Электронный учебник "Введение в алгоритмы и структуры данных"

1. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И
ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский институт управления
Кафедра информатики и информационных технологий
Введение в алгоритмы и
структуры данных
Ивина Наталья Львовна
доцент кафедры Информатики и ИТ

2. Тема 4. Алгоритмы поиска
Поиск заданного элемента в неупорядоченном массиве.
Поиск заданного элемента в упорядоченном массиве.
Дихотомический поиск.
Поиск заданной подпоследовательности в тексте (массиве).

3. Введение
Будем считать, что множество из N элементов задано в виде
массива целых чисел (int a[N]). Задача заключается в поиске
элемента a[i], равного заданному «аргументу поиска» x. Алгоритмы
поиска:
•Линейный поиск
•Линейный поиск с барьером
•Двоичный поиск (поиск делением пополам, бинарный поиск)
•Интерполяционный поиск

4. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск
Если нет никакой дополнительной информации о разыскиваемых
данных, то очевидный подход - простой последовательный
просмотр массива. Такой метод называется линейным поиском.
Условия окончания поиска таковы:
1) элемент найден, т.е. a[i] = x;
2) весь массив просмотрен, и совпадения не обнаружено.

5. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02
18
Линейный
поиск.
Пример

6. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск. Блок-схема 1.

7. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск. Блок-схема 2.

8. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск.
Оценка сложности.
Длина массива - N элементов
Число сравнений:
лучший случай - 1
худший случай - N
средний случай - N/2
Временная сложность: O(N).
Если данные не отсортированы, то последовательный поиск
является единственным возможным методом поиска!!!

9. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск.
Преимущества:
• Не требует сортировки значений множества.
• Не требует дополнительного анализа функции.
• Не требует дополнительной памяти.
Следовательно, может работать в потоковом режиме при
непосредственном получении данных из любого источника.
Недостатки:
• Малоэффективен по сравнению с другими алгоритмами
поиска.
Следовательно, используется, если множество содержит
небольшое количество элементов

10. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск с барьером.
В конец массива поместим дополнительный элемент со значением
x. Назовем такой вспомогательный элемент «барьером» - он
ограждает нас от выхода за границу массива. В этом случае
размер массива увеличится на единицу, а сам массив будет
описываться так: int a[N+1].

11. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
42 67 93 11 05 18 12 88 26 02 18
18
Линейный
поиск с
барьером.
Пример.

12. Поиск заданного элемента в
неупорядоченном массиве.
Линейный поиск с барьером.
Блок-схема.

13. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
Дихотомический поиск.
Дихотомический поиск - метод быстрого поиска, при котором
упорядоченный набор данных разделяется на две части и
операция сравнения всегда выполняется для среднего элемента
списка: после сравнения одна половина списка отбрасывается и
операция выполняется для оставшейся половины и т.д.
Временная сложность: O(log2n).

14. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
Двоичный поиск (поиск делением
пополам, бинарный поиск)
Основная идея – выбрать случайным образом некоторый
элемент a[m], и сравнить его с аргументом поиска x.
Если a[m] = x, то поиск заканчивается;
если a[m] > x, то продолжаем искать x в левой от a[m] части
массива;
если a[m] < x, то продолжаем искать x в правой от a[m] части
массива.

15. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве. Двоичный
поиск (поиск делением пополам,
бинарный поиск). Алгоритм.
1. Определим L и R как левую и правую границу интервала поиска
соответственно.
2. Выберем произвольное m, лежащее между L и R, т.е. L ≤ m ≤ R.
3. Сравним x с элементом массива a[m]; если они равны, то алгоритм
завершен, иначе выполняем шаг 4.
4. Если x > a[m], то изменяем левую границу интервала: L = m+1,
иначе изменяем правую границу интервала: R = m–1.
5. Если интервал не пуст, т.е. L ≤ R, идем на шаг 2.

16. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
Двоичный поиск (поиск делением
пополам, бинарный поиск).
Оценка эффективности.
Выбор m произволен в том смысле, что корректность алгоритма от
него не зависит.
Однако выбор m влияет на эффективность алгоритма.
Оптимальное решение - выбор среднего элемента, так как при
этом в любом случае будет исключаться половина интервала.
Число сравнений:
в лучшем случае = 1
в худшем случае = log n.

17. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
Двоичный
поиск. Пример 1.
L = 0, R = 9,
m = (0 + 9) / 2 = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
L = 5, R = 9,
m = (5 + 9) / 2 = 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L=m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
L = 8, R = 9,
m = (8 + 9) / 2 = 8
Результат поиска положителен. Искомое число обнаружено на 9 месте.

18. Поиск заданного элемента в
упорядоченном мДваосисчинвыей.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L=m=R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
02
поиск.
Пример 2.
L = 0, R = 9,
m = (0+9)/2= 4
L = 0, R = 3,
m = (0+3)/2= 1
L = 0, R = 0,
m = (0+0)/2= 0
Здесь L стало равно единице, R осталось равным нулю, т.е. L > R,
следовательно, искомого числа нет в данном массиве.

19. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве. Двоичный
поиск. Блок-схема 1.

20. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве. Двоичный
поиск. Блок-схема 2.

21. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве. Двоичный
поиск. Пример к блок-схеме 2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L=m R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L=m=R
01 05 09 11 16 17 20 24 34 48
34
L = 0, R = 9,
m = (0 + 9) / 2 = 4
L = 5, R = 9,
m = (5 + 9) / 2 = 7
L = 8, R = 9,
m = (8 + 9) / 2 = 8
L = 8, R = 8,
m = (8 + 8) / 2 = 8

22. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
Интерполяционный поиск.
От двоичного поиска отличается лишь выбором m.
Если закон возрастания элементов массива линейный
(a[m] ≈ km + b), то индекс m определяется из соотношения

23. Поиск заданного элемента в
упорядоченном массиве.
Интерполяционный поиск.
В общем случае, если закон возрастания элементов имеет вид
a[m] ≈ f[m], индекс m определяется из соотношения
В остальном интерполяционный поиск работает так же, как и
линейный, т.е. алгоритм и блок-схемы везде, кроме выбора m,
остаются без изменений.

24. Поиск заданной
подпоследовательности в
тексте (массиве). Поиск
подстроки в строке.
Пусть задана строка S из N элементов и строка Р из M элементов.
Описаны они так:
string S[N], P[M];
Задача поиска подстроки P в строке S заключается в нахождении
первого слева вхождения P в S, т.е. найти значение индекса i,
начиная с которого
S[i] = P[0], S[i + 1] = P[1],…, S[i + M – 1] = P[M – 1].

25. Поиск заданной
подпоследовательности в тексте
(массиве). Поиск подстроки в
строке. Прямой поиск подстроки в
строке. Алгоритм
1. Установить i на начало строки S, т.е. i = 0.
2. Проверить, не вышло ли i + M за границу N строки S. Если да, то
алгоритм завершен (вхождения нет).
3. Начиная с i-го символа s, провести посимвольное сравнение
строк S и Р, т. е. S[i] и P[0], S[i+1] и P[1],…,
S[i + M – 1] и P[M – 1].
4. Если хотя бы одна пара символов не совпала, то увеличить i и
повторить шаг 2, иначе алгоритм завершен (вхождение
найдено).

26. н а д в о р е т р а в а , н а т р а в е д р о в а
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
т р а в е
Пример

27. Поиск подстроки в строке.
Блок-схема 1
Комментарий: используется
дополнительная переменная
flag, которая явно изменяет
свое значение с 0 на 1 при
обнаружении вхождения
образца P в текст S

28. Поиск подстроки в строке.
Блок-схема 2
Комментарий: используется
тот факт, что при j = M мы
дошли до конца образца P,
тем самым обнаружив его
вхождение в строку S

29. Поиск заданной
подпоследовательности в тексте
(массиве). Поиск подстроки в
строке.
Алгоритм работает достаточно эффективно, если при сравнении образца
P с фрагментом текста S довольно быстро выявляется несовпадение
(после нескольких сравнений во внутреннем цикле).
Это случается довольно часто, но в худшем случае (когда в строке часто
встречаются фрагменты, во многих символах совпадающие с образцом)
производительность алгоритма значительно падает.
Пример:
S: учить, учиться, учитель
P: учитель