Más contenido relacionado
Mom10 2014
- 2. © 2014 R. Robert Gajewski2/51
Motywacja
W wielu zadaniach niezbędne jest
stosowanie elementów czworokątnych,
które nie są prostokątami.
- 3. © 2014 R. Robert Gajewski3/51
Elementy izoparametryczne
Jeżeli w elementach będziemy
wykorzystywali te same funkcje kształtu
do interpolacji współrzędnych między
węzłami co do interpolacji niewiadomych
to tego typu elementy nazywamy
izoparametrycznymi
- 4. © 2014 R. Robert Gajewski4/51
Transformacja współrzędnych
- 5. © 2014 R. Robert Gajewski5/51
Izoparametryczna transformacja
yNxN ,,, yx
4321
4
3
2
1
4
3
2
1
,,, NNNNN
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
- 6. © 2014 R. Robert Gajewski6/51
Super i subparametryczne
Poza elementami izoparametrycznymi
wyróżniamy jeszcze elementy
superparametryczne i subparametryczne
- 7. © 2014 R. Robert Gajewski7/51
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu w układzie lokalnym
wyznaczamy jak dla elementu
prostokątnego przyjmując a=b=1
11,11
11,11
4
1
44
1
3
4
1
24
1
1
NN
NN
- 8. © 2014 R. Robert Gajewski8/51
Interpolacja temp. i strumienia
aBDq
aN
yx
q
q
yx
yxT
y
x
,,
,
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
yx
4321
4321
,B
- 9. © 2014 R. Robert Gajewski9/51
Problem!
Do rozwiązania jest problem – musimy
znaleźć pochodne funkcji kształtu ze
względu na zmienne x i y, ale funkcje
kształtu są wyrażone tym razem w
zmiennych lokalnych.
Aby tę niedogodność pokonać
przedstawiamy B w inny sposób
,,,, NNDDNDB yx
- 10. © 2014 R. Robert Gajewski10/51
Co musimy i znamy
Musimy policzyć pochodne po x i y - reguła
przedstawiona jest poniżej
Znamy zależności na x i y w funkcji
zmiennych ξ i η.
d
d
dy
d
d
d
dy
d
dy
d
d
d
dx
d
d
d
dx
d
dx
d
,
e
i
n
i
i
e
i
n
i
i NyyyNxxx
11
,,,
- 11. © 2014 R. Robert Gajewski11/51
Co potrafimy…
Znalezienie zależności odwrotnych nie jest
jednak proste
Potrafimy jednak wyznaczać pochodne
względem ξ i η.
yxyx ,,,
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
dy
d
d
dy
dx
d
d
dx
d
d
,
- 12. © 2014 R. Robert Gajewski12/51
Zapis macierzowy
Powyższe równania możemy zapisać w
sposób macierzowy
y
x
y
x
yx
yx
J
- 13. © 2014 R. Robert Gajewski13/51
Jakobian
Podstawiając znane zależności na x i y w
funkcji zmiennych ξ i η otrzymujemy wzór
na Jakobian
2221
1211
1 JJ
JJ
y
N
x
N
y
N
x
N
yx
yx
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
J
- 14. © 2014 R. Robert Gajewski14/51
Odwracamy…
Odwracając tę zależność otrzymujemy
12212211
1121
12221
det
det
1
JJJJ
JJ
JJ
y
x
J
J
J
- 15. © 2014 R. Robert Gajewski15/51
Po co?
Odwrotność Jakobianu jest potrzebna do
tego, aby policzyć pochodne DN
,,, 1
NJNDB
yx
- 16. © 2014 R. Robert Gajewski16/51
Czy trzeba?
Powstaje kolejne pytanie - czy
konieczne jest analityczne
wyznaczenie odwrotności Jakobianu?
Nie, taka rzecz nie jest niezbędna, bo
do całkowania w sposób numeryczny
będziemy używali kwadratur.
Niezbędne będzie odwrócenie
Jakobianu tylko w kilku punktach.
Będziemy w tych punktach liczyli
wartość liczbową Jakobianu a
następnie odwracali macierz liczbową.
- 17. © 2014 R. Robert Gajewski17/51
Interpretacja Jakobianu
Można tez pokusić się o interpretacje
Jakobianu –
jest to czynnik skalujący w transformacji
infinitezymalnego fragmentu elementu
odniesienia do przestrzeni globalnej.
- 18. © 2014 R. Robert Gajewski18/51
Całkowanie numeryczne
Standardową praktyką jest
wykorzystywanie reguły całkowania
Gaussa (1814).
Wykorzystuje ona minimalną liczbę
punktów całkowania do uzyskania
pożądanej dokładności.
Reguła ta określana jest także mianem
kwadratury Gaussa-Legendre’a.
W przypadku 1D węzły kwadratury to
miejsca zerowe wielomianów Legendre’a.
- 19. © 2014 R. Robert Gajewski19/51
Węzły i wagi
Wielkości odciętych (współrzędne tak
zwanych węzłów, ang. abcissa) dla
kwadratury rzędu n są miejscami zerowymi
wielomianu Legendre’a.
A wagami (ang. weights) są wielkości także
zależne od wielomianów Legendre’a.
p
i
ii FwdF
1
1
1
- 20. © 2014 R. Robert Gajewski20/51
Wielomiany Legendre’a
Nienormowane wielomiany Legendre’a
określa się poniższym wzorem
Można je zapisać również w jawnej postaci
,...1,0,1
d
d
!2
1 2
nx
xn
P
n
n
n
nn
in
n
i
i
nn x
n
in
i
n
xP 2
2
0
22
1
2
1
!!
!
knk
n
k
n
- 21. © 2014 R. Robert Gajewski21/51
Zależność rekurencyjna
Kolejne wielomiany Legendre’a powiązane
są zależnością rekurencyjną
,...2,1,
11
12
11
nxP
n
n
xxP
n
n
xP nnn
- 22. © 2014 R. Robert Gajewski22/51
Kilka początkowych
wielomianów
xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
157063
33035
35
13
1
35
8
1
5
24
8
1
4
3
2
1
3
2
2
1
2
1
0
- 24. © 2014 R. Robert Gajewski24/51
Współrzędne węzłów i wagi
65
6
1
2
1
,75623
65
6
1
2
1
,75623
95,5398,095,53
1,311,31
2,0
4114
3223
132211
2211
11
ww
ww
www
ww
w
- 25. © 2014 R. Robert Gajewski25/51
Przybliżone wzory
44332211
1
1
1
1
1
1
1
1
53
9
5
0
9
8
53
9
5
3131
02.
FwFwFwFwdF
FFFdF
FFdF
FdF
- 26. © 2014 R. Robert Gajewski26/51
Interpretacja graficzna
- 27. © 2014 R. Robert Gajewski27/51
Stopień formuły całkowania
Wartość wykładnika najwyższej potęgi w
wielomianie to jego rząd (można
powiedzieć stopień wielomianu).
Wymienione cztery formuły całkują
dokładnie wielomiany stopnia
odpowiednio: 1, 3, 5 i 7.
W przypadku 1D kwadratura o p węzłach
całkuje dokładnie wielomian do stopnia
2p-1.
Wielkość ta to stopień formuły
całkowania.
- 28. © 2014 R. Robert Gajewski28/51
Mapowanie
W przypadku całkowania w przedziale [a,b]
należy dokonać odpowiedniego
odwzorowania (mapowania).
0,
1
1
ablJdFdxxF
b
a
l
d
dx
Jbax
l
lbabax
2
1
,
2
12
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
- 29. © 2014 R. Robert Gajewski29/51
Reguła iloczynowa
Najprostsza reguła całkowania 2D to reguła
iloczynowa (ang. product rule). Uzyskuje się
ją przez zastosowanie reguł 1D do każdej
niezależnej zmiennej.
1 2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,,,
,,
p
i
p
j
jiji FwwdFdddF
dFdddF
- 30. © 2014 R. Robert Gajewski30/51
PRZYKŁAD: treść zadania
Wyznaczyć rozkład temperatury w
przekroju poprzecznym nieskończenie
długiego pręta o przekroju kwadratowym.
Górna powierzchnia jest izolowana
cieplnie a dolna chłodzona.
Lewa strona jest podgrzewana
strumieniem ciepła, na prawej jest zadana
określona temperatura.
Istnieją wewnętrzne źródła ciepła
- 31. © 2014 R. Robert Gajewski31/51 ©2012 R. Robert RoG@j Gajewski31/51
Dane
a = 2 cm
qB = 200 000 W/m2
qV = 1 107 W/m3
T∞ = 100 0C
α = 60 W/m2K
TB = 100 0C
λx = λy = 42 W/mK
- 32. © 2014 R. Robert Gajewski32/51
Rysunek
1 2 3
654
7 8 9
- 33. © 2014 R. Robert Gajewski33/51
Lokalnie i globalnie…
Element Lokalne Globalne
1 1 2 3 4 1 2 4 5
2 1 2 3 4 2 3 6 5
3 1 2 3 4 4 5 8 7
4 1 2 3 4 5 6 9 8
- 34. © 2014 R. Robert Gajewski34/51
Warunki brzegowe
0
2
0
0
2
0
ay
y
bax
b
x
y
T
TT
y
T
TT
q
x
T
- 35. © 2014 R. Robert Gajewski35/51
Macierze sztywności
4121
1412
2141
1114
7
4121
1412
2141
1114
6
4321
KKKK
K
- 36. © 2014 R. Robert Gajewski36/51
Macierze wymiany ciepła
0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
0000
0000
002.01.0
001.02.0
0000
0000
0021
0012
6
2
1
a
a
K
K
- 37. © 2014 R. Robert Gajewski37/51
Zagregowana macierz
przewodności
28707140000
7567141414000
07280147000
7140561407140
1414141411214141414
0147014560147
00071402870
0001414147567
00001470728
K
- 38. © 2014 R. Robert Gajewski38/51
Zagregowana macierz α
KmW
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
0000002.01.00
0000001.04.01.0
00000001.02.0
K
- 39. © 2014 R. Robert Gajewski39/51
Nieruchome stopnie swobody
W węzłach 3 6 9 znamy temperaturę, czyli
rozwiązanie zadania
Dla tych niewiadomych nie musimy
układać równań!!!
Możemy też zmodyfikować pełną macierz układu
równań w ten sposób, że na głównej przekątnej dla
tych równań będą występować jedynki, a pozostałe
wyrazy w wierszu i kolumnie będą 0
Tych równań po prostu nie rozwiązujemy
- 40. © 2014 R. Robert Gajewski40/51
Macierz układu równań
100000000
056701414000
07280147000
000100000
0141401121401414
0147014560147
000000100
0000141404.569.6
000014709.62.28
K
- 41. © 2014 R. Robert Gajewski41/51
Obciążenia od źródeł
m
Waq
m
Waq
m
Waq
m
Waq
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
Tv
Q
1111
4
1111
4
1111
4
1111
4
2
4
2
3
2
2
2
1
f
f
f
f
- 42. © 2014 R. Robert Gajewski42/51
Obciążenia od źródeł
Tv
Q
aq
121242121
4
2
f
m
W
Q
250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
- 43. © 2014 R. Robert Gajewski43/51
Obciążenia konwekcyjne
TaT
0011
2
21
ff
m
W
0
0
0
0
0
0
6
12
6
f
- 44. © 2014 R. Robert Gajewski44/51
Obciążenia strumieniem
m
W
q
0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
f
Tb
qq
aq
1001
2
31
ff
- 45. © 2014 R. Robert Gajewski45/51
Sumowanie
m
W
250
500
1250
500
1000
2500
256
512
1256
0
0
1000
0
0
2000
0
0
1000
0
0
0
0
0
0
6
12
6
250
500
250
500
1000
500
250
500
250
f
- 46. © 2014 R. Robert Gajewski46/51
Modyfikacja
m
W
2600
5200
2602
100
100
100
f
1250
2500
1256
- 47. © 2014 R. Robert Gajewski47/51
Układ równań i jego rozwiązanie
- 48. © 2014 R. Robert Gajewski48/51 ©2012 R. Robert RoG@j Gajewski48/51
Rysunek
238.63 180,20 100,00
100.00181.80240.68
241.27 182.21 100.00
- 49. © 2014 R. Robert Gajewski49/51
5 węzłów, 4 elementy
- 50. © 2014 R. Robert Gajewski50/51
3 węzły na krawędzi
- 51. © 2014 R. Robert Gajewski51/51
Gęsta siatka
Notas del editor
- Informatyka i Technologia Informacyjna
