Kongruensi Linear

1. MENYELESAIKAN
KONGRUENSI LINIER
KELOMPOK 2 :
RISNA AFRIANI (30610E3025)
DAN
IKA MELIANI (30610E3008)

2. Menyelesaikan Kongruensi
Linier
Pada kongruensi ax ≡ b (mod m)
dengan nilai-nilai a, b, dan m yang
relative besar dilakukan dengan
menyederhanakan kongruensi, yaitu
mengganti kongruensi semula dengan
kongruensi lain yang mempunyai
bilangan modulo lebih kecil. Prosedur ini
bisa diulangi sampai diperoleh suatu
kongruensi yang selesaiannya mudah
ditentukan.

3. Diketahui kongruensi linier ax ≡ b (mod m),
misalkan a < m (jika a > m, maka a dapat
“dikecilkan” dengan jalan mencari residu (sisa)
positif terkecil dari a modulo m).
ax ≡ b (mod m), maka m│ax – b, sehingga
ax – b = my untuk suatu y Z, berarti
my + b = ax, dan akibatnya a│my + b, atau
my ≡ – b (mod a).
Karena m > a, maka m dapat “dikecilkan”
dengan jalan mencari residu positif terkecil dari
m modulo a. Sampai pada tahap ini jelas
bahwa kongruensi linier semula ax ≡ b (mod
m) berubah menjadi kongruensi linier my ≡ – b
(mod a) yang lebih “sederhana” karena
mempunyai modulo a yang lebih kecil dari a.

4. Selesaikan kongruensi linier my ≡ –b
(mod a) jika memang sudah menjadi
lebih mudah untuk diselesaikan,
misalkan selesaiannya adalah y = yo.
Dengan demikian dari ax – b = my,
atau x = (my+b)/a, dapat ditentukan
bahwa x0 = (my0+b)/a merupakan suatu
selesaian kongruensi linier ax ≡ b (mod
m).

5. Ulangi langkah serupa jika memang
kongruensi linier my ≡ – b (mod a)
masih sulit untuk diselesaikan. Misalkan
residu positif terkecil m modulo a
adalah k, maka my ≡ – b (mod a) dapat
diubah menjadi az ≡ b (mod a).
Demikian seterusnya sehingga pada
tahapan tertentu dapat diperoleh suatu
selesaian, dan dari selesaian yang
diperoleh dapat diproses mundur
sehingga diperoleh selesaian dari
kongruensi ax ≡ b (mod m).

6. Contoh
Selesaikan 19x ≡ 2 (mod 49)
Jawab:
19x ≡ 2 (mod 49)
49y ≡ - 2 (mod 19) atau
11y ≡ - 2 (mod 19)
19z ≡ 2 (mod 11) atau
8z ≡ 2 (mod 11)
11r ≡ - 2 (mod 8) atau
3r ≡ - 2 (mod 8)
Diperoleh selesaian, yaitu r0 ≡ 2 (mod 8)

7. Selanjutnya
z0 = (11r0 + 2)/8
= (11.2 + 2)/8 = 3,
y0 = (19z0 – 2 )/11
= (19.3 – 2 )/11 = 5, dan
x0 = (49y0 + 2)/19
= (49.9 + 2)/19 =13.
Selesaian kongruensi adalah
x ≡ 13 (mod 49)

8. Langkah – langkah memperoleh selesaian
di atas dapat diperagakan sebagai berikut :
19x ≡ 2 (mod 49) x0 = (49y0 + 2)/19 = 13
49y ≡ - 2 (mod 19)
11y ≡ - 2 (mod 19) y0 = (19z0 – 2 )/11 = 5
19z ≡ 2 (mod 11)
8z ≡ 2 (mod 11) z0 = (11r0 + 2)/8 = 3
11r ≡ - 2 (mod 8)
3r ≡ - 2 (mod 8) r0 = 2
Selesaian kongruensi adalah x ≡ 13 (mod 49)

9. Sistem Kongruensi Linier Simultan
Sistem Kongruensi Linier Simultan adalah
gabungan dari dua atau lebih kongruensi linier
dengan satu variabel.
Definisi 4.3
Sistem kongruensi linier satu variabel :
x ≡ a1(mod m1), x ≡ a2(mod m2), …, x ≡ ar(mod
mr), disebut sistem kongruensi linear simultan
Untuk mencari selesaian system kongruensi
linier simultan, kita memerlukan pembahasan
awal tentang system yang terdiri dari dua
kongruensi linier.

10. Teorema 4.2
Sistem kongruensi linier simultan :
x ≡ a1(mod m1), x ≡ a2(mod m2)
dapat diselesaikan jika dan hanya
jika
a1 ≡ a2 (mod (m1,m2))

11. Beberapa cara yang dapat digunakan
menyelesaikan sistem kongruensi linier
simultan adalah cara biasa, cara iterasi,
dan cara sisa China.
Cara Biasa
Cara ini disebut biasa karena kita hanya
membuat barisan bilangan yang memenuhi
masing-masing kongruensi, dan dilanjutkan
dengan pencarian unsur persekutuan dari
semua kongruensi.

12. Contoh 1 :
Selesaikan sistem kongruensi linier simultan
x ≡ 13 (mod 16) dan x ≡ 5 (mod 14)
Jawab :
13 ≡ 5 (mod (16,14)), atau 8 ≡ 0 (mod 2),
maka sistem kongruensi dapat diselesaikan.
x ≡ 13 (mod 16) ≡ 13,29,45,61,77,93,109, … (mod
16)
x ≡ 5 (mod 14) ≡ 5,19,33,47,61,75,89,103, … (mod
14)
Unsur persekutuan dari kedua kongruensi linier
adalah 61, sehingga :
x ≡ 61 (mod 16) dan x ≡ 61 (mod 14)
dan sesuai dengan teorema 3.6 (b),

13. Contoh :
Sistem kongruensi linier simultan x ≡ 15
(mod 51) dan x ≡ 7 (mod 42) tidak
mempunyai selesaian sebab 15 tidak
kongruen 7 modulo (51,42) = 3.

14. Meskipun sederhana dan
mudah, cara biasa menjadi
semakin sulit dan tidak efisien jika
banyaknya kongruensi linier
bertambah banyak, yaitu barisan
atau daftar bilangan yang dibuat
menjadi panjang.