L'equazione della parabola nel piano cartesiano

1. LA PARABOLA Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

2. La Parabola Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A La parabola è quella particolare curva che si ottiene dall’intersezione di una superficie conica rotonda (indefinita e a due falde) con un piano parallelo alla generatrice   generatrice falda superiore falda inferiore parabola

3. Luogo Geometrico Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A Ci proponiamo ora di studiare la parabola da un punto di vista analitico; a tal fine, è opportuno enunciare una nuova definizione di parabola, intesa come luogo geometrico dei punti del piano che godono di una certa proprietà caratteristica. Definizione . Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta fissa, detta direttrice , e da un punto fisso , detto fuoco.

4. Costruiamo la parabola 1 - metodo Per costruire una parabola segui le seguenti istruzioni: 1) disegna una retta, la direttrice , ed un punto ad essa esterno, il fuoco F 2) traccia la perpendicolare passante per F alla direttrice ( asse ) e indica con C il loro punto d’intersezione

5. 3) determina il punto medio del segmento che ha per estremi F e il punto intersezione ottenuto C 4) chiama V tale punto, che è alla stessa distanza da F e dalla direttrice (V è il vertice della parabola) 5) segna sulla direttrice un qualsiasi punto H

6. 6) traccia la perpendicolare per H alla direttrice 7) costruisci l' asse del segmento HF 8) indica con P il punto di intersezione tra questo asse e la retta perpendicolare per H (come puoi notare il punto P ha la proprietà di essere ad uguale distanza da F e da H )

7. 9) traccia il luogo che P descrive quando H si muove lungo la direttrice. PARABOLA

9. asse di simmetria Circonferenza di centro F e raggio FP 2 F (fuoco) d (direttrice) r 2 P 2 H 2 P’ 2 V H 1 H P 1 P’ 1 r 1

10. Equazione della parabola con asse parallelo all’asse y Per la definizione di luogo geometrico Calcoliamo e uguagliamo le distanze PF = PH cioè troviamo : Risolviamo ponendo Otteniamo: F (0;p/2) P(x;y) O y x d H(x;-p/2) Consideriamo il punto F il fuoco della parabole e avrà coordinate La direttrice d ha equazione y=ax 2 con a  0 equazione della parabola

11. Caratteristiche della parabola Equazione della parabola Vertice V(0;0) Equazione dell’asse di simmetria x = 0 Fuoco Equazione della direttrice La parabola appena trovata ha le seguenti caratteristiche: Cosa succede al variare del coefficiente a ? Il coefficiente a definisce la concavità della parabola

12. Equazione parabola traslata Consideriamo la parabola con vertice nell’origine e di equazione Applichiamo una traslazione di vettore V(x v ;y v ) Sostituiamo e otteniamo l’equazione della parabola traslata: Ricordiamo le relazioni della traslazione Ponendo: Otteniamo: y=ax 2 + bx + c con a  0 equazione della parabola

13. Caratteristiche della parabola traslata La parabola appena trovata ha le seguenti caratteristiche: Vertice Equazione dell’asse di simmetria Fuoco Equazione della direttrice Equazione della parabola

14. Equazione della parabola con asse parallelo all’asse x Consideriamo la parabola di equazione y = ax 2 + bx + c Applichiamo la simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante y = x cioè Otteniamo: x = ay 2 + by + c che è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse

15. Caratteristiche della parabola con asse parallelo all’asse delle x La parabola appena trovata ha le seguenti caratteristiche: Equazione della parabola Vertice Fuoco Equazione dell’asse di simmetria Equazione della direttrice

16. Al variare dei coefficienti a, b, c dell’equazione si hanno parabole con caratteristiche particolari parabola con vertice sull’asse y e asse di simmetria x = 0 Come varia l’equazione della parabola parabola con vertice in O e asse di simmetria x = 0 parabola passante per O

17. y = ax 2 + bx + c a > 0 , b e c fissati - a > 0 concavità rivolta verso l’alto - ad a maggiore (2) corrisponde una curva più stretta, va più velocemente all’infinito

18. y = ax 2 + bx + c a > 0 , b e c fissati - a < 0 concavità rivolta verso l’alto - ad a maggiore in modulo (- 2) corrisponde una curva più stretta, va più velocemente all’infinito

19. y = ax 2 + bx + c a e c fissati, b variabile - b variabile la parabola trasla in orizzontale - b = 0 il vertice è sull’asse delle y b = o b < 0 b > 0

20. y = ax 2 + bx + c a e b fissati, c variabile - c variabile la parabola trasla verticalmente - c = 0 la parabola passa per l’origine degli assi C = 0 C < 0 C > 0

21. Conclusione Lo studio della parabola consente la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni di II grado. Lo studio di particolari grafici riconducibili alla parabola consente poi di risolvere alcuni tipi di disequazioni irrazionali. Inoltre lo studio della parabola in Fisica serve a descrivere operativamente la traiettoria dei gravi e fornisce modelli matematici per la descrizione di molti fenomeni naturali. La parabola,poi, può essere di aiuto per effettuare delle scelte quando il problema da risolvere ha come modello una funzione quadratica (concetto di approssimazione)

23. FINE www.nonsolomatematica.it