Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penerapannya, termasuk definisi koefisien diferensial baku, teorema-teorema turunan, aturan-aturan diferensiasi, dan contoh soal penerapan diferensial untuk menentukan persamaan garis, garis singgung dan normal kurva, serta grafik persamaan.
4. Teorema Turunan 2 :
1. Aturan Fungsi Konstanta. Jika = k dengan k suatu
konstanta maka untuk sebarang x, = 0, yaitu = 0.
2. Aturan fungsi Identitas. Jika = x, maka = 1, yaitu
=1.
3. Aturan Pangkat. Jika , dengan n bilangan-
bilangan bulat positif, maka , yaitu
.
4. Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstant dan f
suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka ,
yaitu .
5. 5. Aturan Jumlah. Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka , yaitu
.
6. Aturan Selisih. Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka
, yaitu .
7. Aturan Hasil Kali. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang
dapat terdiferensialkan, maka ,
yaitu .
8. Aturan Hasil Bagi. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan dengan . Maka
,yaitu : .
10. Misalkan dan menentukan
fungsi komposit .
Jika g terdiferensialkan di x
dan f terdiferensialkan di ,
maka terdiferensialkan di x
dan ,
yaitu .
11. Contoh :
1.Diferensialkan y = Cos ( 5x – 4 )
Jawab :
dy/dx = - 5 sin ( 5x – 4 )
2. Diferensialkan y = tan ( 4 – 5x )
jawab:
dy / dx = -5 sec ( 4 – 5x )
12. Untuk fungsi implisit yang sukar dinyatakan
secara eksplisit, turunannya dapat ditentukan
dengan menggunakan aturan turunan untuk
jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.
17. Persamaan Garis lurus dan garis normal
a) Persamaan garis lurus adalah y = mx + c
Dengan m : kemiringan garis / gradien
Atau m = dy/dx = tan θ
Sedangkan c : perpotongan dengan sumbu y
b) y – y1 = m ( x – x1)
18. Contoh soal :
1. Tentukan persamaan garis yang
melalui titik P (3,2 ) dan Q ( -2,1 )
penyelesaian :
y = mx + c
Melalui P ( 3,2 ) …… 2 = 3m + c
Melalui Q ( -2,1 ) …… 1 = -2m + c
-
1 = 5m
m = 1/5
maka c = 7/5
Jadi persamaan garisnya adalah y = 1/5 x + 7/5
19. Contoh Soal:
2.Tentukan persamaan garis singgung & garis
normal kurva
x + y + 3xy – 11 = 0 di titik ( 1,2 )
Jawab :
Diferensialkan persamaan kurvanya
2x +2y. dy/dx + 3y + 3x. dy/dx = 0
dy/dx ( 2y + 3x ) = -2x – 3y
dy/dx = - 8/7
m = - 8/7
20. Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y - y = m ( x - x )
y –2 = - 8/7 ( x – 1 )
y = - 8/7 x + 8/7 + 2
7y = -8x + 22
Kemiringan garis normalnya , m = 7/8
Persamaan garis normalnya adalah
Y –2 = 7/8 (x – 1 )
Y = 7/8 x – 7/8 +2
8y = 7x + 9
22.
Cukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang
yang terletak pada grafik tersebut, kemudian
dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-
titik potong dengan masing-masing sumbu).
contoh:
Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0
Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x + 3(0) - 6
= 0 ® x = 3 ® (3,0)
Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0) + 3y - 6
= 0
23.
24. 1.Bentuk umum
ax + by + c = 0 atau y = mx + n
2. Persamaan sumbu x ® y = 0
3. Persamaan sumbu y ® x = 0
4. Sejajar sumbu x ® y = k
5. Sejajar sumbu y ® x = k
29. Misalkan kurva tersebut mempunyai persamaan .
Maka titik A mempunyai koordinat ,
titik B mempunyai koordinat
dan tali busur yang melewati A dan B mempunyai
kemiringan (gradien) , dengan
Akibatnya, garis singgungnya adalah
garis yang melalui A dengan gradien :
.