O documento discute o Critério de Kelly para alocação de capital em jogos de azar e mercados financeiros. O Critério de Kelly determina a fração ótima do capital total a ser apostado/investido para maximizar a taxa de crescimento esperada do capital a longo prazo. A aplicação no mercado financeiro envolve alocar entre ativos de risco e renda fixa usando a razão Sharpe-Kelly. Um exemplo mostra alocar entre IBOVESPA e títulos do governo brasileiro.

1. Critério de Kelly – Jogos
Favoráveis e Aplicações no
Mercado Financeiro
Alexandre Rubesam
20/08/2010

2. Resumo
 Jogos favoráveis e definição do problema
 Resultados e aproximações
 Aplicação no mercado financeiro
 Exemplo com futuros de IBOV e DÓLAR

3. Jogos Favoráveis
 Problema fundamental em apostas é encontrar apostas com valor
esperado positivo (em investimentos, é encontrar investimentos
com retorno em excesso positivo)
 Uma vez que uma oportunidade é encontrada, o apostador
(investidor) deve decidir quanto apostar
 Vamos utilizar o exemplo de apostar em uma moeda para definir
o conceito de aposta de Kelly, mas os resultados são
generalizáveis para várias situações, entre elas o mercado de
capitais

4. Lançamento de moeda
 Moeda favorável com:
  5.0 pGanharP
  5.01  pqPerderP
 Capital inicial = 0
X
 Queremos maximizar o valor esperado do nosso capital após n
lançamentos da moeda,  n
XE
 Quanto devemos apostar, k
B , no lançamento k?
Seja






contráriocaso,1
lançamentoésimo-knovitória,1
k
T

5. Então
,...3,2,1,1
 
kTBXX kkkk
e após n lançamentos,


n
j
kkn
TBXX
1
0
O valor esperado é
        

n
j
k
n
j
kkn
BEqpXTBEXXE
1
0
1
0
Portanto se quisermos maximizar  n
XE , devemos maximizar
 k
BE , ou seja, apostar todo nosso capital a cada lançamento.
Problema:       01010 
 n
n
nn
pXPXPRuínaP , ou
seja, perderemos todo o dinheiro quase certamente.

6. Por outro lado, tentar minimizar a prob. de ruína leva a minimizar
o tamanho da aposta, o que minimiza o ganho esperado.
Isso sugere a existência de uma estratégia ótima, intermediária
entre esses dois extremos.
Suponha que iremos apostar uma fração fixa 0 < f < 1 do capital.
Então após n lançamentos, temos:
   FS
n
ffXX  110
,
onde S e F são os números de sucessos e falhas nos n lançamentos
da moeda, S + F = n.
Note que, como f > 0, a ruína não pode (estritamente) ocorrer. Por
outro lado, podemos reinterpretar “ruína” no sentido de que, para
qualquer 0 ,   1lim 
nn
XP .

7. Note que podemos escrever o ganho relativo, 0
/ XXn
, como:
nn
X
X
n
n
e
X
X
1
0
log
0






 ,
e portanto a quantidade abaixo mede a taxa exponencial de
crescimento do capital por lançamento da moeda:
     f
n
F
f
n
S
X
X
fG
n
n






 1log1loglog
1
0
Kelly (1956) decidiu maximizar o valor esperado do coeficiente de
crescimento,  fg , onde

8.      
   fqfp
f
n
F
f
n
S
E
X
X
Efg
n
n























1log1log
1log1loglog
1
0
Obs: Como 0
log)/1(log)/1()( XnXEnfg n
 , então para n fixo,
maximizar  fg é equivalente a maximizar n
XElog .
A maximização de  fg resulta na chamada fração de Kelly
qpf *
. O gráfico de  fg revela algumas propriedades
interessantes.

9. Propriedades de  fg :
 Único máximo em qpff  *
 Existe um valor único 0c
f , com 10 *
 c
ff ,
tal que  fg =0. Apostar qualquer fração acima de
c
f leva implica em ganho esperado negativo
 Apostar uma fração menor do que *
f leva a
crescimento sub-ótimo do capital, porém sempre
positivo
 Apostar menos do que a fração de Kelly *
f é bem
mais seguro do que apostar mais e arriscar
ultrapassar o valor c
f
 Apostar qualquer fração entre 0 e c
f implica em
crescimento exponencial do capital; mas o
crescimento é maximizado com *
f
 Uma escolha comum é usar half-Kelly, ou seja,
calcular a fração de Kelly e usar a metade

10. Exemplo 1: O jogador A joga contra um adversário infinitamente rico
(e estúpido) o seguinte jogo. O capital inicial é 0
X . Uma moeda é
lançada e o jogador A ganha o valor apostado com
probabilidade 53.0p .
A fração de Kelly é 06.047.053.0*
 qpff , portanto o
jogador A deve apostar 6% do seu capital a cada lançamento da
moeda, para que seu capital n
X cresça à maior taxa possível.
Pode-se verificar empiricamente que 11973.0c
f , portanto se a
fração apostada for maior do que aprox. 12% do capital, o capital do
jogador A irá se aproximar cada vez mais de 0.

11. Exemplo 2 (Blackjack): Suponha que a cada rodada de um jogo de
blackjack, o jogador lida com um dos dois casos abaixo com prob. 0.5:
Caso 1: “situação favorável” - 49.0)1(,51.0)1(  XPXP
Caso 2: “situação desfavorável” - 51.0)1(,49.0)1(  XPXP
O jogador sabe antes de apostar qual caso se aplica. Suponhamos que
o jogador faça pequenas “apostas de espera” nas situações
desfavoráveis, e apostas maiores nas situações favoráveis, e.g.:
Apostar f nos casos favoráveis e 10,  aaf nos casos desfavoráveis
A taxa de crecimento é
 
))1log(51.0)1(log(49.0(5.0
)1log(49.0)1log(51.05.0)(
afaf
fffg


Dado um valor de a, podemos encontrar o valor de f que maximiza a
expressão acima.

12. Exemplo 2 (Blackjack cont.)
O gráfico abaixo mostra o f ótimo para vários valores de a:
f* versus a
0.0000
0.0050
0.0100
0.0150
0.0200
0.0250
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
a
f*
Obs: se a = 0, o problema se resume ao caso anterior; se a=1, temos
um jogo justo e portanto a fração de Kelly é 0.

13. Aproximação contínua – Alocação em 1 ativo de risco
 Uma aposta (investimento) em um ativo financeiro pode ter muitos
resultados diferentes
 f passa a ser a proporção de capital investido no(s) ativo(s), e pode
ser negativo (ficar vendido)
Vamos considerar uma variável aleatória X com
   smXPsmXP  5.0
Então temos     2
e sXVarmXE  . Com capital inicial 0
V ,
retorno em um ativo sem risco (eg títulos do governo) r, retorno por
unidade de X e fração de aposta f, temos que
      rXfrVfXrfVfV  1)1(1 00
Agora dividimos o intervalo de tempo em n partes independentes,
mantendo a mesma média e a mesma variância.

14. Ou seja, em cada parte i =1,...,n temos uma variável i
X com média
nm/ e variância ns /2
, e o retorno no ativo sem risco é r/n.
Quando n temos que a taxa de crescimento esperada,  fg ,
converge para
  2/)( 22
fsrmfrfg 
,
que é maximizada por
ratioSharpeonde/)( 2*
 S
s
S
srmf .
É possível mostrar que :
  rSfg 
2/2*

15. Consideremos o caso em que a aproximação acima é usada para alocar
o capital do investidor entre o portfolio de mercado, quem tem retorno
médio m e volatilidade s, e títulos do governo, que tem retorno r.
Temos os seguintes casos:
1sS
1sS
1
*
*
*



f
f
fsS
No primeiro caso, o investidor aloca todo seu recurso no portfolio de
mercado; no segundo caso, ele usa alavancagem (empresta dinheiro
para investir no mercado); no último caso, ele aloca parte do capital no
mercado, e o restante em renda fixa.

16. Exemplo 3 (Alocação em IBOV e renda fixa) – Usando dados de
2000 a 2010, temos as seguintes estimativas:
1461.0
3178.0
1828.0



r
s
m
Para definir a alocação, usamos a fórmula anterior:
3630.0/)( 2*
 srmf
Ou seja, o investidor alocará aprox. 36% do seu capital no mercado de
ações, e 64% em renda fixa. Isso está de acordo com a relação
anterior, já que que a razão de Sharpe no exemplo é
  sS  3178.01154.03178.01461.01828.0
Obs.: Note que um investidor usando o critério de Kelly diretamente
faz uma escolha que não contempla risco.

17. Critério de Kelly vs Apreçamento de Ativos
Markowitz (1952) estudou o problema de um investidor que precisa
alocar recursos entre vários ativos de risco e um ativo sem risco.
Temos o seguinte problema:
 investir em n ativos com frações  T
n
ffF ,...1
 , e investir o restante
do capital, 0
f , no ativo sem risco
 C = matriz de covariância entre os ativos
 M = vetor de médias dos ativos
  1
fF 
  T
rrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco
A média e variância do portfolio são dados por
CFFs
RMFrmfmfrfm
T
T
nn


2
110
)(...

18. O problema de Markowitz então é colocado como:
 
i
i
T
F
mmefqtCFFMin 0
1.. ,
ou seja, encontrar o portfolio de mínima variância para um dado nível
de retorno esperado. Esse processo, feito para vários níveis de retorno
esperado, leva à chamada Fronteira Eficiente: os portfolios que
possuem o menor risco para cada nível de retorno (ou
equivalentemente, maior nível de retorno para cada nível de risco):
N
E(RP)
Z’
A
P*
Z
Z’’
B
p
Feasible set
Minimum-
variance
frontier
P*: Global minimum variance portfolio
Individual assetsIndividual assets

19. Sharpe (1964) considera a alocação entre o ativo sem risco e a
fronteira eficiente, o que leva à derivação da Linha do Mercado de
Capitais: um investidor irá alocar parte do capital no portfolio de
mercado, e parte no ativo sem risco, de acordo com sua aversão ao
risco.
Rf
P
E(RP)
B
A
M
CAL1
CAL2
M
Sharpe’s Capital Market Line (CML)
= New mean variance efficient
frontier for risky portfolios
E(RM)
 Qualquer combinação
retorno-risco na linha pode
ser obtida variando-se a
proporção do capital a ser
alocada no portfolio de
mercado
 Investidores mais aversos a
risco irão manter maior
proporção do capital no ativo
sem risco
 Investidores menos aversos a
risco irão investir mais no
portfolio de mercado; em
particular, podem até ficar
alavancados

20. A equação da linha é dada por:
Ou seja, a inclinação da reta é dada pela razão de Sharpe do portfolio
de mercado. Logo, o investidor que usa o critério de Kelly pode ficar à
esquerda ou à direita do portfolio de mercado no gráfico acima,
dependendo do Sharpe do mercado.
Conclusão:
 No paradigma de Finanças, primeiro partimos do apetite do
investidor por risco, para depois definir a alocação (que é a mais
eficiente do ponto de vista risco/retorno;
 O critério de Kelly produz uma alocação única (que produz a
maior taxa de crescimento esperada do capital). Risco não é
contemplado diretamente (mas o investidor pode usar o Kelly
fracional, i.e., uma fração fixa da fração de Kelly, para gerir
risco/conservar capital)
 
 
P
M
fM
fP
RRE
RRE 
 




 


21. Kelly para um portfolio de Ativos
 investir em n ativos com frações  T
n
ffF ,...1
 , e investir o restante
do capital, 0
f , no ativo sem risco
 C = matriz de covariância entre os ativos
 M = vetor de médias dos ativos
  1
fF 
  T
rrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco
A média e variância do portfolio são dados por
CFFs
RMFrmfmfrfm
T
T
nn


2
110
)(...
Podemos aplicar a fórmula anterior e maximizar   2/2
smFg  .
O resultado da maximização irrestrita é
 RMCF  1*

22. Inclusão de restrições
Obviamente, o problema de maximização pode ser modificado para
incluir restrições na venda de ativos, na proporção a ser investida em
ativos específicos, e na alavancagem total.




n
1i
max
m)alavancagede(limitação
ido)ficar vendpode(não0
ativo)por(limitação
lf
f
ff
i
i
i

23. Aplicação: Kelly em um Portfolio com IBOV e
DÓLAR usando futuros
 Investidor pode investir no mercado de ações e câmbio usando
contratos futuros
 Vamos construir estimativas e calcular as frações de Kelly ao
longo do tempo usando EWMA
 Precisamos estimar, no tempo t, as quantidades abaixo
DÓLARdoadevolatilids
IBOVdoadevolatilids
DÓLAReIBOVentreacovariâncic
DÓLARdomédioretorno
IBOVdomédioretorno
,DÓLAR
,IBOV
,DÓLARIBOV,
,
,





t
t
t
tDÓLAR
tIBOV
m
m

24. O resultado da aplicação da fórmula é um vetor  tDÓLARtIBOVt
ffF ,,
,
com a proporção do capital a ser comprado/vendido cada ativo
Resultados hipotéticos: abaixo temos resultados hipotéticos desta
aplicação, sem custos transacionais e usando os retornos dos spots.
Accumulated returns
0
2
4
6
8
10
12
1/3/2000
1/3/2001
1/3/2002
1/3/2003
1/3/2004
1/3/2005
1/3/2006
1/3/2007
1/3/2008
1/3/2009
1/3/2010
CUMULATIVE RETURN
CUM. CDI
CUM. IBOV

25. Bibliografia
Kelly, J.L. (1956), A New Interpretation of the Information Rate, AT&T
research paper.
Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol. 7, No
1.
Thorp, E. (2007), The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and
the Stock Market. Handbook of Asset and Liability Management, Volume
1.
Thorp, E. (1969), Optimal Gambling Systems for Favorable Games,
Review of the International Statistical Institute, Vol. 37, No. 3.