ecuacion

1. 12/09/2007
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL SAN RAFAEL
CALCULO AVANZADO
- 2.007 -
ING. CRISTIAN BAY
ECUACIONES DIFERENCIALES
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CALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAY
ECUACIONES DIFERENCIALES
SON ECUACIONES EN LAS QUE APARECEN FUNCIONES, SUS DERIVADAS, UNA O
MAS VARIABLES INDEPENDIENTES Y UNA O MAS VARIABLES DEPENDIENTES.
FICACION
TIPO
ORDEN
ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA
ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL
PRIMER ORDEN
SEGUNDO ORDEN
DEPENDE DE LA CANTIDAD DE
VARIABLES INDEPENDIENTES
CLASIF
ORDEN
LINEALIDAD
SEGUNDO ORDEN
ENESIMO ORDEN
LINEAL
NO LINEAL
DEPENDE DEL EXPONENTE MAYOR
DE LA DERIVADA

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE SEGUNDO ORDEN
( ) ( ) ( ) 0'" =++ ycybya
•ECUACION CARACTERISTICA
DONDE a ≠ 0, b y c SON CONSTANTES REALES. EL CASO TIPICO EN
INGENIERIA CIVIL ES EL OSCILADOR MASA RESORTE DONDE NO APARECE
LA FUERZA EXTERIOR.
( ) ( ) ( )tyctycty 2211 +=
DONDE C1 Y C2 SON CONSTANTES ARBITRARIAS. y1(t) y y2(t) SON
SOLUCIONES LINEALEMENTE INDEPENDIENTES.
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ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
tm
ey .
=
SE UTILIZA LA SIGUIENTE EXPRESION PARA RESOLVER LA EDO.
tm
tm
emy
emy
.2
.
."
.'
=
=
REEMPLAZANDO EN LA ECUACION INICIAL SE OBTIENE
( ) ( ) ( )
( )
0.. ...2
=++ emcebema tmtmtm
( ) 0.. 2.
=++ cmbmae tm
ESTA ULTIMA REPRESENTA LA ECUACION CARACTERISTICA.

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CONSIDERANDO LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA SE PUEDE
OBTENER CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES TRES CASOS.
A RAICES REALES Y DISTINTAS (b 4 0)A. RAICES REALES Y DISTINTAS (b-4ac > 0)
B. RAICES REALES E IGUALES (b-4ac = 0)
C. RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS (b-4ac < 0)
•CASO A (REALES Y DISTINTAS) tmtm
eCeCy .
2
.
1
21
.. +=
tmtm
etCeCy .
2
.
1
21
... +=
( ) ( )
( ) ( )( )tCtCey
eCeCy
t
titi
.sin..cos.
..
21
.
.
2
.
1
ββα
βαβα
+=
+= −+
•CASO A (REALES E IGUALES)
•CASO A (COMPLEJAS)
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SEGUNDA ACTIVIDAD A DESARROLLAR
UTILIZANDO EL SOFTWARE MATHEMATICA RESUELTA UNA
GRAFICA DE ECUACION DIFERENCIAL CON
A. RAICES REALES DISTINTAS
B. RAICES REALES IGUALES
C. RAICES COMPLEJAS

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SISTEMA MASA – RESORTE NO AMORTIGUADO
c
m = masa del elemento
m
k
y(t)
m masa del elemento
k = rigidez del elemento
c = Amortiguamiento.
0.". =+ ykym LEY DE HOOKE Fr=k.y
LEY NEWTON Fa=a.m
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SISTEMA MASA – RESORTE (NO AMORTIGUADO)
0.". =+ ykym
k2
=ϖ Frecuencia angular
Raíces complejas conjugadas
0."
0.".
2
=+
=+
yy
y
m
k
y
m
m
yy
ϖ
T
f
k
m
T
m
1=
=
Frecuencia angular
Periodo
frecuencia
( ) wtCwtCty sincos 21 +=
C1 y C2 constantes de valores iniciales o valores de frontera

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SISTEMA MASA – RESORTE (NO AMORTIGUADO)
FORMAALTERNATIVA
A Amplitud del sistema
w frecuencia
Ø Angulo de fase
( ) ( )θϖ += tAty sin.
FORMAALTERNATIVA
22
2
1
2
2
2
1
tan
C
C
CCA
=
+=
θ 0
A
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TERCERA ACTIVIDAD A DESARROLLAR
Un edificio tiene una masa del 10.000kg y una rigidez de 30tn/cm.
A. Determine el periodo y la frecuencia del mismo.
B. Suponga que posee un desplazamiento inicial de 3cm, grafique
la curva de desplazamiento.
C. Cual es la posición del sistema luego de 10 seg.
D. Cuantas veces el sistema pasa por la posición de equilibrio.D. Cuantas veces el sistema pasa por la posición de equilibrio.
E. Cual es la amplitud del sistema.
F. Que velocidad tiene el sistema a los 10 seg.
G. Superponga las graficas desplazamiento, velocidad y
aceleración.