Les progrés de l'acquisition 3D ont conduit au développement de techniques
de modélisation géométrique á partir d'un ensemble de points échantillonnant une
surface. Dans ce contexte, cette reconstruction a pour but de générer un modéle
numérique de la surface externe d'un objet physique á partir d'un nuage de points
dont les coordonn 3D sont saisies par un dispositif de mesure.
Une telle problématique se retrouve dans de nombreux domaines d'application,
tels que le design industriel, l'imagerie médicale ou les systémes d'information géographique.
Un autre domaine d'application concerne l'étude et la conservation du
patrimoine historique et culturel. Les modéles géométriques 3D constituent alors un
support privilégié pour l'analyse de la forme et des détails des objets, ainsi que pour
la diusion de la connaissance par la mise sposition des modéles dans des bases de
données ou des musées virtuels accessibles par internet.
Un grand eort de recherche/développement a été porté vers ce secteur ces derni
éres années quand les dispositifs de numérisation de surfaces sont devenus su-
samment bon marché pour être mis á la disposition d'un large éventail d'utilisateurs.
En eet, la solution á ce probléme n'est pas triviale et beaucoup de méthodes ont
été développées pour tenter d'y apporter une solution.
Notre rapport s'organise comme suit. Nous détaillons tout d'abord l'état de l'art
de systéme de la reconstruction d'une surface á partir d'un nuage de point. Puis,
nous décrivons l'approche qu'on va utiliser dans notre implémentation. Cette étape
est suivie d'une analyse et interprétations de l'approche utilise.
2. Plan
Etat de l'art de la reconstruction surfacique d'objets :
Introduction.
Reconstruction à partir de nuages de points.
• Approches de reconstruction surfacique d'objet 3D.
► Approche adopté :
Diagramme de Voronoï et Triangulation de Delaunay.
Algorithme Crust.
Analyse des résultats.
► Conclusion.
3. La reconstruction 3D, désigne la technique qui permet d'obtenir une
représentation en trois dimensions d'un objet ou d'une scène à partir
d'un nuage de points ou un ensemble d'images prises sous différents
points de vue de l'objet ou de la scène.
Etat de l'art de la reconstruction surfacique d'objets
Introduction
4. La reconstruction d'une surface à partir d'un nuage de points non-
organisés peut être énoncée comme suit: nous disposons, en entrée du
processus de reconstruction, d'un ensemble de points non-organisés
acquis à la surface d'un objet et le but recherché est de produire en
sortie une surface approchant au mieux la forme de la surface
physique de 1' objet échantillonné.
Etat de l'art de la reconstruction surfacique d'objets
Reconstruction à partir de nuages de points
5. Etat de l'art de la reconstruction surfacique d'objets
Approches de reconstruction surfacique d'objet 3D
6. Approche adopté
Approche basées sur le diagramme de Voronoï
Il existe toute une famille d'algorithmes permettant de générer des
surfaces interpolant le nuage de points à reconstruire sous la forme
d'un maillage polygonal.
Parmi eux on trouve :
Algorithme Crust.
Algorithme Cocone.
…
7. Interpolation d’un nuage de points : On cherche à créer un
modèle 3D correspondant au nuage de points
Approche adopté
Approche basées sur le diagramme de Voronoï
8. Afin de générer le maillage, la plupart de ces algorithmes sont
basées sur des algorithmes en deux phases:
Une triangulation 3D de Delaunay est tout d'abord réalisée à partir du
nuage de points.
Ensuite, l'algorithme extrait une surface sous la forme d'un maillage
polygonal en sélectionnant les triangles adéquats, sur la base de
considérations géométriques et topologiques.
Approche adopté
Approche basées sur le diagramme de Voronoï
9. Soit 𝑆 = 𝑆𝑖 𝑖 = 1, … . , 𝑁, un nuage de N sommets.
Approche adopté
Diagramme de Voronoï
10. Définition : La cellule de Voronoï 𝐶(𝑆𝑖) associée au sommet 𝑆𝑖 est le
lieu des points de l’espace qui sont plus proche de 𝑆𝑖 que de tout
autre sommet :
𝐶 𝑆𝑖 = 𝑃 ∈ 𝑅2 𝑑 𝑃, 𝑆𝑖 < 𝑑 𝑃, 𝑆𝑗 ∀𝑗 ≠ 𝑖 }.
Approche adopté
Diagramme de Voronoï
11. L’ensemble des cellules de Voronoï associées à tous les sommets du
nuage de points forme le diagramme de Voronoï.
Approche adopté
Diagramme de Voronoï
12. Pour mieux comprendre le diagramme de Voronoï, nous allons le
représenter en partant de deux points et trois points.
La frontière entre les deux points A et B est la médiatrice de (AB), soit la perpendiculaire à (AB) passant par M
Approche adopté
Diagramme de Voronoï
13. Triangulation d’un nuage de points:
Le même nuage de points peut se trianguler de beaucoup de
façons différentes.
Approche adopté
Triangulation de Delaunay
14. Triangulation d’un nuage de points:
Le même nuage de points peut se trianguler de beaucoup de
façons différentes.
Approche adopté
Triangulation de Delaunay
15. Triangulation d’un nuage de points:
Le même nuage de points peut se trianguler de beaucoup de
façons différentes.
Approche adopté
Triangulation de Delaunay
16. Parmi toutes ces façons, il y en a une triangulation du nuage de
point qui est dite de Delaunay.
Critère de cercle(sphère) vide : Le cercle (sphère) circonscrit dans
un triangle (tétraèdre) 𝐾 de Delaunay ne contient aucun autre
point de S.
Approche adopté
Triangulation de Delaunay
17. Le diagramme de Voronoï est le dual de la triangulation de
Delaunay et vice versa.
Les sommets du diagramme de Voronoï sont les centres des cercles circonscrits des triangles de
la triangulation de Delaunay.
Les arêtes du diagramme de Voronoï sont sur les médiatrices des arêtes de la triangulation de Delaunay.
triangulation de Delaunay maximise la compacité des triangles
Approche adopté
Triangulation de Delaunay
18. L’algorithme Crust permet de reconstruire des surfaces, c’est un
algorithme développée par Nina Amenta, Marshal Bern et Manolis
Kamvysselis, elle s'appuie sur la triangulation de Delaunay et le
diagramme de Voronoï .
Approche adopté
Algorithme Crust
19. le Crust se compose des 4 étapes suivantes :
construire la triangulation de Delaunay sur le nuage de points,
Calcul des pôles des cellules de Voronoï,
construire la triangulation de Delaunay de l’union des points du nuage et
des pôles définis dans l‘étape précédente,
On garde uniquement les triangles dont les trois sommets sont des points
de l' échantillon de départ. Cette étape est appelée « Voronoï filtering ».
Approche adopté
Algorithme Crust
20. les pôles des cellules de Voronoï:
définis comme les deux sommets de ces cellules les plus éloignés du
point générateur de la cellule. Le premier pôle est le sommet le plus
éloigné du point générateur de la cellule, il est noté p+, le second pole
noté p- est le sommet le plus éloigné dans le demi-plan opposé au
premier.
Approche adopté
Algorithme Crust
29. Ajouter des points au nuage de points de dépare:
Approche adopté
Implémentation d’algorithme Crust
30. Construire la triangulation de Delaunay
Approche adopté
Implémentation d’algorithme Crust
31. extraire de cette triangulation les facettes formées uniquement de
points du nuage (la reconstruction de la surface d’objet)
Approche adopté
Implémentation d’algorithme Crust
32. Objet : Block
Nombre de points : 2132
Temps totale d’exécutions : 3.0870 s
Approche adopté
Analyse des résultats
Input Output
33. Objet : Hippo
Nombre de points : 24955
Temps totale d’exécutions : 28.9500 s
Approche adopté
Analyse des résultats
Input Output
34. Objet : Horse
Nombre de points : 48 485
Temps totale d’exécutions : 56.4070 s
Approche adopté
Analyse des résultats
Input Output
35. Remarques général :
L’algorithme Crust permet de reconstruire et connaitre des surfaces
d’objets fermées ainsi que ouvertes. Et aussi les régions où il y a un
manque de points.
L’algorithme Crust est sensible au nombre de point en entrée. On
constate que lorsque le nombre de point en entrée est grand plus la
complexité calculatoire est devenu grand qui la rend impraticable pour
les nuages de points volumineux.
Sous certaines conditions d'échantillonnage, l'algorithme Crust
assure la reconstruction correcte de la surface numérisée.
Approche adopté
Analyse des résultats
36. Objet : Block
Nombre de points : 1706 (au lieu de 2132)
Temps totale d’exécutions : 1.9840 s
Approche adopté
Analyse des résultats : Réduction de nombre de points
Output
37. Objet : Hippo
Nombre de points : 11 552 (au lieu de 24955)
Temps totale d’exécutions : 11.3190 s
Approche adopté
Analyse des résultats : Réduction de nombre de points
Output
38. Objet : Horse
Nombre de points : 9697 (au lieu de 48 485)
Temps totale d’exécutions : 8.9810 s
Approche adopté
Analyse des résultats : Réduction de nombre de points
Output
39. Remarque général :
D’après les résultats obtenus on remarque que le rendu final dépend
énormément du nombre de points et de la répartition de ceux-ci. Une
forme assez convexe donne un rendu très proche de ce que l'on
attend. Alors qu'une forme complexe avec peu de points ne donne
pas de résultat satisfaisant.
le nuage de points doit être suffisamment dense pour permettre
une bonne reconstruction.
Approche adopté
Analyse des résultats : Réduction de nombre de points
41. Remarque général :
Le problème des approches basées sur le diagramme de Voronoï leur
grande sensibilité au bruit présent dans le nuage de points en entrée.
Approche adopté
Analyse des résultats : Ajoute de bruit
42. Avantage :
Garanti une reconstruction correct de surface d’objet à partir d’un
surface d’origine inconnu, à condition que les exigences strictes de la
densité d'échantillonnage et de lissage sont remplies.
Permet une reconstruction surfacique sans besoin de spécifier des
informations sur le processus d'échantillonnage.
Méthode avantageuses avec des ensembles de données à faible bruit.
Conclusion
Algorithme Crust/Analyse des résultats :
43. ► Inconvénients :
La surface de sortie peut contenir des trous et des défauts au niveau
de la reconstruction. Si l'exigence de densité de l'échantillon n’est pas
respectée.
Le temps d'exécution de l'algorithme dépend de l'ordre des points
d'entrée.
Méthode désavantageuses avec des données bruitées.
Conclusion
Algorithme Crust/Analyse des résultats :