ブログ用の記事です。 2-SATの、より簡単な場合についての解説です。

1. Codeforces #400
D. The Door Problem
satanic @satanic0258

2. 🔓
🔒
🔓
A B C
以下の例（サンプル２）を例にとって解説していきます。
なお今後、下の図において、
・黒は未決定の状態
・橙はオンにした状態
・青はオフにした状態
を表します。
a
c
b

3. 🔓
🔒
🔓
A B C
まずAを押した場合、Aは全てのドアに繋がるため、
全てのドアの状態が反転します。
a
c
b
初期状態

4. 🔒
🔓
🔒
A B C
まずAを押した場合、Aは全てのドアに繋がるため、
全てのドアの状態が反転します。
a
c
b
初期状態

5. 🔒
🔓
🔒
A B C
まずAを押した場合、Aは全てのドアに繋がるため、
全てのドアの状態が反転します。
すると、aはオフになってしまいました。
aをオンにするにはCもオンである必要があります。
a
c
b
初期状態

6. 🔒
🔓
🔒
A B C
まずAを押した場合、Aは全てのドアに繋がるため、
全てのドアの状態が反転します。
すると、aはオフになってしまいました。
aをオンにするにはCもオンである必要があります。
Cをオンにしました。
それに伴って、ドアの状態は…
a
c
b
初期状態

7. 🔓
🔓
🔓
A B C
まずAを押した場合、Aは全てのドアに繋がるため、
全てのドアの状態が反転します。
すると、aはオフになってしまいました。
aをオンにするにはCもオンである必要があります。
Cをオンにしました。
それに伴って、ドアの状態は次のようになります。
a
c
b
初期状態

8. 🔓
🔓
🔓
A B C
今、考慮していないcの状態も変わりましたが、
結果的にcも開いている状態になったのでよしとします。
a
c
b
初期状態

9. 🔓
🔓
🔓
A B C
これで、全てのドアが開いている状態になりました。
Bの状態がまだ決まっていませんが、
bは片方が決まっていて開いているため、
bに繋がっているBはオフとなります。
a
c
b
初期状態

10. 🔓
🔓
🔓
A B C
これで、全てのドアが開いている状態になりました。
Bの状態がまだ決まっていませんが、
bは片方が決まっていて開いているため、
bに繋がっているBはオフとなります。
よって、ドアを全て開いた状態にするスイッチの組み合わせ
があることが分かりました。
a
c
b
初期状態

11. この問題を、グラフ上で解いてみましょう。
初期状態

12. この問題を、グラフ上で解いてみましょう。
2-SATをグラフに帰着するとき、オン/オフの状態を
決めるものそれぞれについて、オンの頂点とオフの頂点を
作ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C

13. この問題を、グラフ上で解いてみましょう。
2-SATをグラフに帰着するとき、オン/オフの状態を
決めるものそれぞれについて、オンの頂点とオフの頂点を
作ります。
ここで、オンの頂点はそのまま、
オフの頂点には上にバーを付けることにします。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

14. では、このグラフに辺を張っていきます。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

15. では、このグラフに辺を張っていきます。
まずAをオンにすると、a,cを介して繋がるCもオンにする
必要がありました。
そのため、A→Cと辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

16. では、このグラフに辺を張っていきます。
まずAをオンにすると、a,cを介して繋がるCもオンにする
必要がありました。
そのため、A→Cと辺を張ります。
また、bを介して繋がるBはオフにする必要がありました。
そのため、A→Bと辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

17. 同様に、各頂点について辺を張っていきます。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

18. 同様に、各頂点について辺を張っていきます。
Bをオンにすると、Aはオフにする必要があります。
従って、B→Aと辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

19. 同様に、各頂点について辺を張っていきます。
Bをオンにすると、Aはオフにする必要があります。
従って、B→Aと辺を張ります。
Cをオンにすると、Aはオンにする必要があります。
しかし、これについては既に調べてあるため、
わざわざ二重に辺を張る必要はありません。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

20. Aをオフにすると、Cもオフにする必要があります。
従って、A→Cと辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

21. Aをオフにすると、Cもオフにする必要があります。
従って、A→Cと辺を張ります。
Bをオフにした場合、Cをオフにした場合については、
既に調べられている状態になっているため、
グラフ上に変化はありません。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

22. こうして全ての辺を張ることが出来ました。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

23. こうして全ての辺を張ることが出来ました。
このグラフを見ると、つじつまが合うようなスイッチの
組み合わせは全て同じ連結成分になっており、
逆に矛盾が発生するような頂点同士は連結になっていない
ことが分かります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

24. こうして全ての辺を張ることが出来ました。
このグラフを見ると、つじつまが合うようなスイッチの
組み合わせは全て同じ連結成分になっており、
逆に矛盾が発生するような頂点同士は連結になっていない
ことが分かります。
では、ある頂点と連結になっている頂点を全て抜き出せば
それが正しい組み合わせとなるのでしょうか？
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

25. そうとは限りません。
右の図のように、連結成分の中には
「AがオンならばAをオフにしなければならない」
といったおかしな部分が出ることがあります。
初期状態
A
A
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

26. そうとは限りません。
右の図のように、連結成分の中には
「AがオンならばAをオフにしなければならない」
といったおかしな部分が出ることがあります。
逆に言えば、グラフにこのような矛盾が無ければ
正しいスイッチの組み合わせがあるとわかります。
初期状態
A
A
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

27. 今回の例では、 AとA、 BとB、 CとC、と全ての頂点で、
別々の連結成分に属していることが分かります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

28. 今回の例では、 AとA、 BとB、 CとC、と全ての頂点で、
別々の連結成分に属していることが分かります。
よって、グラフからこの例では正しいスイッチの
組み合わせが存在することが分かりました。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

29. 🔓
🔒
🔓
A
B
C
では、今度は以下の例（サンプル１）について
見ていきます。
a
c
b
初期状態

30. では、今度は以下の例（サンプル１）について
見ていきます。
スイッチ数は先ほどと同じなため、グラフの初期状態も
同じとなります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

31. まずAをオンにした場合について考えます。
Aはaを介してBに、またcを介してCに繋がっています。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

32. まずAをオンにした場合について考えます。
Aはaを介してBに、またcを介してCに繋がっています。
従って、AをオンにするとBとCもオンにする必要があるため、
A→B、A→Cと辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

33. まずAをオンにした場合について考えます。
Aはaを介してBに、またcを介してCに繋がっています。
従って、AをオンにするとBとCもオンにする必要があるため、
A→B、A→Cと辺を張ります。
同様に、BをオンにするとAはオンに、Cはオフにする必要が
あるため、B→A、B→Cと辺を張ります。
（A-B間は既に辺が張ってあるため実際には張りません）
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

34. 同様に、
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

35. 同様に、C、
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

36. 同様に、C、A、
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

37. 同様に、C、A、B、
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

38. 同様に、C、A、B、Cについても辺を張ります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

39. 同様に、C、A、B、Cについても辺を張ります。
こうして、全ての辺を張ることが出来ました。
では、どの頂点が連結になっているでしょうか。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

40. 同様に、C、A、B、Cについても辺を張ります。
こうして、全ての辺を張ることが出来ました。
では、どの頂点が連結になっているでしょうか。
ある頂点から初めて辺を順に辿っていくと分かりますが、
この例では、全ての頂点が連結となっています。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

41. 特に、AとAが同じ連結成分に属しているため、
この例では正しいスイッチの組み合わせが存在しない
ことが分かります。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

42. 特に、AとAが同じ連結成分に属しているため、
この例では正しいスイッチの組み合わせが存在しない
ことが分かります。
このように、グラフに帰着してこの問題を
解くことが出来ます。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

43. 実際にプログラムを実装する際には、
・グラフに辺を追加する
・ある２頂点が連結であるかを調べる
というクエリをこなすデータ構造である、素集合森
（通称Union-Find）を使うと良いでしょう。
初期状態
A
A
B
B
C
C
オン→
オフ→

45. その後、AとAが同じ連結成分に属しているか否かを
調べることで組み合わせの存在を調べます。

46. ※注意※
しかし、この問題で現れる論理式は、
・同値 （ ⇔ ）…両方押すか押さないか
・排他的論理和（XOR）…どちらか片方だけ押す
の積となっています。

48. おわり