Fundamentos da Computação e Matemática Construtiva

Histórico e
Perspectivas
R u y J . G . B . d e Q u e i r o z
F e v e r e i r o 2 0 1 5
sexta-feira, 6 de março de 15

Primeiros Momentos
Na UFPE
Posse: 18 Fev 1993. Anteriormente: PhD
Imperial College (defesa Fev/1990), RA em 2
Projetos Europeus (1989-1993)
Ensino: Graduação: Lógica (desde Fev/
1993), Teoria da Computação (desde 2002).
Pós-Graduação: Teoria da Computação,
Lógica Matemática, Criptograﬁa
Pesquisa: Teoria da Prova / Teoria dos
Tipos, Teoria dos Modelos, Criptograﬁa e
Segurança Computacional.

Fundamentos da Computação vs
Fundamentos da
Matemática Construtiva
Desde a publicação de um artigo na revista
Dialectica em 1988, até a disponibilização de 2
artigos no portal arXiv.org em Jul/2011
(versão mais recente em Mai/2013) e em Dez/
2014 (em co-autoria com um aluno de
mestrado), o projeto busca uma formalização
da Matemática Construtiva com uma
semântica no estilo “signiﬁcado-como-uso”.

Gödel’s Dialectica
Interpretation
“In proof theory, the Dialectica
interpretation is a proof interpretation of
intuitionistic arithmetic (Heyting arithmetic)
into a ﬁnite type extension of primitive
recursive arithmetic, the so-called System T.
It was developed by Kurt Gödel to provide a
consistency proof of arithmetic. The name of
the interpretation comes from the journal
Dialectica where Gödel’s paper was published
in a special issue dedicated to Paul Bernays
on his 70th birthday.”

Teoria da Prova e
Teoria dos Tipos
Peças do programa de pesquisa: 1988 (1
Symp.), 1990/1991 (2 journal), 1991 (1
journal), 1992 (1 journal), 1994 (1 journal, 1
conferência),1995 (1 journal), 1999 (1 cap.
livro, 1 journal), 2001 (1 journal), 2003
(Assinatura do contrato para publicação do livro
pela World Scientiﬁc), 2006: (Visiting Professor em
Stanford: apresentação de seminário no Dept
Phil), 2008 (1 journal), 2011 (1 journal, 1 livro
pela World Scientiﬁc, 1 arXiv.org), 2014 (1 cap. de
livro, 1 arXiv.org).

Ponto de Partida
Ponto de partida desde 1985 (2o ano do
Doutorado):
Para formular os fundamentos da teoria da
computação, seria preciso tomar por base
os fundamentos da matemática construtiva
Matemática intuitionística (Brouwer, 1906):
objetos matemáticos são construções
mentais. Prova de existência: algoritmo.

Intuicionismo de
L.E.J. Brouwer (1907)
Primeiro Ato do Intuicionismo:
“Completely separating
mathematics from mathematical
language”
Segundo Ato do Intuicionismo:
“Admitting two ways of creating
new mathematical entities”

Lógica
Intuicionística
Arend Heyting (1898-1980), aluno de
Brouwer, formalizou em 1930 os princípios
lógicos da Matemática Intuicionística
tomando por base o conceito de prova, ao
invés do conceito de verdade.
Interpretação de Brouwer-Heyting-
Kolmogorov: o signiﬁcado de uma
proposição é dado pelo que constitui uma
prova dessa proposição.

Michael Dummett e o
Anti-Realismo
“In analytic philosophy, the term anti-realism
describes any position involving either the denial
of an objective reality or the denial that
veriﬁcation-transcendent statements are either true
or false.”
“The term was coined by Michael Dummett, who
introduced it in his paper Realism (1982) to re-
examine a number of classical philosophical
disputes involving such doctrines as nominalism,
conceptual realism, idealism and phenomenalism.”

Michael Dummett:
crítica a Brouwer
“As pointed out by Dummett, this whole way
of arguing with its stress on communication
and the role of the language of mathematics is
inspired by ideas of Wittgenstein and is very
different from Brouwer’s rather solipsistic
view of mathematics as a languageless
activity. Nevertheless, as it seems, it
constitutes the best possible argument for
some of Brouwer’s conclusions.” (Prawitz
1978)

Dummett-Prawitz e o
Verificacionismo
“I have furthermore argued that the rejection
of the platonistic theory of meaning depends,
in order to be conclusive, on the development
of an adequate theory of meaning along the
lines suggested in the above discussion of the
principles concerning meaning and use. Even if
such a Wittgensteinian theory did not lead to
the rejection of classical logic, it would be of
great interest in itself.” (Prawitz 1977)

Gentzen e
Significado via Prova
“The introductions represent, as it were, the
‘definitions’ of the symbols concerned, and
the eliminations are no more, in the final
analysis, than the consequences of these
definitions.” (Investigations into Logical
Deduction, 1934)

Witgenstein e
Provas como Significado
“I once said: ‘If you want to know what a
mathematical proposition says, look at what
its proof proves’. Now is there not both truth
and falsehood in this? For is the sense, the
point, of a mathematical proposition really
clear as soon as we can follow the proof?”

Ludwig Wittgenstein e
“Significado-como-uso”
“the meaning of a word is its use in the
language” (Philosophical Investigations)
“Meaning, function, purpose, usefulness —
interconnected concepts.” (Last Writings on the
Philosophy of Psychology I)

Wittgenstein e
“consequencias”
“One learns the meaning of ‘all’ by learning that ‘fa’
follows from ‘(x).fx’.” (Tractatus)
“The possibility of inference from (x).fx to fa shows that
the symbol (x).fx itself has generality in it.” (Prototractatus)
“what propositions follow from a proposition must be
completely settled before that proposition can have a
sense!” (Notebooks, 1915)
“What are you telling me when you use the words . . .? What
can I do with this utterance? What consequences does it
have?” (Last Writings on the Phil. of Psych. I, late 1940s)

Intuição Original
“Will you think that I have gone mad if I
make the following suggestion?: The sign
(x).φx is not a complete symbol but has
meaning only in an inference of the kind:
from ⊢ φx⊃xψx.φ(a) follows ψ(a). Or more
generally: from ⊢ (x).φx.ε0(a) follows φ(a). I
am—of course—most uncertain about the
matter but something of the sort might really
be true.” (Carta a Bertrand Russell, datada
01/07/1912)

Regras de Redução e
Jogos de Linguagem
J. Hintikka (1973): Game-Theoretical Semantics
P. Lorenzen (1958, 1961): Dialogue-Games
Semantics
Regras de Normalização: o efeito das regras
de eliminação sobre as regras de introdução
faz o papel de “Nature” (Hintikka) e de
“Opponent” (Lorenzen). (Dialectica 1994)

Participação no
Wittgenstein Symposium
1988, 1989 e 1991
1 artigo nos proceedings, e 2 abstracts
Em 1988, David Pears (co-autor da tradução
inglesa do Tractatus) foi o chair da sessão

Gentzen, Dummett,
Prawitz, Martin-Löf
“The intuitionists explain the notion of proposition,
not by saying that a proposition is the expression
of its truth conditions, but rather by saying, in
Heyting’s words, that a proposition expresses an
expectation or an intention, and you may ask, An
expectation or an intention of what? The answer is
that it is an expectation or an intention of a proof
of that proposition. And Kolmogorov phrased
essentially the same explanation by saying that a
proposition expresses a problem or task (Ger.
Aufgabe). ”

Gentzen, Dummett,
Prawitz, Martin-Löf
“Soon afterwards, there appeared yet another
explanation, namely, the one given by Gentzen,
who suggested that the introduction rules for the
logical constants ought to be considered as so to
say the deﬁnitions of the constants in question, that
is, as what gives the constants in question their
meaning. What I would like to make clear is that
these four seemingly different explanations
actually all amount to the same, that is, they are
not only compatible with each other but they are
just different ways of phrasing one and the same
explanation.” (Per Martin-Löf 1985)

Teoria de Tipos:
Per Martin-Löf
“The difference, then, between constructive mathematics and
programming does not concern the primitive notions of the one or
the other, because they are essentially the same, but lies in the
programmer’s insistence that his programs be written in a formal
notation so that they can be read and executed by a machine,
(...)”
“What I have just said about the close connection between
constructive mathematics and programming explains why the
intuitionistic type theory, which I began to develop solely with
the philosophical motive of clarifying the syntax and
semantics of intuitionistic mathematics, may equally well be
viewed as a programming language (...)”
(“Constructive Mathematics and Computer Programming”, LMPS, 1979)

Curso sobre o trabalho
em Riga (Mai-Jun/2010)
“Of this sizeable literature, we will merely
look at philosophical papers by the logician
Ruy de Queiroz , who discusses the relation
[between] proof-theoretic semantics and
game semantics from that point of
view.” (Logic: From Truth to Proofs and Games,
21/05 a 09/06/2010, Latvijas Universitate,
Riga)

Tema em Foco:
Provas de Identidade
Uma ampla frente de pesquisa na área de fundamentos da
matemática tem sido explorada desde 2005 por matemáticos como
Vladimir Voevodsky (Medalha Fields, 2002) e Steve Awodey
(CMU) na tentativa de construir uma ponte entre a teoria de
tipos e a teoria da homotopia, principalmente através da estrutura
de grupóide revelada no contramodelo de Hoffman–Streicher
(1994) ao princípio da Unicidade de Provas de Identidade (UIP). Isso
tem aberto caminho para, nas palavras de Awodey, “uma nova e
surpreendente conexão entre Geometria, Álgebra, e Lógica, que
tem vindo à tona recentemente na forma de uma interpretação da
teoria construtiva de tipos de Per Martin-Löf na teoria da
homotopia, resultando em novos exemplos de certas estruturas
algébricas que são importantes em topologia”. (“Type Theory and
Homotopy”, preprint, 2010.)

(cont.)
Motivados por um olhar sobre as igualdades
em teoria de tipos como surgindo da
existência de caminhos computacionais entre
dois objetos formais, nosso propósito é
oferecer uma nova perspectiva sobre o papel
e o poder da noção de igualdade
proposicional tal qual formalizada na
chamada interpretação funcional de Curry–
Howard. (R.deQ. & A. de Oliveira,
arXiv.org, 2011)

Teoria de Tipos e
Teoria da Homotopia
“Homotopy type theory is a new branch of
mathematics that combines aspects of several
different ﬁelds in a surprising way. It is based on a
recently discovered connection between homotopy
theory and type theory. It touches on topics as
seemingly distant as the homotopy groups of
spheres, the algorithms for type checking, and the
deﬁnition of weak ∞-groupoids.” (Homotopy Type
Theory, Institute for Advanced Study, Princeton
Open-source book: 27 main authors. Available on
GitHub. Latest version March 2014.)

(cont.)
“All of this work can be seen as an
elaboration of the following basic idea: that in
Martin-Löf type theory, a type A is analogous
to a topological space; elements a, b ∈ A to
points of that space; and elements of an
identity type p,q ∈ IdA(a,b) to paths or
homotopies p,q : a → b in A.” (B. van den Berg
and R. Garner. “Topological and simplicial
models of identity types”, ACM Transactions on
Computational Logic, Jan 2012.)

(cont.)
Conexões entre provas de identidade e
homotopias:
a, b : A
p, q : IdA(a,b)
α, β : IdIdA(a,b)(p,q) (···)
Agora, considere a seguinte interpretação:
Tipos - Espaços; Termos - Mapas; a:A - pontos;
p:IdA(a,b) - caminhos; α : IdIdA(a,b)(p, q) -
homotopias

Interpretação
Categórica
“We propose a categorical interpretation for
this new entity, using the types as objects and
the rules of rewrites as morphisms.
Moreover, we show that our interpretation is
in accordance with some known results, like
that types have a groupoid structure.”. (A.
Ramos, R.deQ. & A.de Oliveira, Dez/2014,
arXiv.org:1412.2105)
“sequencia de reescrita” como prova de “=” (1993)

Univalent Foundations of
Mathematics
“From an observation by Grothendieck:
Formalism of higher equivalences (theory
of grupoids) = Homotopy theory (theory of
shapes up to a deformation)
combined with some other ideas it leads to an
encoding of mathematics in terms of the
homotopy theory. Unlike the usual encodings
in terms of set theory this one respects
equivalences.” (V. Voevodsky, Mar/2014)

Teoria de Tipos:
Certificação de Provas
“Type theory as coming originally from Whitehead-Russell and
simpliﬁed and essentially extended by Ramsey (simplifying),
Church (adding lambda terms), de Bruijn (adding dependent
types), Scott (adding inductive types with recursion), Girard
(adding higher order types), Martin-Löf (showing the natural
position and power of intuitionism) all lead to proof-checking
based on type theory with successes like the full formalization of
the 4CT and the Feit-Thompson theorem by Gonthier and
collaborators and the forthcoming one of the Kepler conjecture
by Hales and collaborators.
Now, there are some difﬁculties with types (which someone
else may like to describe). For this reason there is work in
progress by Voevodsky and collaborators to modify this
theory.” (Henk Barendregt, 21/02/2014, Lista FOM)

Verificação do
Raciocínio Matemático
“The roadblock that prevented generations of
interested mathematicians and computer
scientists from solving the problem of
computer veriﬁcation of mathematical
reasoning was the unpreparedness of
foundations of mathematics for the
requirements of this task.” (Vladimir
Voevodsky, Mar 2014)

Escola de Verão da
Matemática (UFPE)
2012: Organizador do curso Homotopy Types
and Type Theory, por Peter Lumsdaine, com
apresentação de tutorial introdutório
2013: Organizador do curso Homotopy Type
Theory, por Michael Warren
2014: Organizador do curso Homotopy Theory,
por Eric Finster (cancelado de última hora)

Orientação de Teses
na Pós da Matemática
1 Tese de Doutorado em Matemática (2011)
(c/co-orientação de Thomas Scanlon (Univ
Calif Berkeley))
1 Tese de Doutorado em Matemática
Computacional (2012)
1 Dissertação de Mestrado em Matemática
(2013)

Frege e as Origens
do Lambda Cálculo
“função como regra”: abstração e aplicação, o Grundgesetze
der Aritmetik I (1893) de Frege já trouxe:
notação: éf(e) (Frege) (cp. λef(e), Church)
β-redução
η-redução
dicotomia “extensional vs intensional”
numerais como termos, e formalização da aritmética
através do lambda-cálculo

Premiação
Internacional
Edward Larocque Tinker Visiting Professor, Dept
of Philosophy, Stanford University, indicado
por Solomon Feferman & Grigori Mints,
2005.
Indicação de Solomon Feferman (Rolf Schock
Prize in Logic 2003) e Grigori Mints

Criação de evento
internacional
WoLLIC: em 2015 (Indiana Univ,
Bloomington, USA) na sua 22a edição.
Ranking: 32 em “Theory &
Algorithms” (Microsoft Academic), “B” (CORE
2014), índice h5 10 e mediana 15 (Google
Scholar).
Próximas edições: Puebla (2016), Utrecht
(2017), Bogotá (2018), Chennai (2019),
Arequipa (2020).

Participação no
Plano Internacional
Eleição para o Council da Association for Symbolic
Logic (2007-2009)
Membro do ASL Committee Logic in Latin America
Participação no advisory group do Rolf Schock Prize in
Logic and Philosophy, Royal Swedish Academy of
Sciences (2007, 2009, 2011, 2014)
Participação no Comitê de Premiação do E.W. Beth
Dissertation Prize (desde 2011), FoLLI e Academia
Holandesa de Ciências

Participação em
Comitê Científico
Executive Editor, Logic J IGPL, 1993-2010
Editor-in-Chief, Logic J IGPL, 2010-pres.
Associate Editor, Journal of Computer and System
Sciences, Elsevier
Area Editor, FoLLI series, Lecture Notes in Computer
Science, Springer
Editorial Board, Cadernos em Lógica e Computação,
College Publications

Participação como
Guest Editor
Theoretical Computer Science (3 issues)
Annals of Pure and Applied Logic (2 issues)
Journal of Computer Systems and Sciences (3 issues)
Information and Computation (3 issues)
Fundamenta Informaticae (1 issue)
Matemática Contemporânea (1 issue)

Co-Autoria com
Pares
Co-autoria (ou co-organização) de trabalhos
com:
Hodges, Macintyre, Mints, Leivant, Kozen,
Kohlenbach, Baldwin, Ong, Libkin,
Beklemishev, Scedrov, Dawar, Ono,
Kanazawa, Poizat, Artemov, Barceló,
Cégielski, Feferman, Lifschitz, Kreinovich,
de Paiva, Pereira, Haeusler, Gabbay,
Maibaum.

Brasil e
América Latina
Comitê Editorial, South American Journal of
Logic
Comitê Técnico Cientíﬁco, Rede Nacional de
Segurança da Informação e Criptograﬁa, Centro
de Defesa Cibernética, Exército Brasileiro
Comitê Editorial, Revista Enigma, RENASIC

Organizador de
Livro Especializado
Logic for Concurrency and Synchronisation,
Kluwer, 2003. (Resultado de Projeto
ProTeM)
Proofs, Categories and Computations - Essays in
Honor of Grigori Mints, Solomon Feferman &
Wilfrid Sieg (eds.), with the collaboration of
Vladik Kreinovich, Vladimir Lifschitz & Ruy
de Queiroz, Coll. Pub., London, 2010.
Anais: 7 volumes com LNCS (Springer)

Atuação como
Tradutor
Model Theory, María Manzano, Oxford Univ Press,
1999. (Tradução do original em espanhol)
Matemática Discreta, Lovasz (Sociedade Brasileira
de Matemática), 2003
Introdução à Teoria da Computação, Michael Sipser
(Thomson), 2009
Uma Versão Mais Curta de Teoria de Modelos, Wilfrid
Hodges, College Publications, London, 2012

Ensino
Graduação: Lógica: 1993-presente (exceto
2006.1); Informática Teórica: 2001-presente,
Álgebra, Algoritmos, Teoria dos Conjuntos,
Criptograﬁa, Segurança, Lambda-Cálculo
Pós-Graduação: Algoritmos, Lógica
Matemática, Computabilidade, Criptograﬁa,
Segurança, Teoria dos Conjuntos, Lambda-
Cálculo, Teoria das Categorias (2015.1)

Divulgação
Científica
Palestra intinerante sobre “Problemas Decidíveis
e Problemas Indecidíveis - O Legado de Alan
Turing”:
Iniciado em 2012 (Alan Turing Centennary Year)
Percorreu mais de 30 instituições: UFPE, USP,
UFRGS, UFRJ, UFF, UFU, UFC, UFMA,
UFBA, UFAL, UFCG, UFG, UNIVASF, UFS,
UnB, UESB, U Catól. Salvador, UFRPE,
Tempest, UFRN, UEFS, INPE (Nov/2014)

Ampliando a
Área de Atuação
A partir de 2001: ensino e orientação em
Criptograﬁa Teórica, motivado por uma busca
de melhor entendimento do conceito provas de
conhecimento zero
Ensino e orientação em Segurança
Computacional

Pós-Stanford
(2006-presente)
Ensino e orientação em temas interdisciplinares:
Teoria da Inovação e a Aplicação do Método
Cientíﬁco no desenvolvimento de empowering
innovations (Clayton Christensen) e scalable
startups (Steve Blank)
Tecnologia e Sociedade: privacidade,
propriedade intelectual, ciberativismo,
colaboração, leis do ciberespaço, anonimato,
liberdade de expressão, surveillance, connected
learning

Temas
Interdisciplinares
Teses e Dissertações Recentes
“Conteúdo Digital em Computação em Nuvem” (D) (2014)
“Proteção à Privacidade em Prontuário Eletr. do Paciente”(D)
(2014)
“Proteção à Privacidade em Publicidade Comportamental”(D)
(2014)
“Direito de Autor versus Direito de Acesso” (M) (2014)
2 em “Privacidade na Era da Internet” (M) (2013)

Publicações em
Law & Technology
1 artigo em Information, Communication and
Society (2013)
1 artigo em European Journal in Law and
Technology (2014)
1 artigo em Script-Ed (Edinburgh Law
School) (2014)

Connected Learning
1 aluna de Doutorado, 2 alunos de Mestrado
Workshop: Ludis Doctrina, 8-9/Mai/2014, CIn
Co-orientação de Tese de Doutorado com
Constance Steinkuehler (Univ Wisconsin,
Senior Policy Analyst, White House, 2011-12
em videogames and learning): Doutorado-
sanduíche iniciado em Fev/2015.
Projeto ﬁnanciado pelo Edital Universal 2013

Liderança de Grupos
de Pesquisa (CNPq)
Fundamentos Lógicos da Matemática (em
parceria com Depto. Matemática (UFPE))
Fundamentos da Segurança Computacional
Empreendedorismo Cientíﬁco e Startups Escaláveis

Contribuições para
a Wikipédia
Desde 2005, incentivo à produção de artigos
(originais ou traduções) em cada uma das
disciplinas ministradas
Resultado: mais de 500 entradas na
Wikipédia, a grande maioria em português

Outras Atividades
Acadêmicas
1998: Elaboração e Implantação dos
Trabalhos de Graduação (TG) do CIn
1998-presente: Coordenação da disciplina de
TG, sem apoio administrativo
Comissões de Seleção da Pós-Graduação
2 Comissões de Investigação de Invasão do
Sistema de Gestão Acadêmica (SIGA)

Artigos de Opinião
Gazeta Mercantil
O Globo Online
Investimentos e Notícias
Observatório da Imprensa

Participação em
Bancas de Direito
2010: Controle Estatal da Internet, (D), Maria Amália
Arruda Câmara, Fac. Direito, UFPE, Dez/2010
2011: Impactos da Virtualização da Sociedade no Mundo
Jurídico: modiﬁcações no conceito de sujeito de direito,
(M), Jaziel Lourenço Filho, Fac. Direito, UFPE,
Ago/2011
2014: Forma da declaração de vontade na internet - Do
contrato eletrônico ao testamento digital, (D),
Ivanildo Figueiredo, Fac. Direito, UFPE,
Mar/2014

Participação em
Pós-Graduação
Ciência da Computação, UFPE
Matemática Computacional, UFPE
Matemática, UFPE, 2008-2014

Iniciação Científica em
Matemática e Filosofia
2 projetos de iniciação científica (2 alunos)
em Filosofia (Lógica), 2007-2012.
2 projetos de iniciação científica (2 alunos)
em Matemática (Lógica), 2009-2012.

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