1. II. Kinematika Robot
1. Pendahuluan
 Definisi :
 Kinematika : Studi analitis pergerakan lengan robot
(robot arm) terhadap sistem kerangka koordinat
referensi yang diam/bergerak tanpa memperhatikan
gaya yang menyebabkan pergerakan tersebut.
terdapat dua topik pembahasan kinematika
 Direct/Forward Kinematics : (angles to positions)
Diketahui : panjang setiap link dan sudut setiap joint
Informasi yang akan diperoleh : posisi dari ujung lengan
robot dalam kerangka 3 D
 Inverse Kinematics : (Positions to angles)
Diketahui : panjang setiap link, posisi ujung lengan robot
Informasi yang akan diperoleh : sudut masing joint untuk 1
dapat mencapai posisi tersebut

2. • Download slide di http://rumah-belajar.org
2

3. II. Kinematika Robot
 Definisi :
 Terminologi Kinematika
 Link, Joint, End-effector, gripper (lihat kuliah yang lalu)
 Base : Link (Link 0) yang terhubung pada kerangka
koordinat diam (fixed) biasanya terhubung langsung pada
sistem kerangka koordinat cartesian (world coordinate)
 Kinematic chain : sejumlah link yang dihubungkan oleh joint
(yang membentuk sebuah manipulator)
 Open kinematic chain : sejumlah link yang memiliki
hubungan kerangka koordinat yang terbuka (acyclic)
 Mixed kinematic chain : sejumlah link yang memiliki
hubungan tertutup
3

4. II. Kinematika Robot
4

5. II. Kinematika Robot
 Review : Vector dan Matriks
 Dot Product: ax
Representasi Geometri: ay
bx
A B A B cosθ A
θ by
Representasi vektor : B
ax bx
A B a xb x ayby
ay by
 Vektor Satuan (Unit Vector)
Vector dalam arah vektor yang dipilih dengan magnituda = 1.
B
uB B
B 5
uB

6. II. Kinematika Robot
 Review : Vector dan Matriks
 Terminologi
 Square matrix A adalah Matriks A (n x n), disebut, Matriks A
berorde n (square matrix of order n) merupakan matriks yang
memiliki jumlah baris dan kolom sama (m = n)
 Diagonal Matrix adalah square matrix, dengan elemen aij = 0 jika
i j
 Identity matriks (Matriks Identitas) adalah diagonal matrix
dimana nilai elemen aij = 1 jika i = j
 Symetric Matrix (Normal Matrix) adalah square matrix dimana
nilai transpose adalah nilai matrik itu sendiri, A = AT atau elemen
aij = aji
 Skew Matrix adalah square matrix dimana nilai elemen aij = - aji
atau jika A adalah Skew Matrix maka A = - AT
 Sebuah symetric matrix A dapat dibuat dari sebuah non-symetric
matrix B, dengan operasi A = B + BT/2
 Orthogonal Matrik adalah AT = A-1 6

7. II. Kinematika Robot
 Review : Vector dan Matriks
 Matrix Multiplication:
 Matriks A (m x n) dan Matriks B (n x p), dapat dikalikan jika
jumlah kolom Matriks A sama dengan jumlah baris Matriks B.
 Perkalian matriks tidak secara umum tidak bersifat komutatif
(Non-Commutative Multiplication) AB is NOT equal to BA
a b e f ae bg af bh
c d g h ce dg cf dh
 Matrix Addition:
a b e f a e b f
c d g h c g d h
7

8. II. Kinematika Robot
 Review : Vector dan Matriks
 Matrix Determinant
n n
 .A aik Aik akj Akj
k 1 k 1
 Cofactor
j k
Ajk 1 M jk
 Inverse Matrix : (matriks cofactor dibagi dengan determinant)
1
a11 a12 . . . a1n A11 A21 . . . An1
a21 a22 . . . a2 n A12 A22 . . . An 2
1
a31 a32 . . . . 1 A13 A23 . . . .
A
. . . . . . A . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
an1 an 2 . . . ann A1n A2 n . . . Ann
8

9. II. Kinematika Robot
 Matrix dan Vector Review
 Karakteristik Matriks
 Rank sebuah matriks A (m x n) = orde dari sub matriks A terbesar
dengan determinan = 0
 Sebuah matrik dengan orde yang lebih besar dari Rank adalah matriks
Singular
 Jika | A | 0, maka Matriks A adalah non singular
 Matriks yang non singular memiliki inverse
 Inverse of a diagonal Matrix a 0 1/ a 0
0 b 0 1/ d
 Inverse dari symmetrical matrix adalah symmetrical matrix
 Inverse dari non-symmetrical matrix adalah non-symmetrical matrix
 Inverse dari perkalian matriks adalah . A B 1 B 1 A 1
9

10.  Transformasi Dasar
 Dua persoalan Transformasi :
 Bagaimana menghitung nilai sebuah titik terhadap sebuah KK
tertentu yang mengalami rotasi
o Penentuan Matrik Rotasi Dasar
 Bagaimana menghitung nilai sebuah titik tehadap sebuah KK
tertentu yang mengalami translasi/pergeseran
o Penentuan Vektor Translasi
 Matrik Rotasi Dasar
 Perhatikan dua buah Kerangka Koordinat (KK) 0XYZ
dan 0UVW yang pada saat awal berimpit
 OXYZ merupakan KK diam
 OUVW merupakan KK bergerak
 Titik P ikut bergerak bersama KK OUVW
 Pada saat KK OUVW bergerak/berputar, titik pusat
(origin) selalu berimpit dengan titik pusat KK OXYZ
(coincident)
10

11.  Matrik Rotasi Dasar
 Titik P dapat direpresentasikan dalam nilai koordinat
terhadap KK OXYZ maupun KK OUVW,
 pUVW = (pu, pv, pw)T
 pXYZ = (px, py, pz)T
 Persoalannya adalah bagaimana menghitung matrik
transformasi (3 x 3) yang akan mentransformasikan
koordinat pUVW menjadi nilai koordinat yang dinyatakan
terhadap KK OXYZ
 pXYZ = R pUVW
11

12.  Matrik Rotasi Dasar
 titik pUVW dan pXYZ , masing-masing dapat dinyatakan
dalam nilai komponen vektor, yang menyatakan proyeksi
titik P terhadap masing-masing sumbu dari KK
 pXYZ = px ix + py jy + pz kz)
 pUVW = pu iu + pv jv + pw kw)
 i, j, k = vektor satuan dalam arah sumbu KK
 Berdasarkan definisi dari Dot product
12

13.  Matrik Rotasi Dasar
 Persamaan sebelumnya dapat diekspresikan ke dalam
bentuk matrik
 Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh nilai koor
dinat pUVW terhadap koordinat pXYZ, pUVW = Q pXYZ
13

14.  Matrik Rotasi Dasar
 Karena Dot Product bersifat komutatif
 Q = R-1 = RT
 QR = RTR = R-1R = I
 Q, R disebut matrik transformasi orthogonal
 Disebut juga matrik transformasi orthonormal karena
elemen-elemen nya berupa vektor satuan (unit vector)
14

15.  Matrik Rotasi Dasar
 Rotasi Terhadap Sumbu X
 Rotasi Terhadap Sumbu Y  Rotasi Terhadap Sumbu Z
15

16.  Matrik Rotasi Dasar
 Rotasi Terhadap Sumbu X
 pXYZ = Rx, pUVW
 ix iu
16

17.  Matrik Rotasi Dasar
 pXYZ = Ry, pUVW
 jy jv
 Rotasi Terhadap Sumbu Y
17

18.  Matrik Rotasi Dasar
 pXYZ = Rz, pUVW
 kz kw
 Rotasi Terhadap Sumbu Z
18

19.  Matrik Rotasi Dasar (Contoh)
 Diketahui dua buah titik auvw = (4,3,2)T dan buvw = (6,2,4)T
terhadap KK OUVW hitunglah nilai titik tersebut terhadap
KK OXYZ (axyz dan bxyz) jika KK OUVW diputar terhadap
sumbu OZ sebesar 60o
19

20.  Matrik Rotasi Dasar (Contoh)
 Diketahui dua buah titik axyz = (4,3,2)T dan bxyz = (6,2,4)T
terhadap KK OXYZ hitunglah nilai titik tersebut terhadap
KK OUVW (auvw dan bovw) jika KK OUVW diputar
terhadap sumbu OZ sebesar 60o
20

21.  Matrik Rotasi Komposit
 Matrik rotasi dasar dapat dikalikan untuk menyatakan
rotasi terhadap beberapa sumbu dari Kerangka Koordinat
 Mengingat bahwa perkalian matriks tidak bersifat
komutatif, maka urutan rotasi terhadap beberapa sumbu
menjadi penting
 Contoh 1, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit.
Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :
 diputar terhadap sumbu OX sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OZ sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut
21

22.  Matrik Rotasi Komposit
 Contoh 2, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit.
Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :
 diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OZ sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OX sebesar sudut
22

23.  Matrik Rotasi Komposit
 KK OUVW (bergerak) selain dapat diputar terhadap KK
OXYZ (referensi/diam) dapat pula diputar terhadap
sumbunya sendiri (sumbu OU, sumbu OV atau sumbu OW)
 Aturan umum untuk menghitung matriks transformasi
komposit yang mencakup dua kemungkinan rotasi diatas
(berputar terhadap sumbu KK diam atau KK dirinya
sendiri) adalah :
 Pada saat awal dua buah KK tersebut berimpit (coincident) dengan
demikian matrik rotasi adalah matrik Identitas/Satuan, I
 Bila KK OUVW diputar terhadap salah satu sumbu dari KK
OXYZ lakukan proses perkalian premultiply sesuai dengan matriks
rotasi dasar dan urutannya
 Bila KK OUVW diputar terhadap salah satu sumbu dari KK nya
sendiri (OUVW) lakukan proses perkalian postmultiply sesuai
dengan matriks rotasi dasar dan urutannya
23

24.  Matrik Rotasi Komposit
 Contoh, Pada saat awal KK OXYZ dan KK OUVW berimpit.
Hitunglah nilai matrik rotasi, apabila KK OUVW berturut-turut :
 diputar terhadap sumbu OY sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OW sebesar sudut , kemudian
 diputar terhadap sumbu OU sebesar sudut
 Perhatikan contoh diatas menghasilkan nilai matrik rotasi komposit
yang sama dengan contoh sebelumnya namun berbeda dalam 24
urutan rotasi

25.  Rotasi Terhadap Sumbu Sembarang
 Selain rotasi terhadap sumbu-sumbu dari KK (diam atau
bergerak) dapat juga terjadi rotasi sebesar sudut terhadap
sebuah sumbu sembarang. OR, yang memiliki komponen
vektor rx, ry, rz melalui titik pusat (origin) KK. Salah satu
keuntungan dengan cara rotasi terhadap sumbu sembarang
adalah tidak diperlukan rotasi terhadap beberapa sumbu dari
KK.
 Untuk menurunkan matrik rotasi, Rr, , pertama kali perlu
dilakukan beberapa kali rotasi terhadap sumbu KK OXYZ
agar sumbu OR searah dengan sumbu OZ. Kemudian
lakukan rotasi terhadap sumbu OR (atau sumbu OZ) dengan
sudut dan terhadap sumbu KK OXYZ untuk
mengembalikan sumbu OR ke posisi semula
25

26.  Rotasi Terhadap Sumbu Sembarang
 Untuk mensejajarkan Sumbu OR dengan sumbu OZ dapat dilakukan dengan
cara memutar sumbu OR terhadap sumbu OX sebesar sudut (sumbu OR
sekarang berada di bidang XZ) kemudian diputar terhadap sumbu OY sebesar
sudut - (Sumbu OR sejajar dengan sumbu OZ).
 Setelah diputar terhadap sumbu OZ (atau sumbu OR) sebesar , kembalikan
lagi sumbu OR ke posisi semula dengan cara membalik urutan diatas dengan
sudut yang berlawanan
26

27.  Rotasi Terhadap Sumbu Sembarang
 Dengan demikian, Matrik Rotasi ,Rr, , yang merepresentasikan putaran
terhadap sumbu sembarang dapat dinyatakan menjadi
Dimana :
27

28.  Rotasi Terhadap Sumbu Sembarang
 CONTOH : Hitunglah matrik rotasi Rr, yang merepresentasikan
putaran sebesar sudut terhadap vektor r = (1, 1, 1)T
Karena vektor r bukan vektor satuan maka komponen vektornya
perlu dinormalisasi sepanjang sumbu-sumbu utama dari KK
OXYZ, yaitu :
Dengan mensubstitusi persamaan diatas dengan persamaan
sebelumnya , diperoleh :
28

29.  Rotasi Dengan sudut Euleur
 Perputaran sudut dari sebuah KK seringkali dinyatakan dalam
perputaran sudut Euler, yaitu , , dan terhadap KK referensi
 Terdapat 3 sistem perputaran sudut Euleur yang pada dasarnya
perbedaannya terletak pada urutan putarannya. Tiga sistem
perputaran ditunjukkan dalam Tabel dibawah ini
Sudut Euler Sudut Euler Sudut Euler
Sistem I Sistem II Sistem III
Urutan (Roll, Pitch
and Yaw
1 Terhadap Terhadap Terhadap
sumbu OZ sumbu OZ sumbu OX
2 Terhadap Terhadap Terhadap
sumbu OU sumbu OV sumbu OY
3 Terhadap Terhadap Terhadap
sumbu OW sumbu OW sumbu OZ
29

30.  Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem I
 Perputaran ini dapat dinyatakan
dalam KK OXYZ (KK referensi)
dengan urutan :
 Terhadap OZ sebesar
 Terhadap OX sebesar , dan
 Terhadap OZ sebesar
30

31.  Rotasi Dengan sudut Euleur Sistem II
 Perputaran ini dapat dinyatakan
dalam KK OXYZ (KK referensi)
dengan urutan :
 Terhadap OZ sebesar
 Terhadap OY sebesar , dan
 Terhadap OZ sebesar
31

32.  Rotasi dengan sudut Euleur Sistem III (Roll, Pitch,Yaw, RPY)
32

33. Matriks Transformasi Homogen
• Matrik Rotasi (3 x 3) C1 S1 0
T1 S1 C1 0
0 0 1
• Vector Translasi (3 x 1)
x1
R1 y1
z1
• Matrik Homogen (4 x 4)
C1 S1 0 x1
S1 C1 0 y1
TH
0 0 1 z1
0 0 0 1
33

34. Matrik Transformasi Homogen
• Bentuk Matrik hanya translasi 1 0 0 x
0 1 0 y
TT
0 0 1 z
0 0 0 1
• Bentuk Matrik rotasi saja
C1 S1 0 0
S1 C1 0 0
TR
0 0 1 0
0 0 0 1
• Aturan matrik transformasi homogen bentuk komposit sama dengan
aturan sebelumnya untuk bentuk rotasi/translasi terhadap KK diam
atau KK berputar.
34

35. D-H Parameters
• Denavit-Hartenberg (D-H) digunakan untuk menggambarkan hubungan
link dari robot dimana link diasumsikan berbentuk benda tegar (rigid body)
• Setiap linki memiliki sebuah kerangka koordinat (KKi).
• Setiap KK ditentukan berdasarkan kaidah [K.S. Fu et.al] :
– Arah sumbu Zi berimpit dengan sumbu pergerakan dari joint i+1
– Arah sumbu Xi  Sejajar Zi-1 X Zi (Cross product).
 Apabila Zi-1 dan Zi paralel, maka arah sumbu Xi sejajar
dengan garis tegak lurus bersama antara Z i-1 dengan Zi.
– Sumbu Yi-1 mengikuti aturan tangan kanan
– Titik pusat KKi
– Pada titik potong antara sumbu Z i-1 dengan Zi di sumbu Zi
z2
– Titik potong garis tegak lurus bersama antara Z i-1 dengan Zi.
z1 Link 2
Joint 3
Joint 2 x2
0
Perhatikan sumbu Z adalah sumbu Joint 35
y1

36. D-H Parameters
• Terdapat 4 parameter
– ai (link length); Jarak dari titik potong antara sumbu Zi-1
dengan sumbu Xi menuju titik pusat KKi sepanjang sumbu Xi LINK
(atau jarak terpendek antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Zi ) PARAMETER
– i (link twist); Sudut dari sumbu Zi-1 menuju sumbu Zi (Lokasi relatif
terhadap sumbu Xi (menggunakan aturan tangan kanan) 2 buah sumbu di
dalam Ruang)
– di (link offset); Jarak dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik
potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi sepanjang sumbu
JOINT
Zi-1
PARAMETER
– i (joint angle); Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi
terhadap sumbu Zi-1 (menggunakan aturan tangan kanan)
36

37. ai (link length)
• ai (link length); Jarak dari titik potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu
Xi menuju titik pusat KKi sepanjang sumbu Xi. (atau jarak terpendek
antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Zi )
• Jarak dari sumbu Zi-1 ke sumbu Z i sepanjang garis tegak lurus
bersama (common perpendicular)
– Common perpendicular adalah jarak terpendek dua buah garis dalam
ruang.
– Common perpendicular tidak selalu terletak di dalam link.
– Jika sumbu ZI-1 dan Sumbu Zi berpotongan ai = 0
– Tidak didefinisikan untuk Joint Prismatic, ai = 0
z1 z2
x2
a2 37

38. i(link twist)
i (link twist); Sudut dari sumbu Zi-1 menuju sumbu Zi terhadap sumbu Xi
– Sudut offset
– Biasanya kelipatan dari 90o
– Sumbu Zi-1 // Zi, i= 0
z2
z1
x2
2
38

39. di (link offset)
• di (link offset); Jarak dari titik pusat KK i-1 menuju ke titik
potong antara sumbu Zi-1 dengan sumbu Xi sepanjang sumbu
Zi-1
– Berupa variabel untuk untuk Prismatic joint
n (Joint Angle)
• Sudut dari sumbu Xi-1 menuju sumbu Xi terhadap sumbu
Zi-1 (menggunakan aturan tangan kanan)
39

40. Robot PUMA 560
40

41. Robot Stanford
41

42. D-H Parameter
• Setelah parameter (a, , d, ) setiap link telah
ditentukan, persamaan matriks homogen dapat dibangun untuk
membentuk hubungan antar KK terdekat (adjacent), atau
hubungan KK i dengan KK i-1, dimana i menyatakan link ke
i, yang pada prinsipnya adalah membuat agar kedua KK
koordinat tersebut berimpit, yaitu melalui urutan operasi
– Putar sebesar sudut i terhadap sumbu Zi-1 agar sumbu Xi-1 dengan sumbu
Xi sejajar/paralel
– Translasikan sejauh di sepanjang sumbu Z i-1 agar sumbu X i dan sumbu
Xi-1 berimpit (coincidence)
– Translasikan sejauh ai sepanjang sumbu Xi agar kedua titik pusat
berimpit
– Putar sebesar sudut i terhadap sumbu Xi agar kedua KK berimpit
42

43. D-H Parameter
• Untuk joint berputar ai, i dan di adalah konstanta, i variabel
memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz,d Tz, Tx,a Tx,
• Bentuk Inverse
43

44. D-H Parameter
• Untuk joint prismatic ai, i dan i adalah konstanta, di variabel
memenuhi hubungan : i-1 A i = Tz, Tz,d Tx,
• Bentuk Inverse
44

45. D-H Parameter
• Contoh Matrik Transformasi untuk Robot PUMA dimana
semua jointnya berputar
45

46. Persamaan Kinematik untuk Manipulator
• Matriks Transformasi homogen 0Ti yang menyatakan lokasi KK ke i
terhadap kerangka koordinat dasar (base, KK ke 0) merupakan rantai
perkalian dari matrik transformasi i-1Ai dan diekspresikan sebagai :
• Dimana
[xi, yi, zi] = Matrik orientasi KKi pada link i terhadap KK dasar/base .
Merupakan matriks 3x3, terletak disebelah kiri atas dari 0Ti
pi = Vektor posisi yang berarah dari titik pusat KK dasar menuju
titik pusat KK i. Merupakan vektor 3x1, terletak disebelah
kanan atas dari 0Ti
46

47. Persamaan Kinematik untuk Manipulator
• Sebagai contoh, untuk i = 6, matrik transformasi T = 0A6, yang
menyatakan posisi dan orintasi dari ujung lengan robot terhadap KK dasar
(matriks ini seringkali disebut arm matrix), yang berbentuk :
47

48. Persamaan Kinematik untuk Manipulator
• Dimana (diasumsikan bentuk tangan parallel-jaw)
n = Normal vector, arah tegak lurus terhadap jari dari tangan robot
s = Sliding vector, searah dengan pergerakan jari, gripper open/close
a = Approach vector, arah tegak lurus dengan telapak/muka tangan
p = Position vector, arah dari titik pusat KK dasar menuju titik pusat KK
tangan
48

49. Persamaan Kinematik untuk Robot PUMA
• Dimana
49

50. Persamaan Kinematik untuk Robot PUMA
• Persamaan Arm Matrix, 0T6
50

51. Tugas Akhir (Manipulator and Mobile Robot)
Low-level control
• motors E
• purely reactive control
• behavioral control
Sensing and Modeling
A C
• sensors
• kinematics
• workspace modeling
Spatial reasoning
X
• decomposing space
• path planning with
• and w/o full knowledge
Handling uncertainty
• building maps
• localization
• sensor fusion & filtering
B D
Vision
• tracking
E 51
• visual servoing

52. • Download slide di http://rumah-belajar.org
52