Guia de Estudo Física I Mecânica

Guia de Estudo – FÍSICA I
1
SABE – Sistema Aberto de Educação
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto
Varginha - MG - 37010-540
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS/MG
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD
Mantida pela
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG
Varginha/MG

2
531
S237g SANTOS, Jander Pereira dos.
Guia de Estudo – FÍSICA I. – Unid. 1 a 4 –
Jander Pereira dos Santos. Varginha: GEaD-
UNIS/MG, 2007.
92p.
1. Mecânica. 2. Vetores. 3. Energia. I.
Título.

3
REITOR
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola
GESTOR
Prof. Ms. Tomás Dias Sant’ Ana
Supervisor Técnico
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos
Profª. Simone de Paula Teodoro Moreira
Coord. do Núcleo de Desenvolvimento Pedagógico
Profª. Vera Lúcia Oliveira Pereira
Revisão ortográfica / gramatical
Profª. Maria José Dias Lopes Grandchamp
Design/diagramação
Prof. César dos Santos Pereira
Equipe de Tecnologia Educacional
Profª. Débora Cristina Francisco Barbosa
Jacqueline Aparecida da Silva
Prof. Lázaro Eduardo da Silva
Autor
JANDER PEREIRA DOS SANTOS
Graduação de Licenciatura em Matemática pelo UNIS-MG,
Especialista (Pós-Graduação) em Matemática e Ensino pelo UNIS-MG
e Mestre em Estatística pela Universidade Vale do Rio Verde -
UNINCOR-MG.

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TABELA DE ÍCONES
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada.
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser
realizada. Fique atento a ele.
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais
informação.
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para
responder a um questionamento.
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de idéias, partes ou unidades do
curso virão precedidas desse ícone.
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado
como um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação
indicada.
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo
impresso ou endereço de Internet.
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de
exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou
estudado.
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e
também faz sugestões para leitura complementar.
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso
profissional ligada ao que está sendo estudado.
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins de
verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a
realização de uma tarefa.
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de
forma a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi
referenciado.
REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente.

5
SUMÁRIO
CARTA DE APRESENTAÇÃO ................................................................................ 7
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 8
A DISCIPLINA FÍSICA I........................................................................................... 8
EMENTA.................................................................................................................. 9
OBJETIVOS............................................................................................................. 9
AVALIAÇÃO .......................................................................................................... 10
UNIDADE 1 - CONCEITOS DE MEDIDAS E INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA .... 11
O Sistema Internacional de Unidades (SI)............................................................. 12
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA ............................................................................ 13
Movimento ............................................................................................................. 13
Ponto Material........................................................................................................ 14
Referencial............................................................................................................. 14
TRAJETÓRIA ........................................................................................................ 14
Espaço (S)............................................................................................................. 15
Deslocamento Escalar........................................................................................... 16
Velocidades ........................................................................................................... 19
Velocidade Média .................................................................................................. 19
Exercícios .............................................................................................................. 20
UNIDADE 2 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO............................................... 25
1º Caso – Movimento Uniforme. ............................................................................ 25
2º Caso - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.) ....................................... 28
2.2 - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V) ................................................. 29
3º Caso - Movimento Variado (M.V.) ..................................................................... 30
3.1 Determinação das funções da velocidade e da aceleração partindo da função
da posição: ............................................................................................................ 30
3.2 Determinação das funções da Velocidade e da Posição partindo da função de
Aceleração............................................................................................................. 34
Retornando ao 2º Caso (M.U.V.): .......................................................................... 37
Equação de Torricelli ............................................................................................. 38
Lançamento Vertical e Queda Livre....................................................................... 40

6
Exercícios de M.U. e M.U.V................................................................................. 44
Exercícios de Lançamento vertical e queda livre................................................... 48
Lista de Exercícios de movimento variado............................................................. 51
UNIDADE 3 - VETORES ....................................................................................... 54
Operações com Vetores: ....................................................................................... 55
1 - Adição de Vetores ............................................................................................ 55
- Regra do polígono: .............................................................................................. 55
Cálculo para soma e subtração de dois vetores .................................................... 55
Decomposição de Vetores..................................................................................... 59
Vetor Unitário......................................................................................................... 61
MULTIPLICAÇÃO.................................................................................................. 64
1º Número Real X Vetor ( n.V)............................................................................... 64
2º O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores V E W (V.W)............................ 64
3º Produto Vetorial................................................................................................ 67
UNIDADE 4 - MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES............................. 73
Posição.................................................................................................................. 73
Deslocamento........................................................................................................ 74
Velocidade Média .................................................................................................. 74
Velocidade Instantânea ......................................................................................... 75
Aceleração Média .................................................................................................. 76
Aceleração Instantânea ......................................................................................... 77
Velocidade instantânea a partir da aceleração e posição a partir da velocidade
instantânea. ........................................................................................................... 78
Movimento de Projéteis ......................................................................................... 80
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 73

7
CARTA DE APRESENTAÇÃO
Bem-vindo!
A disciplina de Física I, oferecida através da modalidade EaD – Educação a
Distância, é uma excelente oportunidade para esclarecermos dúvidas as quais nos
deparamos no curso, nas disciplinas que achamos abstratas. Conseguimos este
envolvimento entre as disciplinas sem preocuparmos com horários e com auxílio de
outras pessoas.
Neste modo de aprendizado, você é o agente principal do processo. No
entanto, para que seja bem sucedido, orientaremos e mediremos suas atividades de
aprendizagem de forma que nossas expectativas sejam cumpridas. O Guia de
estudos é uma das ferramentas que usaremos para esta orientação e medição.
Composto de textos, atividades, instrumentos de avaliação, cartas e guias de
orientação de aprendizagem, o Guia de Estudos é um material auto-instrutivo, ou
seja, foi especialmente elaborado para sua auto-aprendizagem.
Sem abrir mão da complexidade dos temas propostos, o conteúdo foi
cuidadosamente selecionado e apresentado de modo a permitir que sua
aprendizagem aconteça de forma simples e agradável.
Sugerimos que leia a parte introdutória do Guia e depois realize cada uma
das atividades propostas, publicando-as no Ambiente Virtual de Aprendizagem.
Bons estudos!
Um abraço,
Prof. Ms Jander Pereira dos Santos e Equipe GEaD - Unidade de Gestão em
Educação a Distância

8
INTRODUÇÃO
Iniciar em uma vida acadêmica é como nascer novamente em um mundo
diferente do que conhecemos. Este novo mundo parece tão diferente pela
quantidade de oportunidades que aparecem, porém, não podemos nos iludir com as
fantasias que estão sempre tentando nos enganar. Geralmente estas fantasias são
as pessoas, que não cumpriram bem seu papel acadêmico, e estão sempre tentando
convencer outras pessoas de que ocorrerá o mesmo com elas.
O papel da disciplina de Física é o de promover o desenvolvimento intelectual
do aluno, através do conhecimento, bem solidificado, dos conceitos físicos, com o
objetivo de compreender as leis da natureza e saber utilizar esses recursos na
demonstração da utilidade das equações matemáticas no dia-a-dia.
A disciplina de Física apresenta-se como uma disciplina fundamental em um
curso de Licenciatura. Neste primeiro momento, serão apresentados conceitos
básicos da Ciência que possibilitam um melhor desempenho em outros conteúdos,
além de contribuir para a formação de uma nova maneira de pensar e de agir diante
de situações problemas.
Desejamos que você aproveite ao máximo esta nova oportunidade que está
sendo inserida em sua vida, e em especial, que a Física possa ser bem mais que
uma disciplina, uma nova oportunidade em sua vida profissional.
A DISCIPLINA FÍSICA I
Dentro do curso de Licenciatura a Física contribui para a interpretação de
conceitos matemáticos que parecem abstratos aos alunos. Através dos conceitos
teóricos de Física, os alunos conseguem aplicar a matemática na realidade que nos
rodeia isso, faz com que o aluno perceba que, por trás da abstração matemática, há
uma infinidade de aplicações concretas.
Na Física I, estudaremos os conceitos que envolvem toda a mecânica e será
desenvolvida de acordo com a ementa comentada abaixo:

9
EMENTA
1- Medidas em Física
Sistema de Unidades – Notação Científica – Ordem de Grandeza.
2- Movimento em uma dimensão
Deslocamento – Velocidade – Aceleração – Movimento com aceleração
constante.
3- Movimento em duas e três dimensões
Vetor deslocamento, Velocidade e Aceleração – Lançamento oblíquo.
4- Leis de Newton
As três Leis de Newton – Força – Massa – Peso – Força de atrito e de arraste –
Forças no movimento circular.
5- Trabalho de uma força
Trabalho em uma dimensão – Trabalho e energia cinética – Trabalho e energia
em três dimensões – Potência.
6- Conservação de Energia
Forças conservativas e não-conservativas – A conservação de energia.
7- Rotação
Variáveis rotacionais – Energia Cinética de rotação – Torque – Momento angular
– Conservação do movimento angular.
8- Equilíbrio
Requerimentos para o equilíbrio, Centro de gravidade, Equilíbrio estático,
Elasticidade
OBJETIVOS
Os objetivos de uma disciplina correspondem à projeção de competências,
habilidades e atitudes que se espera desenvolver no aluno.
Assim, o que pretendemos é que, ao final de nossa trajetória, você seja capaz de:
 demonstrar domínio dos princípios gerais e fundamentais de Física;
 descrever e explicar fenômenos naturais;
 saber diagnosticar, formular e encaminhar soluções de problemas físicos;
 utilizar a linguagem científica na expressão de conceitos físicos, na descrição
de procedimentos de trabalhos e na divulgação de seus resultados;
 reconhecer as relações do desenvolvimento da Física com outras áreas do
saber.

10
AVALIAÇÃO
Você será avaliado:
 de acordo com sua participação nas atividades propostas;
 através de provas, a serem realizadas presencialmente conforme calendário
divulgado;
 através de sua auto-avaliação;
 de acordo com sua participação no fórum.
Como as atividades possuem data limite para conclusão, existe uma tabela de
valorização para as entregas das atividades.
Dias de atraso Valor das atividades
0 Até 100 %
Até 3 dias Até 90 %
Entre 4 e 7 dias Até 80 %
Após 7 dias Não serão mais aceitas a atividades
Observações:
 Os trabalhos deverão ser desenvolvidos pelo aluno, não podendo este copiar
de outros alunos ou Internet.
 Como mencionado anteriormente, o guia é auto-instrutivo e tem a finalidade
de dar suporte aos alunos, no entanto, durante o estudo e desenvolvimento
das tarefas, estarei a disposição para esclarecer quaisquer dúvidas.
 No Guia de Estudos, há vários exercícios, porém não serão todos avaliados.
Alguns deles servirão, apenas, de suporte aos estudos, ficando a cargo do
aluno resolvê-los ou não.

11
UNIDADE 1 - CONCEITOS DE MEDIDAS E INTRODUÇÃO À
CINEMÁTICA
Ao longo das atividades que se seguirão, você notará que a Física, ciência
fundamental da natureza, procura como característica a medição.
Observe ao seu redor, onde quer que você se encontre, há uma variedade de
coisas que podem ser medidas e, por isto, denominadas de grandezas. Estas
grandezas podem pertencer a diferentes espécies, isto é, comprimento, massa,
tempo, velocidade, etc.; cada uma delas possuindo sua unidade de medida (m, kg,
s, m/s...), observe a tabela 1.1:
TABELA 1.1 – Tabela de medidas
TIPO DE UNIDADE GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO
BASE
COMPRIMENTO
MASSA
TEMPO
CORRENTE ELÉTRICA
TEMPERATURA
QUANTIDADE DE MATÉRIA
INTENSIDADE LUMINOSA
METRO
QUILOGRAMA
SEGUNDO
AMPÈRE
KELVIN
MOL
CANDELA
m
kg
s
A
K
mol
cd
SUPLEMENTARES ÂNGULO PLANO
ÂNGULO SÓLIDO
RADIANO
ESTERRADIANO
rad
sr
DERIVADAS
ÁREA
VOLUME
VELOCIDADE
ACELERAÇÃO
FORÇA
ENERGIA
IMPULSO
MOMENTO LINEAR
POTÊNCIA
...
NEWTON
JOULE
WATT
...
m
2
m
3
m/s
m/s2
N (kg.m/s2
)
J (kg.m2
/s2
)
N.s
Kg.m/s
W (kg.m2
/s3
)
...

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Os Prefixos listados na tabela 1.2 são também convenientes de serem usados ao
lidarmos com medidas muito grandes ou muito pequenas. Como se pode ver, cada
prefixo representa uma certa potência de 10 como um fator.
TABELA 1.2 – Tabela de Prefixos
NOME SÍMBOLO POTÊNCIA DE DEZ
Exa E 1018
Peta P 1015
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Quilo K 103
Hecto H 102
Deca Da 101
Deci D 10-1
Centi C 10-2
Mili M 10-3
Micro  10-6
Nano N 10-9
Pico P 10-12
Fentro F 10-15
Atto A 10-18
O Sistema Internacional de Unidades (SI)
Em 1971, a 14ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas escolheu sete
grandezas como fundamentais, formando, desta maneira, a base do Sistema
Internacional de Unidades, abreviado como SI por seu nome francês, sendo
popularmente conhecido como sistema métrico. A Tabela 1.3 mostra as unidades
para as três grandezas fundamentais – COMPRIMENTO, MASSA E TEMPO – que
nós usaremos nessa apostila.
TABELA 1.3 – Algumas Unidades Fundamentais (SI), também conhecidas como
(MKS).
Grandeza Nome da Unidade Símbolo da Unidade
Comprimento Metro M
Massa Segundo S
Tempo Quilograma kg
As mudanças de unidades de medidas serão feitas nos exemplos.

13
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA
O mundo, e tudo o que está nele, se move. Mesmo aquilo que,
aparentemente, está em repouso, como uma estrada, se move com a rotação da
Terra, com a órbita da terra em torno do sol, com a órbita do sol ao redor do centro
da galáxia (Via Láctea), etc. Nosso primeiro estudo da Física, dentro da Mecânica,
será a classificação e a comparação de movimentos, chamados de Cinemática.
A Mecânica tem por finalidade o estudo dos movimentos e das condições de
equilíbrio dos corpos. Ela interessa-se pelos movimentos de sólidos, líquidos e
gases. Nesta etapa do curso, daremos atenção especial à Cinemática.
A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos
sem se preocupar com suas causas.
Vamos agora apresentar alguns conceitos básicos de Cinemática:
Movimento
Vamos iniciar a abordagem de um dos primeiros e mais importantes temas da
Física: o MOVIMENTO.
Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma idéia do
que é movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) são
relativos: ao dormir você pode estar em repouso em relação às paredes de seu
quarto, entretanto em relação ao sol você está em movimento.
Resumidamente podemos dizer que um corpo está em movimento, em
relação a um dado referencial, se a distância entre o corpo e o referencial aumenta
ou diminui com o passar do tempo. De um modo geral, dá-se o nome de móvel a
qualquer corpo em movimento.
Quando um corpo se aproxima ou se afasta de um dado referencial, dizemos
que os dois estão em movimento, um em relação ao outro.
Um professor caminhando em direção à porta da sala de aula, podemos dizer
que o professor está em movimento em relação à porta, a porta está em movimento
em relação ao professor ou os dois estão em movimento, um em relação ao outro.

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Ponto Material
É qualquer corpo cujas dimensões geométricas sejam desprezíveis em face
da sua trajetória, isto é, da linha que ela descreve no espaço. Em problemas de
Física, esse corpo, muitas vezes, é chamado de PARTÍCULA, por exemplo, em seu
movimento em torno do Sol, a Terra é uma partícula.
Referencial
Para definir a posição de uma partícula, precisamos de um sistema de
referência, ou, como também se diz de maneira mais cômoda, de um referencial. O
referencial pode ser a Terra, o Sol, um corpo, um sistema de eixos, etc.
Se a posição da partícula permanecer invariável em relação ao referencial
usado, dizemos que ela está em repouso. Se variar com o tempo, dizemos que ela
está em movimento. É claro que o repouso e o movimento citados são relativos ao
referencial usado.
Quando você viaja de ônibus, a sua posição em relação à estrada varia com
o tempo. Então você está em movimento em relação à estrada. Mas sua posição em
relação ao motorista não se modifica, nesse caso, você está em repouso em relação
ao motorista.
TRAJETÓRIA
Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa
no decorrer do tempo, ou seja, é o desenho descrito pelo móvel durante o percurso.
A trajetória de um móvel depende do referencial adotado e pode ter uma
infinidade de formas.
1: Sobre o chão de um elevador coloca-se um trenzinho de brinquedo, em
movimento circular. O elevador sobe com velocidade constante.
a) Em relação a uma pessoa parada dentro do elevador podemos afirmar que a
trajetória é um circulo.

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b) Em relação a uma pessoa fixa, porém fora do elevador, podemos afirmar que a
trajetória tem o formato de uma mola.
2: Um avião em vôo horizontal abandona um objeto. Desenhe a trajetória que
o objeto descreve nos seguintes casos:
a) Tomando como referencial uma casa fixa na Terra.
Trajetória parabólica
b) Tomando como referencial o piloto do avião.
Trajetória retilínea
Espaço (S)
Na cinemática escalar, a palavra espaço sempre está associada a um
número. Por exemplo, numa estrada de rodagem, cada marco quilométrico pode ser
denominado espaço.
Então, espaço (S) é um número real que permite a localização do móvel em
sua trajetória. Esse número é colocado em uma reta representada pelos números
reais, mais comumente os naturais. Desse modo, podemos dizer que espaço é a
medida algébrica do segmento que vai da origem da trajetória até o ponto em que se
encontra o móvel.

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ORIGEM DOS ESPAÇOS
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
s
(m)
SA = - 4 m SB = 5 m
Estes números (-4 m e 5 m) são chamados ESPAÇOS - note que o sinal do
espaço não depende do sentido do movimento do corpo. Ele está relacionado com o
sentido da trajetória e, evidentemente, com a posição que o corpo ocupa na
trajetória.
Deslocamento Escalar
 O deslocamento escalar (S) mede a variação de espaço efetuado
pelo móvel em um determinado intervalo de tempo (t).
 O deslocamento escalar depende apenas das posições final (Sf) e
Inicial (S0) do móvel.
 O deslocamento escalar é uma grandeza algébrica que pode ser
positiva, negativa ou nula, e não deve ser confundida com distância
percorrida.
S0 Sf
S = Sf – S0

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S (m)
As cidades A, B e C estão situadas na mesma rodovia. Um automóvel sai
de A, desloca até C, depois vai até B, em seguida, retorna em A. Determinar:
0 15 45 90
S (km)
A B C
a) o deslocamento entre A e C;
b) o deslocamento entre C e B;
c) o deslocamento total;
d) a distância percorrida em todo o percurso.
Resolução:
a) S = SC – SA  S = 90 – 15 
b) S = SB – SC  S = 45 – 90 
c) S = SA – SA  S = 15 – 15 
d) A distância percorrida é a soma de todas as posições ocupadas, no exemplo é:
75 km de ida e 75 km de volta.
Existe uma diferença entre deslocamento e deslocamento escalar. O
deslocamento é a distância entre a posição final e a posição inicial, mas, em linha
reta, também chamado de DESLOCAMENTO VETORIAL ou somente
DESLOCAMENTO. Já no deslocamento escalar, esta distância é medida sobre a
trajetória. Vejamos um exemplo de deslocamento vetorial:
S > 0 Deslocamento positivo
S < 0
Deslocamento
negativo
S = 75 km
S = - 45 km
S = 0
d = 150 km

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Um móvel sai da posição A, desloca-se até B e, em seguida, desloca até C.
Determine:
A B
4 m
C
a) o deslocamento escalar entre A e C;
b) o deslocamento vetorial entre A e C;
c) A distância percorrida entre A e C.
Resolução:
a) s = sAB + sBC b) sAC = 22
)()( BCAB  (teorema de
Pitágoras)
s = 4m + 3m sAC =
c)
Ainda no exemplo anterior, suponha que o móvel prossegue o movimento e
retorne depois de C para B. Neste caso, teremos:
a) o deslocamento escalar será s = 3m;
b) o deslocamento ou deslocamento vetorial será : s = 3m
c) a soma total será (3 + 4 + 4 = 11m) de distância efetivamente percorrida ou
espaços percorridos.
Importante: Tanto o deslocamento escalar como o deslocamento podem ser
negativos, já a distância efetivamente percorrida será sempre positiva.
916 
s = 7 m s = 5 m
3 m
d = 7 m

19
Velocidades
É a grandeza vetorial que indica como varia a posição de um corpo com o
tempo. Em outras palavras, está relacionada com quão rápido um corpo se
movimenta.
Velocidade Média
Existem 2 tipos de velocidade média, a velocidade escalar média e a
velocidade vetorial média ou simplesmente velocidade média:
a) Escalar: É a razão entre o deslocamento escalar de um móvel e o tempo TOTAL
gasto neste deslocamento.
t
s
V
gastotempo
escalartodeslocamen
V mm



b) Vetorial: É a razão entre o deslocamento do móvel e o tempo total gasto para
deslocá-lo.
t
s
V
gastotempo
todeslocamen
V mm




Obtemos a unidade de velocidade, dividindo a unidade de distância pela
unidade de tempo. A unidade mais comum é o quilômetro por hora (Km/h), indicada
nos velocímetros dos carros, utilizados para medir velocidade instantânea. No
Sistema Internacional de Unidades (SI), a velocidade é expressa por metro por
segundo (m/s). A relação entre Km/h e m/s é:
sm
s
m
hkm /
6,3
1
3600
1000
/1 
Portanto as transformações ficam da seguinte forma:

20
 3.6
 3,6
Exercícios
01) Analise as afirmativas abaixo e marque com V de verdadeiro ou F de falso:
( ) Uma partícula em movimento em relação a um referencial pode estar em
repouso em relação a outro.
( ) A forma da trajetória de uma partícula independe do referencial usado.
( ) Dois ônibus se deslocam por uma estrada retilínea com velocidade constante,
sendo assim um está em repouso em relação ao outro.
02) Uma formiga A caminha radialmente sobre um disco de vitrola, do eixo para a
periferia, quando o disco gira.
a) Qual a trajetória da formiga A para um observador, em repouso, situado fora do
disco?
b) Qual a trajetória da formiga A para uma outra formiga B, situada sobre o disco, em
repouso em relação a ele?
03) Um motorista levou 2 h para ir de Niterói a Friburgo (distância aproximada de
120 km), tendo parado 30 minutos para fazer um lanche. Marque com x a opção
correta.
a) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 80 Km/h.
b) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 60 Km/h.
c) A velocidade escalar média foi de 60 Km/h.
d) A velocidade escalar média foi 80 Km/h, pois é preciso descontar o tempo que o
motorista parou para lanchar.
e) Há duas respostas corretas.
Km/h m/s

21
04) Marque com V de verdadeiro ou F de falso:
( ) A terra em seu movimento ao redor do Sol, pode ser considerada como ponto
material.
( ) A terra em seu movimento em torno de seu eixo, pode ser considerada como
ponto material.
( ) Quando um corpo se encontra em movimento, em relação a um dado
referencial, podemos concluir que estará sempre em movimento em relação a
qualquer referencial.
( ) O movimento da Lua em relação à Terra é diferente do movimento daquele
satélite em relação ao Sol.
05) A velocidade escalar média de certo ponto material, num dado intervalo de
tempo, é de 180 Km/h. Exprima essa velocidade em m/s.
( ) Denominamos ponto material aos corpos de pequenas dimensões.
( ) Um ponto material tem massa desprezível em relação às massas dos outros
corpos considerados no movimento.
( ) Só tem significado falarmos de movimento e repouso de uma partícula se
levarmos em consideração um referencial.
( ) A forma da trajetória depende do referencial adotado.
( ) A coordenada de posição de um ponto material num determinado instante
indica quanto o ponto material percorreu até este instante.
( ) O fato de a coordenada de posição ser negativa indica que o ponto material se
desloca contra a orientação da trajetória.
( ) Deslocamento positivo indica que o ponto material movimentou-se unicamente
no sentido positivo da trajetória.
( ) Velocidade média positiva indica que o ponto material deslocou-se unicamente
no sentido positivo.
07) Um homem ao inclinar-se sobre a janela do vagão de um trem que se move com
velocidade constante, deixa cair seu relógio. A trajetória do relógio vista pelo homem
do trem é (despreze a resistência do ar):
a) uma reta
b) uma parábola
c) um quarto de circunferência
d) uma hipérbole
e) n.r.a.

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08) A velocidade de um avião é de 360 Km/h. Qual das seguintes alternativas
expressa esta mesma velocidade em m/s?
a) 100 m/s
b) 600 m/s
c) 1.000 m/s
d) 6.000 m/s
e) 360.000 m/s
09) Um automóvel percorre um trecho retilíneo de estrada, indo da cidade A até a
cidade B distante 150 km da primeira. Saindo às 10 h de A, pára às 11 h em um
restaurante situado no ponto médio do trecho AB, onde gasta exatamente 1h para
almoçar. A seguir prossegue a viagem e gasta mais uma hora para chegar à cidade
B. Sua velocidade média no trecho AB foi:
a) 75 Km/h
b) 50 Km/h
c) 150 Km/h
d) 69 Km/h
e) 70 Km/h
10) Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de tal forma que os carros,
trafegando a uma determinada velocidade, encontram sempre os sinais abertos
(onda verde). Sabendo-se que a distância entre sinais sucessivos (cruzamento) é
200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura do sinal seguinte é 12 s, qual a
velocidade em que devem trafegar os carros para encontrarem os sinais abertos?
a) 30 Km/h
b) 40 Km/h
c) 60 Km/h
d) 80 Km/h
e) 100 Km/h
11) Um ponto material move-se em linha reta percorrendo dois trechos MN e NP. O
trecho MN é percorrido com uma velocidade igual a 20 Km/h e o trecho NP com
velocidade igual a 60 Km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar
que a velocidade média no trecho MP foi de:
a) 36 Km/h
b) 40 Km/h
c) 37,3 Km/h
d) 42 Km/h
e) n.r.a.

23
12) Mostre que se a metade de um percurso for feito com uma velocidade V1 e a
outra metade com velocidade V2, então a velocidade média no percurso total
será de: 2 V1 V2 / (V1 + V2).
13) Um automóvel e um trem saem de São Paulo com destino ao Rio de Janeiro e
realizam o trajeto com velocidades médias respectivamente iguais a 80 Km/h e 100
Km/h. O trem percorre uma distância de 500 km e o automóvel de 400 km até atingir
o Rio. Pode-se afirmar que:
a) a duração da viagem para o trem é maior porque a distância a ser percorrida é
maior.
b) a duração da viagem para o automóvel é maior porque a velocidade do automóvel
é menor.
c) a duração da viagem para ambos é a mesma.
d) o tempo que o trem gasta no percurso é de 7 horas.
e) o tempo que o automóvel gasta no percurso é de 8 horas.
14) Um elétron é emitido por um canhão de um tubo de televisão e choca-se contra
a tela após 2 x 10-4
s. Determine a velocidade escalar média deste elétron, sabendo-
se que a distância que separa o canhão da tela é 30 cm.
15) A luz demora 10 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidade é de 3 . 105
Km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?

24
16) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10 km de comprimento,
partem, simultaneamente, uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada
uma por um cavalo e andando à velocidade de 5 km/h. No instante de partida, uma
mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta,
com a velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um
intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade
de antes, em direção ao primeiro cavalo até pousar em sua testa. E assim
prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre
esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?
17) Um projétil é disparado com velocidade constante de 680 m/s em direção a um
alvo fixo. Decorrem 3 segundos desde o instante em que o atirador puxa o gatilho
até ouvir o som provocado pelo impacto do projétil contra o alvo. Sabendo-se que as
ondas sonoras propagam-se com velocidade de 340 m/s, determine a distância entre
o atirador e o alvo:

25
UNIDADE 2 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
1º Caso – Movimento Uniforme.
O movimento de uma partícula é uniforme quando ela percorre, ao longo de
sua trajetória, espaços iguais em intervalos de tempos iguais. Resumindo o que foi
dito, Movimento Uniforme é o que se processa com velocidade escalar constante.
1.1- Função Horária do M.U.: O movimento uniforme pode ser escrito
matematicamente por uma equação que relaciona os espaços do móvel com os
instantes de tempo.
Para se chegar a essa equação, considere que, no M.U., a velocidade escalar
instantânea “v” é igual à velocidade escalar média “vm”:
t
S
vv m



Considere o intervalo de tempo t desde o instante inicial 0 (zero), em que se
observa o movimento, até um instante de tempo t qualquer: t = t - 0. Nesse
intervalo de tempo, a variação de espaço s será s = s - s0, em que s é o espaço
correspondente ao instante t e s0 é o espaço no instante inicial zero. Substituindo S
e t em (1) teremos:
0
0



t
ss
v  vtss  0 
Conhecida como equação horária do movimento uniforme (MU).
Um movimento uniforme é descrito por S = 20 + 5 t (SI). Determine:
a) o espaço inicial e a velocidade;
b) a posição do móvel no instante 5 s.
vtss  0

26
Resolução:
A equação horária do M.U. é: S = S0 + v t
Compare com a do exemplo: S = 20 + 5 t
a) note que S0 = 20 m e v = 5 m/s
b) Queremos saber a posição S = ? no instante t = 5s  Como S = 20 + 5t
S = 20 + 5 . 5
S = 20 + 25  S = 45 m
Um móvel passa pela posição + 50m no instante inicial e caminha contra a
orientação da trajetória. Sua velocidade escalar é constante e igual a 25 m/s em
valor absoluto. Determine:
a) A sua função horária;
b) o instante em que o móvel passa pela origem das posições.
Resolução:
No início, é fácil concluir que S0 = 50 m. A velocidade móvel é v = - 25 m/s. O sinal (-
) é porque o móvel caminha contra a orientação da trajetória.
a) S = S0 + v t, logo S = 50 + (-25) t, sendo assim a função horária será:
S = 50 - 25 t
b) A origem das posições é ( S = 0 ). Queremos o instante t que isso ocorre: t = ?
como S = 50 - 25 t, 0 = 50 - 25 t, 25t = 50 , t = 50/25  t = 2 s
Dois móveis A e B descrevem movimentos sobre a mesma trajetória e as
funções horárias dos movimentos são: SA = 60 - 10 t e SB = 15 + 5 t, no (SI) .
Determine:
a) o instante do encontro;
b) a posição do encontro.

27
Resolução:
a) No encontro, os dois móveis deverão ocupar a mesma posição, logo teremos:
Sa = Sb
como Sa = 60 - 10 t e Sb = 15 + 5 t , teremos que
60 - 10t = 15 + 5t  5t + 10t = -15 + 60  15t = 45  t = 3
s
d) Para achar a posição de encontro basta substituir t = 3s em qualquer uma das
equações horárias:
Sa = 60 - 10 .3  Sa = 30 m
Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a
20 m/s. Sendo o comprimento de cada composição igual a 10 m. Qual o tempo que
o trem gasta para ultrapassar:
a) um sinaleiro?
b) uma ponte de 100 metros de comprimento?
Resolução:
Observe que o trem tem, ao todo, 20 composições. Se cada composição tem
10 metros, o trem tem, ao todo, 200 metros. Mas como será a equação horária
desse trem, uma vez que a equação horária é para um ponto material?
A resposta é muito simples, basta você imaginar, por exemplo, um ponto
material bem na frente do trem. Você fará a função horária deste ponto tendo em
mente, sempre, que existe um trem atrás do ponto. Vamos agora à solução do
problema.
0 S (m)
200 m

28
a) O trem começará ultrapassar o sinaleiro, quando o ponto passar pelo sinaleiro,
logo S0 = 0 ( considere o sinaleiro como origem das posições). Logo a eq. horária
ficará sendo :
S = S0 + v t  S = 0 + 20t  S = 20t .
Para que o trem todo ultrapasse o sinaleiro, o ponto deverá estar a 200 metros
à frente do sinaleiro (S = 200 m). Vamos determinar o tempo para que isto ocorra:
S = 20 t  200 = 20 t  t = 200/20  t = 10 s
b) Considere, agora, o início da ponte como sendo a origem das posições. Quando o
ponto passar por aquele local, teremos S0 = 0, ou seja, a eq. horária será a mesma:
S = 20 t . Porém, para o trem todo ultrapassar a ponte, o ponto deverá percorrer os
100 metros da ponte mais 200 metros, que é o equivalente para que todo o trem
saia da ponte. Sendo assim a partir do instante em que o ponto entra na ponte, ela
deverá percorrer 300 metros para que todo o trem saia da ponte. Sendo assim
vamos calcular o tempo em que ela alcança a posição de 300 m:
0
S(m)
S = 20 t  300 = 20 t  t = 300 / 20  t = 15 s
2º Caso - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)
2.1- Aceleração Escalar (a): Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis
variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática
denominada aceleração.
ACELERAÇÃO ESCALAR (a) = taxa de variação da velocidade escalar numa
unidade de tempo.
200 m
100 m

29
Num intervalo de tempo (t = tf - ti ), com uma variação de velocidade escalar
(v = vf - vi ), define-se a aceleração escalar média (am) pela relação:
t
v
am



Quando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, a aceleração escalar
média passa a ser chamada de aceleração escalar instantânea ( a ).
Qual é a aceleração média de um móvel que, em 5s, altera a sua velocidade
escalar de 3 m/s para 13 m/s?
Resolução:
0
0
tt
vv
am


 
05
313


ma  am = 2 m/s2
am = 2 m/s2
 Esse resultado indica que a cada segundo que passa,
a velocidade escalar aumenta em 2m/s em MÉDIA.
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
No SI No CGS Outras
m/s2
cm/s2
km/h2
, km/s2
etc.
2.2 - Movimento Uniformemente Variado (M.U.V)
Um movimento no qual o móvel mantém sua aceleração escalar constante,
não nula, é denominado movimento uniformemente variado. Em conseqüência, a
aceleração escalar instantânea (a) e a aceleração escalar média (am) são iguais.

30
2.2.1 - Equação da velocidade: Como no MUV a aceleração é constante, teremos
a = am , ou seja:
tavvtav
t
v
a 


 0
Como t = t – t0, chamaremos de t0 o exato momento em que se dispara um
cronômetro para registrar o tempo t0 = 0.
v – v0 = a . t  tavv .0 
Esta expressão é chamada de equação horária da velocidade de um MUV.
Um móvel tem velocidade de 20 m/s quando a ele é aplicada uma aceleração
constante e igual a - 2 m/s2
. Determine o instante em que o móvel pára;
Resolução:
Dados: v0 = 20 m/s
t = ?
v = 0 instante em que o móvel pára
a = - 2 m/s2
v = v0 + a.t  0 = 20 - 2.t  2t = 20  t = 10 s
3º Caso - Movimento Variado (M.V.)
Nós vimos, até o momento, duas maneira de descrever movimento, ambas
medidas em um intervalo t. Entretanto, à medida que t diminui, a velocidade
média, que é mesma em todo o percurso no caso do M.U., passa a ser a velocidade
instantânea, ou seja, quando t é muito pequeno S também é e podemos dizer que
a velocidade foi calculada em um ponto.
3.1 Determinação das funções da velocidade e da aceleração partindo da
função da posição:
O estudo dos movimentos, quando t é muito pequeno, necessita de
aplicações de C.D.I., ou seja, podemos dizer que a velocidade é a taxa de variação
do espaço e a aceleração é a taxa de variação de velocidade, em outras palavras: A
VELOCIDADE INSTANTÂNEA É A DERIVADA DO ESPAÇO E A ACELERAÇÃO
INSTANTÂNEA É A DERIVADA DA VELOCIDADE.

31
Observe o gráfico que ilustra esta aplicação:
S
Ampliação
do ponto
tangente
dS
 dt
0 t
Observe na ampliação que podemos definir a velocidade média no instante dt
como
dt
dS
vm  , porém, na Matemática, quando temos um intervalo muito pequeno de
variação (d), a taxa de variação se aproxima de um valor limite, que em nosso caso
é a velocidade instantânea:
dt
dS
t
S
v
t




 0
lim
Pense: v é a taxa com que a posição S está variando com o tempo em um dado
instante, ou seja, v é a derivada de S em relação à t.
Pense: v em qualquer instante é a declividade da curva (ou coeficiente angular da
reta tangente à curva), posição X tempo da partícula no ponto que representa aquele
instante.
É fácil de perceber a segunda afirmação, pois a
dt
dS
AC
OC

..
..
tan .
O conceito de aceleração instantânea é análogo à velocidade instantânea, o
qual podemos resumir em:
dt
Sd
dt
dv
t
v
a
t
2
0
lim 





32
Então a aceleração instantânea é a derivada da velocidade ou derivada
segunda do espaço em função do tempo.
A posição de uma partícula no eixo S é dada por 3
274 ttS  , com S em
metros e t em segundos. Determine:
a) a função da velocidade x tempo;
b) a função da aceleração x tempo;
c) as posições nos instantes 1 e 2 segundos;
d) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos;
e) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos;
f) a velocidade média entre 1 e 2 segundos;
g) o instante e a posição máxima e/ou mínima em que a partícula alcança;
h) esboce em uma trajetória o móvel em estudo.
Resolução:
a) Vimos que a velocidade é a derivada do espaço, logo temos:
2
327 tv 
b) Vimos que a aceleração é derivada da velocidade, logo temos:
ta 6
c) Para encontrar as posições nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na
equação do espaço, portanto:
mS 2211.274 3
)1( 
mS 4222.274 3
)2( 
d) Para encontrar as velocidades nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na
equação da velocidade, portanto:
smv /241.327 2
)1( 
smv /152.327 2
)2( 
e) Para encontrar as acelerações nos instantes 1 e 2, basta substituir os tempos na
equação da aceleração, portanto:
2
)1( /61.6 sma 
2
)2( /122.6 sma 

33
f) Cuidado, velocidade média é apenas uma média das velocidades e não uma
velocidade real. Para determinar a velocidade média, basta aplicar os valores na
fórmula:
sm
t
S
vm /20
12
)22(42







g) Vamos lembrar o que aprendemos em C.D.I.: quando queremos os valores
máximos e/ou mínimos de uma equação, devemos derivar a equação que estamos
estudando e igualar esta equação a zero, portanto temos que:
0
dt
dS
, obtemos os instantes em que a posição é máxima.
0327 2
 t
dt
dS
 3t segundos
Assim o instante em que o móvel ocupa a posição máxima e/ou mínima é em
3 segundos, pois não estudamos os tempos negativos, e a posição é dada por:
mS 5033.274 3
)3( 
Vimos na letra c que, nos instantes 1 e 2, o móvel ocupa valores maiores que –
50 m, portanto podemos definir que -50m é a posição mínima à qual o móvel ocupa,
e este instante foi em três segundos após o início.
h) t = 3 s t = 2 s t = 1 s t = 0 s
v = 0 v = - 15 m/s v = - 24 m/s v0 = - 27 m/s
S(m)
- 50 - 42 - 22 4

34
Observe que, em t = 4 s, temos S = - 40 m e v = + 21 m/s, ou seja, no
instante t = 3 s, o móvel pára e inverte seu sentido retornado no sentido positivo da
trajetória. Observe um esboço para a trajetória:
Para o infinito
O gráfico da função horária dos espaços desta partícula é dado por:
3.2 Determinação das funções da Velocidade e da Posição partindo da função
de Aceleração.
Vimos que as funções da velocidade e da aceleração podem ser
determinadas a partir da equação da posição. Agora, vamos estudar as operações
inversas, ou seja, partindo da equação da aceleração, retornar à equação da
velocidade e partindo desta equação, retornar à equação do espaço.
Este procedimento é conhecido como antiderivada ( ou integral ). Portanto,
reescrevendo a definição da aceleração como:
dt
dv
a   adtdv 
Tempo
Espaço S

35
Escrevendo a integral dos dois lados temos:
adtdv  
ou
Cadtv   , em que C é a velocidade inicial do móvel.
Portanto, podemos definir a função da velocidade de uma partícula pela integral da
função aceleração.
Para determinação da função dos espaços, partimos da definição da velocidade
como:
dt
dS
v   vdtdS 
Escrevendo a integral dos dois lados temos:
vdtdS  
ou
CtvdS   , em que C é a posição inicial do móvel.
Portanto, podemos definir a função dos espaços de uma partícula pela integral da
função da velocidade.
A aceleração de uma partícula é dada por 12  ta , no SI. Supondo que a
partícula partiu da posição 2 m com velocidade inicial de 3 m/s, determine:
a) a função da velocidade x tempo;
b) a função do espaço x tempo;
c) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos;
d) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos;
e) as posições ocupadas nos instantes 1 e 2 segundos;
f) a velocidade média entre 1 e 2 segundos;
g) esboce em uma trajetória o móvel em estudo.

36
a) A velocidade é dada por:
Cadtv    Cdttv   )12(  Cttv  2
Portanto:
b) A posição é dada por:
CtvdS    CdtttS   )3( 2
 Ct
tt
S  3
23
23
Portanto:
c)
2
)1( /311.2 sma 
2
)2( /512.2 sma 
d) smv /53112
)1( 
smv /93222
)2( 
e) mS 83,521.3
2
1
3
1 23
)1( 
mS 67,1222.3
2
2
3
2 23
)2( 
f) sm
t
S
vm /84,6
12
83,567,12







23
23
23
 t
tt
S
32
 ttv

37
g)
t0 = 0 s t = 1 s t = 2 s
v0 = 3 m/s v = 5 m/s v0 = 9 m/s
0 2 5,83 12,67 S(m)
O gráfico da função horária dos espaços desta partícula é dado por:
Retornando ao 2º Caso (M.U.V.):
Com o conhecimento de movimento variado, podemos encontrar as equações
do M.U.V. da seguinte forma:
Sabemos que Cadtv   , e como a aceleração é constante no M.U.V., ela pode
ser colocada fora da integral. Então obtemos:
Cdtav  
ou
Catv   0vatv  
Espaço S
Tempo
atvv  0

38
Equação horária da velocidade do MUV.
Com a equação da velocidade, podemos obter a equação dos espaços da seguinte
maneira:
Sabemos que CtvdS   , porém, neste caso, a velocidade não é constante,
mas é dada por atvv  0 , então temos que:
CtdatvS   )( 0
ou
C
at
tvS 
2
2
0  0
2
0
2
S
at
tvS  
2
2
00
at
tvSS  Equação horária dos espaços do M.U.V.
Equação de Torricelli
Temos, até agora, duas funções que nos permitem saber a posição do móvel
e a sua velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que
possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo.
A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo
móvel. É obtida eliminando o tempo entre as funções horárias da posição e da
velocidade.
I II
Isolando o tempo t, na segunda equação, e substituindo na primeira, vem:
atvv  0
2
2
00
at
tvSS 

39
De (2) :
a
vv
t 0
 Substituindo em (1)
2
00
00
2
1





 





 

a
vv
a
a
vv
vss





 



a
vvvv
a
vvv
ss
2
00
22
00
0
2
2
1
Reduzindo ao mesmo denominador:
2a(S - S0) = 2 v0v - 2v0
2
+ v2
- 2vv0 + v0
2
2a(S - S0) = - v0
2
+ v2
v2
= v0
2
+ 2 a (S - S0) mas S = S - S0
Sendo assim, temos:
Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária
S = -15 - 2t + t2
(no SI) . Pede-se:
a) o tipo de movimento;
b) a posição inicial;
c) a velocidade inicial;
d) a aceleração;
e) a função v = f(t);
f) o instante em que o móvel passa pela origem das posições.
Resolução:
a) A função horária S = -15 - 2t + t2
é do 2º grau, portanto o móvel está em M.U.V..
b) Por comparação: S = S0 + v0 t + a/2 . t2
 S0 = -15 m (o móvel está a 15 metros da origem).
c) Também, por comparação, temos que V0 = -2 m/s.
Savv  ..22
0
2

40
d) Por comparação, temos: (1/2) a = 1 então a = 2 m/s2
e) V = V0 + a.t  Substituindo os valores encontrados anteriormente temos que:
V = -2 + 2.t
ou derivando S, temos V = -2 + 2.t.
f) A origem das posições temos quando S = 0 :
S = -15 - 2t + t2
0 = -15 - 2t + t2
Resolvendo a equação temos s
a
b
t 5
2
82
2




 só é considerado o
tempo positivo.
Um carro parte do repouso e, ao final de 50m, ele atinge uma velocidade de
144 km/h. Determine a aceleração desse carro.
Resolução:
São dados - v = 144 Km/h = 40 m/s
S = 50 m
v0 = 0
v2
= v0
2
+ 2.a. S
402
= 02
+ 2.a.50  1600 = 100 a  a = 16 m/s2
Lançamento Vertical e Queda Livre
Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra, fica
sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção
vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação Universal. Ela existe devido ao
campo gravitacional terrestre.

41
A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da Terra. Ela
varia com a latitude e com a altitude. Ela aumenta quando se passa do equador (g =
9,78039 m/s2
) para o pólo (g = 9,83217 m/s2
) . Ela diminui quando se vai da base de
uma montanha para o seu cume.
O valor de g, num lugar situado ao nível do mar e à latitude de 45º, chama-se
aceleração normal da gravidade.
gnormal = 9,80665 m/s2
Se trabalharmos com dois algarismos, podemos considerar o valor de g como o
mesmo para todos os lugares da Terra:
g = 9,8 m/s2
Para facilitar os cálculos, normalmente usa-se g = 10 m/s2
.
A expressão queda livre, utilizada com freqüência, refere-se a um movimento
de descida, livre dos efeitos do ar; é, portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da
aceleração da gravidade, assim como no lançamento vertical. Porém, no lançamento
vertical, quando o corpo sobe o movimento é retardado e quando desce é acelerado.
1) Como a aceleração da gravidade, nas proximidades da Terra, é constante, nosso
movimento será uniformemente variado. (MUV)
2) Em um mesmo lugar da Terra, todos os corpos caem livremente com a mesma
aceleração, independentemente do seu peso, forma ou tamanho. Isto é, naquele
lugar da Terra o valor de g é o mesmo para qualquer corpo em queda livre.
3) Quando lançamos um corpo verticalmente para cima, quando este alcançar a
altura máxima, sua velocidade será nula (V = 0).
4) Quando o corpo é lançado do solo verticalmente para cima (desprezando a
resistência do ar), o tempo que ele gasta para atingir a altura máxima é igual ao
tempo que ele leva para retornar ao solo. Neste caso, a velocidade com que ele é
lançado também será a mesma, em módulo, que ele retorna ao solo.
5) As equações, no movimento vertical, são as mesmas do M.U.V. nas quais:
S = H (altura)
a = g (gravidade)

42
então temos:
atvv  0  gtvv  0
2
2
00
at
tvSS  
2
2
00
gt
tvHH 
em queda livre :
2
2
gt
H 
Savv  ..22
0
2
 Hgvv ..22
0
2

CUIDADO COM A ORIENTAÇÃO DA TRAJETÓRIA.
Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20
m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s2
, pede-se:
a) a função horária das alturas;
b) a função horária das velocidades;
c) o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima;
d) a altura máxima atingida em relação ao solo;
e) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo;
f) a velocidade do corpo ao tocar o solo.
Resolução:
Adotaremos, como positiva, a trajetória para cima: o movimento em questão é um
MUV.
a)
2
2
00
gt
tvHH  , como V0 = 20 m/s H0 = 0 e g = -10 m/s2
substituindo na eq. teremos:
2
520 ttH 

43
b) gtvv  0 Substituindo os valores já conhecidos teremos:
tv 1020 
c) Na altura máxima ( V = 0 )
V = 20 – 10. t então: 0 = 20 - 10 t  10 t = 20  t = 20 / 10
logo t = 2 s
d) Substituindo t = 2s em S = 20 t - 5 t2
, temos:
H = 20 . 2 - 5 . 22
então H = 40 - 20, ou seja: H = 20m
e) No solo (S = 0), pois retorna a origem.
H = 20 t - 5 t2
, substituindo H = 0 na eq. teremos: 0 = 20 t - 5 t2

0 = 5t (4 - t) 
t = 4s
f) Substituindo t = 4s em v = 20 - 10 t, temos:
v = 20 - 10 . 4  v = 20 - 40  v = -20 m/s
(negativa porque é contrária ao sentido positivo adotado).
Observe no exemplo anterior que:
- Tempo de subida = tempo de descida.
- Velocidade de saída = velocidade de chegada (em módulo).
Esta observação é válida para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas
sempre em relação ao mesmo plano de referência, e desprezando as resistências
do ar.

44
EXERCÍCIOS
Exercícios de M.U. e M.U.V.
( ) No MRU o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais.
( ) Um MRU é sempre progressivo.
( ) Um corpo pode estar simultaneamente em MRU em relação a um dado
referencial e em repouso em relação a outro referencial.
( ) Um movimento é uniforme quando sua trajetória em relação a um dado
referencial é retilínea.
2) Uma pessoa lhe informa que um corpo está em movimento retilíneo uniforme.
a) O que está indicado pelo termo “retilíneo”?
b) E pelo termo “uniforme” ?
c) Qual é a expressão matemática que nos permite calcular a distância que este
corpo percorre após decorrido um tempo t ?
3) Um set de uma partida de voleibol tem início às 19h25 min e 30s e termina às
20h 5min 15s. O intervalo de tempo de duração dessa etapa do jogo é de:
a) 1h 39 min 46s.
b) 1h 20 min 15s.
c) 39min 45s.
d) 30min 45s.
e) 20 min 15s.

45
4) Dentre as velocidades citadas nas seguintes alternativas, qual é a maior?
a) 190 m/s
b) 25 m/min
c) 105
mm/s
d) 900 Km/h
e) 7,9 Km/s
5) Um automóvel mantém uma velocidade constante de 72 Km/h. Em 1h e 10min ele
percorre, em Km, uma distância de:
a) 79,2
b) 80
c) 82,4
d) 84
e) 90
6) Dois móveis partem das posições -30m e 10m respectivamente, ambos em MU.
Sabendo-se que a velocidade de A é 18m/s e de B é 6 m/s, qual o instante em que
eles vão se encontrar? Em que posição isto ocorre?
7) A distância de dois automóveis é de 225 Km. Se eles andam um ao encontro do
outro com 60 Km/h e 90 Km/h, ao fim de quantas horas se encontrarão?
a) 1 hora
b) 1h 15 min
c) 1h 30 min
d) 1h 50 min
e) 2h 30 min
8) Dois móveis A e B partem simultaneamente do mesmo ponto, com velocidades
constantes iguais a 6 m/s e 8 m/s. Qual a distância entre eles em metros, depois de
5s, se eles se movem na mesma direção e no mesmo sentido?
a)10
b) 30
c) 50
d) 70
e) 90

46
10) Um trem de comprimento 130 metros e um automóvel de comprimento
desprezível caminham paralelamente num mesmo sentido em um trecho retilíneo.
Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da
velocidade do trem. Pergunta-se: Qual a distância percorrida pelo automóvel desde
o instante em que alcança o trem até o instante em que o ultrapassa?
11) Duas locomotivas, uma de 80m e outra de 120m de comprimento, movem-se
paralelamente uma à outra. Quando elas caminham no mesmo sentido, são
necessários 20 s para a ultrapassagem e quando caminham em sentidos opostos,
10 s são suficientes para a ultrapassagem. Calcule a velocidade das locomotivas
sabendo que a maior é a mais veloz.
12) Um trem de 150 metros de comprimento, com velocidade de 90 Km/h, leva 0,5
minuto para atravessar um túnel. Determine o comprimento do túnel.
13) Uma partícula passa pelo ponto A da trajetória esquematizada abaixo, no
instante t = 0, com velocidade escalar de 8,0 m/s. No instante t = 3,0 s, a partícula
passa pelo ponto B com velocidade escalar de 20,0 m/s.
A B
0 1 2 3 4 S(m)
Sabendo-se que o seu movimento é uniformemente variado, a posição do ponto B,
em metros, vale:
a) 25,0
b) 30,0
c) 45,0
d) 50,0
e) 55,0

47
14) Dois móveis, A e B, estão numa trajetória retilínea, sendo a função horária das
posições, respectivamente, SA = 8 + 3t e SB = 4t2
. Se as unidades estão no SI
(Sistema Internacional), pode-se concluir que:
a) o móvel A apresenta aceleração de 3 m/s2
.
b) o móvel B apresenta aceleração de 8 m/s2
.
c) o móvel A apresenta movimento uniformemente acelerado.
d) o móvel B apresenta movimento uniforme.
e) os móveis A e B encontrar-se-ão no instante 5 s.
15) A velocidade de um automóvel que viaja para leste é reduzida uniformemente de
72 km/h para 36 km/h em uma distância de 60 m. O tempo necessário, em
segundos, para percorrer essa distância é:
a) 1,8 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,0 e) 5,8
16) Ao iniciar a travessia de um túnel retilíneo de 200 metros de comprimento, um
automóvel de dimensões desprezíveis movimenta-se com velocidade de 25 m/s.
Durante a travessia desacelera uniformemente, saindo do túnel com velocidade de 5
m/s. O módulo de sua aceleração escalar, nesse percurso, foi de:
a) 0,5 m/s2
b) 1,0 m/s2
c) 1,5 m/s2
d) 2,0 m/s2
e) 2,5 m/s2
17) Um carro está viajando numa estrada retilínea com a velocidade de 72 km/h.
Vendo adiante um congestionamento no trânsito, o motorista aplica os freios durante
2,5 s e reduz a velocidade para 54 km/h. Supondo que a aceleração é constante
durante o período de aplicação dos freios, calcule o seu módulo, em m/s2
.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
18) Dois carros deslocam-se em pista retilínea, no mesmo sentido, com velocidades
constantes. O carro que está na frente desenvolve 20 m/s e o que está atrás, 35 m/s.
Num certo instante, a distância entre eles é de 225 m. A partir desse instante, quanto
tempo o carro de trás levará para alcançar o da frente?
a) 15 s b) 10 s c) 5 s d) 20 s e) 25 s

48
Exercícios de Lançamento vertical e queda livre
01) Do terraço de um edifício, você solta, sucessivamente, com velocidade
inicial nula, três bolinhas de aço, a 0,50 s de intervalo. No instante em que você
solta a terceira, as duas primeiras se encontram nas posições indicadas na
opção:
2. Para calcular a altura de uma ponte sobre o leito de um rio, um garoto
abandonou uma pedra da ponte, a partir do repouso, e mediu o tempo
transcorrido até que ela atingisse a superfície da água. Considerando a
aceleração da gravidade igual a 10 m / s2
e sabendo que o tempo de queda da
pedra foi de 2,2 segundos, pode-se afirmar que a altura da ponte, em metros, é
um valor mais próximo de:
a) 16.
b) 20.
c) 22.
d) 24.
e) 48.
3. Atira-se em um poço, uma pedra verticalmente para baixo, com uma
velocidade inicial v0 = 10 m/s. Sendo a aceleração local da gravidade igual a 10
m / s2
e sabendo-se que a pedra gasta 2 s para chegar ao fundo do poço,
podemos concluir que a profundidade deste é, em metros:
a) 30.
b) 40.
c) 50.
d) 20.
e) Nenhuma das respostas anteriores.

49
4. Um vaso de flores cai livremente do alto de um edifício. Após ter percorrido
320 cm, ele passa por um andar que mede 2,85 m. Quanto tempo ele gasta
para passar por esse andar? Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m
/ s2
.
a) 1,0 s.
b) 0,80 s.
c) 0,30 s.
d) 1,2 s.
e) 1,5 s.
5. Um elevador está descendo com velocidade constante. Durante este
movimento, uma lâmpada, que o iluminava, desprende-se do teto e cai.
Considere g = 9,8 m / s2
. Sabendo-se que o teto está a 3,0 m de altura acima do
piso do elevador, o tempo que a lâmpada demora para atingir o piso é:
a) 0,61 s.
b) 0,78 s.
c) 1,54 s.
d) Infinito, pois a lâmpada só atingirá o piso se o elevador sofrer uma
desaceleração.
e) Indeterminado, pois não se conhece a velocidade do elevador.
6. Um jogador de basquetebol consegue dar um grande impulso ao saltar e
seus pés atingem a altura de 1,25 m. A aceleração da gravidade no local tem o
valor de 10 m / s2
. O tempo que o jogador fica no ar, aproximadamente, é:
a) 1 s.
b) 2 s.
c) 3 s.
d) 4 s.
e) 5 s.
7. Um objeto é lançado verticalmente para cima e retorna ao ponto de partida
em 2,0 s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando g = 10 m / s2
, a
altura atingida pelo objeto é, em metros:
a) 2,5.
b) 5,0.
c) 10.
d) 20.
e) 40.

50
8. Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade de 3,0 m/s de
uma posição a 2,0 m acima do solo. Quanto tempo decorrerá desde o instante
do lançamento até o instante de a pedra chegar ao solo? Considere g = 10 m /
s2
.
a) 0,4 s.
b) 1,0 s.
c) 1,5 s.
d) 2,0 s.
e) 3,0 s.
9. Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima. Quando sua altura é 2
m, o objeto está com uma velocidade de 3 m/s. Admitindo-se que a aceleração
gravitacional vale 10 m / s2
, pode-se afirmar que a velocidade com que esse
objeto foi lançado, em m/s, é de:
a) 4,7.
b) 7.
c) 8,5.
d) 9.
e) 9,5.
10. Um elevador sobe e, no instante em que se encontra a 30 m do solo, sua
velocidade escalar é 5,0 m/s. Nesse mesmo instante, rompe-se o cabo de
sustentação e o elevador fica livre de qualquer resistência. Adotando g = 10 m /
s2
, o tempo que ele gasta para atingir o solo é:
a) 30 s.
b) 6,0 s.
c) 3,0 s.
d) 2,9 s.
e) s.
11. A altura alcançada por um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo,
com velocidade inicial v0, até sua velocidade se reduzir à metade é dada, em
função da altura máxima H, pela expressão:
a) .
b) .
c) .
d) .

51
12. Uma pedra cai de uma altura H, a partir do repouso. No mesmo instante,
uma segunda pedra é lançada, do chão, verticalmente para cima com
velocidade v0. Desprezando a resistência do ar e supondo constante a
aceleração da gravidade no local da experiência, o valor de v0, para que uma
pedra passe pela outra a uma altura , é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
13. Em um local onde a aceleração da gravidade vale 10 m / s2
, deixa-se cair
uma pedra de uma altura de 125 m, em direção ao solo. Dois segundos depois,
uma segunda pedra é atirada da mesma altura. Sabendo-se que essas duas
pedras atingiram o solo no mesmo instante, a velocidade com que a segunda
pedra foi atirada tem intensidade aproximadamente igual a:
a) 12 m/s.
b) 27 m/s.
c) 32 m/s.
d) 41 m/s.
e) 57 m/s.
Lista de Exercícios de movimento variado
1) Um móvel parte da posição 1 m com velocidade 2 m/s. Sendo a aceleração
desse móvel a(t) = t2
+ 2t – 1 . Determine no instante 2s:
(a) a velocidade
(b) a posição.

52
2) Determine a posição, a velocidade e a aceleração de dois móveis, no instante 1s,
que se deslocam segundo as funções horárias:
(a) x(t) = t3
+ 2t – 1;
(b) x (t) = ln t.
3) A aceleração de certo móvel é dada por ta .2 , no SI. Determine:
a) a aceleração após 3 segundos;
b) a velocidade após 3 segundos, sendo a velocidade inicial 3 m/s;
c) a posição após 3 segundos, sendo a posição inicial 2 m;
d) a velocidade média entre 2 e 4 segundos.
4) A posição de certo móvel é dada por ttx  ln , t  0, no SI. Determine:
a) a posição após 1 segundo;
b) a velocidade após 1 segundo;
c) a aceleração após 1 segundo.
5) Um móvel tem sua velocidade variável de acordo com a equação v(t) = cos (t), t
em radianos, determine:
a) A velocidade média entre π e π/2 segundos.

53
b) A aceleração média entre π e π/2 segundos.
6) Determine, se existir, a máxima ou a mínima velocidade dada pela função v = 2t2
-
2t – 5, no SI.
7) Determine, se existir, a máxima ou a mínima aceleração sendo dado a função da
posição x = -t4
+ 2t3
– 3t +2, no SI.
8) Um móvel sai da posição 2 m e têm sua velocidade dada por v = 2t – 1, no SI.
Determine, se existir, a máxima ou a mínima posição do móvel.

54
UNIDADE 3 - VETORES
Grandezas físicas que não ficam totalmente determinadas com um valor e
uma unidade são chamadas de GRANDEZAS VETORIAIS. As grandezas que ficam
totalmente expressas por um valor e uma unidade são chamadas de GRANDEZAS
ESCALARES. Como exemplos de grandezas escalares, temos a massa, o tempo, a
energia, etc. Já as grandezas vetoriais, para que fiquem totalmente definidas
necessitam de:
Uma intensidade (módulo), uma direção e um sentido.
Como exemplos de grandeza vetorial, temos: Velocidade, força, aceleração, etc.
Um vetor, por sua vez, tem três características: MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO.
Para representar graficamente um vetor, usamos um segmento de reta orientado.
O módulo do vetor representa numericamente o comprimento de sua seta. No caso
anterior, o módulo do vetor é igual à distância entre os pontos A e B, que por sua
vez vale 3 u.
Para indicar vetores usamos as seguintes notações:
 OPABv

v
O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais.
|A| (Lê-se: módulo de A)

55
Operações com Vetores:
1 - Adição de Vetores
Podemos somar dois ou mais vetores para obter um vetor soma. Vamos ver
algumas representações geométricas.
- Regra do polígono:
Ligam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma é o que tem origem na
origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor.
S = A + B + C
- Regra do polígono para subtração de vetores: Para subtrair dois vetores
adicionamos um deles ao oposto do outro.
D = A – B
Cálculo para soma e subtração de dois vetores
a) Soma de dois vetores:
v1 vs
vs = v1 + v2
v2

56
É aconselhável utilizar esta lei somente quando se sabe o ângulo entre os
vetores e somente o módulo dos vetores nos interessa, pois quando desejamos
encontrar módulo, direção e sentido do vetor, existem outros caminhos mais simples.
1 º Caso particular:  = 90º v1
vs
v2
cos 90º = 0
2 2
s 1 2v v v  Teorema de Pitágoras
Para o cálculo do valor do vetor soma vs, aplicaremos conhecimentos de
trigonometria.
vs
2
= h2
+ (v2 + m)2
lembrar que (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
e que h = v1 sen 
vs
2
= v1
2
sen2
 + (v2
2
+ 2 v2 m + m2
) lembrar que m = v1 cos
vs
2
= v1
2
sen2
 + v2
2
+ 2 v2v1 cos  + v1
2
cos2

vs
2
= v1
2
(sen2
 + cos2
) + v2
2
+ 2v1 v2 cos  lembrar que sen2
 + cos2
 = 1
vs
2
= v1
2
+ v2
2
+ 2 v1v2 cos 
cos...2 21
2
2
2
1 vvvvvs 
Lei dos Co-senos para soma de dois vetores

57
b) Regra do paralelogramo para dois vetores:
- Vetor soma
v1 vs
v1 vs = v1 + v2
v2 v2
c) Diferença de dois vetores D = v2 - v1:
-v1 v2 D = v2 - v1
D
A subtração de vetores é um caso particular da ADIÇÃO.
Quando se desejar o valor do vetor diferença, aplicaremos a Lei dos Co-senos:
2 2
1 2 1 2v v 2.v .v .cosD   
Lei dos Co-senos para diferença entre dois vetores.
2º Caso particular:  = 0º
Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido ( = 0º) , o vetor
resultante será a soma direta dos módulos de cada vetor:
a
b
Intensidade: R = a + b
Direção: mesma de a e b
a b Sentido: mesmo de a e b
R

58
3º Caso particular:  = 180º
Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos ( = 180º) , o
vetor resultante será a subtração direta entre os módulos dos vetores:
a Intensidade: R = a - b
Direção: mesma de a e b
b Sentido: mesmo sentido do vetor de
maior intensidade.
a b
R
Sejam os vetores força F1 e F2 de valores iguais a 10 N e 5 N,
respectivamente, cuja representação vetorial se encontra abaixo. Trace a resultante
R e dê o seu valor.
F1 Resolução R2
= F1
2
+ F2
2
R2
= 100 + 25 F1 R
R2
= 125
F2 R = 55 N
F2
Dado o diagrama vetorial, trace o vetor resultante e dê o seu valor:
a  = 60º
a = 4uv
θ b = 3 uv
b

59
Resolução:
a R
b
uvR
R
R
082,6
37
60cos.3.4.234 22



Decomposição de Vetores
A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante.
vy v

vx
e
22
yx vvv 
O objetivo de decompor vetores nos eixos é que teremos vetores nas mesmas
direções em que podemos somar ou subtrair seus módulos e sempre sobrarão
vetores nos eixos em que a resultante é um Teorema de Pitágoras.
* O ângulo  define a direção e o sentido de um vetor no plano ortogonal.
* Quando informamos uma resposta vetorial com seu módulo, é obrigatório
definirmos a direção e o sentido do vetor para que a resposta esteja completa.
* Para determinarmos o valor de  em um plano cartesiano, podemos utilizar
uma relação trigonométrica. No entanto, só teremos as componentes vx e vy ,
devemos, então, utilizar a relação trigonométrica Tangente, pois:
x
y
v
v
CA
CO
tan  
x
y
v
v
arctan (direção e sentido de um vetor no plano)
Onde:
v
v
H
CA x
cos  cos.vvx 
v
v
H
CO
sen
y
  senvvy .

60
Determine a resultante ( vw

 ) dos vetores representados no plano abaixo:
Nv 12

Nw 9

320
780
Resolução:
Temos para v

:
Nsenv
Nv
y
x
74,1178.12
50,278cos.12
0
0


Temos para w

:
Nsenw
Nw
y
x
77,432.9
63,732cos.9
0
0


A resultante no eixo x é : 2,50 – 7,63 = -5,13 N
A resultante no eixo y é : 11,74 + 4,77 = 16,51 N
vw

 16,51 N
-5,13
Resumindo, temos como resposta vw

 = 17,29 N e direção θ = 162,740
.
O módulo da resultante é:
29,1751,16)13,5( 22
 vw

N
A direção e sentido é:
0
74,162)311,0arctan(
51,16
13,5
arctanarctan 


x
y
v
v

61
Observação: Sempre que a resposta da direção estiver somente
representada pelo ângulo, este ângulo é com relação ao eixo x positivo, sentido anti-
horário. Caso você queira dar a resposta adotando um outro referencial não está
errado, mas tem que ser claro. Exemplo: no caso acima, poderíamos dar como
resposta da direção  = 17,260
em relação ao eixo x negativo, sentido horário ou  =
72,740
em relação ao eixo y positivo, sentido anti-horário, etc.
Vetor Unitário
Os vetores canônicos ou vetores unitários i

, j

e k

:
i

= (1; 0; 0); j

= (0; 1; 0) e k

= (0; 0; 1)
são vetores unitários (de módulo igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo
vetor v = (vx; vy; vz) pode ser escrito em termos de uma soma de múltiplos escalares
de i

, j

e k

(combinação linear), pois
v = (vx; vy; vz) = (vx; 0; 0) + (0; vy; 0) + (0; 0; vz)
= vx(1; 0; 0) + vy(0; 1; 0) + vz(0; 0; 1)
= vx i

+ vy j

+ vz k

Observe que os vetores vx , vy e vz são as componentes do vetor v nos eixos
cartesianos.
Sejam os pontos no espaço de duas dimensões A(-4; 3) e B(2; -2):
a) representar os vetores no plano cartesiano;
b) associar cada ponto a dois vetores w

e v

, de origem C(0; 0), em forma
unitária;
c) determinar a soma vw

 ;
d) determinar a diferença vw

 ;
e) determinar os módulos de w

; v

e vw

 ;
f) determinar as direções de w

; v

e vw

 .

62
Resolução:
a) A 3
w

2
-4
v

-2 B
b) w

= - 4 i

+ 3 j

v

= 2 i

- 2 j

c) vw

 = (-4 + 2)i

+ (3-2) j

vw

 = - 2 i

+ j

d) vw

 = (-4 - 2)i

+ [3-(-2)] j

vw

 = -6 i

+ 5 j

e) w

= 3+4)(- 22
= 5 u
v

= (-2)+2 22
= 8 u
vw

 = 1+(-2) 22
= 5 u
w

f) para w

:
0
13,143)75,0arctan(
4
3


x
y
v
v
143,130
para v

:
0
45)1arctan(
2
2
arctanarctan 


x
y
v
v
-450
v

para vw

 :
0
43,153)5,0arctan(
2
1


x
y
v
v
vw

 0
43,153

63
Sejam os pontos no espaço de três dimensões A(-1; 3; 6) e B(2; -6; 5):
a) associar cada ponto a dois vetores w

e v

, de origem C(0; 0; 0), em forma
unitária;
b) determinar a soma vw

 ;
c) determinar a diferença vw

 ;
d) determinar os módulos de w

; v

e vw

 ;
a) w

= -1 i

+ 3 j

+ 6 k

v

= 2 i

- 6 j

+ 5 k

b) vw

 = (-1+2) i

+(3 – 6) j

+ (6 + 5)k

vw

 = 1 i

- 3 j

+ 11 k

c) vw

 = (-1-2) i

+[3 –(- 6)] j

+ (6 - 5)k

vw

 = -3 i

+ 9 j

+ 1 k

d) w

= 222
63)1(  = 6,78 u
v

= 222
5)6(2  = 8,06 u
vw

 = 222
11)3(1  = 11,44 u
Quando trabalhamos com três dimensões, sempre devemos trabalhar com
vetores unitários, pois é complicado encontrar os ângulos que definem as direções
dos vetores. Observe um exemplo geométrico de um vetor em três dimensões:
z
y
x

64
MULTIPLICAÇÃO
Iremos estudar três tipos de multiplicação: Multiplicação de um número real
por um vetor, multiplicação entre dois vetores (PRODUTO ESCALAR) que gera um
número real e a multiplicação entre dois vetores (PRODUTO VETORIAL) que gera
um vetor.
1º Número Real X Vetor ( n.V)
O produto de um número real n por um vetor A, resulta em um vetor R com
sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O
módulo do vetor R é igual a n x |A|.
2º O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores V E W (V.W).
O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por:
cos... WVWV  , em que θ é o ângulo entre eles.
Quando os vetores são dados em termos das suas componentes, não
sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de
calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.

65
Se V e W são dois vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então pela lei dos
cossenos,
COSWVWVWV 2
222

Assim:
)(
2
1
.
222
WVWVCOSWVWV  
Já temos então uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende
diretamente do ângulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores, na
expressão acima, obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto
interno.
Por exemplo, se V = (v1; v2; v3) e W = (w1; w2; w3) são vetores no espaço, então,
substituindo-se
2
33
2
22
2
11
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
2
)()()(..,.. wvwvwvWVewwwWvvvV a 
em
)(
2
1
.
222
WVWVCOSWVWV  
os termos 22
1 ... iwev são cancelados e obtemos
332211. wvwvwvWV 
Então o PRODUTO ESCALAR OU INTERNO, V.W, entre dois vetores é dado por
332211. wvwvwvWV 
Sejam V = (0; 1; 0) e W = (2; 2; 3). O produto escalar de V por W é dado por:
V . W = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0 . 2 + 1 . 2 + 0 . 3 = 2

66
Podemos usar este conceito para determinar o ângulo entre dois vetores não
nulos, V e W. O cosseno do ângulo entre V e W é, então, dado por
WV
WV
.
.
cos 
Se V e W são vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então:
(a) θ é agudo (0< θ < 90o
) se, e somente se, V.W > 0,
(b) θ é reto (θ = 90o
) se, e somente se, V .W = 0 e
(c) θ é e obtuso (90o
< θ  180o
) se, e somente se, V .W < 0.
Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas
arestas. Sejam V1 = (1; 0; 0); V2 = (0; 1; 0) e V3 = (0; 0; 1). Uma diagonal do cubo é
representada pelo vetor D dado por D = V1 + V2 + V3 = (1; 1; 1):

67
Então, o ângulo entre D e V1 satisfaz
ou seja,
3º Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado é um
vetor. Por isso, ele é chamado produto vetorial. Este produto tem aplicação, por
exemplo, em Física: a força exercida sobre uma partícula carregada, mergulhada
num campo magnético é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo
vetor campo magnético, desde que o campo seja constante e a carga seja unitária.
w
w
v v
Onde v e w são os módulos ou normas dos vetores v e w, h é a altura do
paralelogramo em relação ao vetor v e  é o ângulo entre os vetores v e w.
Sejam V e W dois vetores no espaço. Definimos o produto vetorial, WV  ,
como sendo o vetor com as seguintes características:
(a) tem comprimento dado por
senWVWV ..
ou seja, a norma de WV  é igual à área do paralelogramo determinado por V e W.
senwh .


68
(b) tem direção perpendicular a V e a W.
(c) tem o sentido dado pela regra da mão direita: se o ângulo entre V e W é θ,
giramos o vetor V de um ângulo θ até que coincida com W e acompanhamos este
movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de
WV  .
Da forma como definimos o produto vetorial, é difícil o seu cálculo, mas as
propriedades que apresentaremos a seguir possibilitarão obter uma fórmula para o
produto vetorial em termos das componentes dos vetores.
WV  = det










321
321
www
vvv
kji


69
Determine o produto vetorial (v

 w

) e ( w

 v

) entre os vetores:
w

= -1 i

+ 3 j

+ 6 k

e v

= 2 i

- 6 j

+ 5 k

v

 w

= det










321
321
www
vvv
kji

= det












631
562
kji

= -51 i

-17 j

v

 w

= -51 i

-17 j

w

 v

= det










321
321
vvv
www
kji

= det












562
631
kji

= 51 i

+ 17 j

w

 v

= 51 i

+ 17 j

Observe que o vetor w

 v

é oposto ao vetor v

 w

.
EXERCÍCIOS
1) Os vetores ao lado têm:
a) mesmo módulo.
b) mesmo sentido.
c) mesma direção.
d) direções diferentes e paralelas.
e) simetria.

70
2) São dados os vetores a e b. Assinale o vetor que melhor representa a diferença
(b - a) .
a
b
a) b) c) d)
3) Dois vetores têm módulos 4 m/s e 5 m/s e formam entre si um ângulo de 60º. A
razão entre o módulo do vetor soma e o módulo do vetor diferença é
aproximadamente:
a) 2,3
b) 1,7
c) 3
d) 4,2
4) Dois vetores têm módulos iguais a v e formam entre si um ângulo de 120º. A
resultante entre eles tem módulo:
a) v
b) 2v
c) 3v
d) d/2
5) Um barco alcança a velocidade de 18 Km/h, em relação às margens de um rio,
quando se desloca no sentido da correnteza e de 12 Km/h quando se desloca em
sentido contrário ao da correnteza. Determine o módulo da velocidade do barco em
relação às margens e o módulo da velocidade das águas em relação às margens.
6) Um homem nadando em um rio paralelamente às suas margens, vai de um marco
P a outro Q em 30 minutos e volta para P em 15 minutos. Se a velocidade da
correnteza é de 1Km/h, qual a distância entre P e Q?

71
07) Um pescador rema perpendicularmente às margens de um rio, com uma
velocidade de 3 m/s em relação às águas. As águas possuem velocidade de 4 m/s
em relação às margens. Determine a velocidade do pescador em relação às
margens.
08) Observe a figura:
z s
s
s0 - 15 km
- 10 km 0 20 km y
8 km
x
No ponto 0, existe um radar que detecta um objeto que se move de acordo com a
figura acima. O objeto gasta 1 minuto e 31 segundos para percorrer x.
a) Esboce na figura acima o vetor posição inicial e final.
b) Determine a posição inicial e final com vetores unitários.
c) Determine o módulo de x e seu vetor unitário.
d) Determine o módulo da velocidade do móvel em km/h e seu vetor unitário.
e) Determine o deslocamento angular do móvel em relação ao radar.
09) Um míssil sai da posição xo = (3 i + 2j) km com velocidade v = (6i + 4j) km/h em
linha reta. Supondo que o radar de um submarino, que detectou estes vetores,
pretende acertar o míssil na posição x = ( -1 ; 4 ) onde irá passar. Qual deverá ser a
velocidade de lançamento do projétil, sendo que irá lançar no mesmo instante em
que detectou o míssil?
2 km
1 km

72
10) Um radar detecta um móvel na superfície da terra na seguinte situação:
I) em t = 0, x = ( -1;-4) ; II) em t = 4 min, x = (2;5); III)em t = 7 min, x = (-2; 3).
a) Esboce em um plano as três posições.
b) Determine o vetor das três posições.
c) Determine o deslocamento de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III.
d) Determine a velocidade do móvel de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III.
e) Determine o deslocamento angular de I p/ II, de II p/ III e de I p/ III.

73
UNIDADE 4 - MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
Neste capítulo, iremos rever todos os conceitos dos capítulos anteriores em
duas e três dimensões. Os conceitos de posição, velocidade e aceleração, são
usados aqui, porém com aplicação do capítulo anterior de vetores.
Posição
Uma partícula pode ser localizada de uma forma geral por meio de um
VETOR POSIÇÃO ( r

), que é um vetor que se estende de um ponto de referência
(geralmente a origem do sistema de coordenadas) até a partícula. A forma mais
utilizada é a forma de vetores unitários:
r

= x i

+ y j

+ z k

Observação: O módulo da posição desta partícula é a distância que vai da origem do
sistema de coordenadas até o ponto onde se encontra a partícula, e é definido por:
r

=
222
zyx 
z (m)
2
2 y (m)
x (m)
r

= (3 i

+ 2 j

+ 2 k

) m representa a posição em que a partícula se encontra.
P = ( 3; 2; 2) m representa o ponto em que a partícula se encontra.
As duas notações têm os mesmos significados.
r

3

74
Deslocamento
Se a posição de uma partícula mudar durante em certo intervalo de tempo,
ocorreu um deslocamento que será definido por:
12 rrr


ou usando a notação de vetores unitário temos:
kzzjyyixxr

)()()( 121212 
Velocidade Média
Quando uma partícula se desloca em determinado meio com um
deslocamento 1r

 durante um intervalo de tempo t, sua velocidade média será
definida como:
t
r
vm





Um móvel parte do ponto A(-1; 2; -3) metros e desloca até o ponto
B (-3; -2; 3) metros em 2 segundos. Determine:
a) os vetores posições final e inicial do móvel;
b) os módulos destes vetores;
c) o deslocamento deste móvel no intervalo de 2 segundos;
d) a velocidade média no intervalo de 2 segundos.
Resolução:
a) Ar

= (-1i

+ 2 j

- 3 k

) m
Br

= (-3i

- 2 j

+ 3 k

) m
b) 74,3321 222
Ar

m
69,4323 222
Br

m

75
c) kjir

))3(3()22())1(3( 
)m642( kjir


d) )321(
2
642
kji
kji
vm





 m/s
Velocidade Instantânea
No capítulo 2, vimos que a velocidade instantânea é definida como sendo a
derivada da posição de uma partícula em função do tempo. Estendendo este
conceito para mais de uma dimensão temos:
.
dt
rd
v



ou
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v


Onde o módulo da velocidade v

é a velocidade da partícula em um certo instante,
e sempre tangente à trajetória .
z
v

v

v

y
x
A posição de um móvel é dada por kjtitr ˆ2ˆ6ˆ3 3


, com t em segundos e
r

em metros. Determine:
a) o módulo do vetor posição no instante 2 segundos;
b) o módulo do vetor velocidade no instante 2 segundos.

76
Resolução:
a) no instante se 2 s temos:
mkjikjir )ˆ2ˆ12ˆ24(ˆ2ˆ2.6ˆ2.3 3


mr 0,2721224 222


b) A equação da velocidade é a derivada da posição, logo temos que a equação de
v

é:
jitv ˆ6ˆ9 2


no instante 2 s temos que a velocidade é:
smjijiv /)636(ˆ6ˆ2.9 2


e o módulo:
5,36636 22
v

m/s
Aceleração Média
Quando uma partícula sofre variação em sua velocidade v

 , durante um
intervalo de tempo t, sua aceleração média será definida como:
t
v
am





Um móvel parte com velocidade )112( kjiv

 m/s e após 3 segundos sua
velocidade é )452( kjiv

 m/s . Determine a aceleração média desta partícula.
Resolução:
3
)14())1(5()22( kji
t
v
am

 




)12( kjam

 m/s2

77
Aceleração Instantânea
Assim como a velocidade instantânea, no capítulo 2, vimos que a aceleração
instantânea é definida como sendo a derivada da velocidade de uma partícula em
função do tempo. Também definida como sendo a derivada segunda da posição.
Estendendo este conceito para mais de uma dimensão temos:
2
2
dt
rd
dt
vd
a



ou
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
a zyx


A velocidade de um móvel é dada por ktjitv ˆ2ˆ5ˆ2 2


, no SI. Determine:
a) o módulo do vetor velocidade no instante 3 segundos;
b) o módulo do vetor aceleração no instante 3 segundos.
Resolução:
a) no instante se 3 s temos:
smkjikjiv /)ˆ18ˆ5ˆ6(ˆ3.2ˆ5ˆ3.2 2


smv /62,191856 222


b) A equação da aceleração é a derivada da velocidade, logo temos que a equação
de a

é:
ktia ˆ4ˆ2 

no instante 3 s temos que a velocidade é:
2
/)122(3.4ˆ2 smkikia


e o módulo:
16,12122 22
a

m/s2

78
Velocidade instantânea a partir da aceleração e posição a partir da velocidade
instantânea.
Até agora, usamos a derivada de posição para determinar a velocidade instantânea
e a derivada da velocidade instantânea para determinar a aceleração instantânea.
Para efetuar as operações inversas, vimos, no capítulo 2, que é só aplicar o conceito
de integral utilizando os valores iniciais da equação procurada.
Lembre–se de que, neste capítulo, estamos trabalhando com mais de uma
dimensão, porém, nos casos que iremos trabalhar basta aplicar as integrais nas
equações separadamente em cada eixo coordenado.
Um móvel parte da posição kjir

3120  , com velocidade kjiv

2210 
e possui aceleração ktjita
 3
3.2  , com unidades no SI. Determine:
a) as acelerações nos instantes 1 e 2 segundos;
b) a equação de velocidade;
c) as velocidades nos instantes 1 e 2 segundos;
d) a equação da posição;
e) as posições nos instantes 1 e 2 segundos;
f) a aceleração média entre 1 e 2 segundos;
g) a velocidade média entre 1 e 2 segundos.
Resolução:
a)
23
)1( /)132(131.2 smkjikjia


23
)2( /)834(232.2 smkjikjia


b)      kdtajdtaidtav zyx

 
      kv
t
jvtivtkdttjdtitdtv zyx







  0
4
00
23
4
)3()(32
k
t
jtitv







 2
4
)23()1(
4
2

79
c) smkjikjiv /)75,112(2
4
1
)21.3()11(
4
2
)1(








smkjikjiv /)245(2
4
2
)22.3()12(
4
2
)2(








d)     kdt
t
jdttidttr







  )2
4
()23()1(
4
2
kzt
t
jyt
t
ixt
t
r



















 0
5
0
2
0
3
2
5.4
2
2
3
3
kt
t
jt
t
it
t
r



















 32
5.4
12
2
3
2
3
523
kt
t
jt
t
it
t
r



















 32
20
12
2
3
2
3
523
e) mkjikjir )95,05,033,3(31.2
20
1
11.2
2
1.3
21
3
1 523
)1(




















mkjikjir )6,0367,6(32.2
20
2
12.2
2
2.3
22
3
2 523
)2(




















f)
12
))2(75,1())41()25(12






kji
t
vv
am


2
/)75,333( smkjiam


g)
12
))95,0(6,0()05,3()33,367,6(12






kji
t
rr
vm


smkjivm /)35,05,234,3(



80
Movimento de Projéteis
A figura abaixo mostra um canhão lançando uma bala obliquamente, próximo
à superfície da Terra, com uma velocidade inicial v0 e um ângulo de lançamento
com a horizontal igual a  . Supondo desprezível a resistência do ar, após o
lançamento, o projétil sofrerá apenas com a ação da gravidade, que o trará de volta
ao solo. O projétil descreverá a trajetória parabólica mostrada na figura.
Como a única força que atua no projétil é o seu peso, concluímos que o
movimento é acelerado e a sua aceleração será a aceleração da gravidade g.
Se fôssemos estudar a trajetória do projétil sobre a parábola, tendo como
dados iniciais apenas a velocidade inicial do projétil e o ângulo que este faz com a
horizontal, nosso estudo ficaria muito complicado. Se você observar bem um
movimento deste tipo, notará que este movimento poderá ser decomposto em dois
movimentos que nós já estudamos e que já estamos habituados com suas
equações:
NA VERTICAL: teremos um lançamento vertical para cima, onde a velocidade
inicial será v0y, que é a velocidade de lançamento projetada no eixo-y. Sendo assim,
teremos no eixo-y um lançamento vertical para cima com M.U.V., onde a velocidade
inicial senvv y .00  , e cujas equações horárias ficarão:
2
.
2
00
gt
tvyy y  ou
2
.
2
00
gt
tvHH y  Equação horária dos espaços.
tgvv yy .0  Equação horária da velocidade.
e
ygvv yy  ..22
0
2
ou Hgvv yy  ..22
0
2
NA HORIZONTAL: teremos um movimento retilíneo e uniforme, pois a única força
que atua no projétil é a gravitacional e esta força é vertical, não atrapalhando o
movimento na horizontal. Sendo assim, teremos no eixo-x um M.U., cuja velocidade
será dada pela projeção da velocidade de lançamento sobre o eixo-x:
cos.00 vvv xx 

81
A equação horária da posição x será dada por:
tvxx x .0  ou tvA x . Normalmente usa-se x0 = 0
vy = 0
y xv
vy vx
vx Altura = H vy
v0
vy
vx vx
x
Alcance = A vy
Vamos fazer agora uma análise do movimento do projétil lançado pelo canhão
da figura. O projétil é lançado com uma velocidade inicial v0 que pode ser
decomposta em duas velocidades v0y e vx . Quando ele estiver a uma altura H’, ele
já terá deslocado na horizontal até A’ e terá uma velocidade v’ que poderá ser
decomposta na vertical como vy’ e na horizontal como vx . Só que, normalmente, no
problema você não conhecerá v’ que poderá ser calculada através da soma vetorial
de vx e vy’ , pois vx e vy’ é fácil de achar através das equações já estudadas.
Logo v’ = vx + vy , ou seja
22
'' yx vvv 
Quando o projétil alcançar a altura H’’ e esta for a altura máxima teremos vy =
0 e neste ponto o projétil terá apenas uma velocidade horizontal igual à vx.
Note agora que, quando o projétil estiver na posição A’’, ele iniciará a descida
com uma velocidade na vertical vy < 0 . Você poderá calcular a velocidade v’’ da
mesma forma que foi calculada na subida.
Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, segundo um ângulo de
60º com a horizontal, com velocidade de 400 m/s. Admitindo g = 10 m/s2
e 3 =
1,7 ; pede-se:

82
a) o tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima em relação ao solo;
b) a altura máxima atingida;
c) o tempo gasto para atingir o solo;
d) o alcance máximo do corpo;
e) a velocidade do corpo no instante 8 segundos;
f) a equação da trajetória do corpo.
Resolução:
Como foi visto o movimento do corpo pode ser decomposto em dois eixos, x e
y perpendiculares entre si. Segundo x, o movimento é uniforme (M.U.) e segundo y,
o movimento é uniformemente variado (M.U.V.).
Inicialmente vamos determinar as componentes horizontal e vertical da
velocidade inicial.
Componente segundo x: Componente segundo y:
v0x = v0 . cos 60º v0y = v0 . sen 60º
v0x = 400 . ½ = 200 m/s (constante) v0y = 400 .
3
2
= 200 . 1,7 = 340 m/s
As funções que regem os movimentos são:
segundo x segundo y
A = v0x t H = H0 + v0y t + ½ gt2
vy = v0y + gt
A = 200 t H = 0 + 340 t + ½ (-10) t2
vy = 340 - 10.t
H = 340 t - 5t2
a) Na altura máxima vy = 0
vy = 340 - 10.t
0 = 340 - 10.t  t = 34 s tempo de subida
b) Substituindo t = 34 s em: H = 340 t - 5t2
H = 340 . 34 - 5 . 342
H = 11 560 - 5 780
H = 5780 m
c) Quando o corpo toca o solo H = 0
H = 340 t - 5t2
0 = 340 t - 5t2
0 = 5t ( 68 - t )  t = 0 instante de lançamento
t = 68 s

83
d) Substituindo t = 68 s em:
A = 200 t
A= 200 . 68
A = 13 600 m
e) A velocidade v é a resultante de duas velocidades v0x e v0y . No instante 8s, o
corpo está subindo, pois:
Cálculo de vy no instante 8s: mas: v2
= vy
2
+ vx
2
vy = 340 - 10 t 22
200260 v
vy = 340 - 10 . 8 v = 328 m/s
vy = + 260 m/s
Sinal + para vy projétil subindo
f) A equação da trajetória é a que relaciona x com y :
Temos A = 200 t ( I )
H = 340 t - 5t2
( II ) De ( I ) teremos que t = A / 200
Substituindo em ( II ) , vem:
H = 340 . ( A / 200 ) - 5 . (A / 200 )2
 H = (17/10) A - (5H2
/ 40 000)
2
8000
1
7,1 AAH  o que mostra que a trajetória é uma parábola.
a) O módulo da velocidade vertical vy diminui durante a subida e aumenta na
descida.
b) No ponto de altura máxima (Hmáx ), o módulo da velocidade no movimento vertical
é zero (vy= 0).
c) A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do corpo é
denominada alcance (Amáx ). Neste ponto H = 0.
d) A posição do corpo, em um dado instante, é determinada pelas coordenadas x e y
. Por exemplo, P1 (A1 , H1).
e) A velocidade, num dado instante, é obtida através da soma vetorial das
velocidades vertical e horizontal, isto é, v = vx + vy . O vetor v é tangente à
trajetória em cada instante.
f) Para um lançamento horizontal, teremos as mesmas equações, porém com  = 0º
e v0y = 0 e a velocidade do projétil, segundo o eixo-x, será igual à velocidade de
lançamento. Veja o exemplo.

84
Um avião bombardeiro está voando a 2 000 m de altura quando solta uma
bomba. Se a bomba cai a 1 000 m da vertical em que foi lançada, qual o módulo da
velocidade do avião? Adote g = 10 m/s2
.
Resolução:
y
v0
H= 2000m
A = 1 000 m
Como o avião está voando horizontalmente, a velocidade da bomba é igual à
do próprio avião. Chegaremos a esta velocidade pela equação: Amáx. = v0.t , onde t
será o tempo de queda da bomba que deveremos calcular agora.
H = H0 + v0y . t - gt2
/2 onde H = 0 (solo) H0= 2000 m (altura inicial) e v0y = 0,
pois o avião voa horizontalmente.
Sendo assim, a equação horária do movimento vertical se resume em
2
. 2
0
tg
H 
2000 = 5t2
5t2
= 2000
t = 20 s (tempo de queda)
Substituindo o tempo de queda na equação do alcance máximo, teremos:
Amáx = v0 . 20 como xmáx = 1000 m
1000 = v0 . 20  v0 = 1000 / 20
 v0 = 50 m/s
O movimento circular será estudado no capítulo de rotações.

85
EXERCÍCIOS
01) Um móvel parte do ponto A(2; 2; 1) metros e desloca até o ponto B (-2; 1; -3)
metros em 2 segundos. Determine:
a) os vetores posições final e inicial do móvel;
b) o deslocamento deste móvel no intervalo de 2 segundos;
c) a velocidade média no intervalo de 2 segundos.
02) A posição de um móvel é dada por ktjtitr ˆ23.2 2


, com t em segundos e r

em metros. Determine:
a) o módulo do vetor posição no instante 2 segundos;
b) o módulo do vetor velocidade no instante 2 segundos;
c) o módulo da aceleração no instante 2 segundos.
03) Um móvel parte da posição kir

210  , com velocidade kjv

310  e possui
aceleração ktjia
 2
.212  , com unidades no SI. Determine:
a) as acelerações nos instantes 2 e 3 segundos;
b) a equação de velocidade;
c) as velocidades nos instantes 2 e 3 segundos;
d) a equação da posição;
e) as posições nos instantes 2 e 3 segundos;
f) a aceleração média entre 2 e 3 segundos;
g) a velocidade média entre 2 e 3 segundos.
04) O vetor posição de um jato é inicialmente kjir ˆ0,2ˆ0,6ˆ0,5 

, e, 10 segundos
mais tarde, é kjir ˆ0,2ˆ0,8ˆ0,2 

, todos em quilômetros. Determine a velocidade
média do jato durante os 10 segundos.
05) A posição de um móvel é dada por kjtitr ˆ2ˆ6ˆ3 3


, com t em segundos e r

em metros. Determine, se existir, as máximas e/ou mínimas:
a) velocidades;
b) acelerações.
06) Uma partícula parte da posição mjir )ˆ2ˆ3( 

com uma velocidade inicial
smjiv /)ˆ1ˆ2( 

e uma aceleração dada por
2
/)ˆ4ˆ2( smjita 

. Determine o
módulo e a direção do vetor posição no instante de 2 segundos.

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