1) O documento apresenta questões sobre matemática, incluindo geometria, álgebra e estatística. 2) As questões envolvem triângulos, relógios, porcentagens, equações e gráficos de funções. 3) A maioria das questões tem como solução uma das alternativas fornecidas, indicando tratar-se de um teste ou prova.

1. Temos então um  eqüilátero de lado 4 cm, pois
REMEMBER XI se dois ângulos medem 60º o terceiro também
Cod_960 (27/04/07) mede 60º. Daí então:
Trabalho de pesquisa Prof. Edir Reis Bessa. i) tg 60º = h / 2 => 3 = h / 2 => h = 2 3
ii) Área = (base x altura) / 2 = (4 x 2 3)/2= 4 3
1. Se 2 é uma solução (raiz) de x³ + hx + 10 = 5. O número de pontos distintos comuns aos
0 então o valor de g é igual a: gráficos de x² + y² = 9 e y² = 9 é:
a) 10 b) 9 c) 2 d) -2 e) -9 a) infinitos b) 4 c) 2 d) 1 e) 0
Sol. ( E ) Sol. ( C )
Como 2 é raiz => 2³ + 2h + 10 = 0 => h = -9. Trata-se de um problema sobre interseção entre
curvas e para determinar possíveis pontos(s) de
2. Um relógio demora 5 segundos para interseção resolve-se o sistema com as equações
badaladas indicando que são 6 horas, dadas. Para o caso:
começando exatamente às 06h00min horas. x2 + y2 = 9
Se as batidas do relógio são igualmente => x 2 = 0 => x = 0 => y = ±3
espaçadas, qual o tempo em segundos que o y9 = 9
relógio demora a bater as 12 badaladas,
indicando meio dia? Temos então os pontos; (0; -3) e (0; 3), ou seja,
dois pontos comuns.
Sol.( C )
Usaremos o seguinte raciocínio de cálculo: 6. A circunferência de um círculo mede
# 2 horas = 2 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.=1s. 100 cm. O lado do quadrado inscrito
# 3 horas = 3 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) nesse círculo é, em cm:
IIIBad. = 2s. a) 25 2 / π b) 50 2 / π c) 100/π
#4 horas = 4 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) d) 100 2/π d) 50 2
IIIBad.(1s) IVªBad = 3s.
#5 horas = 5 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s) Sol. ( B )
IIIBad.(1s) IVªBad.(1s)VªBad.= 4s.
i) Comprimento do círculo = 2π R = 100 =>
#6 horas = 6 badaladas => IªBad.(1s) IIªBad.(1s)
R = 50/π
IIIBad.(1s) IVªBad.(1s)VªBad.(1s)VIªBad.= 5s.
ii) Diâmetro do círculo = Diagonal do círculo =>
Temos então a PA (0, 1, 2, 3, . . ). Assim temos que d = 2R = d 2 . L => L = 2R/ 2 = 50 2 / π .
calcular o seu a12 (12 horas).
a12 = a1 + ( n – 1 )r => a12 = 0 + ( 12 – 1 ).1 = 11 07. O círculo I passa pelo centro do círculo II e
Assim às 12 horas temos 11 segundos como tempo tangência o mesmo. A área do círculo I é 4 cm².
das badaladas. Então, a área do círculo II em cm², é:
a) 8 b) 8 2 c) 8 π d) 16 e) 16 2
3. A diferença entre um desconto de 40% e
dois descontos sucessivos de 36% e 4%, Sol. ( D )
sobre uma conta de R$ 10.000,00, é em Área do círculo I: A1 = π r² = 4 => r = 4 π
reais:
a) 0 b) 144 c) 256 d) 400 e) 416 No círculo II: R = 2r = 2. 4 π
Área do círculo II: A2 = π R² = π (2. 4
Sol. ( B ) π )² =>
Pagarei sobre R$ 10.000,00 com: A2 = 16.
Desconto de 40% = D1 = 40% de 10.000 = 4.000.
Descontos de 36% de 4% = D2 = 36% de 4% de 08. O número 2,5252525... pode ser escrito na
10.000 = 6144. forma de uma fração. Depois de reduzida aos
Logo: D2 – D1 = 6 144 – 4 000 = R$ 144,00. seus menores termos, a soma do numerador e do
denominador dessa fração é:
4. Um triângulo tem dois ângulos de 60º cada e a) 7 b) 29 c) 141 d) 349 e) nra
o lado entre eles é de 4 cm. A área desse
triângulo, em cm², é: Sol. ( D )
a) 8 3 b) 8 c) 4 3 d) 4 e) 2 3 Trata-se de uma dízima periódica simples e
temos que determinar sua fração geratriz, então:
Sol. ( C )
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2. 252 − 2 250
2, 52 = = . Sol. ( D )
99 99
Temos então soma = 250 + 99 = 349. O lugar geométrico é um círculo de raio = a cujo
centro é o ponto P fixado (ver figura).
a 2 + b 2 − c 2 + 2ab
09. A fração (com as
a 2 + c 2 − b 2 + 2ac
necessárias restrições a a, b e c) é:
a) irredutível b) redutível a -1 c) redutível a o P
um polinômio de 3 termos
a −b+c
d) redutível a
a+b−c
a+b−c
e) redutível a
a−b+c 13. A(s) poligonal (ais) formada(s) por y = 3x +
2, e y = - 3x + 2 e y = - 2 (são):
Sol. ( E ) a) um triângulo eqüilátero b) um triângulo
Aplicaremos regras dos produtos notáveis que isósceles c) um triângulo retângulo
são: quadrado de uma soma de dois termos e o d) um triângulo e um trapézio
produto de soma por diferença com dois termos. e) um quadrilátero
A princípio usaremos os agrupamentos:
a 2 + b 2 + 2ab − c 2 (a + b) 2 − c 2 (a + b − c)(a + b + c) Sol. ( B )
= = =
a + 2ac + c − b
2 2
2
(a + c) 2 − b 2 (a + c − b)(a + c + b) Representando as retas em um mesmo plano
(a + b − c) cartesiano, encontramos três pontos de interseção
= . entre elas e assim formamos um triângulo ABC
(a − b + c)
(veja a seguir).
y = 3x + 2 −4
10. Dados os seguintes 6 fatos: (A) => A( ;−2)
( 1 ) todas as mulheres são boas motoristas y = −2 3
( 2 ) algumas mulheres são boas motoristas
( 3 ) nenhum homem é bom motorista y = −3 x + 2 4
(B) => B ( ;−2)
( 4 ) todos os homens são maus motoristas y=2 3
( 5 ) ao menos um homem é mau motorista
( 6 ) todos os homens são bons motoristas.
y = 3x + 2
Então, a afirmativa que é negação da ( 6 ) é: (C) => C (0;2)
a) ( 1 ) b ( 2 ) c) ( 3 ) d) ( 4 ) e) ( 5 ) y = −3 x + 2
Sol. ( E ) Esboço das equações das retas no plano:
( 6 ) = p = todos os homens são bons motoristas y
~ ( 6 ) = ~ p = alguns homens são bons
motoristas = ao menos um homem é mau
2 C (0 ; 2 )
motorista = todos os homens são maus
motoristas. x
y = -2 -2
11. Para certo valor de k, o produto das raízes da A (- 4 / 3 ; - 2 ) B (4 / 4 ; - 2 )
equação x² - 3kx + 2k² - 1 = 0 é 7. As raízes Vamos
y = 3 x+ 2 y = -3 x+ 2
dessa equação são: calcular os
a) inteiras e positivas b) inteiras e negativas lados do triângulo ABC usando a fórmula da
c) racionais, mas não inteiras d) irracionais distância entre dois pontos:
e) imaginárias AB = d (A, B) = ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2 =
Sol. ( D ) = (−4 / 3 − 4 / 3) 2 + (−2 + 2) 2 = 8 / 3 => AB =8/3.
Produto das raízes = c/a = x1.x2=(2k² - 1 )/ 1 = 7
=> (=2.K – 2) (22.K + 2) = 7 => x 1 = 2.K – 2 e AC = d (A, C) = ( x A − xC ) 2 + ( y A − y C ) 2 =
x 2 = 2.K + 2. 4
(−4 / 3 − 0) 2 + (−2 + 2) 2 = 160 / 9 = 10
Temos então duas raízes irracionais. 3
BC = d(B, C) = ( xC − x B ) 2 + ( y C − y B ) 2 =
12. O lugar geométrico dos centros de todos os
círculos de um determinado raio a, num mesmo 4
= (−4 / 3 − 0) 2 + (−2 − 2) 2 = 160 / 9 = 10
plano, e que passam por um ponto fixado, é: 3
a) um ponto b) uma reta c) duas retas Como os lados AB = 8/3 e AC = BC = 4/3 C 10
d) um circulo e) dois círculos as poligonais formam um triângulo isósceles.
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3. Então: 800 = 8 . 108 . R -3/2 => R 3/2 = 8.108/8.102 =>
14. Se a e b são números reais então a equação R = (106)2/3 => R = 104.
3x – 5 + a = bx + 1 tem uma solução única x:
a) para todo a e b b) se a ≠ 2 b c) se a ≠ b 18. O par de equações 3 x + y = 81 e 81 x - y = 3,
d) se b ≠ 0 e) se b ≠ 3. tem:
a) nenhuma solução comum
Sol. ( E ) b) a solução x = y = 2
Temos que {a; b} e determinar x. c) a solução x = 21/2 e y = 1 ½
Então isolando x na equação dada temos: d) uma solução comum em inteiros positivos e
−6−a negativos.
3x – 5 + a = b x + 1 => x = . e) n.r. a
3−b
Para x ser único +> 3 – b ≠ 0 => b ≠ 3. Sol. ( E )
Temos equações exponenciais do tipo mais
15. Um triângulo I é eqüilátero com lado A, simples. Vamos igualar as bases.
perímetro P, área K e raio do círculo circunscrito i) 3 x+y = 81 = 3 4 => x + y = 4
R. O triângulo II é eqüilátero, com lado a,
perímetro p, área k e raio do círculo circunscrito ii) 81 x – y = 3 4(x – y) = 3 => x – y = ¼
r. Se A é deferente de a, então: Armando e resolvendo o sistema temos:
a) P: p = R: r algumas vezes somente x = 17/8 = 2 1/8 e y = 15/8 = 1 7/8.
b) P: p = R: r sempre 19. Considere a equação I: x + y + z = 46 onde x,
c) P: p = K: k algumas vezes y e z são inteiros positivos, e a equação II: x + y
d) P: p = K: k sempre + z + w = 46, onde x, y, z e w são inteiros
e) R: r = K: k algumas vezes positivos. Então:
a) I tem como solução nos inteiros consecutivos
Sol. ( B ) b) I tem como solução nos inteiros consecutivos
Sendo o triângulo I semelhante ao triângulo II é pares
possível demonstrar que: c) II tem como solução nos inteiros consecutivos
A P R K d) II tem como solução nos inteiros consecutivos
= = = sempre. Logo a opção
a p r k pares
verdadeira é a B. e) II tem como solução nos inteiros consecutivos
ímpares.
16. No sistema de numeração de base 5, a
contagem é assim feita: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, Sol: ( C )
14, 20, 21, . . . O número cuja descrição em base Vamos analisar alternativa por alternativa, pois
10 é 69, quando descrito em base 5 torna-se um temos duas equações que podem admitir um
número com: número infinito de soluções (Eq. Diofontinas).
a) dois dígitos consecutivos a) Fazendo: y = x+1 e z = x + 2 , temos:
b) dois dígitos não consecutivos => x + (x + 1) + (x + 2) = 46 => x = 43/3 ∉ Z,
c) três dígitos consecutivos logo não satisfaz as condições da alternativa.
d) três dígitos não-consecutivos
e) quatro dígitos b) Fazendo: y = x+2 e z = x + 4 , temos:
=> x + (x + 2) + (x + 4) = 46 => x = 40/3 ∉ Z,
Sol. ( C ) logo não satisfaz as condições da alternativa.
Temos então que, executando a divisão abaixo, a
seguinte transformação: 69 = 234 (5) c) Fazendo: y = x+1; z = x + 2 e w = x + 3,
69 5 temos: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 46 => x
= 40/4 = 10; y = 11; z = 12 e w = 13.Satisfaz as
19 13 5
condições da alternativa.
( 4) (3) 2
d) e) Fazendo: y = x + 2; z = x + 4 e w = x + 6,
17. A fórmula N = 8 . 108 . x -3/2 dá, para um certo temos: x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 46 => x
grupo, o número de indivíduos cuja renda = 34/4 ∉ Z, logo não satisfaz as condições da
ultrapassa x reais. A menor renda, em reais, dentre alternativa.
os 800 indivíduos mais ricos, é pelo menos:
a) 10 4 b) 10 6 c) 19 8 d) 10 12 e) 10 16. 20. O coeficiente de x7 na expansão de
8
 x2 2 
Sol. ( A )  −  é:
 2 x
Façamos N = 800 para cálculo da menor renda (R):  
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4. a) 56 b) -56 c) 14 d) -56 e) 0 23. O raio R de uma caixa cilíndrica mede 8 cm
Sol. ( D ) e a altura H, 3. O volume V = πR²H deve
Usando a fórmula do termo Geral no aumentar de igual quantidade positiva quando R
desenvolvimento do Binômio de Newton temos: aumenta de x cm e quando H aumenta de x cm.
Binômio: (x + a)n Esta condição é satisfeita:
n− p p n a) por nenhum valor de x b) um valor inteiro
Fórmula Termo Geral: T p+1 =   x a .
 p de x c) um valor racional, mas não inteiro de x
  d) um valor irracional de x e) dois valores
onde: n = 8; 1ºtermo= x = 2-1.x2; a = -2.x-1. reais de x
Usando a F.T.Geral:
8
(
T p+1 =  (2 −1.x 2 )8− p . − 2.x −1
 p ) p
=> Sol. ( C )
  Usando a fórmula do volume com os dados do
8 problema que volume V = πR²H deve aumentar
T p +1 =  (2) −8+ p .(−2) p .x16−3 p
 p de igual quantidade positiva quando R aumenta
  de x cm e quando H aumenta de x cm, temos:
π (R + x)² H = π R² ( H + x) =>
Para cálculo de p fazemos x7 = x16-3p => p = 3. R²H + 2RHx + H x² = R²H + R² x (como x ≠ 0 )
 8 1
Então: T3+1 =  .2 −5.( −8).x 7 = 56. .( −8).x 7
  R ² − 2 RH
 3 32 2RH + H x = R² => x = =>
H
=> T 4 = -14 x7
Para R = 8 e H = 3 temos:
21. A diagonal de um quadrado I é a + b. O 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 3 64 − 48 16
x= = = .
perímetro do quadrado II cuja área é o dobro da 3 3 3
área de I é: 24. Se log 2x 216 = x, onde x é um valor real,
a) (a + b)² b) a 2 (a + b)² c) 2 (a + b) então x é:
d) d 8 (a + b) e) 4 (a + b) a) um número inteiro, não quadrado nem cubo de
outro inteiro b) um número racional, não
Sol. ( E ) quadrado, não cubo, não inteiro c) um número
i) Cálculo do quadrado de L I (lado quadr. I): irracional d) um quadrado perfeito e) um
Temos que sua diagonal = LI 2 = a + b cubo perfeito.
(quadrando a igualdade) => ( LI ) ² = (a + b)²/2.
Sol. ( A )
ii) Cálculo de LII (lado quadr. II): Aplicaremos a definição de logaritmos na
Temos que Área II = 2. Área II =>. equação dada e em seguida as equações
( LII) ² = 2.( LI) ² = 2. [(a + b)²/2] = (a + b)² exponenciais, vejamos:
=> LII = a + b. log 2x 216 = x => (2x) x = 216 = 2³.3³ = (2.3)³
=> x = 3.
iii) Daí então o perímetro do quadrado II = 4. L II
= 4. (a+b). 25. Sejam m e n dois números ímpares
quaisquer, com n < m. O maior inteiro que
22. A igualdade (x + m)² - (x + n)² = (m – n)², divide todos os números possíveis da forma m² -
onde m e n são constantes não nulas distintas, é n² é:
satisfeita por x = am + bn onde: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
a) a = 0, b tem um único valor não nulo.
b) a = 0, b tem dois valores não nulos. Sol. ( D )
c) b = 0, a tem um único valor não nulo. {m, n} { Números ímpares, onde n < m.
d) b = 0, a tem dois valores não nulos. Fazendo m = 2r + 1 e n = 2s + 1 onde {r e s} = 
e) a e b tem cada um, valores não nulos e 1;  2; . . . temos:
distintos. m ² - n² = (m + n) (m – n) = (2r + 1 +v2s + 1)(2r
+ 1 – 2r – 1) = 2.( r + s + 1).2.(r – s) =
Sol ( A ) = 4 (r - s) ( r + s + 1), que é um número divisível
Operando os quadrados e eliminando os por 4. Vamos ainda analisar que:
parênteses, temos: i) Sendo r e s ambos pares ou ímpares
x² + 2mx + m² - x² - 2nx – n² = m² - 2mn + n² a) r – s é divisível por 2
que operando os termos semelhantes: x = - n. b) r + s + 1 não é divisível por 2.
Como x = am + bn => a = o e b = - 1.
ii) Se r e s é um par e outro ímpar:
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5. a) r + s + 1 é divisível por 2 29. Cinco vezes o dinheiro de A mais o dinheiro
b) r – s não é divisível por 2. de B formam uma quantia maior que Cr$ 51,00.
Temos então que m² - n² é divisível por 4 . 2 = 8. Três vezes o dinheiro de A menos o dinheiro de
26. Achar o conjunto de valores x satisfazendo a B são Cr$ 21,00. Se a é a quantidade de dinheiro
5− x de A e se b é a quantidade de dinheiro de B,
desigualdade: < 2.
3 então:
a) 1 < x < 11 b) -1 < x < 11 c) x < 11 a) a > 9 e b > 6 b) a > 9 e b < 6
d) x > 11 e) x 6 c) a > 9 e b = 6 d) a > 9, mas não há limite
para b e) 2 a = 3 b
Sol. ( B )
Temos uma inequação modular do tipo  x < a => Sol. ( A )
Considerando: quantidade de $ de A = a e a
-a < x < a . Então:
quantidade de $ de B = b, temos pelos dados do
5− x 5− x
< 2. => − 2 < <2 problema:
3 3 i) 5 a + b > 51 e ii) 3 a – b = 21 => b = 3 a – 21
multiplicando por ( 3 ) Substituindo em ( i ) temos: 5 a + 3 a – 21 > 51
=> -6 < 5 – x < 6 + (- 5) => -11 < - x < 1 => 8 a > 72 => a > 9 e ainda 3 a > 27. ( iii ).
multiplicando por ( -1) Como b = 3 a – 21 => 3 a = b + 21 (iv).
=> 11> x > -1 => -1 < x < 11. Substituindo ( iv ) e ( iii ) temos:
b + 21 > 27 => b > 6.
27. Seja S a soma dos ângulos interiores de um Então temos: a > 9 e b > 6
polígono P para o qual cada ângulo interno é 7 ½
vezes o ângulo interno para um mesmo vértice. 30. Dada a reta 3x + 5y = 15 e um ponto nesta
Então: reta eqüidistante dos eixos de coordenadas. Tal
a) S = 2660° e P pode ser regular ponto existe em:
b) S = 2660° e P não ser regular a) nenhum dos quadrantes
c) S = 2660° e P regular b) no 1º quadrante somente
d) S = 2660° e P não é regular c) nos 1º e 2º quadrantes somente
e) S = 2660° e P pode ser ou não ser regular. d) nos quadrantes 1º, 2º e 3º somente.
e) em cada um dos quadrantes.
Sol. ( E )
Como cada ângulo interno é 7,5 vezes menor que Sol. ( C )
o ângulo externo correspondente: 15 − 3a
S = (7,5).(soma dos ângulos externos) = Sendo A um ponto da reta r => A ( a, )
(15/2).360 = 2700. 5
Como S = ( n - 2).180 => ( n - 2).180 = 2 700 => Seno o ponto A eqüidistante a distância entre A e
n = 17. eixo x (equação y = 0) = distância entre A e eixo
Um polígono de 17 lados com todos os ângulos y (equação x = 0) .
internos iguais pode ou não ser eqüilátero e, Aplicando a fórmula da distância ponto-reta,
portanto, regular. temos:
15 − a
= a de onde temos uma equação
7 7 5
28. A equação x − = 3− tem:
x−3 x−3 modular em que:
a) um número infinito de raízes inteiras i) 5 – a = 5 a => 8 a = 15 =>
b) nenhuma raiz c) uma raiz inteira a = 15 / 8. Assim temos o ponto
d) duas raízes inteiras iguais A (15/8; 9/8)  Iº quadrante.
e) duas raízes não inteiras iguais ii) 15 – a = - 5 a => 2 a = - 15 =>
a = - 15/2. Assim temos o ponto
Sol. ( B ) A (-15/2; 15/2)  IIº quadrante.
Resolveremos a equação, fazendo em primeiro
Como não há nenhuma outra solução para
lugar a sua condição de existência (CE), pois se
esses pares de equações, não há nenhum
trata de uma equação fracionária e assim:
outro ponto satisfazendo as condições dadas.
CE: x – 3 ≠ 0 => x ≠ 3.
Resolvendo a equação, encontramos x = 3. 31. Para que x² + 2x + 5 seja um fator de x4 + px²
Como não satisfaz a CE, temos como solução o + q, os valores de p e q devem ser
conjunto vazio = nenhuma solução, respectivamente:
ou seja: S = φ . a) – 2 e 5 b) 5 e 25 c) 10 e 20 d) 6 e 25
e) 14 e 25
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6. Sol. ( D ) Supondo viradas instantâneas, calcular o número
Para que x² + 2x + 5 seja um fator vamos de vezes que os nadadores se cruzaram.
considerar o outro como x² + ax + b e assim: a) 24 b) 21 c) 20 d) 19 e) 18
(x² + 2x + 5) (x² + ax + b) =
= x4 + x³ (2 + a) + x² (5+ 2 a+ b) + x(5 a+ 2b) Sol. ( C )
D is t â n c ia ( m )
+5b  x4 + px + q (identidade de polinômios).
Igualando os coeficientes dos termos 90
semelhantes temos: °
°
i) Para x³ => 2 + a = 0 => a = - 2.
°
°
ii) Para x² => 5 + 2 a + b = p => p = 6. 0 30 9°
0 1 50 1 80
Te m p o (s )
iii) Para x => 5 a + 2b = 0 => b = 5
iv) Para x0 => 5b = q => q = 25. Traçando o gráfico anterior, que representa a
Temos então que: p = 6 e q = 25. posição de cada nadador em relação ao tempo,
em apenas 3 minutos os nadadores retornam a
32. Na figura ao lado, o centro do círculo é O. posição da partida. Temos então que num tempo
AB ⊥ BC, ADOE é uma reta, AP = AD e AB de 12 minutos este ciclo repete-se 4 vezes. Como
tem comprimento igual ao dobro do raio. Então: há 5 encontros em cada período, o número total
a) AP² = PB. AB b) AP. DO = PB. AD de encontros = 4 x 5 = 20 vezes.
c) AB² = AD. DE d) AB . AD = OB. AO
e) n.r.a 35. Desde um ponto P fora do círculo, com uma
circunferência de 10 unidades traça-se uma
C
Sol. ( C ) A tangente. Desde P traça-se também uma secante
Como dados D que corta o círculo em dois arcos distintos, de
temos: AB ⊥ BC; comprimentos m e n. Descobre-se que t, o
{A; D; O; E}{ P O E comprimento da tangente, é a média
0
Reta ; AP = AD e AB = proporcional entre m e n. Se m e t são inteiros.
B então t pode ter o seguinte número de valores:
2R (raio).
Pelas relações em um círculo: AB² = AD. DE. a) zero b) um c) dois d) três e) infinitos
D t P
33. Dada uma seqüência de 58 termos, cada n Sol. ( C )
termo da forma P + n onde P é o produto 2 . 3. Comprimento da
B
5 . . . .61 de todos os nos primos menores ou o circunf. = 10 =>
iguais a 61 e n toma sucessivamente os valores 2, Soma dos arcos m e
3, 4, . . . , 59. Seja N o número de primos que n, A m
onde m ≠ n,
estão nesta seqüência. O valor de N é: é m + n = 10 =>
=> n = 10 – m ( i ) ; e {m, n, t} Z.
Sol. ( A ) Temos pelas relações no círculo: t ² = m. n que
Temos que: P = 2 . 3 . 5 . . . . 61 e n pode ser usando ( i ) => t = m(10 − m) .
igual a: 2, 3, 4, . . . , 59.
Na seqüência, cada termo = T n = P + n, ou seja: Como m ( 10 – m) ≥ 0 temos que m1 = 0 e m2 =
P/ n = 2 => T2 = P + 2 = 2. (3.5.7... 61 + 1) 10 => 0 ≤ m ≤ 10 ( ii ) e usando ( i ) nesta
P/ n = 3 => T3 = P + 3 = 3.(2.5.7... 61 + 1) inequação => 0 ≤ 10 – n ≤ 10 => 0 ≤ n ≤ 10.
...................................... Então m  {1, 2, 3, . . . , 10}, vamos calcular t:
...................................... Para m = 1 => t = 1(10 − 1) = 3 e n = 9 (satisf.)
P/ n = 59 => T59 = P + 59 =59.(2.5.7... 61 + 1).
Para m = 2 => t = 2(10 − 2) = 4 e n = 8 (satisf.)
Verifica-se que todos os termos da seqüência P + Para m = 3=> t = 3(10 − 3) = 21 ∉ Z (não
n, ou seja: P + 2; P + 3; . . ; P + 59, para os quais satistaz ).
n é primo, são divisíveis por n, pois n pertence a Para m = 4 => t = P 4.(10-4) = 44 ∉ Z (não
composição P. Logo, cada um desses números é
satistaz ).
divisível por n. Logo todos os termos dessa
Para m = 5 => t = P 5(10-5) = 5 e n = 5 (não
seqüência são números compostos.
satisfaz, pois m = n = 5).
34. Dois nadadores em extremos opostos de uma Verifica-se que para m = 7, m = 8 e m = 9,
piscina de 90 metros, começam a nadar a correspondem os valores c 21 ; 4 e 3.
velocidade de 3m/s um deles e o outro a 2m/s. Daí então temos: t = 3 e t = 4, ou seja , dois
Eles nadam ida e volta durante 12 minutos. valores.
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7. 36. Sejam s1, s2 e s3 as respectivas somas de n, 2n a+b b
e 3n termos da mesma progressão aritmética que = => a² + 2ab + b² + ab =>
a a+b
tem a como primeiro termo e d como diferença a² + ab + b² = 0 => a =
comum. Seja R = s3 – s2 – s1. Então R depende
de: − b ± b − 4b − b ± − 3b − b ± − 1 b 3
2 2 2 2
= = =>
a) a e d b) d e n c) a e n d) a, d e n. 2 2 2
e) nem de a, nem d, nem n.
− b ± ib 3
a= .Temos então que:
Sol. ( B ) 2
Usando a fórmula da soma dos termos de uma i) Se b é real, a é complexo.
n(2a1 + (n − 1) d ) ii) Se b não é real, a pode ou não ser real.
PA como S n = ,temos:
2
40. Dado um triângulo retângulo ABC com
R = s3 – s2 – s1 =
3(2a + (3 − 1)d 2(2a + (2 − 1)d 1(2a + (1 − 1)d
catetos BC = 3 e AC = 4. Achar o comprimento
− − = do menor lado do ângulo trissector que liga C à
2 2 2 2n²d.
hipotenusa.
Verifica-se então que R depende de d e n.
32 3 − 24 12 3 − 9
a) b) c) 6 3 − 1
37. A base de um triângulo tem comprimento b e 13 13
a altura, h. Um retângulo de altura x é inscrito no 5 10
d) e) 25 / 12
triângulo com a base do retângulo sobre a base 6
do triângulo. A área do retângulo é:
bx hx bx Sol. (A) B
a) (h − x) b) (h − x) c) (h − 2 x ) Como CD forma um ângulo de
h b h D
d) x ( b – x) e) x ( b – x) 30° com CB ; 3DCA = 60° e
3x 3
CDE = 30° então 
x 3
Sol. ( A ) DEC e retângulo.
4 -x x
Denominando de y a base do retângulo, e usando Sendo EC = x A C
E
semelhança de triângulos temos: => DE = x= 3 e DC
h−x h b( h − x ) = 2x.
= => y = Usando a semelhança entre os triângulos:
y b h
4− x 4 12 24
bx
∴ área = xy = ( h − x) = => x = => 2 x =
h x 3 3 3+ 4 3 3+ 4 3
Quando racionalizamos a fração encontramos:
38. No desenho ao lado, AB e AC são os lados 32 3 − 24
2x = .
iguais de um triângulo isósceles ABC, no qual é 13
inscrito um triângulo eqüilátero DEF. Chamemos
de a o ângulo BDF, de b o ângulo ADE e por c o
ângulo FEC, Então: EXERCÍCIOS DE REVISÃO.
a) b = (a + c)/2 b)b= (a - c)/2 A
c) a = (b – c )/2 VOCÊ JÁ PUVIU FALAR NISSO?
d) a = (b + c)/2 e) nra. b E
D
c POIS É. HABITUE-SE A REVER,
Sol. ( D ) PERIODICAMENTE, OS ESTUDOS
a C
Temos então que: B
F FEITOS.
b + 60 = a + B e a + 60 = c + C.
Portanto: b – a = a – c + B – C. RELER CUIDADOSAMENTE LIÇÕES JÁ
Como B = C temos: b + c = 2 a => a = (b + c)/2. ESTUDADAS É UM EXERCÍCIO DE
REVISÃO.
a+b b
39. Para satisfazer a equação = ,ae
a a+b AGINDO ASSIM, VOCÊ PODERÁ ESTAR
b devem ser: COLHENDO FRUTOS QUE NÃO
a) ambos racionais b) ambos reais não-racionais ESTAVAM AINDA MADUROS NA
c) ambos não-reais d) um real, outro não-real PRIMEIRA LEITURA.
e) um real, outro não-real ou ambos não-reais.
Sol. ( E )
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