1. BAB II
SINYAL DAN SISTEM WAKTU DISKRIT
2.1 Sinyal Waktu Diskrit
Ada beberapa cara untuk merepresentsikan sinyal waktu diskrit, yaitu
sebagai berikut:
1.Representasi fungsi, seperti:
1 untuk n=1,3
x(n) 4 untuk n= 2
0 selain itu
2. Representasi tabular, contohnya:
n … -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
x(n) … 0 0 0 1 4 1 0 0…
1 TKE-5205-BAB II
3. 3. Representasi deret
Sinyal durasi tidak terbatas atau deret dengan time origin (n=0) ditandai
dengan simbol direpresentasikan sebagai:
x(n) ={…,0,0,1,4,1,0,0,0,…} ……. (2.1.2)
Deret x(n) dimana n < 0 bernilai 0 dapat direpresentasikan sebagai berikut:
x(n) = {1,4,1,0,0,0,…} …….. (2.1.3)
Deret terbatas dapat direpresentasikan sebagai berikut:
x(n) = {3,-1,-2,5,0,4,1} ….… (2.1.4)
2 TKE-5205-BAB II
4. 2.1.1 Beberapa Bentuk Sinyal Waktu Diskrit
1. Deret unit sample dinotasikan sebagai (n) dan didefinisikan sebagai:
1, untuk n =0
(n) 2.1.5
0, untuk n 0
Dengan kata lain bahwa deret unit sample adalah sinyal dimana bernilai 0
untuk setiap n selain n=0 dimana nilainya adalah 1. Sinyal ini kadang
disebut dengan sinyal impulse yang ada pada waktu kontinyu.
2. Sinyal Unit Step dinotasikan sebagai u(n) dan didefinisikan sebagai:
1, untuk n 0
u ( n) 2.1.6
0, untuk n 0
3 TKE-5205-BAB II
5. 3. Sinyal Unit Ramp
n, untuk n 0
u r ( n)
0, untuk n 0
4. Sinyal Exponential
x(n) a n untuk setiap n
4 TKE-5205-BAB II
6. apabila a bernilai kompleks maka a re j
dimana r dan adalah parameter, selanjutnya x(n) menjadi:
x(n) re j n
r n (cos n j sin n)
2.1.2.1.2 Klasifikasi Sinyal Waktu Diskrit.
Metode matematis yang digunakan untuk menganalisis sinyal dan sistem
waktu diskrit tergantung dari karakteristik sinyal.
Sinyal Waktu Diskrit diklasifikasikan sesuai dengan perbedaan
karakteristiknya.
Energi Sinyal dan Power Sinyal
Energi E sinyal x(n) didefinisikan sebagai:
5 TKE-5205-BAB II
7. 2
E x ( n)
n
Beberapa sinyal yang mempunyai energi tidak terbatas, mempunyai daya rata-
rata terbatas. Daya rata-rata sinyal waktu diskrit x(n) adalah:
1 N
P lim | x ( n) | 2
N 2N 1 n N
Jika energi sinyal x(n) didefinisikan pada interval terbatas –N < n < N sebagai:
N
EN | x ( n) | 2
n N
Dan energi sinyal dapat didefinisikan sebagai:
E lim E N
N
Dan daya rata-rata sinyal x(n) adalah:
1
P lim EN
N 2N 1
6 TKE-5205-BAB II
8. Sinyal Periodik dan tidak Periodik
Sinyal x(n) periodik dengan perioda N (N>0) jika dan hanya jika
x(n+N) = x(n) untuk setiap n (2.1.15)
Jika tidak ada nilai N yang memenuhi persamaan (2.1.15) sinyal dikatakan tidak
periodik.
Contoh: x(n) = Asin 2 f0n
Sinyal di atas akan periodik apablia f0 bernilai rasional, ini berarti:
k
f0
N
dimana k dan N adalah integer
Energi sinyal periodik x(n) dalam satu perioda, 0 < n < N-1, finite apabila x(n)
bernilai finite dalam perioda tersebut. Daya rata-rata dari sinyal periodik adalah
finite dan nilainya sama dengan daya rata-rata pada satu perioda.
Jadi power dari sinyal periodik dengan perioda N dan mempunyai nilai finite
adalah:
7 TKE-5205-BAB II
9. 1 N 1
P | x ( n) | 2
N n 0
Sinyal simetris (genap) dan tidak simetris (ganjil)
Suatu sinyal berharga real x(n) disebut simetris (genap) jika:
x(-n) = x(n) (2.1.17)
sedangkan suatu sinyal disebut tidak simetris (ganjil) apabila:
x(-n) = -x(n) (2.1.18)
Jika x(n) adalah ganjil, maka x(0)=0
1
x e ( n) x ( n ) x ( n)
2
1
x o ( n) x ( n ) x ( n)
2
x(n) xe (n) xo (n)
8 TKE-5205-BAB II
10. 2.1.3 Manipulasi sederhana Sinyal Waktu Diskrit
Transformasi variable bebas (waktu)
Sinyal x(n) bisa tergeser terhadap waktu dengan mengganti
variable bebas n dengan n-k, dimana k adalah integer. Jika k
adalah integer positif, maka sinyal x(n) akan terdelay sepanjang k
unit waktu.
9 TKE-5205-BAB II
12. Penambahan, perkalian, skala deret.
1. Skala amplituda suatu sinyal dilakukan dengan mengalikan suatu
konstanta A dengan setiap nilai sinyal sample. Sehingga kita peroleh:
y(n) = A x(n) - <n<
(2.1.22)
2. Penjumlahan dua buah sinyal x1(n) dan x2(n) adalah sinyal y(n), dimana
nilai dari setiap titik n pada y(n) adalah penjumlahan dari setiap titik n sinyal
ke-n dari kedua sinyal tersebut.
y(n) = x1(n) + x2(n) - <n< (2.1.23)
3. Perkalian dua buah sinyal didefinisikan sebagai perkalian antara sample
ke-n pada kedua sinyal tersebut.
y(n) = x1(n) x2(n) - <n< (2.1.24)
11 TKE-5205-BAB II
13. 2.2 Sistem Waktu Diskrit
Sistem waktu diskrit adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada
pada sinyal waktu diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk
menghasilkan sinyal waktu diskrit dengan bentuk lain (output atau respons)
sistem tersebut.
Secara umum dinyatakan:
y(n) T x(n)
dimana T adalah simbol trasformasi.
2. 2.2.1 Deskripsi Sistem Input-Output
Menggunakan ekspresi matematis yang menjelaskan hubungan antara sinyal
input dan output ( input-output relationship).
Detail struktur di dalam sistem diabaikan. Cara untuk mengetahui sistem itu
hanya dengan memberikan input dan melihat outputnya.
12 TKE-5205-BAB II
14. T
x(n) y(n)
Contoh: tentukan respons sistem:
| n |, -3 < n < 3
x ( n)
0, untuk nilai n yang lain
dengan input sebagai berikut:
(a) y(n) = x(n)
(b) y(n) = x (n-1)
(c) y(n) = x(n+1)
(d) y(n) = 1/3 [x(n+1)+x(n)+x(n-1)]
(e) y(n) =max {x(n+1),x(n), x(n-1)}
13 TKE-5205-BAB II
15. n
f) y ( n) k x(k ) x(n) x(n 1) x(n 2) ...
Untuk beberapa contoh di atas, nilai y(n) tidak saja bergantung pada nilai x(n)
tetapi tergantung juga pada nilai y sebelumnya. Salah satu contoh yang
menerapkan sistem ini adalah accumulator.
Hubungan input-output accumulator dapat dituliskan sebagai berikut:
n n 1
y(n) x( k ) x(k ) x(n)
k k
= y(n-1) + x(n)
Contoh :
Sebuah accumulator, diberikan input x(n)=n u(n). Tentukan output, jika
kondisinya sebagai berikut: n
y(n) x( k )
a) y(-1) = 0 k
b) y(-1) = 1
14 TKE-5205-BAB II
16. 2.2.2 Representasi Diagram Block Sistem Waktu Diskrit
Cara lain merepresentasikan Sistem Waktu Diskrit adalah menggunakan
diagram blok. Blok-blok dasar untuk menggambarkannya adalah:
Penjumlah (Adder )
Konstanta pengali
Sinyal Pengali
15 TKE-5205-BAB II
17. Elemen unit delay
Elemen unit advance
Gambarkan diagram block sinyal waktu diskrit menggunakan hubungan
input-output dari :
1 1 1
y ( n) y(n 1) x ( n) x(n 1)
4 2 2
16 TKE-5205-BAB II
18. 2.1. 2.2.3 Klasifikasi Sistem Waktu Diskrit
Sistem Statik VS Sistem Dinamik
Suatu sistem waktu diskrit dikatakan static (memoryless) jika output pada
tiap n hanya tergantung pada sample input pada waktu yang sama.
Suatu sistem waktu diskrit dikatakan dinamik (mempunyai memory) apabila
output sistem waktu n ditentukan oleh sample input pada interval dari n-N
sampai dengan N.
Contoh:
Sistem Statik
y(n) = ax(n)
y(n) = nx(n) + bx3(n)
Sistem Dinamik
y(n) = x(n) + 3x(n-1)
17 TKE-5205-BAB II
19. n
y ( n) x(n k )
k 0
Secara umum dua buah sistem ini didefinisikan sebagai:
y(n) T x(n), n
Sistem tidak berubah terhadap waktu (time-invariant) VS Sistem
berubah terhadap waktu (tim-variant)
Teorema:
Suatu sistem T adalah time invariant atau shift invariant jika dan hanya jika
T
x ( n) y ( n)
berlaku
T
x(n k ) y (n k )
18 TKE-5205-BAB II
20. Untuk setiap sinyal input x(n) dan setiap pergeseran waktu k.
Untuk menentukan apakah suatu sistem time invariant diperlukan suatu test:
1. Beri masukan x(n) tertentu ke sistem yang menghasilkan output y(n).
2. Selanjutnya beri masukan x(n) tersebut tetapi dengan delay k, dan hitung
kembali outputnya.
3. Selanjutnya apabila y(n,k) = y(n-k) untuk seluruh harga k yang mungkin,
maka sistem tersebut adalah time invariant. Jika output , walaupun untuk
satu nilai k, maka sistem tersebut adalah time variant.
19 TKE-5205-BAB II
22. Sistem Linier VS Nonlinier
Sistem linier yaitu sistem yang secara umum memenuhi prinsip
superposisi.
Teorema: Suatu sistem dikatakan linier jika dan hanya jika berlaku:
T a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1T [ x1 (n)] a2T [ x2 (n)] (2.2.6)
untuk setiap nilai x1(n) dan x2(n) sembarang dan a1 dan a2 sembarang.
21 TKE-5205-BAB II
23. Representasi grafis prinsip Superposisi. T linier jika dan hanya jika y(n) =
y’(n)
Tentukan apakah sistem di bawah ini linier atau nonlinier:
(a) y(n) = nx(n) (b) y(n) = x(n2) (c) y(n) = x2(n)
(d) y(n) = A x(n) + B (e) y(n) = ex(n)
Sistem Stabil dan tidak Stabil
Teorema: Sistem sembarang disebut BIBO stabil jika dan hanya jika setiap
input yang terbatas menghasilkan output yang terbatas pula.
x(n) Mx y(n) My
(2.2.7)
Interkoneksi Sistem Waktu Diskrit
Sistem Waktu diskrit dapat diinterkoneksikan menjadi suatu sistem yang
lebih besar.
Ada dua cara untuk mengkoneksikan, yaitu kaskade (seri) dan parallel, yang
direpresentasikan seperti gambar di bawah ini.
22 TKE-5205-BAB II
25. 2.3 2.3 Analisis Sistem Linear tidak Berubah terhadap Waktu (LTI)
pada Waktu Diskrit
Pada bagian terdahulu kita mengklasifikasikan sistem menurut beberapa
karakteristik, property, atau kategori, yang disebut: linearitas, stabilitas,
causality, time invariat (tidak berubah terhadap waktu).
Pada bagian ini akan dibahas suatu kelas sistem, yang disebut sistem linear
time invariant LTI (linier tidak berubah terhadap waktu). Sistem ini lebih
mudah dianalisis pada domain waktu dengan menggunakan responnya
berbentuk deret unit sample. Sinyal dapat dipecah dan diperlihatkan sebagai
penjumlahan dari deret unit sample. Sebagai konsekuensi dari sifat linieritas
dan time invariant dari sistem, maka respons sistem untuk input sinyal yang
sembarang dapat diekspresikan dalam respons unit sample dari sistem.
Bentuk umum ekspresi yang berhubungan dengan respons unit sample dari
sistem dan sinyal input sembarang terhadap sinyal output disebut dengan
penjumlahan konvolusi atau formula konvolusi. Dengan ini kita dapat
menentukan output dari sistem linier, time invariant terhadap sembarang
sinyal input.
24 TKE-5205-BAB II
26. 2.3.1 Teknik Analisis Sistem Linier
Ada dua metode untuk menganalisis sifat-sifat atau respons sistem linier
terhadap input yang diberikan.
Metode pertama berdasarkan pada solusi langsung persamaan input-output
dari sistem, dalam bentuk umumnya adalah sebagai berikut:
y(n) F y(n 1), y(n 2),...y(n N ), x(n), x(n 1),...,x(n M ) (2.3.1)
dimana F[.] menyatakan kumpulan fungsi
untuk sistem LTI bentuk umum hubungan input-outputnya:
N N
y(n) ak y ( n k ) bk x(n k ) (2.3.2)
k 1 k 1
ak dan bk parameter konstanta bebas.
25 TKE-5205-BAB II
27. Metode kedua adalah membentuk sinyal input ke dalam penjumlahan
sinyal elementer. Sinyal elementer dipilih sehingga respons sistem untuk
setiap komponen sinyal mudah diperoleh. Dan dengan menggunakan sifat
linieritas sistem, respons sistem terhadap sinyal elementer dijumlahkan
untuk mendapatkan respons total sistem terhadap sinyal input yang
diberikan.
Misalnya x(n) dipecah ke dalam penjumlahan komponen {xk(n)} sinyal
input, sehingga:
x(n) ck k k (n) (2.3.3)
k
dimana {ck} adalah himpunan amplituda sinyal-sinyal x(n). Respons
sistem terhadap komponen sinyal elementer xk(n) adalah yk(k), sehingga:
yk (n) T xk (n) (2.3.4)
Total respons dari input x(n) adalah:
26 TKE-5205-BAB II
28. y(n) T x(n) T ck k k (n)
k
ck T xk (n)
k
ck yk (n)
k
2.3.2 Penyelesaian Sinyal Waktu Diskrit dalam bentuk Impulse
Misalnya kita memiliki sinyal x(n) sembarang yang akan kita pecah menjadi
penjumlahan deret unit sample. sinyal elementernya adalah:
xk (n) (n k ) (2.3.6)
dimana k adalah delay deret unit sample. Untuk mengatasi sinyal x(n) sembarang yang
mempunyai nilai tidak nol pada selang waktu tidak terbatas, maka himpunan impuls
harus juga tidak terbatas.
Contoh:
Perkalian dua buah deret x(n) dan (n-k).
δ(n k ) 0 kecuali n k
Hasil perkalian kedua deret ini adalah sebuah deret yang mempunyai nilai 0 untuk tiap
waktu kecuali pada n=k. x(n)δ(n k ) x(k )δ(n k ) (2.3.7)
27 TKE-5205-BAB II
30. Kesimpulan: setiap perkalian sinyal x(n) dengan unit impulse pada satu delay
waktu k, akan memberikan sebuah nilai x(k) sinyal x(n) pada delay dimana
unit impulse tidak berharga 0.
Jika perkalian ini diulang pada delay, - < k < , dan menjumlahkan seluruh
deret perkalian, maka hasilnya adalah deret yang sama dengan x(n), yaitu:
x ( n) x ( k )δ( n k )
k (2.3.8)
Pada bagian kanan persamaan adalah pernjumlahan anggota yang jumlahnya
tak terbatas deret unit sample dimana deret unit sample (n-k) mempunyai
amplituda x(k). Jadi pada bagian kanan persamaan merupakan penyelesaian
sinyal x(n) sembarang ke dalam bentuk penjumlahan deret unit sample.
29 TKE-5205-BAB II
31. 2.3.3 Respons Sistem LTI untuk Input Sembarang: Penjumlahan konvolusi
Respons sistem y(n,k) terhadap input deret unit sample pada n=k dinyatakan dengan
h(n,k), - < k < , adalah:
y(n, k ) h(n, k ) T δ(n k ) (2.3.9)
n = indek waktu
k = parameter yang menunjukkan lokasi input impulse.
Jika impulse pada input diskalakan oleh , ck x(k ) respons sistem adalah output terskala
sebagai berikut:
ck h(n, k ) x(k )h(n, k ) (2.3.10)
Selanjutnya, jika input adalah sinyal sembarang x(n) yang diekspresikan sebagai
penjumlahan tak berhingga impulse, sebagai berikut:
x ( n) x ( k )δ( n k ) (2.3.11)
k
Dan respons sistem terhadap x(n) adalah:
y(n) T x(n Τ x( k ) ( n k )
(2.3.12)
x(k )T (n k ) x(k )h(n, k )
30 TKE-5205-BAB II
32. Persamaan di atas sesuai dengan sifat superposisi sistem linier, dan disebut dengan
penjumlahan superposisi.
Persamaan (2.3.12) merupakan respons sistem linier terhadap deret input x(n)
sembarang dan merupakan fungsi dari x(n) dan respons h(n,k) dari sistem terhadap unit
impulse (n-k) untuk - < k < . Expresi pada persamaan (2.3.12) tidak berdasarkan
property dari time-invariant, jadi dapat juga berlaku pada sistem time variant.
Jika dilihat dari property time-invariant maka persamaan (2.3.12) perlu diadaptasikan
lebih lanjut. Dalam kenyataannya respons sistem LTI terhadap deret unit sample (n)
adalah h(n), dimana:
h(n) T δ(n) (2.3.13)
Dan berdasarkan sifat time-invariant respons sistem terhadap delay deret unit sample
(n-k) adalah:
h(n k ) T δ(n k ) (2.3.14)
sehingga persamaan (2.3.12) menjadi:
y ( n) x ( k ) h( n k ) (2.3.15)
k
Observasi terhadap sistem LTI secara lengkap dikarakteristikkan oleh fungsi satuan
h(n), yang merupakan respons terhadap deret unit sample (n).
31 TKE-5205-BAB II
33. Persamaan (2.3.15) yang menghasilkan respons y(n) dari sistem LTI sebagai fungsi dari
sinyal input x(n) dan respons unit sample h(n) disebut dengan penjumlahan konvolusi.
Dalam hal ini input x(n) dikonvolusikan dengan impulse respons h(n) untuk
menghasilkan output y(n).
Ada 2 prosedur untuk menghitung respons y(n) terhadap input x(n) dan respons impulse
h(n) sistem , yaitu secara matematis dan secara grafis.
Contoh:
Pada n = n0, maka respons pada n= n0 adalah:
y(n0 ) x(k )h(n0 k) (2.3.16)
k
Ada 4 tahap proses menghitung konvolusi antara x(k) dan h(k), yaitu:
1.Mencerminkan/membalik. Cerminkan h(k) terhadap titik k=0 sehingga menghasilkan h(-k)
2.Menggeser. Geser h(-k) sepanjang n0 ke kanan (ke kiri) jika n0 positif (negatif), untuk
mendapatkan h(n0-k).
3.Perkalian. Kalikan x(k) dengan h(n0-k) untuk mendapatkan deret perkalian vn0(k) x(k)h(n0-k).
4.Penjumlahan. Jumlahkan seluruh nilai deret perkalian vn0(k) untuk mendapatkan harga output
pada waktu n = n0.
32 TKE-5205-BAB II
34. Untuk mendapatkan respons sistem pada selang waktu - < n < maka langkah 2
s.d. 4 diulang untuk seluruh pergeseran waktu - < n < yang mungkin.
Contoh:
Respons impuls dari suatu sistem LTI adalah:
h(n) = {1,2,1,-1}
Tentukan respons sistem untuk sinyal input:
x(n) = {1,2,3,1}
33 TKE-5205-BAB II
36. Tugas:
1. Tentukan dan gambarkan konvolusi y(n) dari sinyal:
1
n 0 n 6
x ( n) 3
0 untuk n yanglain
1 2 n 2
h( n)
0 untuk n yanglain
a. Secara grafis
b. Secara analitis
2. Hitung Konvolusi y(n) dari sinyal
n
3 n 5
x(n)
0 untuk n yanglain
1 0 n 4
h( n)
0 untuk n yanglain
a. Secara grafis
b. Secara analitis
35 TKE-5205-BAB II
37. 2.3.4 Properti Konvolusi dan Interkoneksi Sistem LTI
Konvolusi:
y ( n) x ( n) * h( n) x ( k ) h( n k )
k (2.3.17)
y ( n) h( n) * x ( n) h( k ) x ( n k )
k
(2.3.18)
Sifat-sifat Konvolusi:
1. Hukum Komutatif
x(n) * h(n) = h(n) * x(n) (2.3.19)
2. Asosiatif
[x(n) * h1(n)] * h2(n) = x(n)*[ h1(n) * h2(n)] (2.3.20)
36 TKE-5205-BAB II
38. Contoh
Tentukan respons impulse dari 2 buah sistem LTI yang di-cascade yang mempunyai
respons impulse:
h1(n) = ½ n u(n) dan h2(n) = ¼ n u(n)
3. Distributif
x(n)*[ h1(n) + h2(n)] = [x(n)* h1(n)] + [x(n)*h2(n)] (2.3.21)
Penjumlahan 2 buah respons identik dengan respons sistem keseluruhan dengan impulse
respons
h(n) = h1(n) + h2(n)
Sistem keseluruhan merupakan kombinasi paralel 2 buah sistem LTI.
L
h(n) h j (n)
j 1
(2.3.22)
37 TKE-5205-BAB II
39. 2.3.5 Sistem Kausal LTI
Sistem Kausal: sebuah sistem dimana output pada waktu n tergantung hanya pada nilai
sekarang dan nilai sebelumnya, tidak tergantung pada nilai yang akan datang.
Misal n= n0
y(n0 ) x(k )h(n0 k)
k
Persamaan di atas dibagi menjadi 2 bagian, bagian pertama meliputi nilai input sekarang
dan sebelumnya (x(n) untuk n < n0) , bagian kedua meliputi harga input yang akan
datang (x(n) untuk n > n0). Maka:
1
y(n0 ) h(k )h(n0 k) h(k )h(n0 k)
k 0 k
=[h(0)x(n0) + h(1)x(n0-1) + h(2)x(n0--2) + …] + [h(-1)x(n0+1) + h(-2)x(n0+2) + …]
Jika output pada waktu n= n0 hanya tergantung pada nilai input sekarang dan
sebelumnya, maka jelaslah bahwa respons impulse sistem harus memenuhi kondisi:
h(n) = 0 n < 0 (2.3.23)
38 TKE-5205-BAB II
40. Karena h(n) adalah respons sistem LTI terhadap unit impulse pada n = 0, ini berarti h(n) =
0 untuk n < 0 merupakan kondisi yang perlu dan cukup untuk kausalitas.
Kesimpulan: Sistem LTI kausal jika dan hanya jika responsnya berharga 0 untuk n < 0.
Persamaan konvolusi untuk sistem kausal LTI
n
y(n) h( k ) x ( n k ) x ( k ) h( n k ) (2.3.24)
k 0 k
Kausalitas diperlukan pada aplikasi pemrosesan sinyal real-time.
2.3.6 Stabilitas Sistem LTI
Sistem sembarang disebut stabil BIBO jika dan hanya jika deret output y(n) terbatas untuk setiap
input, x(n), terbatas.
Jika x(n) terbatas, terdapat konstanta Mx, dimana:
|x(n)| < Mx <
Begitu juga dengan output, jika output terbatas, terdapat konstant, My, dimana:
|y(n)| < My <
Jika kita buat harga mutlak persamaan konvolusi di kedua sisinya:
n
y(n) h( k ) x ( n k ) x ( k ) h( n k )
k 0 k
Harga mutlak penjumlahan suatu fungsi selalu kurang dari atau sama dengan penjumlahan dari harga
mutlak fungsi tersebut.
39 TKE-5205-BAB II
41. y(n) x(k ) h(n k )
k
Jika input terbatas, terdapat sejumlah Mx dimana |x(n)| < Mx. Dengan
mensubstitusikan nilai tertinggi x(n), maka:
y(n) Mx h(n k )
k
maka output akan terbatas jika:
Sh h(k ) (2.3.24)
Sistem LTI: stabil jika impulse responsnya dapat dijumlahkan. Kondisi ini bukan
hanya cukup, tetapi juga perlu untuk memastikan kestabilan sistem.
40 TKE-5205-BAB II
42. 2.3.6 Sistem dengan Respons Impulse Terbatas dan tak Terbatas
Sistem LTI berdasarkan respons impulsenya dibagi menjadi 2, yaitu Finite
impulse response (FIR) dan Infinite Impulse Response (IIR).
FIR
M 1
y ( n) h( k ) x ( n k )
k 0 (2.3.25)
IIR
y ( n) h( k ) x ( n k )
k 0 (2.3.26)
41 TKE-5205-BAB II
43. 2.4 Implementasi Sistem Waktu Diskrit
2.4.1 Struktur Realisasi Sistem LTI
Sistem orde-1
y(n) a1 y(n 1) b0 ( x) b1 x(n 1) (2.4.1)
Dapat dilihat menjadi 2 buah sistem LTI yang
dikaskade
v(n) = b0x(n)+ b1x(n-1) (2.4.2)
y(n) = -a1y(n-1)+v(n) (2.4.3)
Direalisasikan pada gambar (a) yang disebut
dengan Struktur Direct form I
Atau dapat diubah menjadi:
w(n) = b0w(n)+ x(n) (2.4.4)
y(n) = b0w(n)+ b1w(n-1) (2.4.5)
Direalisasikan pada gambar (b) dan (c), disebut
dengan struktur Direct Form II
Secara umum struktur Direct Form I dapat dibentuk dari
persamaan:
N M
y(n) a k y (n k ) b x x( n k ) (2.4.6)
k 1 k 0
42 TKE-5205-BAB II
44. M (2.4.7)
v(n) bk x(n k )
k 0
dan sistem rekursifnya:
N
y(n) ak y(n k ) v(n) (2.4.8)
k 1
43 TKE-5205-BAB II
45. M
w(n) ak w(n k ) x(n) (2.4.9) nonrekursif
k 0
M
y(n) bk w(n k ) (2.4.10)
k 0
Sistem orde-2 diperoleh dengan memasukan N=M=2 pada persamaan (2.4.6):
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) (2.4.11)
Struktur Direct Form II dapat dilihat pada gambar (a)
Jika a1 =a2 = 0 maka:
y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) (2.4.12)
Dapat dilihat pada gambar (b)
Jika b1 =b2 = 0 maka:
y(n) a1 y(n 1) a1y (n 2) b0 x(n) (2.4.13)
Dapat dilihat pada gambar (c)
44 TKE-5205-BAB II
46. 2.4.1 Realisasi Sistem FIR Rekursif dan Nonrekursif
y(n) F y(n 1),..., y(n N ), x(n),..., x(n M )
N M
y(n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
y(n) F x(n),..., x(n 1),..., x(n M )
M
y(n) bx x(n k )
k 0
1 M
y ( n) x( n k )
M 1k 0
1
h(n) 0 n M
M 1
1 M 1
y(n) x( n 1 k ) x(n) x(n 1 M )
M 1k 0 M 1
1
y(n 1) x ( n) x ( n 1 M )
M 1
Realisasi Nonrekursif sistem moving average FIR Realisasi rekursif sistem moving average FIR
45 TKE-5205-BAB II
