Uma empresa de construção mantém estoques de um produto que usa semanalmente. A empresa planeja adotar uma política de nível de encomenda para gerenciar os estoques. A política considera os custos fixos de encomenda e os custos anuais de manutenção dos estoques. A empresa deseja determinar o nível de encomenda e o estoque de segurança ótimos para minimizar os custos totais.
1. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 10 - Enunciado
Política do nível de encomenda
Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção a partir do qual
satisfaz as necessidades de diversas obras em curso. Estas necessidades semanais são aleatórias e
podem ser descritas estatisticamente pela seguinte distribuição de probabilidades, sendo a média de 30
toneladas:
Necessidade semanal (ton.)
Probabilidade
10
20
30
40
50
60
0.10
0.17
0.50
0.13
0.06
0.04
A empresa decidiu adoptar a política do nível de encomenda para regular o funcionamento deste stock,
com um intervalo médio entre reaprovisionamentos de 2 semanas. O tempo de entrega das encomendas
deste material pode considerar-se fixo e igual a uma semana.
O custo anual de manter em stock uma tonelada deste material foi estimado em 130 €, enquanto o custo
de rotura é de 200 € por tonelada em falta, independentemente do tempo em falta.
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de
posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria?
Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação.
1
2. Política do nível de encomenda
I(t)
Ciclo (i+1)
Ciclo i
Ciclo (i+2)
...
Q+M
Q
Q
Q
...
M
0
Si
ti
τi
Si+2
ti+1
τi+1
Si+1 ti+2 τ
i+2
S=M-µX
t
...
Ti =ti+1 -ti
Ti+1 =ti+2 –ti+1
M – Ponto ou nível de encomenda
τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i
Ti – Período ou comprimento do ciclo i
Q – Quantidade encomendada --- e recebida –––
Si – Nível do stock antes da recepção de Q
Ti+2
Nota
O nível/ponto de encomenda, M, que ocorre no
instante, ti, da revisão contínua, tem que cobrir
as necessidades até ao instante em que a
encomenda, colocada no início do ciclo i,
chega.
3. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema (Unidade de tempo: 1 semana)
r (Taxa média de procura por unidade de tempo) = 30 ton./semana
τ (Tempo médio de entrega ou de reposição) = 1 semana
T
( Intervalo de tempo médio entre reaprovisionamentos ) = 2 semanas
C2 (Custo de posse) = 130 €/ton./ano=2.5 €/ton./semana
C3' (Custo de rotura) = 200 €/ton.
Modelo de probabilidade da procura, X, no tempo (médio) de reposição de 1 semana
A procura/necessidades, X, no tempo de reposição é variável aleatória discreta com função (massa de)
probabilidade hX(xi) = P(X = xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi) = P(X ≤ xi), dadas por
Funções massa de probabilidade hX(xi) = P(X=xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi)=P(X ≤ xi)
1
2
3
4
5
6
Necessidade semanal (ton.): (xi)
10
20
30
40
50
60
Probabilidade: hX(xi)= P(X = xi)
0.10
0.17
0.50
0.13
0.06
0.04
HX(xi)=P(X ≤ xi)
0.10
0.27
0.77
0.90
0.96
1.00
i
3
4. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
Gestão e Teoria da Decisão
Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição
0.00,
0.10,
0.27,
H X ( x ) = 0.77,
0.90,
0.96,
1.00,
( x < 10 )
(10 ≤ x < 20 )
( 20 ≤ x < 30 )
( 30 ≤ x < 40 )
( 40 ≤ x < 50 )
( 50 ≤ x < 60 )
( x ≥ 60 )
P(X=30)=0.5
P(X=20)=0.17
5. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição
Procura média no tempo de reposição : µ X
Gestão e Teoria da Decisão
6
µ X = ∑ xi hX ( xi )
i =1
6
= ∑ xi P ( X = xi )
i =1
= 10 × 0.1 + 20 × 0.17 + 30 × 0.5 + 40 × 0.13 + 50 × 0.06 + 60 × 0.04
= 30 ton.
Nota: µ X = r × τ
µ X = 30 × 1 = 30 ton.
6. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.
Gestão e Teoria da Decisão
Dado S ( Stock de segurança) = 10 ton., calcular α , probabilidade de rotura por ciclo.
1. Probabilidade de rotura por ciclo, α = P(X > M), com M (ponto/nível de encomenda) = S+µX
M = S+µX = 10 + 30 = 40 ton.
∑ P ( X = x ) = P ( X = 50 ) + P ( X = 60 ) = 0.06 + 0.04 = 0.10
α = P ( X > M ) = P( X > 40) =
i
i:xi > 40
(Outras quantidades relevantes )
Quantidade média em falta η ( M )
η (M ) =
∑ ( x − M ) P ( X = x ) = (50 − 40) × 0.06 + (60 − 40) × 0.04 = 1.4 ton.
i
i
i: xi > M
Nível de serviço NS
NS =1 −
η (M )
Q
= 1−
η (M )
T ×r
= 1−
1.4
= 0.977
2 × 30
Nível de protecção, (1 − α ) = 1 − 0.10 = 0.90
6
7. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.
Gestão e Teoria da Decisão
2. Custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
2.1. CP (Custos de posse do stock de segurança por ciclo)=C2 × S × T = C2 × ( M − µ X ) T € / ciclo,
∑ ( x − M ) P ( X = x ) € / ciclo
2.2. CR (Custos de rotura por ciclo) = C3' ×η ( M ) = C3' ×
i
i
i:xi >40
2.3. NCiclos ≅
52 semanas/ano
T semanas/ciclo
52
= 26 ciclos/ano
NCiclos =
2
2.4. K P (Custos anuais de posse do stock de segurança ) = NCiclos × CP
K P = 52 × C2 × ( M − µ X ) = 52 × 2.5 × ( 40 − 30 ) = 130 × 10 = 1300 €/ano
2.5. K R (Custos de rotura anuais ) = NCiclos × CR
KR =
52
52
52
× C3' ×η ( M ) = × C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) = × 200 × 1.4 = 7280 €/ano
T
T
2
i:xi > 40
2.6. K (Custos totais anuais ) = K P + K R = 8580 € / ano
7
8. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.
Gestão e Teoria da Decisão
Substituindo S = M − µ X
Custos totais anuais, função de M , K ( M ) :
K ( M ) = K P ( M ) + K R ( M ), com
K P ( M ) = NCiclos × CP = 52 × C2 × S = 52 × C2 × ( M − µ X ) € / ano
K R ( M ) = NCiclos × CR =
52
× C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi )
T
i:xi > M
K ( M ) = 52 × C2 × ( M − µ X ) +
= 52 × C2 × ( M − µ X ) +
€ / ano
52
× C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) € / ano
T
i:xi > M
52
× C3' × ∑ xi P ( X = xi ) − M ∑ P ( X = xi )
T
i:xi > M
i:xi >M
Nível de encomenda optimal ( dado Q ) M * (valor a recomendar) é o ponto estacionário de K ( M ), i.e.,
o valor de M em que se anula a função 1ª derivada de K ( M )
dK ( M )
52
52 × C2 C2 × T
= 0 ⇒ 52 × C2 − × C3' × ∑ P ( X = xi ) = 0 ⇔ ∑ P ( X = xi ) =
=
52
*
*
dM M =M *
T
C3'
'
i:xi > M
i:xi > M
× C3
T
Vidé Nota 1
8
9. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
Nota 1 :
Gestão e Teoria da Decisão
No caso da procura, X , no tempo de reposição, ser uma variável aleatória discreta, a condição de
optimalidade do nível de encomenda, M * , ( dado Q, com Q = T × r ) , traduzida na igualdade
∑
P ( X = xi ) =
i:xi > M *
deve ser substituída pela desigualdade
c2 × T
,
'
c3
c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c
2
i
'
3
i:xi > M *
,
porque 1) o conjunto dos valores da procura xi é finito e discreto e 2) porque
∑ P( X = x )
i
i:xi > M *
é a probabilidade de rotura que deve ser limitada superiormente. A condição
c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c ,
2
i
i:xi > M *
é equivalente a
∑
P ( X = xi ) ≥ 1 −
i:xi ≤ M *
c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c
2
i
i:xi > M *
'
3
⇔−
c2 × T
, pois
'
c3
c ×T
∑ P( X = x ) ≥ − c
2
i
i:xi > M *
'
3
⇔ 1−
c ×T
∑ P( X = x ) ≥1− c
2
i
i:xi > M *
⇔
∑
i:xi ≤ M *
P ( X = xi ) ≥ 1 −
'
3
c2 × T
'
c3
'
3
10. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.
Gestão e Teoria da Decisão
Nível de encomenda optimal ( dado Q ) : M *
2.5 × 2
∑ P ( X = x ) ≥ 1 − 200 = 1 − 0.025 = 0.975 ⇒ M
i
*
= 60 ton.
i:xi ≤ M *
( x6 = 60 é o menor dos xi
cuja probabilidade de não ser excedido é maior ou igual a 0.975 )
Vidé Nota 2
Stock de segurança S *
S * = M * − µ X = 60 − 30 = 30 ton.
Custo total anual do stock de segurança K ( M * )
K ( M * ) = 52 × C2 × ( M * − µ X ) +
= 52 × 2.5 × ( 60 − 30 ) +
52
× C3' × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi )
T
i:xi > M *
52
52
× 200 × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi ) = 3900 + × 200 × 0
2
2
i:xi >60
= 3900 €/ano
Redução de custos anual
∆K = K ( M * ) − K ( M ) = 3900 − 8580 = −4680 €/ano
10
11. Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução
Política do nível de encomenda
Gestão e Teoria da Decisão
Nota 2
M* é o menor valor da procura discreta, xi , tal que a probabilidade de não ser excedido, HX(xi), é maior
ou igual a
1−
c2 × T
c ×Q
= 1 − 2'
'
c3
c3 × r
isto é, que satisfaz a condição
c ×T
∑ P( X = x ) ≥ 1− c
2
i
i:xi ≤ M *
'
3
12. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 11 - Enunciado
Política do nível de encomenda
Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado
internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo
(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade
deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.
A empresa pretende adoptar a política do nível de encomenda e tem vindo a colocar encomendas de
400 unidades. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição
normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.
a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade
em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao
determinado na alínea b).
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de
encomenda que recomendaria?
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a
12
encomendar e ao nível de encomenda?
13. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema (unidade de tempo: 1 semana; 1 ano = 52 semanas)
Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda;
Custos de posse,
C2 = 26 €/unid./ano
( = 0.50 €/unid./semana);
Quantidade encomendada, Q = 400 unid./encomenda;
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0;
Tempo de reposição/entrega (aleatória):
τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana;
Modelação probabilística da procura, X , durante o tempo de reposição
a
X ∼N ( µ X ,σ X ) ,
com
µ X = r × τ = 100 × 4 = 400 unid.
σ X = τ × σ r2 + r 2 × σ τ2 = 4 × 0 + 1002 × 12 = 100 unid.
13
14. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?
Gestão e Teoria da Decisão
Dado M = 500 unid., calcular probabilidade de rotura, α , por ciclo
α =P ( X > M ) = P ( X > 500 ) = P ( Z > z ) , com Z =
X − µX
σX
ez=
500 − µ X
σX
=
500 − 400
=1
100
P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1)
= 1 − Φ (1)
∴α =
= 1 − 0.8413 = 0.1587
0 .1 5 8 7
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?
Dado α ≅ 0.05, calcular nível de encomenda M
Determinar M , M α , tal que P ( X > M α ) = α
P ( X > M ) = P ( Z > zα ) , com Z =
X − µX
σX
e zα =
Mα − µX
σX
P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95
zα ≅ 1.65
zα =
Mα − µX
σX
⇒ M α = µ X + σ X zα = 400 + 100 × 1.65 =
5 6 5 u n id
.
14
15. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
Gestão e Teoria da Decisão
Que C3' torna M = 500 unid. preferível a M = 565
Custos totais por unidade de tempo (ano)
K (M ) =
A ( r × 52 )
Q
Q
+ C2 × + M − µ X
2
C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
'
M − µX
,
σX
ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO ou Tabela no Anexo 2)
com η ( M ) = ∫
∞
( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ
M
Custos totais por unidade de tempo para M =500 unidades
500 − 400
= 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29
100
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
K (500) =
+ 26 ×
+ 500 − 400 +
×η (500)
400
2
400
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
=
+ 26 ×
+ 500 − 400 +
× 8.29
400
2
400
= 9100 + 107.8C3'
η (500) = 100ξ
15
16. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
Gestão e Teoria da Decisão
Custos totais por unidade de tempo para M =565 unidades
565 − 400
= 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13
100
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
K (565) =
+ 26 ×
+ 565 − 400 +
×η (565)
400
400
2
η (565) = 100ξ
=
100 × (100 × 52 )
400
'
400
C3 (100 × 52 )
+ 26 ×
+ 165 +
× 2.13
2
400
= 10790 + 27.7C3'
Condição de preferência
M = 500 preferível ⇒ K (500) < K (565)
K (500) < K (565) ⇒ K (500) − K (565) < 0
⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0
⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' <
1689
= 21.09 €/unid.
80.1
16
17. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?
Gestão e Teoria da Decisão
Custo total por unidade de tempo
A ( r × 52 )
( Q + S ) + S C3' ( r × 52 )
K (M ) =
+ C2 ×
×η ( M ), com S = M − µ X
+
Q
2
Q
'
A ( r × 52 )
Q
C3 ( r × 52 )
=
+ C2 × + M − µ X +
×η ( M ),
Q
Q
2
Problema de optimização
min. K ( M ) =
A ( r × 52 )
Q
M
Q
+ C2 × + M − µ X
2
C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
'
M − µX
,
σX
ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
onde η ( M ) = ∫
∞
( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ
M
A solução optimal, M * , dado Q, é a solução da equação seguinte:
C2 Q *
∫M * h( x)dx = C3' ( r × 52 ) , ou
∞
∫
M*
−∞
C2 Q *
C2 Q *
M * − µX
*
*
h( x)dx = 1 − '
⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z =
C3 ( r × 52 )
C3r
σX
17
18. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?
Gestão e Teoria da Decisão
Cálculos
1. Φ ( z * ) = 1 −
C2 Q
26 × 400
4
=1−
= 1−
= 0.92
C3' ( r × 52 )
25 × ( 52 × 100 )
50
z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405
*
2. z =
M * − µX
σX
⇒ M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.405 = 540.5 ≅ 540
∴ M * = 540 unidades
18
19. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Calcular M * e Q*
Gestão e Teoria da Decisão
Problema de optimização
min . K ( M , Q) =
( M ,Q )
A ( r × 52 )
Q
Q
+ C2 × + M − µ X
2
C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
'
M − µX
,
σX
ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
onde η ( M ) = ∫
∞
( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ
M
Solução optimal (solução do problema de optimização)
2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
*
Q =
C2
M*
M * − µX
∞
C2 Q *
C2 Q *
⇒ Φ
h( x)dx = 1 − '
ou
∫M * h( x)dx = '
C3 ( r × 52 ) ∫−∞
C3 ( r × 52 )
σX
C2 Q *
= 1− '
C3 r
19
20. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Cálculos (Método iterativo)
Gestão e Teoria da Decisão
Estimativa inicial de Q* :
Q* =
2 ( r × 52 ) A
C2
=
2 (100 × 52 ) × 100
26
= 100 2 × 2 = 200 unidades
Iteração 1
1. Calcular M * ,dado Q* :
C2 Q *
26 × 200
1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − '
=1−
= 0.96 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.96 ) ≅ 1.75
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*
*
1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.75 = 575 unidades
2. Calcular Q* dado M *
M * − µX
*
2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ
σX
M * − µX
575 − 400
η (575) = 100ξ
= 100ξ
= 100ξ (1.75 ) ≅ 100 × 0.0168 = 1.68
100
σX
*
20
21. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Iteração 1 (continuação)
Gestão e Teoria da Decisão
2.2 Calcular Q*
Q* =
2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2
=
2 (100 × 52 )(100 + 25 × 1.68 )
= 238.3275 unidades
26
Teste de convergência: Q* − Q*
previo = 38.3275 ≫ ε tolerância (p.ex. ε tolerância = 1)
Iteração 2
1. Calcular M * ,dado Q* :
C2 Q *
26 × 238.3275
1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − '
= 1−
= 0.9523 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9523) ≅ 1.67
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*
*
1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.67 = 567 unidades
2. Calcular Q* dado M *
M * − µX
*
2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ
σ X
M * − µX
567 − 400
= 100ξ
η (567) = 100ξ
= 100ξ (1.67 ) ≅ 100 × 0.0203 = 2.03
100
σX
*
21
22. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Iteração 2 (continuação)
Gestão e Teoria da Decisão
2.2 Calcular Q*
Q* =
2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2
=
2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.03)
= 245.5606 unidades
26
Teste de convergência: Q* − Q*
previo = 7.23 > ε tolerância
Iteração 3
1. Calcular M * ,dado Q* :
C2 Q *
26 × 245.5606
1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − '
= 1−
= 0.9509 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9509 ) ≅ 1.655
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*
*
1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565.5 unidades
2. Calcular Q* dado M *
M * − µX
*
2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ
σ X
M * − µX
565.5 − 400
= 100ξ
η (565.5) = 100ξ
= 100ξ (1.655 ) ≅ 100 × 0.0210 = 2.10
100
σX
*
22
23. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Iteração 3 (continuação)
Gestão e Teoria da Decisão
2.2 Calcular Q*
Q* =
2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2
=
2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.10 )
= 246.9818 unidades
26
Teste de convergência: Q* − Q*
previo = 1.4212 > ε tolerância
Iteração 4
1. Calcular M * ,dado Q* :
C2 Q *
26 × 246.9818
1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − '
= 1−
= 0.9506 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9506 ) ≅ 1.65
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*
*
1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565 unidades
2. Calcular Q* dado M *
M * − µX
*
2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ
σ X
M * − µX
565 − 400
= 100ξ
η (565) = 100ξ
= 100ξ (1.65 ) ≅ 100 × 0.0213 = 2.13
100
σX
*
23
24. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Gestão e Teoria da Decisão
Iteração 4 (continuação)
2.2 Calcular Q*
*
Q =
2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2
=
2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.13)
= 247.5884 unidades
26
Teste de convergência: Q* − Q*
previo = 0.6066 < ε tolerância (Terminar )
Solução optimal
Q* = 248 unidades e M * = 565 unidades
24
25. Gestão de Stocks
Exercício 11 - Resolução
Política do nível de encomenda
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?
Gestão e Teoria da Decisão
Resumo das iterações
-----------------------------------------------------------------------------------------------------α
zα
M
ξ(zα)
η(M)
K(Q,M)
Qnew
Erro
iteração
Q
-----------------------------------------------------------------------------------------------------1
200.00 0.9600
1.7507
575.0686
0.0161
1.6146
10801.30
236.95
36.95
2
236.95 0.9526
1.6707
567.0700
0.0196
1.9635
10695.95
244.20
7.25
3
244.20 0.9512
1.6562
565.6203
0.0203
2.0332
10692.51
245.63
1.42
4
245.63 0.9509
1.6534
565.3396
0.0205
2.0470
10692.38
245.91
0.28
+-----------------------------------------------------------------+
|
Solução optimal
|
+-----------------------------------------------------------------+
Numero total de iterações
(iter) =
4
Quantidade a encomendar óptima
Nível de encomenda óptimo
(Q*) =
(M*) =
Custos totais anuais (valor optimal) (K(Q*,M*)
Custos fixos de encomenda anuais (K_A(Q*,M*)
Custos de posse anuais
(K_P(Q*,M*)
Custos de rotura anuais
(K_R(Q*,M*)
246 unidades
565 unidades
= 10692.38 €/ano
= 2117.04 €/ano
= 7491.97 €/ano
= 1083.37 €/ano
25