1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria espacial de posição, incluindo pontos, retas, planos e suas propriedades. 2) São definidas notações usuais para esses elementos e apresentados axiomas e postulados sobre suas características. 3) São descritas relações geométricas entre esses elementos como retas coplanares, concorrentes, paralelas e perpendiculares, assim como entre planos paralelos, concorrentes e perpendiculares.

1. Prof.: Rodrigo Carvalho
GEOMETRIA
ESPACIAL DE
POSIÇÃO

2. O ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos,
isto é, não definimos esses elementos da geometria.
Sabemos intuitivamente o que são e como são.
Notação usual
→ Pontos: letras latinas maiúsculas (A, B, C,...).
→ Retas: letras latinas minúsculas (r, s, t,...).
→ Planos: letras gregas minúsculas (α, β, γ,...).
Exemplo
α
r
A
Prof.: Rodrigo Carvalho

3. Prof.: Rodrigo Carvalho
São propriedades aceitas sem demonstração, e
que servem de base para o desenvolvimento da teoria.
Axioma Fundamental
Existem infinitos pontos, infinitas
retas e infinitos planos.
Postulados sobre pontos e retas
P1) A reta é infinita.
r

4. Prof.: Rodrigo Carvalho
P2) Numa reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos.
P
r
P3) Por um ponto passam infinitas retas.
P
r
s
t
V
T
S
R
Q
U

5. Prof.: Rodrigo Carvalho
P5) Um ponto qualquer de uma reta a divide em duas
semi-retas.
A
r
P4) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
r
A B

6. Prof.: Rodrigo Carvalho
Postulados sobre plano e espaço
P5) Três pontos não colineares determinam um único
plano.
αA
BC
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
Atenção
PONTOS COLINEARES → pertencem a uma mesma reta.

7. Prof.: Rodrigo Carvalho
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P8) Toda reta contida em um plano o divide em duas regiões
chamadas semi-planos. A reta é a origem dos semi-planos,
que são chamados opostos.
α
r
α1
α2
r
r

8. Prof.: Rodrigo Carvalho
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões
chamadas de semi-espaços.
α
E1
E2

9. Prof.: Rodrigo Carvalho
No espaço, duas retas podem ser coplanares ou não-coplanares.
α
RETAS COPLANARES: retas que estão contidas em um mesmo
plano.
Duas retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes.
r
s
Retas paralelas distintas
(r // s)
α
r ≡ s
Retas paralelas coincidentes
(r ≡ s)

10. Prof.: Rodrigo Carvalho
α
r
s Retas concorrentes oblíquas
(r s)∠
As retas r e s são concorrentes perpendiculares (r ┴ s)
quando formam entre si ângulos congruentes de 90º.
Atenção
Duas retas r e s são concorrentes se a intersecção entre
elas for um único ponto.

11. Prof.: Rodrigo Carvalho
Duas retas r e s são não-coplanares ou reversas, se
estiverem contidas em planos distintos.

12. Prof.: Rodrigo Carvalho
Sejam duas retas t e r reversas. Quando a projeção de
uma delas for perpendicular à outra, elas serão chamadas
de retas ortogonais.
P10) Sendo uma reta r e um ponto A, A r, existe uma única
reta que passa por A e é paralela à r.
∉
r
s A
r // s
r

13. Prof.: Rodrigo Carvalho
Um plano pode ser determinado por:
• três pontos não-colineares;
• uma reta e um ponto não pertencente a essa reta;
αA
BC
αA
BC

14. Prof.: Rodrigo Carvalho
• duas retas concorrentes;
• duas retas paralelas distintas.
αA
BC
αA
BC
r
s
r
s

15. Prof.: Rodrigo Carvalho
1) Reta contida num plano
Se uma reta r possui dois
pontos distintos pertencentes
a um plano α, então r está
contida em α.
2) Reta concorrente a um plano
Dizemos que a reta r “fura” o plano
α ou que r e α são
concorrentes(secantes) em P quando
r ∩ α = {P}.

16. Prof.: Rodrigo Carvalho
3) Reta paralela a um plano
Uma reta r é paralela a um plano α quando não possui
ponto em comum com esse plano.
s
r // s
s
t
u
r // s
r // t
r // u
Se uma reta não está contida num plano e é paralela a
uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.

17. Prof.: Rodrigo Carvalho
Uma reta r é perpendicular a um plano quando ela é
concorrente com o plano e perpendicular a todas as retas
do plano que passam pelo seu traço.
P
4) Reta perpendicular a um plano

18. Prof.: Rodrigo Carvalho
Se uma reta não contida em um plano é perpendicular a duas
retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao
plano

19. Prof.: Rodrigo Carvalho
1) Planos paralelos coincidentes
2) Planos paralelos distintos
Dois planos são paralelos
coincidentes se têm todos os
pontos em comum.
Dois planos são paralelos
distintos quando não possuem
pontos em comum.

20. Prof.: Rodrigo Carvalho
Teorema 1 Se dois planos são
paralelos distintos, qualquer reta
de um deles é paralela ao outro.
Teorema 2 Se dois planos são
paralelos distintos, toda reta
concorrente a um deles é
concorrente ao outro.
Teorema 3 Se um plano contém
duas retas concorrentes que são
paralelas a um outro plano, então
esses planos são paralelos
distintos.

21. Prof.: Rodrigo Carvalho
3) Planos concorrentes ou secantes
Dois planos α e β são concorrentes ou secantes se têm
uma única reta em comum.

22. Prof.: Rodrigo Carvalho
Dois planos α e β são perpendiculares se um deles
contém uma reta perpendicular ao outro.
s
4) Planos perpendiculares

23. Prof.: Rodrigo Carvalho
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 1
Questões: 06, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 25, 28, 35, 37, 44 e 48.