic). De
asemenea, inductanța mutuală depinde și de poziția relativă a circuitelor cuplate magnetic.
Deoarece nu tot fluxul magnetic, generat de bobina L1, străbate bobina L2, o parte se pierde, spunem
că se disipă, valoarea inductanței mutuale este mai mică decât valoarea dată de rel. (23).
Pentru cazul general: 𝑴 = 𝒌 ∙ √ 𝑳 𝟏 𝑳 𝟐 (23’)
unde cu k este un coeficient, numit coeficient de cuplaj.
De exemplu, dacă bobinele sunt foarte apropiate, cuplajul se numește strâns, iar 𝑘 = 1.
6. Energia câmpului magnetic.
Considerăm circuitul din Fig. 15a). Când comutatorul k este în poziția 1, prin circuit se stabilește un
curent electric de intensitate I.
Trecem comutatorul în poziția 2. Vom observa că
intensitatea curentului prin circuit nu devine instantaneu
zero, ci scade lent spre zero, într-un interval de timp
oarecare și de asemenea, inducția câmpului magnetic.
Fig. 15b).
Lucrul mecanic necesar deplasării electronilor
(purtătorii de sarcină) se face pe seama câmpului
magnetic. liberi
Am arătat puțin mai sus, vezi rel. (15), energia necesară
deplasării electronilor printr-un conductor este dat de
relația: 𝐖 𝐦 = 𝐪 ∙ 𝐞, unde e este dat de rel. (19), iar 𝐪 = 𝐈 𝐦 ∙ 𝚫𝐭. Pe Im îl calculăm ca o medie dintre
valoarea maximă a lui I și zero:
2
I
Im  .
În acest caz: 2
m LI
2
1
W  (24)
Dacă ținem cont de rel. (22) care exprimă valoarea inductanței și rel. (6), rel. Biot-Savart, care exprimă
valoarea inducției magnetice în centrul unei bobine, obținem pentru energia medie a câmpului magnetic
o relație care depinde de mărime fizică de stare a câmpului magnetic, B:
Vl 




r0
2
0
r0
2
m
B
2
1
S
B
2
1
W (25)
Observați că Vl 0S reprezintă volumul bobinei.
Dacă avem în vedere că 𝐁 = 𝛍 𝟎 𝛍 𝐫 ∙ 𝐇, rel. (25) se poate scrie:
VBH
2
1
Wm  (26)
Notăm
V
w m
m
W
 densitatea medie de energie în câmpul magnetic uniform al bobinei.
r0
2
m
B
2
1

w (27)
OBSERVAȚIE. Deși această relație a fost dedusă pentru câmpul magnetic al unei bobine, ea este
valabilă pentru orice configurație de câmp magnetic.

9. 9
7. Explicarea magnetismului. Proprietățile magnetice ale substanței.
Din cele discutate până acum se poate concluziona faptul că magnetismul este produs de sarcinile
electrice în mișcare.
Proprietățile magnetice ale substanței, observate la nivel macroscopic, au fost explicate de A.M.
Ampère prin existența unor curenți circulari, la nivel microscopic, pe care i-a numit curenți moleculari.
Altfel spus, mișcarea electronilor pe orbite în jurul nucleului este echivalentă cu un curent electric
elementar, cu o buclă de curent. Această sarcină electrică elementară în mișcare dă naștere unui curent
electric elementar, care, la rândul său, dă naștere unui câmp magnetic elementar. Deoarece electronii, pe
orbitele lor circulare, în jurul nucleului, se pot roti de la stânga la dreapta, sau de la dreapta le stânga,
(spunem că pot avea spinul pozitiv, sau negativ) câmpul magnetic elementar indus poate fi orientat într-
un sens, sau în sens opus.
Proprietățile magnetice ale substanței sunt caracterizate de mărimea fizică μr, rel. (2’).
S-a constatat că pentru toate substanțele 𝜇 𝑟 ≠ 1, dar pentru majoritatea substanțelor 𝜇 𝑟 ≅ 1.
Astfel:
• Substanțele pentru care 𝝁 𝒓 > 𝟏 se numesc substanțe paramagnetice. Existența acestor substanțe în
interiorul unei bobine face ca inductanța magnetică să crească, dar foarte puțin. În cazul substanțelor
paramagnetice, câmpurile magnetice elementare nu sunt complet compensate, ceea ce va da naștere unui
câmp magnetic rezultant, diferit de zero.
• Substanțele pentru care 𝝁 𝒓 < 𝟏 se numesc substanțe diamagnetice. Existența acestor substanțe în
interiorul unei bobine face ca inductanța magnetică să scadă, dar foarte puțin. În cazul substanțelor
diamagnetice, câmpurile magnetice elementare se compensează reciproc, astfel că, per ansamblu, atomul
nu are câmp magnetic rezultant.
De fapt, diamagnetismul este o proprietate pe care o au toate substanțele, numai că, în cazul substanțelor
paramagnetice, efectul orientării câmpurilor magnetice elementare, în prezența unui câmp magnetic
exterior, este mai puternic.
• Substanțele pentru care 𝝁 𝒓 ≫ 𝟏 se numesc substanțe feromagnetice. Existența acestor substanțe în
interiorul unei bobine face ca inductanța magnetică să crească foarte mult. În cazul substanțelor
feromagnetice, inductanța magnetică poate crește și de câteva sute de mii de ori. Proprietățile magnetice
ale substanțelor feromagnetice sunt date de caracteristicile structurii lor. Substanțele feromagnetice sunt
substanțe cristaline care, în prezența unui câmp magnetic exterior, generează o serie de regiuni în care
câmpurile magnetice elementare au aceeași orientare, numite domenii de magnetizare spontană.
În Tabelul 1 aveți câteva exemple de substanțe în funcție de proprietățile lor magnetice.
Tabelul 1.
Substanțe
paramagnetice
μr
Substanțe
diamagnetice
μr
Substanțe
feromagnetice
μr
Azot (gazos) 1,000013 Apă 0,999991 Fier până la 5 000
Aluminiu 1,000023 Sticlă 0,999987 Nichel până la 1 000
Platină 1,000253 Cupru 0,999912 Permalloy*) 80000-10 0000
*) aliaj magnetic nichel-fier, cu circa 80% nichel și 20% fier
8. ACTIVITĂŢI DE FIXARE A CUNOŞTINŢELOR ŞI EVALUARE.
a) Probleme rezolvate și comentate:
1. Două conductoare rectilinii, foarte lungi , necoplanare și perpendiculare unul pe celălalt, sunt parcurse
de curenți electrici de intensități I1 = I2 = 5A, în sensurile din
Fig. 16. Punctul O se găsește la jumătatea distanței 𝑀𝑁 = 20 𝑐𝑚.
Să se găsească inducția magnetică 𝐵⃗ a câmpului magnetic rezultant
în punctul O.
Rezolvare.
În Fig. 17 am reprezentat inducțiile magnetice B1 și B2 ale câmpurilor
magnetice produse de cei doi curenți, I1 și I2, precum și inducția
magnetică rezultantă B.
2. Observăm că 𝑟 = 10 𝑐𝑚 = 0,1 𝑚 și de asemenea, conductoarele sunt în are, 𝜇 𝑟 = 1.

10. 10
3. Conform legii Biot-Savart, rel. (4):
T10
0,12π
5104π
r2π
Iμ
BB 5
7
0
21








4. Observăm că și inducțiile magnetice produse de cei doi
curenți sunt perpendiculare. Deci:
T101,412BBBB 5
1
2
2
2
1


2. Prin vârfurile unui pătrat cu latura 𝑎 = 10 𝑐𝑚 trec patru
conductoare rectilinii, foarte lungi, parcurse de curenți în sensul
indicat pe figură.
Intensitățile curenților au valorile: 𝐼1 = 𝐼3 = 1𝐴, 𝐼2 = 𝐼4 = 2𝐴. Să se
determine inducția magnetică B0 în centrul pătratului.
Rezolvare.
În Fig. 18 am reprezentat inducțiile magnetice produse de fiecare
curent în parte.
Centrul pătratului se află la aceeași distanță față de oricare curent:
7cm25
2
2a
r 
Dacă ținem cont de datele problemei, observăm că inducțiile
magnetice B1 și B3 sunt egale în modul și opuse ca semn. Deci se vor
anula reciproc.
Inducțiile magnetice B2 și B4 sunt egale în modul și au același sens. În acest caz 𝐵0 = 2 ∙ 𝐵2:
T101,3
0,072π
2104π
2
r2π
Iμ
2B 5
7
20
0








3. Prin vârfurile A, B și C ale unui triunghi echilateral, cu latura 𝑎 = 8 𝑐𝑚, se află trei conductoare
paralele. Prin B și C curenții sunt de același sens și au intensitățile
egale 𝐼 = 2 𝐴, iar prin A curentul are valoarea 𝐼′
= 4 𝐴 și este de
sens contrar. Să se afle forța pe unitatea de lungime, care se
exercită asupra fiecărui conductor.
Rezolvare.
Vom face un desen, în care vom reprezenta toate mărimile,
corespunzător convențiilor pe care le-am făcut.
Când reprezentăm forțele, ținem cont de observațiile pe care
le-am făcut:
1. Dacă curenții sunt de același sens, forțele de interacțiune dintre
ei sunt forțe de respingere (repulsive).
2. Dacă curenții sunt de sens contrar, forțele de interacțiune dintre ei sunt forțe de atracție (atractive).
Observăm, de asemenea, că forțele de interacțiune dintre doi curenți alăturați sunt egale în modul și
opuse ca sens și au valorile date de rel. (7)
l
aπ2
I'I
μ-FF 0BAAB

 , l
aπ2
I'I
μ-FF 0CAAC

 , l
aπ2
I
μ-FF
2
0CBBC


Se observă că unghiurile 𝛼 = 120°, iar 𝛽 = 60°.
În continuare: αcosFF2FFFF BABC
2
BA
2
BCCB  ,
respectiv, m/N1073,15,0'II2'III
aπ2
μFF 532240CB 



ll
Analog: βcosFF2FFF ACAB
2
AC
2
ABA 
respectiv, m/N1046,35,0'II2'II2
aπ2
μF 522220A 



l

11. 11
4. Un solenoid cu 𝑁 = 80 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒 și diametru 𝑑 = 8𝑐𝑚 se găsește într-un câmp magnetic uniform de
inducție
π
0,24
B  T, având axa paralelă cu liniile de câmp. Solenoidul este rotit cu 180° în ∆𝑡 = 0,2 𝑠,
astfel încât axa lui să redevină paralelă cu direcția câmpului. Să se determine t.e.m. medie, e, care este
indusă în solenoid.
Rezolvare.
Conform legii inducției electromagnetice
Δt
ΔΦ
Ne  . N apare deoarece solenoidul are N spire.
Variația fluxului magnetic se poate face în mai multe moduri:
1. Variind valoarea inducției magnetice (evident, variind valoarea curentului).
2. Variind mărimea suprafeței circuitului (în cazul nostru, suprafața solenoidului, cam imposibil...)
3. Variind poziția suprafeței circuitului (a solenoidului)
față de direcția liniilor de câmp magnetic, Fig. 20.
Aceasta este problema noastră!
Variația fluxului magnetic, printr-o spiră a bobinei,
este:
2
πBd
4
πd
2BS2BcosαSBcosαSBΦΦΔΦ
22
1212 
Tensiunea electromotoare indusă, t.e.m., va fi dată de relația:
0,307V
t2
NBd
e
2



Δ
Semnul plus, pentru t.e.m. indusă în solenoid, este în conformitate cu regula burghiului drept.
Sensul curentului indus este același cu sensul ales pentru parcurgerea circuitului astfel încât burghiul
să înainteze în sensul lui𝐵⃗ .
b) Răspundeți la următorii itemi:
1. Ce este acțiunea magnetică?
2. Ce este câmpul magnetic?
3. Care sunt mărimile cu ajutorul cărora putem caracteriza câmpul magnetic?
4. Definiți forța de interacțiune magnetică.
5. Scrieți formula inducției câmpului magnetic generat în jurul unui conductor liniar foarte lung,
parcurs de curent electric continuu.
6. Scrieți formula inducției câmpului magnetic generat în centrul unei bucle circulare plane (spiră de
curent), parcurse de curent electric continuu.
7. Scrieți formula inducției câmpului magnetic generat în centrul unei bobine parcurse de curent
electric continuu.
8. Definiți amperul.
9. Forța Lorentz. Desen, definiție, formulă, unitate de măsură.
10. Fluxul magnetic. Desen, definiție, formulă, unitate de măsură.
11. Definiți fenomenul de inducție electromagnetică.
12. Regula lui Lentz. Exemplificați cu ajutorul unui desen simplu.
13. Legea inducției electromagnetice.
14. Fenomenul de autoinducție. Exemplificați cu ajutorul unui desen simplu.
15. Inductanța unui circuit. Definiție, formulă, unitate de măsură.
16. Legea autoinducției.
17. Ce sunt circuitele cuplate?
18. Inductanța mutuală, coeficientul de cuplaj. Definiție, formulă.
19. Energia câmpului magnetic. Definiție. Discuție.
20. Explicați, în 2-3 fraze, producerea și existența magnetismului. Curenții moleculari.
21. Ce sunt substanțele paramagnetice? Dați exemple.
22. Ce sunt substanțele diamagnetice? Dați exemple.
23. Ce sunt substanțele feromagnetice? Dați exemple.

12. 12
c) Rezolvați următoarele probleme:
1. Să se calculeze forța exercitată asupra unui conductor rectiliniu, având lungimea 𝑙 = 2𝑚, parcurs de
un curent de intensitate 𝐼 = 10𝐴, într-un câmp magnetic uniform 𝐵 = 1𝑇. În câmpul magnetic
conductorul este orientat: a) perpendicular; b) sub un unghi 𝛼 = 60°.
R: a) 𝐹1 = 2 ∙ 10−2
𝑁; b) 𝐹2 = 1,7 ∙ 10−2
𝑁
2. Într-un câmp magnetic uniform, orizontal, cu 𝐵 = 0,02𝑇 se află un conductor orizontal, orientat sub
unghiul 𝛼 = 45°. Să se calculeze intensitatea I a curentului prin conductor, pentru ca acesta să rămână
suspendat numai sub acțiunea forței magnetice. Densitatea liniară de masă a conductorului (masa pe
unitatea de lungime) este 𝜇 = 0,01 𝑘𝑔/𝑚 .
R. 𝐼 = 4,9𝐴.
3. Un conductor rectiliniu de lungime 𝑙 = 20𝑐𝑚, parcurs de un curent de intensitate 𝐼 = 5𝐴, se mișcă
cu viteza v = 20𝑐𝑚/𝑠 într-un câmp magnetic uniform de inducție 𝐵 = 0,6𝑇, orientată sub unghiul 𝛼 =
30° față de direcția conductorului. Să se calculeze: a) Forța exercitată asupra conductorului. b) Puterea
mecanică cheltuită pentru mișcarea conductorului.
R: a) 𝐹 = 0,3 𝑁, b) 𝑃 = 0,06𝑊
4. Care este fluxul magnetic printr-o suprafață cu aria 𝑆 = 100 𝑐𝑚2
, orientată sub unghiul 𝛼 = 30°, într-
un câmp magnetic uniform, cu inducția 𝐵 = 10−4
𝑇?
R: 𝛷 = 0,86 𝜇𝑊𝑏.
5. O spiră circulară de cupru, 𝜌 = 1,72 ∙ 10−8
𝛺 ∙ 𝑚, de secțiune 𝑆0 = 𝜋2
𝑚𝑚2
, este parcursă de un
curent de intensitate 𝐼 = 5𝐴. Inducția magnetică în centrul spirei este 𝐵 = 100𝜇𝑇. Să se afle tensiunea
aplicată spirei.
R. 𝑈 = 1,72𝑚𝑉
6. Unei spire din sârmă de cupru cu rezistivitatea 𝜌 = 1,67 ∙ 10−8
𝛺 ∙ 𝑚 și secțiunea 𝑆 = 10𝑚𝑚2
i se
aplică tensiunea 𝑈 = 12,5𝑚𝑉. Inductanța magnetică în centrul spirei este 𝐵 = 0,52 ∙ 10−4
𝑇. Care este
intensitatea curentului care parcurge spira?
R: A10
πρμ
USB
I
0

7. Un solenoid, bobinat spiră lângă spiră, într-un singur strat, este confecționat din sârmă cu diametrul
𝑑 = 0,1 𝑚𝑚. Să se afle: a) inducția câmpului magnetic în solenoidul cu aer, dacă intensitatea curentului
care-l parcurge are valoarea 𝐼 = 0,1𝐴; b) câte astfel de straturi sunt necesare pentru ca inducția
magnetică să devină 𝐵1 = 7,56𝑚𝑇.
R: 𝐵 = 1,256𝜇𝑇; 6 straturi.
8. Două conductoare foarte lungi, paralele, aflate la distanța 𝑑 = 10𝑐𝑚 unul de celălalt, sunt parcurse
de curenți da același sens, de intensități 𝐼1 = 5𝐴 și 𝐼2 = 10𝐴. Să se afle inducția câmpului magnetic:
a) la jumătatea distanței dintre cele două conductoare; b) într-un punct situat la distanța 𝑑1 = 5𝑐𝑚 de
curentul mai slab și 𝑑2 = 15𝑐𝑚 de celălalt. c) În ce puncte inducția magnetică rezultantă este nulă?
R: a) T102)I(I
πd
μ
B 5
12
0 
 ; b) T103,3)II3(
πd6
μ
B 5
21
1
0 

9. Două conductoare verticale, paralele, fixe, foarte lungi, aflate la distanța d unul de celălalt, sunt
străbătute de curenți de același sens, de intensități 𝐼1 și 𝐼2. Între ele se suspendă un al treilea conductor,
paralel cu primele. Prin acest conductor circulă un curent de intensitate 𝐼3. El se poate deplasa lateral, în
planul celor trei conductoare. Să se determine la ce distanță x de primul conductor se va găsi al treilea
în poziție de echilibru.
R:
21
1
II
I
dx


10. Sârma de cupru din care este confecționat un solenoid cu lungimea 𝑙 = 2𝑐𝑚 și rezistența 𝑅 = 2𝛺
are diametrul 𝐷 = 1𝑚𝑚 și rezistivitatea 𝜌 = 1,67 ∙ 10−8
𝛺 ∙ 𝑚. Să se calculeze inductanța solenoidului.
R: mT08,14
ρ64
DR
μL 2
42
0 
l

13. 13
11. Un avion zboară , orizontal, cu viteza v = 900𝑘𝑚/ℎ. Distanța dintre capetele aripilor este 𝑙 = 50𝑚,
iar componenta verticală a inducției magnetice terestre 𝐵 = 5 ∙ 10−5
𝑇. Să se determine tensiunea
electromotoare indusă între capetele aripilor.
R: 𝑒 = 0,625𝑉
12. Într-un conductor rectiliniu, cu lungimea 𝑙 = 0,3𝑚, deplasat cu viteza v = 2𝑚/𝑠, perpendicular pe
liniile unui câmp magnetic uniform, se induce o t.e.m 𝑒 = 3𝑉. Ce inducție magnetică are câmpul?
Ce curent va circula prin conductor, dacă el are rezistența 𝑟 = 0,6𝛺, iar între capetele lui se leagă un
rezistor cu rezistența 𝑅 = 9𝛺.
R: 𝐵 = 5𝑇, 𝐼 = 0,3𝐴.
13. O bobină cu 𝑁1 = 20 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒, secțiune 𝑆1 = 2𝑐𝑚2
și lungime 𝑙1 = 2𝑐𝑚, este introdusă coaxial într-o
a doua bobină, în mijlocul ei. A doua bobină are 𝑁2 = 1000𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒, lungimea 𝑙2 = 20𝑐𝑚 și prin ea
circulă un curent cu intensitatea 𝐼2 = 10𝐴. În cât timp trebuie să scadă la zero intensitatea curentului
prin a doua bobină, pentru ca prin prima bobină să se inducă să se inducă o t.e.m. 𝑒1 = 1𝑉?
Ce intensitate 𝐼1 va avea curentul prin prima bobină dacă între capetele ei se leagă un rezistor cu
𝑅1 = 100𝛺? Ce sens va avea curentul indus prin prima bobină față de cel prin bobina a doua?
R: s102,5
e
SINNμ
t 4
21
12210 

l
; A010
R
e
I
1
1 ,
14. Traiectoria unui fascicul de electroni care se mișcă în vid, într-un câmp magnetic de inducție
𝐵 = 0,2𝑇 este un arc de cerc cu raza 𝑟 = 3𝑐𝑚. Să se calculeze viteza v a electronilor.
R: sm1073
m
eBr
v 7
/, 
15. Un fascicul de protoni cu viteza v0 = 2 ∙ 106
𝑚/𝑠 intră într-un câmp magnetic uniform de inducție
𝐵 = 0,2𝑇, cu viteza v⃗ 0orientată perpendicular pe direcția lui 𝐵⃗ . Distanța străbătută de fascicul în câmpul
magnetic, măsurată pe direcția lui v⃗ 0, direcția x, este 𝑙 = 2,5𝑐𝑚. Să se calculeze deviația y de la direcția
inițială a fasciculului, la ieșirea din câmpul magnetic. Masa unui proton este 𝑚 = 1,67 ∙ 10−27
𝑘𝑔, iar
sarcina lui pozitivă este egală, în modul, cu sarcina electronului 𝑒 = 1,6 ∙ 10−19
𝐶.
R:
0
2
mv2
eB
y
l

BIBLIOGRAFIE
1. D. Borșan, A. Costescu, M. Petrescu-Prahova, M. Sandu – Fizică, manual pentru clasa a X-a,
EDITURA DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, R.A. BUCUREȘTI, 1983.
2. N. Gherbanovschi – FIZICĂ, manual pentru clasa a X-a, F1, editura NICULESCU, 2004
3. A. Hristev, D. Borșan, D. Manda, M. Sandu, L. Georgescu, N. Gherbanovschi – Probleme de fizică,
pentru clasele IX-X, EDITURA DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, R.A.
BUCUREȘTI, 1983
4. M. von Laue – Istoria fizicii, Editura științifică, București, 1965
5. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/182915/electricity/71564/Conductors-insulators-and-
semiconductors
6. http://www.aplusphysics.com/courses/honors/circuits/circuits.html
7. http://ro.wikipedia.org/wiki/Electroliz%C4%83
8. www.manualdefizica.ro