Este documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de eletromagnetismo preparada por um professor de física teórica da UFRGS. A lista contém questões e problemas sobre carga elétrica, incluindo a lei de Coulomb, a quantização da carga e sua conservação.

1. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
`
Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica
ı
e
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´sica Te´ rica
ı
o
Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
ı
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´sica
ı
Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro
e
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“Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
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Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’
Conte´
udo
23 Carga El´ trica
e
23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . .
ı
2
2
3
23.2.1
23.2.2
23.2.3
23.2.4
Lei de Coulomb . . . . .
A Carga e Quantizada . .
´
A Carga e Conservada . .
´
As Constantes da F´sica:
ı
Aparte . . . . . . . . . . .
Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para
a
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http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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`
23 Carga El´ trica
e
Q 23-3
Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as¸
sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique
a
a causa disto.
23.1 Quest˜ es
o
¡
Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzimos que eles possuem quantidades de cargas com sinais
diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor
e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga
´
que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a
repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal.
a
Q 23-1
Sendo dadas duas esferas de metal montadas em suporte port´ til de material isolante, invente um modo de cara
reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais
a
opostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com
e
´
seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio
a
a
Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos
a
o
que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantidae
funcionar?
de de cargas existente inicialmente em cada corpo.
Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao
e
´
¸˜
e
a
aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4
feras quando ambas estiverem em contato iremos indue
¸˜
zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser
o
explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,
e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada,
`
a
uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal.
Qual e o argumento contra isto?
´
separarmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fia
a
car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais
e
´ a
E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro tiopostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas
a
a
ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro
´
ı
a superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o inı
o
¸˜
a
depende do raio das esferas.
distingu´veis um do outro, experimentalmente.
ı
¢
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Q 23-2
Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6
a
esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passandonal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ?
´
a
e
mesmo tamanho para o m´ todo a ser usado?
e
´
E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,
O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.
a
toquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repetia
mos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante¸˜
a
ı
rior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9
e
o
das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam
e
a
a
a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos?
´
tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em
a
Em dias umidos existe um excesso de vapor de
´
contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos
´
a
ı
permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a
mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua,
e
´
, pertence a classe de mol´ culas
`
e
que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo
´
ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas
e
e
´
e
´
e
´
necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas negaa
a
densidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas
`
ı
e
contato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por
a
¸˜
e
ap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativao
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tes.
mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as
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`
e
mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no
e
o
ga na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio?
ı
sej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto pora
a
Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para
¸
a
que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de
a
levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia ,
e
a
carga que realmente se encontra sobre a superf´cie.
ı
constante, de uma outra carga fixa no espaco.
¸
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Q 23-13
Q 23-18
Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um cone
e
) gira ao redor de um n´ cleo
u
dutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga
e
a
(carga
) de um atomo de h´ lio. Qual das
´
e
completa do condutor?
part´culas exerce maior forca sobre a outra?
ı
¸
N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre
a
a
¸˜
o condutor e a pessoa.
Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou
e a
faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem
ı
Q 23-14
r´ pido!
a
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©
¡
¡
(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um
¸
e
objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce
a
carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras carpositivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas?
cluir que o objeto est´ positivamente carregado?
a
A forca entre duas cargas quaisquer depende unica
¸
´
e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex(a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto
a
ı
a
a
´ a
neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil
e
a
ı
concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car¸
duzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela
a
a
¸˜
barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou
a
mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que
mo sinal.
resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca
¸˜
´
¸
Q 23-16
resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterara
Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada
¸
ı
¸˜
Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao.
e
¡
¡
pr´ tons de negativos?
o
¡
23.2 Problemas e Exerc´cios
ı
23.2.1 Lei de Coulomb
E 23-1
Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de
¸
a
Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a)
a
m e (b)
km se tal configuracao pudesse ser estabelecida?
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(a)
(b)
N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de
a
a
a
convencao.
¸˜
Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran¸˜
klin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdue
zido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na
e
¸˜
quarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a
¸˜
a
impress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser antea
riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias
a
e
adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cisı
e
¸
ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de
e
dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa
(da resina).
Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas
e
a
“positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa
¸
champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao
¸˜
deste puzzle!
N.
N.
E 23-2
¢
Uma carga puntiforme de
C dista
cm
de uma segunda carga puntiforme de
C.
A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre
e
¸
o
¸
a
carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga.
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Q 23-17
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4. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
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De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que
¸
uma carga
exerce sobre outra carga
e igual em
´
m´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga
o
a
`
¸
(b) Como temos
exerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela
¸ ´
Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui
¸˜
os m´ dulos das cargas. Portanto
o
segue que
C
E 23-7
©
©
#
©
Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pose
suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por
a
Qual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros
a
a
a
Ce
C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a eso
¸
¸
a
eletrost´ tica entre elas seja de
a
N?
fera devida a esfera e . Suponha agora que uma
´
terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolane
te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera
(Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em
seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de ,
qual e a forca
´
¸
que atua agora sobre a esfera ?
metros
Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e
. Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma
o
e
E 23-4
carga igual a
. Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera
o
Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de
a
ı
ir´ ficar com uma carga igual a
a
.
Amp` res flui durante
e
s. Que quantidade
Portanto, teremos em m´ dulo
o
de carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e
´
a
e ´
a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28a
¸˜
2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver
ı
o problema proposto.]
onde e uma constante (que envolve
´
bem como a
Usamos a Eq. (23-3):
distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao
a
a
caso aqui) e
representa o m´ dulo de .
o
C
E 23-3
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Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8
´
gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro.
Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha
e
ı
reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a
a
a
E 23-5
Fig. 23-14). As cargas
e
s˜ o mantidas fixas. A
a
Duas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em
ı
a
distˆ ncia
a
m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua soa
ı
¸
a
ı
partir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de .
o
¸˜
m/s e o da segunda e de
´
primeira part´cula e de
ı
´
Chame de
a forca sobre devida a carga . Ob¸
m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula vaı
est´ em
a
le
Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como
a
equil´brio devemos ter
ı
. As forcas
¸
e
tˆ m
e
part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum?
ı
o
m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem
o
(a) Usando a terceira lei de Newton temos
sinais opostos. Abreviando-se
, temos
, de modo que
ent˜ o
a
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Substituindo estes valores na equacao
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, obteN
mos
. Como as cargas devem ter sinais
opostos, podemos escrever
, que e a resposta
´
procurada.
P 23-12
Observe que o sinal da carga
permanece totalmente
Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas,
e
arbitr´ rio.
a
atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual
¸
a
o
a
N quando separadas por uma distˆ ncia de
a
P 23-10
cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor
a
a
Na Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e
a
fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem
´
vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre
¸
a
N.
com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a
¸
a
o
a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo
e
Quais eram as cargas iniciais das esferas?
Ce
cm?
Sejam e as cargas originais que desejamos calPrimeiro, escolhemos um sistema de coordenadas
cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sisa
com a origem coincidente com a carga no canto esquertema de coordenadas de modo que a forca sobre
¸
e
´
do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de
positiva se ela for repelida por . Neste caso a magnina carga
costume. A forca exercida pela carga
¸
tude da forca ‘inicial’ sobre e
¸
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onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem.
Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto
e negativo, pois a forca ,
´
¸
, e forca de atracao.
´
¸
¸˜
Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido coa
e
o
nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de
a
valor
. Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’
¸
a
e dada por
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enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros,
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conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do
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da por
segundo grau que define estes n´ meros, ou seja,
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As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o
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, sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente
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aceit´ vel.
a
Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de
o
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equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para
ı
que a carga
esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca
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o
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exerce sobre
deve igualar a m´ dulo da forca
o
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que
de
sobre :
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enquanto que o sinal
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O sinal
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de onde tiramos as duas solucoes
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ou seja
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Considerando-se a Eq. , temos
„
7 s 5 7 c ED1'Y8F`6s
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5Ÿ
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ou
st
na equacao da soma acima temos duas possibilidades:
¸˜
carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve
ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas
e
n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas
a
ı
¸
sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a
terceira carga por
, sendo maior que zero. Seja
a distˆ ncia entre
a
e
. Para que a carga
esteja
em equil´brio, o m´ dulo da forca que
ı
o
¸
exerce sobre
deve ser igual ao m´ dulo da forca que
o
¸
exerce
sobre
. Portanto,
s
`
Dito de outra forma, se substituirmos
7s
onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de
Dai tiramos que
que, para
,
.
fornece o valor procurado:
Repetindo-se a an´ lise a partir da Eq.
a
percebemos
que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que
¸˜
ı
revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane¸
cem as mesmas:
(b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser proı
´
a
a
C
e
C
vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser
verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um
ı
ou
de sua posicao de
¸˜
pequeno deslocamento da carga
equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma
ı
C
e
C
forca resultante orientada para esquerda ou para a direi¸
ta.
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7s
P 23-15
P 23-16
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s
Duas cargas puntiformes livres
e
est˜ o a uma
a
distˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o,
a
´
a
colocada de tal modo que todo o sistema fica em
equil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal
ı
¸˜
o
da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel.
ı
´
a
(a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas
na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio¸˜
´
nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a
a
a
Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b)
Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios
e
a
para fornecer a carga positiva calculada no item (a)?
(a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha
com a carga
. Somente quanque une a carga
(a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se¸
do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o:
¸˜
a
a
poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer
ı
outra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter¸˜
¸
a
¸˜
ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira
a
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7. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
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onde
e a massa da Terra e
´
a massa da Lua. Portanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice
e
C, temos
P 23-19
ª ¨©
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§
Duas pequenas esferas condutoras de massa
est˜ o
a
suspensas por um fio de seda de comprimento e possuem a mesma carga , conforme e mostrado na figura
´
Como foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que
ı
ˆ
´ a
equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio
¸˜
a
a
possa ser substituida por sen : (a) mostre que
conhecer-se o valor de .
para esta aproximacao no equil´brio teremos:
¸˜
ı
(b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga
´
e
positiva de
C. Portanto, o n´ mero
u
de
atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car´
e
a
ga do item (a) e dado por
´
onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo
´
a
cm,
ge
cm, quanto vale ?
C
(a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e
a
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de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada
o
¸
a
Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio:
e
a ´
ı
mente
, onde
e a massa de um atomo
´
´
de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade
e
de massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321]
e
a
sen
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© Wˆº»
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© ´
»
Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio¸˜
res, encontramos:
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P 23-18
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Kg
Uma carga e dividida em duas partes e
´
, que
s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como
a
a
e um angulo pequeno, podemos usar a
´
ˆ
Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao
¸˜
do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja
a
a
m´ xima?
a
sen
A magnitude da repuls˜ o entre e
a
e
´
Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as
¸
a
a
cargas e dada por
´
Igualando-se as duas express˜ es para
o
para , encontramos que
#
e resolvendo
¸ Q
X 7 w ig s w u ¿i„
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„
(b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto,
da express˜ o acima para , obtemos
a
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cuja solucao e
¸˜ ´
.
Como a segunda derivada e sempre menor que zero,
´
a solucao encontrada,
¸˜
, produzir´ a forca
a
¸
m´ xima.
a
Observe que a resposta do problema e
´
e n˜ o
a
.
¸
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A primeira condicao produz
¸˜
´
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A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que
¸˜
a
¸˜
´
sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes
¸˜
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P´ gina 7 de 11
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8. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
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No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a)
a
O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Exa o
plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de
¸˜
equil´brio das bolas.
ı
sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca
¸
para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia
a
a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque
¸˜
tamb´ m e positivo. A carga
e ´
a direita exerce uma
`
forca para cima de magnitude
¸
,a
uma distˆ ncia
a
do mancal. Seu torque e negativo.
´
Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem
a
¸˜
anular-se, ou seja
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£
P 23-20
¡
(a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o poa
der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e,
a
a
consequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo
a
¸˜
gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a
e
carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se
a
repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos
a
tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelira
se at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos
e
¸˜
ı
.
(b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada
¸˜
ı
(b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por
¸ ı
usando-se
:
a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal,
¸
cm
ent˜ o
a
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Observe que e essencial usar sempre um valor po´
sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o
¸
a
sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca
¸
, e n˜ o
a
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positivo e
´
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A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de
a
massa desprez´vel e comprimento , presa por um piı
no no seu centro e equilibrada com um peso
a uma
´
distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizada
a
dades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas pequea
nas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24
pectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de
a
´
cada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de
a
a
carga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a
A massa do el´ tron e
e
´
barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em
a
e
ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca
a
¸
sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada?
¸˜
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kg de el´ trons?
e
kg de makg e
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(a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida
ı
¸ ı
sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e
´
¸˜
´
tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escree ´
ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, igualaa
ı
la a zero e resolver para .
A carga
a esquerda exerce uma forca para cima
`
¸
de magnitude
, localizada a uma
distˆ ncia
a
do mancal. Considere seu torque como
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el´ trons
e
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P 23-21
Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos
a
¸
¸
. Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmena
te que
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´
E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de seı
a
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9. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
`
A carga
correspondente a mol de el´ trons nada
e
mais e do que
´
, onde
e
´
O m´ dulo da forca eletrost´ tica entre dois ´ons idˆ nticos o n´ mero de Avogadro. Portanto
o
¸
a
ı
e
u
que est˜ o separados por uma distˆ ncia de
a
a
m vale
N. (a) Qual a carga de cada ´on? (b)
ı
Quantos el´ trons est˜ o “faltando” em cada ´on (o que d´
e
a
ı
a
ao ´on sua carga n˜ o equilibrada)?
ı
a
segundos
(a) Da Lei de Coulomb temos:
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C
(b) Cada el´ tron faltante produz uma carga positiva de P 23-34
e
C. Usando a Eq. 23-10,
, encontra- Na estrtura cristalina do composto
(cloreto de
mos o seguinte n´ mero de el´ trons que faltam:
u
e
c´ sio), os ´ons Cs formam os v´ rtices de um cubo e
e
ı
e
um ´on de Cl est´ no centro do cubo (Fig. 23-18). O
ı
a
comprimento das arestas do cubo e de
´
nm. Em cael´ trons
e
da ´on Cs falta um el´ tron (e assim cada um tem uma
ı
e
carga de
), e o ´on Cl tem um el´ tron em excesso
ı
e
). (a) Qual e o m´ dulo da forca
´
o
¸
(e assim uma carga
E 23-27
eletrost´ tica l´quida exercida sobre o ´on Cl pelos oito
a
ı
ı
´ons Cs nos v´ rtices do cubo? (b) Quando est´ faltanı
e
a
Duas pequenas gotas esf´ ricas de agua possuem cargas do um dos ´ons Cs , dizemos que o cristal apresenta um
e
´
ı
idˆ nticas de
e
C, e est˜ o separadas, centro defeito; neste caso, qual ser´ a forca eletrost´ tica l´quida
a
a
¸
a
ı
a centro, de
cm. (a) Qual e o m´ dulo da forca ele- exercida sobre o ´on Cl pelos sete ´ons Cs remanes´
o
¸
ı
ı
trost´ tica que atua entre elas? (b) Quantos el´ trons em centes?
a
e
excesso existem em cada gota, dando a ela a sua carga
(a) A forca l´quida sobre o ´on Cl e claramente ze¸ ı
ı
´
n˜ o equilibrada?
a
ro pois as forcas individuais atrativas exercidas por cada
¸
(a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon- um dos ´ons de Cs cancelam-se aos pares, por estarem
ı
tramos, em magnitude,
dispostas simetricamente (diametralmente opostas) em
relacao ao centro do cubo.
¸˜
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©
Pelo filamento de uma lˆ mpada de
a
W, operando em
um circuito de
V, passa uma corrente (suposta constante) de
A. Quanto tempo e necess´ rio para que
´
a
mol de el´ trons passe pela lˆ mpada?
e
a
rc ED1 )
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(b)A quantidade
e
´
(b) Em vez de remover um ´on de c´ sio, podemos poı
e
na posicao de tal ´on.
¸˜
ı
demos superpor uma carga
N
Isto neutraliza o ´on local e, para efeitos eletrost´ ticos,
ı
a
e equivalente a remover o ´on original. Deste modo ve´
ı
de el´ trons em excesso em cada gota mos que a unica forca n˜ o balanceada passa a ser a forca
e
´
¸ a
¸
exercida pela carga adicionada.
Chamando de a aresta do cubo, temos que a diagonal
do cubo e dada por
´
. Portanto a distˆ ncia entre os
a
´ons e
ı
´
e a magnitude da forca
¸
N
! 3
!
!
3
Y W!
¡
De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante que P 23-35 Sabemos que, dentro das limitacoes impos¸˜
passa pela lˆ mpada e
a
´
, onde
e a quantida- tas pelas medidas, os m´ dulos da carga negativa do
´
o
de de carga que passa atrav´ s da lˆ mpada num intervalo el´ tron e da carga positiva do pr´ ton s˜ o iguais. Sue
a
e
o
a
.
ponha, entretanto, que estes m´ dulos diferissem entre
o
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http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
P´ gina 9 de 11
a

10. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
`
¢
s´ por
ı
. Com que forca duas pequenas moedas
¸
As reacoes completas de decaimento beta aqui men¸˜
de cobre, colocadas a
m uma da outra, se repeliriam? cionados s˜ o, na verdade, as seguintes:
a
O que podemos concluir? (Sugest˜ o: Veja o Exemplo
a
23-3.)
yà Þ
Wb c b ºß Ô
à
yà ß
q” Ú œÔ iÞ
Û!
†E(! ! ! W!
!
¡
Como sugerido no problema, supomos que a moeda e
´
representa uma part´cula elementar chamada
ı
a mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tanto onde
neutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decaipositiva quanto negativa igual dada por
¸˜
C. Se houvesse uma diferenca (desequil´brio) de cargas, mento Beta na Seccao 47-5 do livro texto.
¸
ı
uma das cargas seria maior do que a outra, ter´amos para
ı
E 23-38
tal carga um valor
¯ ED0 … Y Gƒs
!
©
Como nenhuma das reacoes acima inclui decaimen¸˜
to beta, a quantidade de pr´ tons, de neutrons e de
o
el´ trons e conservada. Os n´ meros atˆ micos (pr´ tons
e
´
u
o
o
e de el´ trons) e as massas molares (pr´ tons + nˆ utrons)
e
o
e
est˜ o no Apˆ ndice D.
a
e
(a) H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons enquanto que
o
e
e
o Be tem pr´ tons, el´ trons e
o
e
nˆ utrons.
e
Portanto
tem
pr´ tons,
o
el´ trons e
e
nˆ utrons. Um dos nˆ utrons e liberado na
e
e
´
reacao. Assim sendo, deve ser o boro, B, com massa
¸˜
molar igual a
g/mol.
(b) C tem pr´ tons, el´ trons e
o
e
nˆ utrons
e
enquanto que o H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons.
o
e
e
Portanto tem
pr´ tons,
o
el´ trons
e
e
nˆ utrons e, consequentemente, deve ser o
e
nitrogˆ nio, N, que tem massa molar
e
g/mol.
(c) N tem pr´ tons, el´ trons e
o
e
nˆ utrons,
e
o H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons e o He tem
o
e
e
pr´ tons, el´ trons e
o
e
nˆ utrons. Portanto
e
tem
pr´ tons, el´ trons e
o
e
nˆ utrons, devendo ser o carbono, C, com massa molar
e
de
g/mol.
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23.2.3 A Carga e Conservada
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Como tal forca seria facilmente observ´ vel, concluimos
¸
a
que uma eventual diferenca entre a magnitude das car¸
gas positiva e negativa na moeda somente poderia ocorrer com um percentual bem menor que
.
Note que sabendo-se o valor da menor forca poss´vel de
¸
ı
se medir no laborat´ rio e possivel estabelecer qual o lio ´
mite percentual m´ ximo de erro que temos hoje em dia
a
na determinacao das cargas. De qualquer modo, tal limi¸˜
te e MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetria
´
entre o valor das cargas parece n˜ o existir na pr´ tica,
a
a
pois teria conseq¨ encias observ´ veis, devido ao granuˆ
a
de n´ mero de cargas presente nos corpos macrosc´ picos
u
o
(que est˜ o em equil´brio).
a
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nas seguintes
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onde
. Portanto
a magnitude da forca entre as moedas seria igual a
¸
á
Usando o Apˆ ndice D, identifique
e
reacoes nucleares:
¸˜
No decaimento beta uma part´cula fundamental se transı
forma em outra part´cula, emitindo ou um el´ tron ou
ı
e
23.2.4 As Constantes da F´sica: Um Aparte
ı
um p´ sitron. (a) Quando um pr´ ton sofre decaimeno
o
to beta transformando-se num nˆ utron, que part´cula e
e
ı
´
emitida? (b) Quando um nˆ utron sofre decaimento be- E 23-41
e
ta transformando-se num pr´ ton, qual das part´culas e
o
ı
´
(a) Combine as quantidades , e para formar uma
emitida?
grandeza com dimens˜ o de comprimento. (Sugest˜ o:
a
a
(a) Como existe conservacao de carga no decaimento, combine o “tempo de Planck” com a velocidade da luz,
¸˜
a part´cula emitida precisa ser um p´ sitron.
ı
o
conforme Exemplo 23-7.) (b) Calcule este “comprimen(b) Analogamente, a part´cula emitida e um el´ tron.
ı
´
e
to de Planck” num´ ricamente.
e
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http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
P´ gina 10 de 11
a

11. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
30 de Junho de 2004, as 4:17
`
§
¡
(a) Usando-se o Apˆ ndice A, fica f´ cil ver que as trˆ s (a) Combine as grandezas ,
e
a
e
e para formar uma
contantes dadas tem as seguintes dimens˜ es:
o
grandeza com dimens˜ o de massa. N˜ o inclua nenhum
a
a
fator adimensional. (Sugest˜ o: Considere as unidades
a
kg
e como e mostrado no Exemplo 23-7.) (b) Calcu´
le esta “massa de Planck” numericamente.
A resposta pode ser encontrada fazendo-se uma
[ ]
an´ lise dimensional das constantes dadas e de funcoes
a
¸˜
kg
simples obtidas a partir delas:
Ì
§
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Planck
‡
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n˜ o cont´ m kg:
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Portanto, o produto
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[ ]
kg
Atrav´ s de divis˜ o do produto acima por uma potˆ ncia
e
a
e
apropriada de
podemos obter eliminar facilmente ou Pode-se verificar que esta resposta est´ correta fazendoa
ou do produto, ou seja,
se agora o ‘inverso’ da an´ lise dimensional que foi usaa
da para estabelece-la, usando-se o conveniente resumo
dado no Apˆ ndice A:
e
© ë
kg
kg
kg
Portanto, extraindo-se a raiz quadrada deste radicando
vemos que, realmente, a combinacao das constantes aci¸˜
ma tem dimens˜ o de massa.
a
ë
¢
E se usassemos em vez de ?... Em outras palavras,
qual das duas constantes devemos tomar?
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P 23-42
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Planck
kg
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Portanto Planck
.
(b) O valor num´ rico pedido e, uma vez que
e
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,
kg
kg
P´ gina 11 de 11
a