O documento discute a estabilização dinâmica de sistemas físicos instáveis através da aplicação de forças paramétricas. Ele começa discutindo o pêndulo simples e forçado, e como altas frequências podem estabilizar o pêndulo invertido. Em seguida, aborda outros exemplos de estabilização além do pêndulo e a equação de Schrödinger não linear em 2D, especificamente a estabilização do soliton de Townes através de forçagem paramétrica da não linearidade.
1. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Estabilização Dinâmica
Roberto André Kraenkel
Instituto de Física Teórica - São Paulo
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
VI Semana da Física
Departamento de Física da Universidade Federal do Maranão
Novembro de 2010
Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
2. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Os tópicos de hoje
O pêndulo simples
Um pêndulo forçado
Muito além do pêndulo
NLS em 2D
Estabilização do soliton de Townes
Final
Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
3. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
O pêndulo simples.
Comecemos com algo muito simples.
Um pêndulo.
A equações de movimento são:
d2 ϕ 2
+ ω0 sin ϕ = 0,
dt2
Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, π
0 é estável, π ínstável.
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Um pêndulo forçado
Consideremos um pêndulo forçado.
Mas, um pêndulo incomum!
Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas
verticais.
A equação de movimento deste sistema é:
d2 ϕ 2
+ ω0 + a cos 2πft sinϕ = 0
dt2
movimento da base
a é a amplitude and f é a frequência da força.
Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio.
Mas, ... e a sua estabilidade?
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Estabilidade
Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmente
ϕ = ϕs + φ , φ 1 e ϕs = 0 , π
Fique com apenas os primeiros termos da expasão:
Você terá uma equação linear para φ:
d2 φ 2
+ ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
dt2
+⇒ ϕs = 0
-⇒ ϕs = π
Esta é a equação de Mathieu.
Vejamos mais sobre ela.
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Mathieu
d2 φ 2
+ ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
dt2
Esta equação é estudada através da teoria de Floquet.
Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto.
Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de
Schrödinger com um potencial periódico.
Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma
coisa parecida com estruturas de bandas.
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Mathieu II
Para cada a e f pode-se resolver a equação acima.
Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles
a e f , é estável.
Caso contrário, é instável.
Assim, plotamos um diagrama no plano a x f .
Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade
pintamos de azul.
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Mathieu again
Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f .
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Estabilização
2
Podemos ver uma região com ω0 negativo.corresponde ao
pêndulo invertido.
Há lá uma região de estabilidade.
Corresponde a f grande: altas frequências
Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o
pêndulo invertido.
Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza".
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Outra forma de abordar o problema
Podemos olhar este problema da seguinte forma:
queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à
uma força paramétrica de alta frequência.
Vamos direto para o limite de altas frequências.
Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o
movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξ
representa as oscilações rápidas ao redor da média.
Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo:
queremos uma equa¸ao para Φ.
É um problema de em que temos duas escalas de tempo.
Resulta que Φ sente um potencial efetivo
Vamos dar uma olhada nele.
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O potencial efetivo, em altas frequências
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O potencial sem força externa paramétrica.
O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π, → estabilização.
Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau.
Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas.
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Muito além do pêndulo
A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas uma
curiosidade.
A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando o
sistema é foado parametricamente aparece em diversas situações.
¸
Há uma série de exemplos
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Uma profusão de pêndulos
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Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar a
Equação de Schrödinger Não-linear
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Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás.
Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida".
Pode usar para pintar o seu teto.
ˆ
Ou ganhar o prmio Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é
usada para aprisionar átomos.)
Ou ainda para não cair do cavalo.
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NLS em 2D
Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas
dimensões espaciais:
1 2
ıut + u + γ|u|2 u = 0
2
qual é a física desta equação?
Propagação da luz em meios não-lineares
Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas
tipo ‘panqueca".
O que é isso?
É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pela
forma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistema
quase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Não
de preocupe com em entender melhor este sistema agora. Mas
lembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model".
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Propriedades da equação NLS
Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy para
ela.
As soluções são localizadas.
Solitons.
Em 2D, ela não é integrável
Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma "
bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes".
Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de
um feixe num meio não-linear.
In BEC é o colapso de condensado atrativo.
Eu ouvi mesmo instável?
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Estabilização do soliton de Townes
Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica
O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo no
tempo?E com alta frequência?
No caso de condensados, facilmente.
Na ótica teríamos que ter um meio estratificado.
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Métodos matemáticos
Seja então o sistema:
1 2
ıut + u + γ(t/ )|u|2 u = 0 com 1 and γ periódico
2
Como extrair infromações dela?
Três caminhos:
Aproximação Variational + medianização
Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de
Townes
Integração numérica .
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Resultados
Estabilização.
É possível encontrar condições para que ocorra.
O que importa é notar que :
seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt .
é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização.
A não-linearidade deve mudar de sinal.
Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição é
necessária.
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30. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Final
Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade de
pontos fixos.
Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveis
Isso acontece em sistemas mecânicos simples,
E em sistemas espacialmente extensos.
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Referência
F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A.
Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605.
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http://web.me.com/kraenkel/ufma
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