1. Value-at-Risk:
Overview, Parte 2
Análise de Risco (2)
R.Vicente
1

2. Resumo
PARTE 1: MEDINDO VaR
Fatores de Risco
Valor em Risco (VaR)
Profit & Loss (P&L)
VaR Paramétrico
Calculando o VaR
PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES
Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA)
Estimando Correlações
GARCH
PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES
Letras “Gregas”
Aproximação Delta
Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)
Aproximação Delta-Gama
Aproximação de Cornish-Fisher
Transformações de Johnson
Bibliografia
2

3. Parte 1
Medindo VaR
3

4. Fatores de Risco
Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de
mercado:
V ( S1 , S 2 ,..., S N )
Estes fatores podem ser :
• Preços de mercado;
• Taxas de juro;
• Spreads de crédito;
A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no
valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:
ΔV (S1, S2 ,..., SN ) =V (S1(t +Δt),..., SN (t +Δt)) −V (S1(t),..., SN (t))
Profit & Loss
4

5. Value at Risk
−VaRx %
P(ΔV < −VaRx % ) = ∫ dv p (v) = 1− x
−∞
x%
FATOR 1
Nível de confiança x
Janela
FATOR 2 de
Tempo VaRα
Mark-to-market
σ 5

6. Benchmark Value at Risk
Retorno Esperado Livre de Risco
B-VaR x
r ( t ) Δt
Δ BV (S) = V (S(t + Δt )) −V (S(t ))e 6

7. P&L como Combinação Linear dos
Fatores de Risco
V (S(t + Δt )) ≈ V (S(t ) + ΔS)
∂VN
V (S + ΔS) ≈ V (S) + ∑ ΔS j
j =1 ∂S j
Equivalente N
∂V ⎛ ΔS j ⎞
⎜ ⎟
Delta ΔV ≈ ∑ S j ⎜
⎜ S ⎟
⎟
⎟
j =1 ∂S j ⎜ j ⎠
⎝
∂V ΔS j N
δj ≡ S j Rj ≡ ΔV ≈ ∑ δ j R j
∂S j Sj j =1
7

8. P&L como Combinação Linear dos
Fatores de Risco: Exemplo
P&L em Reais de Ação negociada em Dólar:
V ( S A , S FX ) = S A S FX
ΔV ≈ δ A RA + δFX RFX
∂V
δA ≡ S A = S A S FX = V
∂S A
∂V
δFX ≡ S FX = S FX S A = V
∂S FX
ΔV ≈ V ( RA + RFX )
8

9. P&L com Benchmark
Δ BV ≈ V ( S + ΔS ) −V ( S )e rΔt
N
Δ BV ≈ V ( S ) + ∑ δ j R j −V ( S )(1 + rΔt )
j =1
N
Δ BV ≈ ∑ δ j R j −VrΔt
j =1
9

10. VaR Paramétrico
Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano
geométrico:
dS (t )
= μdt + σ dW (t ) ,
S (t )
onde dW(t) é um processo de Wiener com
dW (t ) = εt dt εt ~ N (0,1)
Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:
⎛ σ2 ⎞
RΔt = ⎜μ − ⎟ Δt + σε Δt
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎝ 2⎠ ⎟
10

11. VaR Paramétrico
Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos
têm valor esperado nulo:
RΔt = σε Δt
O P&L futuro na janela de tempo Δt para um ativo com um único
fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:
ΔS ≈ S σε Δt ε ~ N (0,1)
11

12. VaR Paramétrico
Utilizando volatilidade diária e Δt = 1
obtemos o P&L potencial para 1
dia como:
ΔS ≈ Sσε
Empregando a definição de VaR:
P (ε ) VaR = ασ S
Confiança α
ε=0 95% 1,645
97,5% 1,960
ε = −ασ 99% 2,326
(1-x) %
12

13. VaR Paramétrico com Benchmark
A perda potencial considerando o benchmark é:
ΔS ≈ −ασ S − Sr
Empregando a definição de VaR:
VaR = (ασ + r ) S
13

14. VaR de uma Carteira
Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de
Risco:
Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal
multidimensional:
1 ⎡1 −1 ⎤
p(R ) = exp ⎢ R ⋅ C R ⎥
2π Det (C) ⎢⎣ 2 ⎥⎦
Temos que:
Rj = 0 R j Rk = C jk
14

15. VaR de uma Carteira
O VaR da carteira é: VaRPort = ασ PortV
σ Port = (ΔV ) − ΔV
2 2 2
⎡ ⎤
2
= ∑ δ j δk R j Rk − ⎢⎢ ∑ δ j R j ⎥⎥
jk ⎢⎣ j ⎥⎦
= ∑ δ j δk C jk
jk
onde C jk é a matriz de covariância.
15

16. VaR de uma Carteira
Alternativamente podemos escrever:
VaRPort = ασ PortV
= αV ∑δ δ C
jk
j k jk
⎛ C jk ⎞ ⎟
⎜
= ∑ (αV σ j δ j )⎜ ⎟
⎜ ⎟(αV σk δk )
⎟
jk ⎜ σ j σk ⎠
⎝
= ∑ VaR ρ
jk
j jk VaRk
= VaR ⋅ ρVaR Matriz de
Correlação 16

17. Parte 2
Estimando Volatilidades e Correlações
17

18. Estimando Volatilidades
Média Móvel
1 T 2
σ MA (t ) = ∑ R (t − j )
T j=1
EWMA(Exponentially Weighted Moving Average)
T
σ EWMA (t ) = (1− λ )∑ λ j−1 R 2 (t − j )
j =1
18

19. c/ 98%
Intervalo
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
-12%
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
fev-01 fev-01
mar-01 mar-01
abr-01 abr-01
mai-01 mai-01
jun-01 jun-01
jul-01 jul-01
ago-01 ago-01
set-01 set-01
out-01 out-01
nov-01 nov-01
dez-01 dez-01
MA (21 d.u.)
jan-02 jan-02
Estimando Volatilidades
fev-02 fev-02
mar-02 mar-02
abr-02 abr-02
EWMA (fator de decaimento=0,97)
mai-02 mai-02
jun-02 jun-02
jul-02 jul-02
ago-02 ago-02
10
11
falhas
19
falhas

20. -12%
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
-12%
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
fev-01 fev-01
mar-01 mar-01
abr-01 abr-01
mai-01 mai-01
jun-01 jun-01
jul-01 jul-01
ago-01 ago-01
set-01 set-01
out-01 out-01
nov-01 nov-01
dez-01 dez-01
jan-02 jan-02
Estimando Volatilidades
fev-02 fev-02
mar-02 mar-02
EWMA (fator de decaimento = 0,70)
abr-02 abr-02
EWMA (fator de decaimento=0,97)
mai-02 mai-02
jun-02 jun-02
jul-02 jul-02
ago-02 ago-02
22
11
falhas
20
falhas

21. EWMA: Exponentially
Weighted Moving Average
O estimador EWMA para volatilidades é definido como:
T
∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
σt =
ˆ τ =1
T
, 0 < λ <1
∑ λ τ −1
τ =1
Observando que o fator de normalização é por uma progressão
geométrica:
T
1− λ T +1
∑ λ = 1− λ
τ =1
τ −1
21

22. EWMA: Exponentially
Weighted Moving Average
Assim:
T
(1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
σt =
ˆ τ =1
T +1
, 0 < λ <1
1− λ
Utilizando janelas infinitas teremos:
∞
σt = (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
ˆ
τ =1
22

23. EWMA:Forma Recorrente
O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:
∞
ˆt2 = (1−λ)∑λτ−1Rt2 τ
σ −
τ =1
= (1−λ)(R +λR +λ R + )
2
t−1
2
t−2
2 2
t−3
= (1−λ) R +λ(1−λ)(R +λR +λ R + )
2
t−1
2
t−2
2
t−3
2 2
t−4
∞
= (1−λ)Rt2 1 +λ(1−λ)∑λτ−1R(2t−1)−τ
−
τ =1
= (1−λ)Rt2 1 +λσt2−1
− ˆ
23

24. EWMA: Janela Efetiva
O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A
massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:
∞
Ω∞ = (1−λ)∑λτ
K
τ =K
= λ K (1−λ)(1+λ +λ2 + ) = λ K
=1
Se fixarmos esta massa em um valor de confiança ϒ %
(e.g. 99%, 99,5%)
podemos calcular a janela efetiva utilizada:
ln(1− ϒ % )
K=
ln λ
24

25. EWMA: Janela Efetiva
Nível de Confiança
Lambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5%
0,99 298 389 458 527
0,98 148 194 228 262
0,97 98 128 151 174
0,96 73 96 113 130
0,95 58 76 90 103
0,94 48 63 74 86
0,93 41 54 63 73
0,92 36 47 55 64
0,91 32 41 49 56
0,90 28 37 44 50
0,89 26 34 40 45
0,88 23 31 36 41
0,87 22 28 33 38
0,86 20 26 31 35
0,85 18 24 28 33 25

26. EWMA: Otimização de λ
Definimos o erro na predição da variância como:
εt +1t = R −σ
2
ˆt2+1t
t +1
O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total
em uma janela de T dias:
T
E(λ) = ∑ε
t =1
2
t +1 t
(λ)
26

27. EWMA: Correlações
O EWMA pode ser generalizado para covariâncias:
∞
C jk ,t = (1− λ )∑ λ τ −1 R j ,t−τ Rk ,t−τ
ˆ
τ =1
A versão recorrente é:
ˆ ˆ
C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1
27

28. EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.
ˆ ˆ
C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1
Suponha que ˆ
Ct−1seja positiva semi-definida, então:
ˆ
u ⋅ Ct−1u ≥ 0 ∀u
Analisando o segundo termo teremos:
⎛ ⎞
2
⎜ u R ⎟ ≥0
∑ u j ( R j ,t−1Rk ,t−1 )uk = ⎜∑ j j ,t−1 ⎠
j ,k
⎜
⎜
⎝ j
⎟
⎟
⎟
28

29. EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
Combinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-
definidas:
∑u C
ˆ
j jk ,t uk = λ ∑ u j C jk ,t−1uk + (1− λ )∑ u j ( R j ,t−1 Rk ,t−1 ) uk ≥ 0
ˆ
jk jk jk
Assim:
(u ⋅ C
ˆ
t −1 ) (
ˆ
u ≥ 0 ∀ u ⇒ u ⋅ Ct u ≥ 0 ∀ u )
Basta então garantirmos que ˆ
C1seja positiva semi-definida
escolhendo :
ˆ
C jk ,1 ≡ R j ,0 Rk ,0
29

30. EWMA: Matrizes de Correlação
As correlações são obtidas a partir das covariâncias:
C jk
ρ jk =
C jj Ckk
30

31. EWMA: Otimização de λ
para Covariância
Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é
necessário que λ seja único. Definimos o erro na predição da
covariância como:
ˆ
ε jk ,t+1t = Rj ,t +1Rk ,t+1 −C jk ,t +1t
O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro
quadrado total em uma janela de T dias:
T
E jk (λ) = ∑ jk
ε2 ,t+1t (λ)
t =1
31

32. EWMA: Otimização de λ
para Covariância
A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar λ jk
com o inverso do erro mínimo:
λ = ∑θ jk λ
* *
jk
j≤k
Onde:
1
E jk (λ* )
θ jk = jk
⎡ 1 ⎤
∑ ⎢⎢ E (λ* ) ⎥⎥
jk ⎢ jk
⎣ jk ⎥
⎦
32

33. GARCH
Um modelo GARCH(p,q) é definido como:
p q
σt2 = α0 + ∑α j Rt2 j + ∑β jσt2− j
−
j=1 j=1
A versão mais simples é o GARCH(1,1):
σ = α0 + α R + β σ
2
t
2
1 t−1
2
1 t−1
33

34. GARCH
A versão mais simples é o GARCH(1,1):
σ = α0 + α R + β σ
2
t
2
1 t−1
2
1 t−1
A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima
assumindo que Rt2 1 = σ 2 :
−
α0
σ = α0 + α1σ + β1σ
2 2 2
σ =
2
1−α1 −β1
Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: α1 + β1 < 1
34

35. GARCH
A curtose não-condicional é dada por:
6α12
κ=
1−3α12 − 2α1β1 −β12
, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais.
35

36. GARCH : Determinando Parâmetros
O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição
condicional normal: ⎡ 2 ⎤
p ( Rt σt ) =
1
exp ⎢− Rt 2 ⎥
2πσt2 ⎢ 2σt ⎥
⎣ ⎦
Assumindo a dinâmica:
Rt = εt σt εt ~ N (0,1) σt2 = α0 + α1Rt2 1 + β1σt2−1
−
{Rt }t=defini-se
T
Dada a trajetória empírica uma função erro:
1
⎡T ⎤ T ⎡ ⎤
Rt2 1
E (α0 , α1 , β ) = − ln ⎢∏ p ( Rt σt )⎥ = ∑ ⎢ 2 + ln (2πσt )
2 ⎥
⎣⎢ t =1 ⎦⎥ t =1 ⎢⎣ 2σt 2 ⎥
⎦
A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de
otimização (e.g. Gradiente Escalonado).
36

37. GARCH
Volatilidade
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
1
56
111
166
221
276
331
386
441
496
551
606
661
716
771
826
881
936
991
37

38. Parte 3
Risco de Ativos Não-Lineares
38

39. “Gregas”
O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do
prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:
ΔV ( S , τ , σ I , r )
Uma expansão em série de Taylor nos fornece:
∂V 1∂V 2
∂V
2 (
ΔS ) +
2
ΔV ( S , τ , σ I , r ) ΔS + Δr
∂S 2 ∂S ∂r
1 ∂ 2V ∂V ∂V
2 (
Δr ) +
2
+ Δσ I − Δt
2 ∂r ∂σ I ∂τ
39

40. “Gregas”
∂V ∂ 2V
Δ= Γ= 2
∂S ∂S
DELTA GAMA
∂V ∂V
2
ρ= [ρ ] = $T ρ′ = [ρ ′ ] = $ 2 T 2
∂r ∂r 2
RÔ Convexidade RÔ
∂V ∂V
Λ= [Λ] = $ Θ= [Θ] = $T −1
∂σ I ∂t
“VEGA” TETA
40

41. P&L em função de Retornos
Observando o retorno de preços com carregamento:
⎛ e−( τ −Δt ) rt+Δt ( τ −Δt ) ⎞
⎟
⎜
RP = ln ⎜ −τ rt ( τ ) rt (Δt )Δt ⎟ = [ rt (τ ) − rt (Δt ) ]Δt − τΔr
⎟
⎜ e
⎝ e ⎟
⎠
RP
Δr −
τ
1 2 2 ρ
ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ + RS S Γ − RP
2 τ
1 ρ′
2 ( P)
2
+ R + Λσ I Rσ +ΘΔt
2τ 41

42. Aproximação Delta
ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ
RS = εσ S Δt
ε ~ N (0;1)
VaRDelta = ασ S S Δ
1 contrato de opção = Δ unidades de ativo objeto
42

43. Aproximação Delta
43

44. Aproximação Linear
ρ
ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ − RP + Λσ I Rσ +ΘΔt
τ
⎛εS ⎞
RS = εS σ S Δt ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜εP ⎟ ~ N (0, C )
⎜ ⎟
RP = εP σ P Δt ⎜ ⎟
⎜ε ⎟⎟
⎝ ⎟
⎜ I⎠
Rσ = εI σ I Δt
Variância-
covariância
44

45. Aproximação Linear
VaRLinear = α W CW −ΘΔt
T
⎛ SΔ ⎞
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ ρ⎟
⎜− ⎟
W =⎜ ⎟
⎜ τ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜σ Λ⎟⎟
⎜ I ⎠
⎝ ⎟
⎟
45

46. Aproximação Delta-Gama
1 2 2
ΔV = SΔRS + S ΓRS
2
4
x 10
4000 3.5
3500
3
3000
2.5
2500
2
2000
1.5
1500
1
1000
500 0.5
0 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
46
Cumulantes 1 e 2 Todos Cumulantes

47. Aproximação Delta-Gama
47

48. Aproximação Delta-Gama
48

49. Aproximação Delta-Gama
Truncada
1 4 2
var (ΔV ) = S Δ var ( RS ) + S Γ var ( RS ) +ΔΓRS S 3 cov( RS , RS )
2 2 2 2 2
4
R2
−
dR
cov ( RS , R ) = ∫ 2 σS
2
2 3
R e =0
var ( RS ) = 2 var 2 ( RS )
S
2πσ 2 2
S
1 4 2 4
VaR ≅ α var (ΔV ) = α S Δ σ + S Γ σS2 2 2
S
2
Truncamento até Segundo
49
Cumulante

50. Aproximação Delta-Gama
ΔV = V (x + Δx) −V (x)
n
∂V 1 n n ∂ 2V
≈∑ Δx j + ∑∑ Δx j Δxk
j =1 ∂x j 2 j =1 k =1 ∂x j ∂xk
n
1 n n
= ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
j =1 2 j =1 k =1
∂V ∂V 2
δj = xj Γ jk = x j xk
∂x j ∂x j ∂xk
50

51. Aproximação Delta-Gama
n
1 n n
ΔV = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
j =1 2 j=1 k =1
r ~ N (0, C ) ⇒ ΔV ∼ ϕ
ϕ ⇔ ln ϕ ⇔ μ, σ , c3 , c4 ,..., cn
ˆ 2
Função Geratriz Cumulantes
51

52. Cumulantes
ϕ ( w) = ∫ dx e
ˆ ixw
ϕ ( x)
∂ ln ϕ ( w)
n
ˆ
cn = (−i )
n
∂w n
w=0
52

53. Cumulantes
r ~ N (0, C )
1
μ = ΔV = Tr (ΓC )
2
1
σ = (ΔV − μ ) = δ Cδ + Tr (ΓC ) 2
2 2 T
2
c3 = (ΔV − μ) = 3δ T C ΓCδ + Tr (ΓC )3
3
c4 = (ΔV − μ) = 12δ T C (ΓC ) 2 δ + 3Tr (ΓC ) 4 + 3σ 4
4
1 ⎡(ΓC )n ⎤ + 1 n !δ T C (ΓC ) n−2 δ
cn = (ΔV − μ) = (n −1)!Tr ⎢
n
2 ⎣ ⎥⎦ 2
53

54. Aproximação de Cornish-Fisher
Densidade arbitrária ϕ .
x
Φ( x) = ∫ du ϕ (u )
−∞
O VaR é definido como:
−VaR
∫ du ϕ (u ) = p
−∞
ou
VaR = Φ−1 ( p)
54

55. Aproximação de Cornish-Fisher
z
Seja F ( z ) = ∫ du f (u ) uma distribuição com forma
−∞
analítica e quantis F −1 ( p ) conhecidos (por ex: distribuição
gaussiana).
Cornish-Fisher
Φ−1 ( p ) como função de F −1 ( p )
55

56. Aproximação de Cornish-Fisher
Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para
p − percentil de ΔV − μ é:
σ
⎛ c4 ⎞ 1 ⎛ ⎞
2
1 2 c3 1 3 ⎟ − (2α3 − 5α )2 ⎜ c3 ⎟
α p ≈ α p + (α p −1) 3 + (α p − 3α p )⎜ 4 − 3⎟
⎜ ⎜ ⎟
6 σ 24 ⎜σ
⎝ ⎟
⎠ 36 p p
⎝ ⎟
⎜σ3 ⎠
O VaR pode então ser calculado como: VaR = α p σ + μ
56

57. Transformação de Johnson
X ~ N (0,1) e f ( X ) tem distribuição similar a ΔV
VaR ≈ f (α p )
Função monotônica
57

58. Transformação de Johnson
Transformação com limite inferior:
⎡ X −γ ⎤
f ( X ) = exp ⎢ ⎥ +ξ f (X ) ≥ ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
Transformação com limite superior:
⎡ X −γ ⎤
exp ⎢ ⎥ (ξ + λ ) + ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
f (X ) = ξ ≤ f ( X ) ≤ ξ +λ
⎡ X −γ ⎤
1 + exp ⎢ ⎥
⎢⎣ δ ⎥⎦
58

59. Transformação de Johnson
Transformação sem limites:
⎡ X −γ ⎤
f ( X ) = sinh ⎢ ⎥λ +ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido
a partir dos quatro primeiros cumulantes.
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60. Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);
•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;
•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;
Leituras Complementares
Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-
Normal Approximations
Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways
60