1. 
- ١ -

:  ( ١ )


 
م = = = ==
أ حـ د ھـ و ى
م
 


 

أ
 ( ٣ )
 
 } 
 

أ
ب
ب
أ
 ( ٣ )
 
 
 ≠  =
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١١٩٩٠٥٣٦٩

2. أ ب ، أ ب = أ ب لا أ ب e أ ب ، أ ب e أ ب : 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
سأ،صأ، ع 
 أ، ٠٠٠٠
 
 سe أ ب  سe 
س ص ع
- ٢ -

 
 
ا
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ب
٠
٠
٠ د

 (  ) ص
 ، ص ١ 
 ص ٢ ، 
Z = ص ١ لاص ٢ 
،ص ١ لآص ٢ لآ أ ب = ص
ص
ص ١
ص ٢
ا
ب

 
 
 

 س س
 
س س

3. ف ١ لآ ف ٢ لآس = ف ، Z = ونلاحظ : ف ١ لا ف ٢
 
- ٣ -
 
  
س ( ٣ )
ف ٢ فإن أ ب لابد وأن تخترق المستوىسوتقطعھ فى ولتكن g ف ١ ، ب g وإذا كانت أ
حـ حیث حـ تقع فى المستوىسوتنتمى الى أ ب
 
 
 ( ٢ )
س  ، أ حـ 
 ( ٣ )
d ھـ c = أ ب ، حـ د حیث أ ب لا حـ د 
س 
  ( ٤ )
 

س
ف ١
ف ٢
حـ
ا
ب
ف
تعـــیین المستوى فى الفراغ
٠
٠
٠
ا
ب
حـ
س
ا
ب
٠ ح ٠ـ
س
ا
ب
حـ
د
ھـ
ا
حـ ب
م د
  ( ١ )
 ( ٢ )
 ( ٣ )
 ( ٤ )

4.  
 
 
 
ب
( شكل ( ١ ) شكل ( ٢
- ٤ -
أولا : علاقة المستقیم بالمســــــــتوى :
١ ) المستقیم یوازى المستوى ( ٢ ) المستقیم یقطع المستوى )
(لایشتركان فى أى نقطة ) (یشتركان فى نقطة واحدة )
٣ ) المستقیم یقع بتمامھ فى المستوى )
( جمیع نقط المستقیم تنتمى للمستوى )
ثانیا : علاقة مستوى بمستوى فى الفراغ
١ ) المستویان یتقاطعان ( ٢ ) المستویان یتوازیــــــان )
( یتقاطعان فى خط مستقیم ) ( لا یشتركان فى أى نقطة )
٣ ) أولا : علاقة مستقیم بمسـتقیم فى الفراغ : )
١ ) المستقیمان یتقاطعان فى نقطة : ( ٢ ) المستقیمان یتوازیان : )
٣ ) المستقیمان متخالفان : )
( لا یتقاطعان ولا یتوازیان ویقال ان المستقیمین غیر مستویین معا أى لا یجمعھما مستوى واحد )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
ل ١
س
حـ د
ھـ
أ
أ
ب
ل ١
حـ س ھـ د
ففى الشكل ( ١ ) أ ب ، حـ د مستقیمان متخالفان حیث حـ د یقع فى المستوىس ،
أ ب یقطع المستوىسفى النقطة أ
من نقطة أ فى المستوىسنرسم أ ھـ / / حـ د فتكون < ب أ ھـ ھى الزاویة بین
المستقیمین المتخالفین أ ب ، حـ د
( و فى شكل ( ٢
إذا كان ق ( < ب أ ھـ ) = ٩٠ قْیل أن المستقیمین المتخالفین أ ب ، حـ د متعامدین

5. مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩
 

١ ) أكمل ما یأتى : )
( أ ) المستقیم عبارة عن مجموعة ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) أى نقطتین مختلفتین یمر بھمــــــــــــا ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( حـ ) المستوى عبـــــــارة عن مجموعة ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( د ) إذا إشترك مستقیم ومستوى فى نقطتین فإن المستقیم ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
( أ ) مجموعة غیر منتھیة من النقط
( ب) مستقیم وحیـــــــــــــــــد ( حـ ) مجموعة من النقط الغیر منتھیة والتى یقع
- ٥ -
علیھا المستقیم فى أى وضع من أوضاعھ
( د ) یقع بتمامھ على المستوى
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢ ) الشكل الموضح عبارة عن مستقیم ل )
أكــــــــــــمل :
( أ ) جمیع نقط المستقیم ل غیر النقطة أ
تكون مجموعتین ٠٠٠٠٠٠ كل منھما تسمى ٠٠٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) إتحاد مجموعة نقط نصف المستقیم مع النقطة أ تسمى ٠٠٠٠٠٠
الحــــــــــــــــــــــــــــــل
( أ ) منفصلتین فعلیتین من نقط المستقیم كل منھما تسمى نصف المستقیم
( ب ) شـــــــعاع
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أمام العبارة الخاطئة فیما یلى . ( × ) ٣ ) ضع علامة ( √ ) أمام العبارة الصائیة وعلامة )
س ( √ ) e ( أ ) ل
( × ) س h ل ، أ g ( ب ) أ
( × ) Z = ( حـ ) ل لا س
ل ( √ ) h س ، حـ g ( د ) حـ
( √ ) d أ c = ( ھـ ) أ حـ لا ل
لأنھما مشتركان فى أ ( × ) ( و ) أ حـ ، ل مستقیمان متخالفان
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) فى الشكل الموضح : )
( أ ) سلاص = ٠٠٠٠٠٠٠
( ب ) سلا ع = ٠٠٠٠٠ ( حـ ) ص لا ع = ٠٠٠٠٠
أ
أ
ح
ل
س
أ
س ص
ح
ع
ب د

6. ( د ) أ ب لاس = ٠٠٠٠٠
( ھـ ) ب حـ ٠٠٠٠٠٠ س ، ب حـ ٠٠٠٠٠ ع
( و ) نفرضأن ق ( < ب حـ د ) = ٩٠ ،ْ ب حـ = ٣ سم ، حـ د = ٤ سم
فإن ب د = ٠٠٠٠٠٠٠ سم
الحـــــــــــــــــــــــــل
( أ ) سلاص = أ حـ ( ب ) سلا ع = ب حـ
( حـ ) ص لا ع = حـ د ( د ) أ ب لاس = أ ب
ع e س ، ب حـ e ( ھـ ) ب حـ
( و ) نفرضأن ق ( < ب حـ د ) = ٩٠ ،ْ ب حـ = ٣ سم ، حـ د = ٤ سم
فإن ب د = ٥ سم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
سإذا وفقط إذا كان : ل ١ = ل ٢ g یتوازى مستقیمین ل ١ ، ل ٢
- ٦ -
 
ل ل ٢
 
Z = أو ل ١ لا ل ٢
المستقیمان الموازیان لثالث فى الفراغ متوازیان
ففى الشكل :
إذا كان : ل ١ / / ل ، ل ٢ / / ل
فإن ل ١ / / ل ٢
ل ١
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

7.  

 

- ٧ -
 
ویسمى المنشور المرسوم : أ ب حـ د أ/ ب/ حـ/ د/
ملاحـــــــــظة :
ویسمى المنشور حسب عدد أضلاع قاعدتھ
فإذا كان عدد أضلاع قاعدة المنشور خمسة سمى منشور خماسى
وھكذا ،،،،
أ/
أ
ب/
قاعدة
ب
ح
د /
د
حـ /
قاعدة
وجھ جانبى
خواص
المنشـــــــــور
١ ) قاعدتا المنشور متوازیتین ومتساویتین أى مضلعان متطابقان ومتوازیان . )
سطح المضلع أ ب حـ د ھـ ≡ سطح المضلع أ/ ب/ حـ/ د/ ھـ/ B
٢ ) أضلاع المنشور متوازیة ومتساویة الطول أى أن : )
أ أ/ = ب ب/ = حـ حـ / = د د/
٣ ) ارتفاع المنشور المائل : )
ھو البعد العمودى بین مستویى قاعدتیھ
حالات خـــــــــاصة للمنشور
وجھ جانبى
حرف جانبى
١ ) متوازى الســــــــــطوح : )
( أ ) متوازى السطوح القائم :
( كل من قاعدتیھ سطح متوازى الأضلاع وأحرفھ الجانبیة عمودیةعلى مستوى قاعدتیھ كل منھا مستطیل )
( ب ) متوازى السطوح المائل :
( لھ ستة أوجھ كل منھا سطح متوازى الأضلاع وكل سطحین متقابلین منھا متوازیان ومتطابقان )
٣ ) متوازى المستطیلات : ( ٤ ) المكعب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

8. 
م
بفرضأن ھناك منطقة مضلعة ھى سطح المضلع
أ ب حـ د ھـ واقعة فى المستوىس، م نقطة
لا تنتمى الى المستوىسفإنھ لكل نقطة ق
وجھ جانبى
حرف جانبى
تنتمى إلى المنطقة المضلعة توجد قطعة مستقیمة
م ق وإتحاد جمیع ھذه القطع المستقیمة یسمى ھرما
ھ
حیث القاعدة المضلعة ( وھى سطح المضلع
أ
ن
د
قاعدة الھرم ق
أ ب حـ د ھـ ) تسمى قاعدة الھرم ، م رأس الھرم .
ب ح
س
ویسمى الھرم الخماسى م . أ ب حـ د ھـ
حیث م رأسھ ، قاعدتھ سطح المضلع الخماسى أ ب حـ دھـ وتسمى أسطح المثلثات
م أ ب ، م ب حـ ، م حـ د ، م د ھـ ، م ھـ أ بالأوجھ الجانبیة للھرم كما أن القطع المستقیمة
م أ ، م ب ، م حـ ، م د ، م ھـ تسمى بالأحرف الجانبیة للھرم .
إرتفاع الھرم : ھو العمود الساقط من رأس الھرم على المستوى
( ملاحظة( ١
سمثل م ن وطول م ن یساوى طول إرتفاع الھرم .
یسمى الھرم ثلاثیا أو رباعیا أو خماسیا على حسب عدد أضلاع
قاعدتھ .
- ٨ -
( ملاحظة( ٢
والھرم الثلاثى م . أ ب حـ
رأسھ م وقاعدتھ سطح المثلث أ ب حـ
ویمكن كتابة الھرم الثلاثى فقط الطرق
الآتیة : م . أ ب حـ ، أ . م ب حـ
، ب . م أ حـ ، حـ . م أ ب
م
أ
ب
ح
ـ
م
د
أ
ب ح
ـ
إذا كانت الأحرف الستة للھرم الثلاثة متساویة أى كانت أوجھ
مثلثات متساویة الأضلاع سمى الھرم فى ھذه الحالة ھرما
منتظما .
فى الھرم الثلاثى المنتظم إرتفاعھ یلاقى القاعدة عند مركزھا
الھندسى


ففى الشكل : م ن ھو ارتفاع الھرم الثلاثى المنتظم حیث ن نقطة تلاقى متوسطات المثلث
أ ب حـ وھى فى نفس الوقت مركز الدائرة الخارجة والداخلة للمثلث أ ب حـ وبفرضأن
طول حرف الھرم = ل
، إرتفاعھ م ن = ع فإن أ د = ل حا ٦ْ٠

9. ل ؟ ٣
٢
؟ ٢
× = أ د = ، أ ن = أ د ، أ ن
× = أ ن = ، ن د = أ د
- ٩ -
ن د =
؟
ل ل
ل ل
ن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــــال ١
س،ص مستویان حیث سلاص = ا ب ، حـ نقطة تقع خارج المستویین ورسم منھا
المستقیمان د حـ ھـ ، و حـ ن فقطعا المستوى سفى د ، و ، على الترتیب وقطعا المستوى
ص فى ھـ ، ن على الترتیب أثبت أن و د ، ھـ ن یتقاطعان فى نقطة على أ ب .
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
المعطیات سلاص = أ ب ، حـ نقطة خارج المستویین
، المستقیمان د حـ ھـ ، و حـ ھـ یقطعان المستوىس
فى د ، ھـ ، المستوىصفى ھـ ، ن
المطلوب إثبات أن و د ، ھـ ن یتقطعان فى نقطة على
أ ب
د ھـ ، و ن مستقیمان متقاطعان فى نقطة حـ A البرھــــان
فھما یعینان مستویا واحدا ولیكن ع B
المستوى ع e المستوى ع ، ھـ ن e د و B
د و ، ھـ ن یتقطعان فى نقطة ولتكن م B
س ص
( المستوىس ( ١ g م B و د ھو خط تقاطع المستویان س، ع A
( المستوىص ( ٢ g م B ھـ ن ھو خط تقاطع المستویان ص، ع A
( ٢ ) ، ( من ( ١
م نقطة تقاطع د و ، هـ ن B م تنتمى الى كل من المستويين س ، ص B
أ ب g م B تقع على خط تقاطع المستويين س ، ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٢
أثبت أن أضلاع المستطيل
الحــــــــــــل
أ ب ، حـ د يعينان مستويا واحدا B أ ب / / حـ د A
من المستوى س e أ د B وليكن س
أ ، ب ، حـ ، د B من المستوى س e ، ب حـ
ل ٣
٢
٣
٢
٣
ل ؟
٣
١ ٣
٣
١
٣
ل ٣
٢
ل ؟
٦
٣
م
أ
ب د حـ
ل
ل
أ
د
و
م
ھـ
ن
ب
حـ
أ د
ب حـ

10. - ١٠ -
تقع جميعا فى مستوى واحد .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٣
أ ب تقطع المستوى س فى م بحيث أ م = م ب ، ورسم من أ ، ب الشعاعان أ هـ
، ب و متوازيان ويقطعان المستوى س فى النقطتين هـ ، و على الترتيب أثبت أن
١ ) النقط هـ ، م ، و على استقامة واحدة . )
٢ ) الشكل أ هـ ب و متوازى أضلاع . )
الحـــــــــــل
فهما يعينان مستويا B أ هـ / / ب و A
ھـ و ھو خط تقاطع المستویانس،ص B ص
من المستوىص ، أ ب قطعسفى م e أ ب A
م تنتمى الى خط تقاطع المستویینس،ص B
ھـ ، م ، و على استقامة واحدة B
فى المثلثان أ هـ م ، ب م و
ھـ م و
١ ) أ م = ب م ( ٢ ) ق ( < أ ) = ق ( < ب ) بالتبادل )
٣ ) ق ( < أ م هـ ) = ق ( < ب م و ) بالتقابل بالرأس )
أ هـ / / ب و A أ هـ = ب و B المثلث أ هـ م ≡ المثلث ب و م B
الشكل أ هـ ب و متوازى أضلاع . B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثـــــــــال ٤
أ حـ تقطع المستوى س فى ب بحيث أ ب = ب حـ ، رسم أ د يقطع المستوى س
فى د ثم نصف أ د فى هـ ورسم هـ حـ فقطع المستوى س فى و أثبت أن :
أولا : النقط ب ، و ، د على استقامة واحدة .
ثانيا : ب و = و د ، هـ و = و حـ
الحــــــــــــل
أ د ، أ حـ متقاطعان فى أ فهما يعينان مستوى واحد وليكن A
المستوىص ، د ، ب ینتمیان للمستوى e د ب A ص
د ب ھو خط تقاطع المستویانس،ص B س
ھـ
من المستوىص ، و ینتمى الىس e ھـ حـ A
و تنتمى الى خط تقاطع المستویان س،ص B
د ، و ، ب على استقامة واحدة . نرسم هـ ن / / د ب ويقطع أ حـ B
فى نقطة ن . فى المثلث أ د ب فيه هـ منتصف أ د ، هـ ن / / د ب
المثلث حـ ن هـ R المثلث حـ ب و A . ن منتصف أ ب B
= = = B
أ
س
ب
١
٢
١
٢
س
ب
أ
حـ
د
و
ن
حـ ب
حـ ن
ب و
ن ھـ
حـ و
حـ هـ
٢
٣
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

11. ٢
٣
١
٢
٢
٣
١
٢
ب د × = ب و B ن هـ = ب د B ب و = ن هـ A
١
٣
١
٣
٣
٢
١
٢
ب و = د و B د و × = ب و = ب د B
٢
٢
حـ و = ٢ هـ و B ٣ هـ و × = حـ و B حـ و = حـ هـ A
٣
- ١١ -
٣
١
٢
هـ و = حـ و B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

12.  

 
 
ففى الشكل :
أ ب / / المستوى ص ، س أى مستوى يحتوى
أ ب ويقطع المستوى ص فى حـ د
أ ب / / حـ د B
س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
    
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : أ ب / / حـ د والمستوى س
يحتوى حـ د ولا يحتوى أ ب فإنه
أ ب / / المستوى س
أ
ص
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٢ -
أ
حـ ب
ص د


 
حـ
س د
ب

 
 

13. ففى الشكل المقابل : أ ب / / المستوى س
أ
س د
 ( ٢ )
ص
 ( ٣ )
أ ب
ص س
- ١٣ -
س ، جـ د / / أ ب g ، حـ
س e فإن حـ د
حـ
ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : س / / ص ، ع قاطع لهما
فى أ ب ، حـ د فإن أ ب / / حـ د
س
أ
ب
ح
د
ع
ففى الشكل : المستويان س ، ص متوازيان ، المستقيم أ ب يقطع ص فى أ فإنه
يقطع س فى مثلا ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
  ( ٤ )


14. ص e س ، ل ٢ e ففى الشكل : ل ١ / / ل ٢ ، ل ١
، ل خط تقاطع المستويين س ، ص
فإن ل / / ل ١ / / ل ٢
ل ١ ل ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ففى الشكل : س ، ص مستويين متقاطعين
حيث س لا ص = أ ب
، ل / / س ، ل / / ص فإن
أ ب / / ل
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٤ -
١ ) فى الشكل المقابل : )
المستوىص e س لا ص = أ ب ، حـ د
ویوازى المستوىسبحیث حـ د < أ ب
أثبت أن الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف .
الحــــــــــل
المستوىص، ویوازى المستوىس e س لا ص = أ ب ، حـ د A
الشكل أ ب حـ د شبھ منحرف B حـ د < أ ب A ، حـ د / / أ ب B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢ ) أ ب حـ مستقیم / / المستوىس . فرضت نقطة م لا تنتمى للمستقیم أ حـ وفى الوقت )
نفسھ لا تنتمى للمستوى ثم رسم م أ ، م ب ، م حـ فلاقت المستوى س فى د ، ھـ ، و
٣ فأثبت أن : على الترتیب فإذا كان م أ : أ د = ٢
( أولا ) ٢ د ھـ = ٥ أ ب ( ثانیا ) أ حـ . د ھـ = د و . أ ب
أ
س ص
ب
ل
 ( ٥ )
ب
أ
ل
س
ص
 
أ
ب
د
حـ
س
ص

15. الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
د و
أ حـ د ھـ
أ ب
- ١٥ -
أ ب / / المستوى س A
المستوى م د هـ g ، أ ، ب
م د هـ Ñ S م أ ب Ñ B أ ب / / د هـ B
( م د : م أ = د هـ : أ ب ( ١
٢ د ھـ = ٥ أ ب B ٢ = د هـ : أ ب : ٥ B
م د و Ñ S م أ ب Ñ بالمثل
( ٢ ) =
= ( ٢ ) ، ( من ( ١
م
أ ب جـ
د ھـ و
م د
م أ
د و
أ حـ
( أ حـ . د ھـ = د و . أ ب برهــــــــــــان ( ٢ B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) س ، ص مستويان بحيث سلا ص = حـ د ، المستقيم أ ب يوازى كلا من )
المستويين س ، ص أثبت أن : أ ب / / حـ د
الحـــــــــــــــــل
هناك مستوى يعين بالمستقيم أ ب والنقطة B أ ب / / س A
حـ وليكن ح يقطع المستوى س فى حـ م
( أ ب / / حـ م ( ١ B
أ ب / / ص والمستوى ح يقطع ص فى حـ ل
( أ ب / / حـ ل ( ٢ B
س ص
أ
ب
أ ب / / حـ م / / حـ ل B ( ٢ ) ، ( من ( ١
وهذا مستحيل الا إذا كان حـ م ، حـ ل تنطبق على حـ د
حـ
م ل
د
أ ب / / حـ د B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٤ ) م أ ب ، ن أ ب مثلثان فى مستويين مختلفين نصف م أ فى س ، م ب فى ص )
أثبت أن : س ص / / المستوى ن أ ب
الحـــــــــــــــل
س ، ص منتصفا م أ ، م ب
للمستوى م أ ب g س ، ص A س ص / / أ ب B
م أ ب لا ن أ ب = أ ب
س ص / / المستوى ن أ ب B
م
أ
ب
ن
س
ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ ) س ، ص مستويان متوازيان ، أ نقطة واقعة بين المستويين . رسم من أ )
المستقيمان ب أ حـ ، د أ هـ فقطعا المستوى س فى ب ، د ، المستوى ص فى هـ

16. أ ب
أ حـ
٢
٣
، حـ فإذا كان : = وكانت مساحة سطح المثلث أ هـ حـ = ٣٦ سم ٢
فأوجد مساحة سطح المثلث أ ب د
الحـــــــــــــــــــل
(أ ب ) ٢
(أ حـ ) ٢
- ١٦ -
المستوى س / / المستوى ص
ب د / / هـ حـ B
المثلث أ حـ هـ S المثلث أ ب د B
مساحة المثلث أ ب د
مساحة المثلث أ حـ ھـ
= = B
مساحة المثلث أ ب د
= B
مساحة المثلث أ ب د = ١٦ سم ٢ B
س
ص
أ
ب
د
ح
ھ
٤
٩
٣٦
٤
٩
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٦ ) م . أ ب حـ د هرم رباعى رأسه م وقاعدته متوازى الأضلاع أ ب حـ د قطع )
الهرم بمستوى يوازى قاعدته أ ب حـ د ويقطع م أ ، م ب ، م حـ ، م د فى س ، ص
، ع ، ل أثبت أن الشكل س ص ع ل متوازى أضلاع .
الحـــــــــــــــل
أ ب حـ د / / المستوى س ص ع ل
المستوى م أ ب تقطع المستويين
( س ص / / أ ب ( ١ B
أ ب / / د حـ B أ ب حـ د متوازى أضلاع A
بالمثل المستوى م د حـ يقطع المستويين س ص ع ل
( ل ع / / د حـ ( ٢ B ، أ ب حـ د
( س ص / / ل ع ( ٣ B ( ٢ ) ، ( من ( ١
( ٤ ) ، ( بالمثل س ل / / ص ع ( ٤ ) من ( ٣
أ
س
ص ع
ب ح
الشكل س ص ع ل متوازى اَضلاع B
م
ــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ
د
ل
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

17.  


ففى الشكـــــــل :
المستوى س / / المستوى ص / / المستوى ع
، ١
ل ، ل قاطعان لهما فى د ، ٢ ١ هـ ، و للمستقيم ل ، أ ، ب ٢
، حـ للمستقيم ل فإن : أ ب
=
د ھـ
١ ) إذا كان : أ ب = ب حـ فإن : د هـ = هـ و )
٢ ) يسمى التمرين المشهور بنظــــرية تاليــــــس فى الفراغ . )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٧ -
 
أ
ب
ح
ـ
د
ھ
ـ
و
س
ص
ع
ل ١ ل ٢
ب حـ
ھـ و
 
 

 
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

18. ففى الشكل : أ ب ، أ حـ مستقيمان فى
أ حـ = { أ } Ç المستوى س ، أ ب
، د هـ ، د و مستقيمان فى المستوى ص
د و = { د } Ç د هـ
فإذا كان : أ ب / / د هـ
، أ حـ / / د و فإن : المستوىس / / المستوىص
ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 
س من نقطة أ ، المستقيمات ل ١ ، ل ٢ ، ل ٣ يمران بالنقطة ^ ففى الشكل : المستقيم ل
ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠ ٣ وتسمى النقطة أ بموقع العمود ^ ل B أ
ل
ل ١ ل ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ١٨ -
س
ص
ح أ
ـ
د
ھ
ـ
و
المســــــتقيم العمــــــــودى على مســــتوى
س
أ
ل ٣
 
 
( ٣ )
 
 
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

19. ففى الشكل : إذا كان : ل ١ ، ل ٢ مستقيمان في المستوى س
ل ٢ = { أ } ، ل مستقیم عمودى علیھما Ç حيث ل ١
  ( ٢ )
- ١٩ -
س ^ من نقطة أ فإن أ
ل ١ ل ٢
ـــــــــــــــــــــــــــ
س من نقطة أ ^ س ، ل g ففى الشكل : ل ١ ، ل ٢
فبرسم مستقيمين من نقطة أ كل منهما يوازى ل ١ ، ل ٢
ل ٢ ^ ل ١ ، ل ^ ل B
المستوى س ^ ل B
ل
/ /
ل ٢
ففى الشكل : ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠٠٠٠ ، ٣ عمودية على ل من نقطة أ
ل ١ ، ل ٢ ، ل ٠٠٠٠٠٠٠٠ ، ٣ تقع جميعا فى مستوى واحد B
هو س عموديا على المستقيم المعلوم من نقطة أ
ل
أ
 

  ( ١ )

ل ١ ل ٢
س
س ل ١


 
 
س
ل
ل ١ ل ٢
أ
اجل
. 
أ
/ /

20.  ( ٣ )
يستفاد من النتيجة ( ٤ ) أنه لا يمكن رسم أكثر من مستوى واحد يكون عموديا على
مستقيم معلوم ويمر بنقطة معلومة لا تنتمى لهذا المستقيم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٠ -
١ ) محور القطعة المستقيمة : )
أ ب ^ فى الشكل المقابل : حـ منتصف أ ب ، د هـ
د هـ محور تماثل أ ب وكما نعلم أن أى نقطة B
على محور التماثل د هـ يكون على بعدين متساويين من طرفيها .
٢ ) مستوى محاور القطعة المستقيمة : )
ففى الشكل : أ ب قطعة مستقيمة ، حـ منتصفها
س مستوى عمودى على أ ب ويمر بالمقطة حـ
يسمى هذا المستوى مستوى محاور القطعة أ ب
ونلاحظ أن أى نقطة تنتمى الى المستوى س
تكون على بعدين متساويين من طرفى أ ب
د
حـ
ھـ
المستوى س g أى أن : هـ أ = هـ ب حيث هـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ١
فى متوازى المستطيلات ((مربع طول أحد الأقطار يساوى مجموع مربعات أطوال ثلاثة
أحرف متقاطعة فى نقطة ))
الحـــــــــــــل
س 
 ( ٤ )
 

ملاحـــــظة :
ملحوظــــات:
أ ب
ھـ
س
أ ب
حـ
س
مستر / محمد فواز موبایل : ٠١١٩٩٠٥٣٦٩

21. د د عمودى على المستوى أ ب حـ د A ، نرسم ب د
ق ( < د د ب ) = ٩ْ٠ B ب د ^ د د B
( ١ ) ( د ب ) ٢ = ( د د ) ٢ + ( ب د ) ٢
أ ب حـ د مستطيل A
ق ( < د حـ ب ) = ٩ْ٠ B
( ٢ ) ب د ) ٢ = ( ب حـ ) ٢ + ( د حـ ) ٢ ) B
/ د
أ
ب حـ
أ
ب حـ
بالتعويض من ( ٢ ) فى ( ١ ) وحيث أ د = ب حـ
د ب ) ٢ = ( د د ) ٢ + ( أ د ) ٢ + ( د حـ ) ٢ وهو المطلوب إثباته ) B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ٢
فى الشكل المقابل : أ ب حـ د سطح مستطيل حيث
المستوى ^ ب د = { ن } ورسم ن م Ç أ حـ
أ ب حـ د أثبت أن : م أ = م ب = م حـ = م د
الحــــــــــــــــــــــل
- ٢١ -
المستوى أ ب حـ د ^ ن م A
ق ( < م ن أ ) = ٩ْ٠ B أ ن ^ م ن B
( ١ ) ( م أ ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( أ ن ) ٢
( ٢ ) بالمثل : ( م ب ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن ب ) ٢
( ٣ ) ، ( م حـ ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن جـ ) ٢
د
م
ن
أ حـ = ب د B أ ب حـ د مستطیل A ( ٤ ) ، ( م د ) ٢ = ( م ن ) ٢ + ( ن د ) ٢
( أ ن = ب ن = ن حـ = ن د ( ٥ B
( ٥ ) ، ( ٤ ) ، ( ٣ ) ، ( ٢ ) ، ( من ( ١
م أ ) ٢ = ( م ب ) ٢ = ( م حـ ) ٢ = ( م د ) ٢ ) B
م أ ) = ( م ب ) = ( م حـ ) = ( م د ) ) B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــال ٣
فى الشكل المقابل :
أ ب حـ د أ ب حـ د مكعب طول قطره
ب د = ٣ ٦ سم إحسب طول حرف المكعب .
/ د/
أ
ب حـ
/ /
د
الحــــــــــل
ب د ) ٢ = ل ٢ + ل ٢ + ل ٢ ( حيث ل طول حرف المكعب ) ) B ب د قطر فى المكعب A
٣ ل ٢ = ٣ × ٣٦ B ٣ ل ٢ = ٢( ٣ ٦) B ٣ ل ٢ = ب د ) ٢ ) B
طول حرف المكعب ( ل ) = ٦ سم B
د
/
/
/
/
/ /
/ /
/ /
أ
ب حـ
أ
ب حـ

22. ((الإسقــــاط العمــــــودى ))
( / شكل ( ٢
- ٢٢ -
الفصل الخامس:

أ
( شكل ( ١
س /
أ
س أ ٠
تعريف :
المسقط العمودى لنقطة معلومة على مستوى
معلوم هو النقطة التى هى موقع القطعة
المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة
( المعلومة على المستوى كما فى شكل ( ١
مسقط أ على المستوى س هى أ .
ملاحظــــــة هامة :
إذا كانت النقطة تقع على المســــــــتوى فإن مسقطها العمودى هى نفسها
أ هى مسقطها هى نفسها B س g كمــــــــــــا فى شكل ( ٢ ) أ

أ
ب
حـ
أ
ب
حـ
/
/
/
تعريف :
مسقط قطعة مستقيمة معلومةعلى مستوى
معلوم هى قطعة مستقيمة ففى الشكل أ ب
قطعة مستقيمة مسقطها على المستوى س
س e/ هى القطعة المستقيمة أ/ب
ملاحظــــــة هامة :
المستوى س يسمى (( مستوى المسقط )) والمستوى المكون من المستقيم أ ب ،
ومسقطه أ/ ب/ يسمى (( مستوى الإسقاط ))

23. 
( شكل ( ١ ) شكل ( ٢
( شكل ( ٣ ) شكل ( ٤
/
/
/
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٣ -
أ
ب
أ/ ب/
أ
ب
/
أ
أ ب
أ
ب/
ب
أ
أ ع
ب
ملاحظــــــة هامة :
( فى شكل ( ١ ) مسقط القطعة المستقيمة العمودية أ ب هو نقطة وفى شكل ( ٢
مسقط القطعة الستقيمة أ ب هو القطعة المستقيمة أ / ب/ أصغر من القطعة
الأصلية أ ب فى شكل ( ٣ ) مسقط القطعة المستقيمة أ ب الموازية للمستوى س
هو القطعة أ/ ب/ تساوى القطعة الأصلية أ ب مسقط القطعة المستقيمة فى شكل
٤ ) حيث طرفيها فى جهتين مختلفتين من المستوى س هو أ/ ب/ أصغر من )
القطعة الأصلية .

 
 

24. ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ب/
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
العلاقة بين طول قطعة مستقيمة وطول مسقطها على مستوى
- ٢٤ -
ل ١
ل ٢
ھـ
س
ومن الواضح أن :
٠ ≤ ھـ ≤ ٩ْ٠
الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى
س
أ
أ/
تعريف :
الزاوية بين قطعة مستقيمة ومستوى هى
الزاوية بين القطعة المستقيمة ومسقطها
على المستوى س . أو هى الزاوية بين
المستقيم الحامل لهذه القطعة والمستوى
ب
س
ھـ
ھـ
أ
أ/
ب
ل
ب/
و
أ/ ب/ = أ حـ B أ/ أ حـ ب/ مستطيل A
حتـا هـ = A ،
أ حـ = أ/ ب/ = أ ب حتـا هـ B
ح
أ حـ
أ ب
جیب تمام × طول مسقط قطعة مستقیمة على مستوى = طول القطعة المستقیمة
زاویة میل المستقیم الحامل لھا على المستوى .
٠ ≤ حتا ھـ ≤ ١ Bْ حتا ٠ ≥ْ حتا ھـ ≥ حتا ٩٠ Bْ وحیث ٠ ≤ ھـ ≤ ٩٠
٠ ≤ أ/ ب/ ≤ أ ب B أ/ ب/ = أ ب حتا ھـ A

25. تمــــــــــارين محلولة
١ ) أ ب حـ د أ/ ب/ حـ/ د/ متوازى مستطیلات أذكــــــــــــــــر : )
( أ ) مسقط أ ب على المستوى ب حـ حـ/ ب/
( ب ) مسقط حـ/ د/ على المستوى أ ب حـ د .
( حـ ) مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ /
( د ) مسقط أ ب/ على المستوى حـ د د/ حـ/
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
أ/
د/
ب/ حـ/
مسقط أ ب على المستوى ب حـ حـ/ ب/ ھو B ب حـ ^ أ ب B أ ب حـ د مستطیل A
النقطة ب
( ب ) مسقط حـ/ د/ على المستوى أ ب حـ د . ھو حـ د
مسقط أ على أ ب ب/ أ/ ھو أ نفسھا A / ( حـ ) مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ
مسقط أ حـ على المستوى أ ب ب/ أ / ھو أ ب B ومسقط حـ على أ ب ب/ أ/ ھو ب
( د ) مسقط أ ب/ على المستوى حـ د د/ حـ/ ھو د حـ/
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثــــــــــــــــــــــــــــــــــال ٢
أ ب حـ أ/ ب/ حـ / منشور ثلاثى أحرفھ أ أ/ ، ب ب/ ، حـ حـ/ تمیل على مستوى القاعدة
أ ب حـ بزاویة ٦٠ وْطول كل من ھذه الأحراف یساوى ٣ ١٢ سم إحسب .
١ ) طول مسقط ب ب / على مستوى القاعدة أ ب حـ . )
٢ ) طول القطعة المستقیمة المرسومة من ب/ عمودیة على القاعدة أ ب حـ . )
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
المثلث ب/ م ب قایم الزاویة فى م ، ق ( < ب/ ب م ) = ٦ْ٠ A
ق ( < م ب/ ب ) = ٣ْ٠ B
مسقط الحرف ب ب / على القاعدة ھى م ب A
١
ب م = ٣ ٦ سم B / ب م = ب ب A
ب م ) ٢ = ( ب ب/ ) ٢ – ( ب م ) ٢ ) A
٣٢٤ = ٢( ٢ ــ ( ٣ ٦ ( ٣ ١٢ ) = ب م ) ٢ ) B
ب م = ١٨ سم B
- ٢٥ -
أ
ب
د
ح
أ
ب
ح
أ/
ب/
حـ/
٦ْ٠
٣ ١٢ سم
م
٢

26. ((  ))
(( ٤ ))

 
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٢٦ -
س
أ
ب
د
ح
ن
ففى الشكل : أ ب مائل علىس وعمودى
حـ د ^ ب ن B على حـ د
حيث ب ن مسقط أ ب على س
((  ))
(( ٤ ))

 
س
أ
د
ح
ن
ففى الشكل : أ ب مائل علىس ب ن مسقط
حـ د ^ ھذا المستقیم على المستوى ب ن
حـ د ب ^ فإن أ ب
اللهم اجعل هذا العمل خالصا لوجهك الكريم

27.  

س
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
أ ب ١٢
١٣
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٧ -
١ ) فى شكل المقابل : )
أ ب ، أ د مائلان على المستوى س ،
حـ د ^ المستوى س وكان هـ ب ^ أ هـ
الواقع فى س فإذا كان : ب د = ٥ سم
، أ د = ١٣ سم فأحسب طول أ ب ، وقياس
زاوية أ د ب
أ
ھـ
ح ب د
حـ د ^ ھـ ب A ھـ ب مسقط أ ب علىس B س^ أ ب مائل علىس، أ ھـ A
ق ( < أ ب د) = ٩ْ٠ B حـ د ^ أ ب B
١٢ سم = ٢٥ - ١٦٩ = أ ب = ( أ د ) ٢ – ( ب د ) ٢
٦ْ٧ /٢٢ // ق ( < أ د ب ) = ٤٨ B = = ( حا ( <أ د ب A
أ د
٢ ) فى شكل المقابل : )
أ ب حـ د متوازى أضلاع فيه ق ( < حـ )
^ ٦٠ ،ْ ب حـ = ٢٠ سم ، رسم د هـ =
المستوى أ ب حـ د حيث د هـ = ١٠ سم
أ ب ^ ثم رسم هـ و
أثبت أن : هـ و = ب حـ
أ
ب
ح
ھـ
د
و
٦ْ٠
٢٠ سم
١٠ سم
و د ^ هـ د B المستوى أ ب حـ د ^ هـ د A العمل : نرسم و د
( أ ب ( نظرية ٤ ^ د و B و د مسقط هـ و على المستوى أ ب حـ د B

28. المثلث أ و د قائم الزاویة فى و ، ق ( < أ ) = ٦٠ خْواصمتوازى الأضلاع B
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٨ -
B
و د = ٣ ١٠ سم فى المثلث و ھـ د القائم فى Bْ ق ( < أ د و ) = ٣٠
٢٠ = ٢( ١٠ ) + ٢( و ھـ = ( ٣ ١٠ B < و د ھـ
و ھـ = ب حـ B
٣ ) سصع مثلث فیھ ق ( < س عص) = ٣ْ٠ )
، ع س = ١٢ سم رسمت س ل عمودية على مستوى
ص ع ^ المثلث بحيث كان س ل = ٨ سم ثم رسمت ل م
تقابله فى م أوجد طول كل من س م ، ل م وكذلك قياس
زاوية ميل ل م على المستوى س ص ع .
س م ^ س ل B المستوى س ص ع ^ س ل A
مسقط ل م على المستوى هو س م B
س م ع قائم الزاوية فى م Ñ B ص ع ^ س م B
م س ل قائم الزاوية فى س Ñ A س م = ٦ سم B
١٠ سم = ٢( ٦ ) + ٢( ل م = ( ٨ B
حـا ( < ل م س ) = A
٥ْ٣ / ٧ / / ق ( < ل م س ) = ٤٨ B
وهى الزاوية التى يميل بها المستقيم ل م على
المستوى
س
٣ْ٠
ل
ص ع
م
١٢ سم
٨ سم
٨
١٠

29. ٤) م أ ، م ب ، م ب ثلاث قطع مستقيمة غير مستوية )
المستوى أ ب حـ ^ ومتعامدة مثنى مثنى ، رسمت م هـ
تقابله فى هـ فإذا قطع أ هـ الضلع ب حـ فى د فأثبت أن
ب حـ وأستنتج أن ^ المستوى م ب حـ وأن م د ^ م أ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٢٩ -
هـ د × ( م هـ ) ٢ = أ هـ
م أ عمودى B م أ عمودى على كل من م ب ، م حـ A
( المستوى م ب حـ ( ١ ^ م أ B على مستویھما
المستوى أ ب حـ ^ م ھـ A ب حـ ^ م أ B
المستوى أ م ھـ ^ ب حـ B ب حـ ^ م ھـ B
المستوى أ م د ^ ب حـ B أ د ^ ب حـ B
( م د برھــــــــــــا ( ٢ ^ ب حـ B
ق ( < أ م د ) = ٩٠ فْیھ B م د ^ أ م A
أ د حیث م ھـ عمودى على المستوى أ ب حـ ^ م ھـ
( ھـ د برھــــــــــــان ( ٣ × م ھـ ) ٢ = أ ھـ ) B
من نظریة إقلیدس
أ
م
ھـ
د
ب حـ
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا وذدنا علما

30. الزاويـــــــة
الزوجيــــــــــة
ب
٠ ٠
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٣٠ -
حـ
س ص
د
أ
تعریف :
إذا كان : س ، ص نصفى مستویین لھما حد
مشترك ھو حـ د فإن : إتحاد نصفى المستویین
مع حدیھما المشترك ’’ زاویة زوجیة ’’
یسمى حـ د (( بحرف الزاویة الزوجیة )) ·
كما یسمى نصفى المستویین س، ص ·
مع حـ د (( وجھا للزاویة الزوجیة ))
 
١ ) الزاویة الزوجیة حـ د ( ٢ ) الزاویة الزوجیة س– حـ د ــص )
صg س ، ب g ٣ ) الزاویة الزوجیة أ - حـ د - ب حیث أ )
الزاويـــــــــة الزوجيـــــة
الناتجة عن تقاطع مستويين
ص
س
أ
ب
حـ
د
ھـ
و
٠
٠
٠ ٠
 
 
 
  ·

 ·
 

31. الزاوية المســـــــتوية
لزاويـــــــة زوجيـــــة
- ٣١ -
أ
د حـ ھـ
ص
س
ب

قطعھا المستوى ع العمودى على أ ب وقطع
الوجھسفى حـ د ، الوجھ ص فى حـ ھـ
 
 
تعریف :
الزاویة المستویة لزاویة زوجیة ھى
الزاویة التى تنشأ من تقاطع ھذه الزاویة
الزوجیة بمستوى عمودى على حرفھا
ع
م
ن
حقیقــــــــــــــــــــــــــة
جمیع الزوایا المستویة لزاویة زوجیة تكــــــــــــون متساویة فى القیاس
تعــــــــــــــریف
قیاس الزاویة الزوجیة ھو قیاس أى زاویة من زوایاھا المســــــــــتویة

32.  

المستوى ^ أ ب حـ فیھ ق ( < أ ) = ٣٠ ،ْ أ ب = ١٠ سم ، رسم ب د
أ جـ یقابلھ فى ھـ أثبت ^ أ ب حـ بحیث كان ب د = ٥ سم ثم رسم ب ھـ
أ حـ ثم أوجد طول كل من ب ھـ ، د ھـ وقیاس الزاویة الزوجیة ^ أن د ھـ
( ب - أ حـ - د ) .
الحــــــــــــــــل
٥ سم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣
٤
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٢ -
د
أ
ب
٣٠ حْـ
ھـ
١٠ سم
ب ھـ ^ د ب B المستوى أ ب حـ ^ د ب A
د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ A
أ حـ ( نظریة ) ^ د ھـ B أ حـ ^ ب ھـ
( برھــــــــــــــــــــان ( ١
المثلث أ ھـ ب قائم فى ھـ ، ق ( < أ ) = ٣ْ٠ A
ب ھـ = ٥ سم ( نتیجة ) B
فى المثلث د ب ھـ القائم فى ب
ق ( د ھـ ب ) = ٤ْ٥ B د ب = ب ھـ = ٥ سم
وھى زاویة مستویة تساوى الزاویة الزوجیة
( ب – أ حـ - د )
مستوى ^ ٢ ) أ ب حـ مثلث فیھ طـا أ = ، أ ب = ١٥ سم ، رسم ب د )
أ حـ یقابلھ فى ھـ . أوجد طول ب ھـ ^ المثلث بحیث ب د = ٩ سم ثم رسم ب ھـ
أ حـ قم أوجد قیاس الزاویة الزوجیة ( < ب – أ حـ - د ) ^ وأثبت أن د ھـ
حـ د
ھـ ٩ سم
أ ب
١٥ سم
٣
٤
حـا أ = B = طـا أ A
٣
٣ ٥
٥
٩ سم = × حـا أ = ١٥ × ب ھـ = أ ب B
د ھـ مائل على المستوى أ ب جـ ومسقطھ A
أ حـ ^ د ھـ B المستوى أ ب حـ ^ ب ھـ

33. المثلث د ھـ ب قائم فى ب ، ب ھـ = د ب = ٩ْ٠ A
ق ( < د ھـ ب ) = ٤٥ وْھى تساوى ق ( < ب – أ حـ - د ) B
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مستوى المثلث فإذا كان ^ ٣ ) أ ب حـ مثلث قا ئم الزاویة فى ب ، رسم ب د )
ب أ = ب حـ = ب د فأثبت أن المثلث أ حـ د متساوى الأضلاع ثم أوحد قیاس
الزاویة الزوجیة ( < ب - أ حـ - د ) .
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٣ -
B ث
أ حـ
أ
ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د
المثلثات أ ب حـ ، أ ب د ، د ب حـ كلھا قائمة A
لأن د ب عمودى المستوى أ ب حـ وھى متطابقة
أیضا بضلعین والزاویة المحصورة القائمة
المثلث أ حـ د مثلث B أ ب = حـ د = أ د B
( متساوى الأضلاع برھـــــــــــــــــان ( ١
أ حـ ثم نصل ھـ د ^ نرسم ب ھـ
أ حـ ^ أ ب حـ متساوى الساقین ، ب ھـ Ñ A
ب ھـ = أ حـ ( نظریة ) B ھـ منتصف أ حـ
فى المثلث أ ب حـ نفرضأن أ ب = ب حـ = س
ب ھـ = B أ حـ = س ٢ B
طـا ( < ب ھـ د ) = = A
٥٤ وْھى زاویة مستویة / ق ( ب ھـ د ) = ٤٤ B
تساوى ق ( < ب – أ حـ - د )
ھـ
١
٢
س ٢
٢
د ب
ب ھـ
٢ س
س ٢

34. مستوى المستطیل ^ ٤ ) أ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ، رسم م س )
بحیث كان م س = ب حـ ثم رسمت س أ ، س ب أثبت أن
( أولا ) س أ = س ب
. ( ثانیا ) ظل الزاویة الزوجیة ( < س - أ ب - حـ ) = ٢
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٤ -
أ
د
م
س
ب حـ
أ جـ = ب د B أ ب حـ د مستطیل A
أ م = ب م = حـ = د م B
^ أ م س ، ب م س القائمان حیث س م ÑÑ
على كل مستقیم في المستوى أ ب جـ د فیھما
١ ) أ م = ب م ( ٢ ) س م مشترك )
٣ ) ق ( < أ م س ) = ق ( < ب م س ) = ٩ْ٠ )
ب م س Ñ k أ م س Ñ B
( أ س = س ب برھـــــــــــــــا ( ١ B
أ ب ثم نصل ھـ م ^ نرسم س ھـ
( أ ب ( ١ ^ ھـ م B ھـ م مسقط س ھـ A
فى المثل أ ب حـ القائم فى ب ، م متصف أ حـ
( ، م ھـ / / ب حـ وذلك من ( ١
( ھـ م = ب حـ ، ٢ ھـ م = ب حـ ( ٢ B
طـا ( < س ھـ م ) = B ( ٢ ) ، ( من ( ١
طـا ( < س ھـ م ) = = ٢ B
حیث ب حـ = س م
طـا ( < س - أ ب - حـ ) = ٢ B
ھـ
١
٢ س م
ھـ م
٢س م
س م

35. المستويات المتعامدة
تعریف :
یقال لمستویان متقاطعان أنھمـــــــــــا متعامدان إذا كانت إحــــدى الزوایـــــــــــــا
الزوجــــــــــــــیة الناشــــــــــــــئة عن تقاطعھمــــــــــــــــــــا قائمة .
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نظـــــــــــرية
( ٥ )
إذا كان مستقیم عمودیا على مستوى فكل مستو یمر بھـــــــذا المستقیم
یكـــــــــون عمودیا على ذلك المســــــــــــــــــــــــــــــــتوى
- ٣٥ -
س
ص
أ
ب
ھـ حـ
د
ففى الشكل المستقیم حـ د عمودى على المستوىس والمستوى ص
المستوى س ^ المستوى ص B مار بالمستقیم حـ د

36. تمـــــــــــارين محلولة
( نظریــــــــة ( ٥
المستــــــــوى أ ب حـ ، ^ ١ ) د أ ب حـ ھرم ثـــــــــــلاثى فیھ أ د )
المستوى د أ ب ثم إستنتج ^ ق ( < أ ب حـ ) = ٩٠ أْثبت أن حـ ب
من ذلك أن المســــــــــــتویین د ب أ ، د ب حـ متعـــــــــــــامدان
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٦ -
د
أ
ب
حـ
أ ب ، ^ أ د B المستوى أ ب حـ ^ أ د A
أ ب د ^ المستوى أ ب حـ B ب حـ
المستوى أ ب حـ e ب حـ A
( المستوى أ ب د برھان ( ١ ^ ب حـ B
المستوى د ب حـ مار بالمستقیم ب حـ A
المستوى د ب حـ ، د ب أ متعامدین B
) أ ب حـ د مستطیل تقاطع قطراه فى م ثم رسم م ھـ مستوى ^ ٢ )
المستطیل بحیث كان م ھـ = ب حـ ، ط منتصف أ ب ، ١
ن متصف د حـ أثبت أن
أولا : ق ( < ط ھـ ن ٩٠ ٢
) = ثْانیا : المستویین ھـ أ ب ، ھـ حـ د متعامدان
أ
د
ھـ
م
ط ن
ب جـ
نرسم ط م فى المثلث أ ب حـ ط ، م منتصفى
١
٢ ١
ط م = ب حـ B أ ب ، أ حـ على الترتیب
ط م = ھـ م B ھـ م = ب حـ A
٢
ط م ^ ھـ م B المستوى أ ب حـ د ^ ھـ م A

37. ق ( < ھـ ط م ) = ق ( < ط ھـ م ) B ھـ م ط مثلث قائم فیھ ھـ م = ط م B
ق ( < ھـ ط م ) = ٤٥ بْالمثل ق ( ن ھـ م ) = ٤ْ٥ B
( ق ( < ط ھـ ن ) = ٩٠ بْرھــــــــــــــــان ( ١ B
(( لاحظ أن : ط م // ب حـ ، م ن // ب حـ ومشتركان فى نقطة حـ
ط ن یمر بنقطة م )) B
المستوى ھـ أ ب والمستقیم ھـ ن یمر e ط ھـ A ھـ ن ^ ط ھـ A
المستویین ھـ أ ب ، ھـ د حـ متعامدین B بالمستوى د ھـ حـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) س،ص مستویان متقاطعان فى أ ب وقیاس الزاویة الزوجیة )
بینھما ٦٠ رْسم فى المستوىسالمربع أ ب حـ د ثم نصفت حـ د فى ھـ
المستوى ص یقابلھ فى و ، نصفت أ ب فى م ثم رسمت ھـ م ^ ورسم ھـ و
، و م أثبت أن المستویین ھـ و أ ، ھـ و ب متعامدین .
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ھـ منتصف د حـ ، م منتصف أ ب و A
- ٣٧ -
ص
س
أ
ب
د
حـ
ھـ
م
أ ب ^ ھـ م B ھـ م / / أ د / / ب حـ B
أ ب ^ ھـ م مائلة على المستوىص ، ھـ م A
ھـ و م > A أ ب أیضا ^ مسقطھا و م B
زاویة مستویة للزاویة الزوحیة
ق ( ھـ و م ) = ٦ْ٠ B ( ( < ھـ - أ ب – و
١
٢ ١
و م = ھـ م = Bْ ق ( < و ھـ م ) = ٣٠ B
ق ( < أ و م ) = ٩ْ٠ B أ ب
٢
المستوى ^ أ و B كل من ب و ، ھـ و ^ أ و B
المستوى أ ھـ و مار المستقیم أ و A ھـ و ب
المستوى أ ھـ و والمستوى ھـ و ب متعامدین

38. نظـــــــــــرية
( ٦ )
إذا تعامد مستویان ورسم فى إحداھما مستقیم عمودى على خط التقاطع
كان ھذا المستقیم عمودیا على المستوى الآخر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٣٨ -
س
ص
أ
ب
ھـ حـ
د
ففى الشــــــــــــــــكل :
إذا كان : س ، ص مستویان متعامدان وكان خط تقاطعھما المستقیم أ ب
أ ب ^ ، حـ ھـ مستقیم یقع فى المستوىسوكان ھـ حـ
المستوى ص . ^ فإن ھـ حـ
إذا كان كل من مستویین متقاطعین عمودیا على مستو ثالث كان خط تقاطع
ھذین المستویین عمودیا على المستوى الثالث
ع س ص
ففى الشكل : س، ص مسویین عمودیان
على المستوى ع وكان المستقیم ل خط
تقاطع المســـــــتویین س، ص فإن ل
عمودى على المســــــــــــــــــتوى ع
ل

39. تمـــــــــــارين محلولة
( نظریــــــــة ( ٦
١ ) أ ب حـ أ/ ب/ حـ/ منشور ثلاثى قائم قاعدتھ أ ب حـ مثلث متساوى )
الســــــــــــــــاقین حیث حـ أ = حـ ب فإذا كانت د منتصف أ ب فأثبت أن
المســــــــــــــتوى أ ب ب/ أ/ ^ حـ د
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٣٩ -
أ
ب
حـ
أ/
ب/
حـ/
د
المنشور أ ب حـ أ/ ب/ حـ/ قـــــــــــائم A
أ أ/ ، ب ب/ ، حـ حـ/ عمودیة على B
المستوى ^ المستوى أ/ أب ب/ B . القاعدتین
د منتصف أ ب A أ ب حـ
أ ب ، أ ب ھو خط التقاطع بین ^ حـ د B
المستوى أ/ أب ب/ والمستوى أ ب حـ
المستوى أ/ أب ب/ ^ حـ د B
٢ ) دائرة مركزھا م ، أ ب وتر فیھا ، د أ ب مستوى عمودى على )
المستوى د أ ب ^ مستوى الدائرة فإذا كانت ن منتصف أ ب فأثبت أن : م ن
م ٠
أ
ب
ن
مستوى الدائرة ^ المستوى د أ ب A
أ ب ^ م ن B ن منتصف أ ب A
م ن مار بمستوى الدائرة A
المستوى أ ب د ^ م ن B
د

40. ٣ ) أ ب حـ مثلث قائم الزاویة فى ب فیھ أ ب = ٦ سم ، أ حـ = ١٠ سم )
، د نقطة لا تنتمى لمستوى المثلث أ ب حـ بحیث د أ = د ب = د حـ = ١٢
سم فإذا كانت ھـ منتصف أ حـ ورسم ب ھـ ، د ھـ فأثبت أن المستویین
د أ حـ ، أ ب حـ متعامدان . وإذا فرضت النقطة و على أ حـ بحیث كان
المستوى د أ حـ ^ أ و = ٣٫٦ فأثبت أن : وب
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٠ -
أ ج
ب
٦ سم
١٠ سم
د
١٢ سم
ھـ
أ د = د حـ ، ھـ منتصف أ حـ A
أ حـ ، د ھـ = ١٣ سم من ^ د ھـ B
فیثاغورس فى المثلث أ ب حـ القائم
ب ھـ متوسط فیھ B ، ھـ منتصف أ حـ
ب ھـ = أ حـ = ٥ سم B
١
٢
المثلث د ھـ ب قائم B د ب = ١٢ A
ق ( < د ھـ ب ) = ٩ْ٠ B
ب ھـ ^ د ھـ B
و
٣٦ = ١٠ × أ حـ = ٣٫٦ × أ و A المستوى أ ب حـ ^ المستوى أ د حـ B
ق ( < أ ب حـ ) = ٩ْ٠ A ، أ حـ × أ ب ) ٢ = أ و ) B ٣٦ = أ ب ) ٢ ) A
المستوى أب حـ e ب و A ، أ حـ ^ ب و B
المســـــــــتوى أ حـ د ^ ب و B

41. تطبيــــقات
فى الهـــــــــرم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٤١ -
أ
ب ح
د
ھ
ن
قاعدة الھرم
حرف جانبى
وجھ جانبى
س
م
فى الشكل ھرم خماسى :
رأسھ النقطة ( م ) ·
*وقاعدتھ سطح المضلع أ ب حـ د ھـ
* ارتفاعھ : ھو طول العمود الساقط من
رأس الھرم الى قاعدتھ أ ب حـ د ھـ
وأحرفھ الجانبیة : ھى م أ ، م ب ·
، م حـ ، م د ، م ھـ
* وأوجھھ الجانبیة : ھى سطوح المثلثات
م أ ب ، م ب حـ ، م حـ د ، م د ھـ ، م ھـ أ
الھـــــــــــــــــرم القـــــــــــــائم
تعریف :
الھرم القائم ھو ھرم قاعدتھ على شـــــــــكل مضلع منتظم مركزه موقع العمود
المرســـــــــــــوم من رأس الھرم علیھــــــــــــــــــــــــا
شروط
الهــــــــرم القائم
یكون الھرم قائم :إذا تحقق الآتى :
١ ) تكون قاعدة الھرم مضلع منتظم أى أن : )
( أ ) أطوال أضلاعھ متساویة ( ب ) قیاسات زوایاه الداخلیة متساویة
٢ ) إرتفاع الھرم یلاقى القاعدة عند مركزھا حیث مركز الشكل المنتظم ھو )
مركز الدائرة التى تمر برؤوسة من الخارج

42. الهــــــــرم
الثلاثى القائم
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
- ٤٢ -
م
أ
ب
ح
ـ
الھرم الثلاثى القائم :
١ ) قاعدتھ سطح مثلث متساوى الأضلاع )
٢ ) ارتفاعھ یلاقى القاعدة فى نقطة تقاطع متوسطاتھ )
أو أرتفــــــــــــاعاتھ
٣ ) أ د = ، أ ن = )
ن د = حیث ل طول ضلع المثلث
ن
د
ل ٣
٢
ل ٣
٣
ل ٣
٦
الهــــــــرم
الرباعى القائم
م
أ ب
ح
ـ
د
الھرم الرباعى القائم :
١ ) قاعدتھ سطح مربع )
٢ ) ارتفاعھ یلاقى القاعدة فى نقطة تقاطع قطریھ )
فإذا كان طول ضلع المربع ھو ل فإن
٣ ) أ حـ = ٢ ، أ ن = )
٤ ) جمیع أحرفھ الجانبیة متساویة : م أ = م ب = م حـ )
= م د
٥ ) جمیع أوجھھ الحانبیة مثلثات متساویة الساقین )
ومتطابقة
٦ ) جمیع إرتفاعاتھ الجانبیة متساویة وھى ارتفاعات )
المثلثات المتساویة الأضلاع
ن
ل
ل ل
٢
٢

43. تمــــــــــارين
على الهـــــرم
أ ب فإذا كان ^ أ حـ ، م أ ^ ١ ) م أ ب حـ ھرم ثلاثى فیھ م أ )
م أ = ١٢ سم فأوجد طول أرتفاع الھرم .
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٣ -
م
أ
ب
ح
ـ
أ ب ^ أ حـ ، م أ ^ م أ A
المستوى أ ب حـ ^ م أ B
أ م ھو أرتفاع الھرم B
أرتفاع الھرم = ١٢ سم B
المستوى أ ب حـ ، أ ب = أ حـ = ١٠ سم ^ ٢ ) م أ ب حـ ھرم ثلاثى فیھ م أ )
، م أ = ٨ سم ، ب حـ = ١٢ سم فإذا كانت د منتصف ب حـ فأوجد .
أولا : طول أ د ( ثانیا ) ق ( < م – ب حـ - أ )
( ثالثا ) أثبت أن المستویین م أ د ، م ب حـ متعامدین
م
أ
ب
ح
ـ
١٠ سم
١٠ سم
٨ سم
٢د ١ سم
المثلث أ ب حـ فیھ أ حـ = أ ب = ١٠ A
ب حـ ^ أ د B ، د منتصف ب حـ
٨ سم = ٢( ٦ ) - ٢( أ د = ( ١٠ A
نصل م د
أ د ^ أ م B المستوى أ ب حـ ^ أ م A
المثلث أ م د قائم فى أ فیھ أ م = م د B
ق ( < أ د م ) = ٤ْ٥ B
ق ( < م – ب حـ - أ ) = ٤ْ٥ B

44. المستوى أ م د ^ ب حـ B ب جـ ^ ب حـ ، أ د ^ م د A
المستویین أ م د ، م حـ ب B المستوى م حـ ب یمر المستقیم ب حـ A
متعامدان
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ) م أ ب حـ د ھرم رباعى قائم رأسھ م وطول ضلع قاعدتھ یساوى )
طول إرتفاع الوجھ الجانبى م أ ب إحسب ق ( < م – أ ب – حـ )
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- ٤٤ -
م
أ
ب
ح
ـ
د
ھـ
الوجھ م أ ب مثلث متساوى الساقین ، م ھـ A
أ ب ^ أ ھـ B ارتفاع ھذا الوجھ
أ ن ب قائم ، ن ھـ متوسط A ، ھـ منتصف أ ب B
ن ھـ = أ ب = ل B خارج من رأس القائمة
م ھـ ، م ن عمودیین على المستوى أ ب حـ د
الزاویة م ھـ ن زاویة مستویة للزاویة الزوجیة B
حتـا ( < م ھـ ن ) = = = A
ق ( < م ھـ ن ) = ٦ْ٠ B حیث أ ب = م ھـ = ل
ن
١
٢
ھـ ن
ھـ م
ل
٢ ل
١
٢
الحمد لله وحده الذى بنعمتھ تتم الصالحات الحمد لله الذى أعاننى على
إنھـــــــــــــــــــــاء ھذه المذكـــــــــــــــــرة فى وقت وجیز

45. - ٤٥ -