1. 証明論的意味論の
具体例
2010 年 4 月 24 日（土）
矢田部俊介
shunsuke.yatabe@aist.go.jp
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2010年5月22日土曜日 1

2. 疑問
論理結合子の意味は形式化の方法に依存するのか？
• Hilbert流(H)の形式化におけるA HAの証明
と自然演繹(N)におけるA NAの証明は異なる
• H と Nの「意味」は異なるのか？
素朴には、 H と Nの意味は同じであってほし
い
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3. PTSの満たすべき性質
問題：以下の条件を満たす適切な意味論を構成できるか？
• 同じであるべきものを同一視できる：形式化の方法
に依存しない「意味」
• 例：論理結合子の意味（記号の選択、HとN、
etc.）
• 区別したいものを区別できる：認識論的な違い
• 例：正規な証明と正規でない証明
• 例：証明の形の違い（HとN）
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4. ML-ITT
直観主義論理についてのPTSの候補：マーティン・レフの直観主義的
型理論(ML-ITT)
• 直観主義論理上の型理論、集合（データ型）の帰納的定義が可能
• BHK解釈の一般化
• Propositions-as-typesに基づき、証明を表現するλ項の
集まりとして命題を表現
• 直観主義述語論理とCurry-Howard対応
• 導入規則・除去規則の拡張：自然数など一般的な再帰的定義にも
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5. BHK解釈
の証明の解釈
の導入ルールによる Aは証明 x を持つ
証明は、 x:A
• a: A を与えられ
• g(a): Bを出力する h Bの証明は x を
関数として解釈される。 g によって書き換え
λxg(x):A→B g(x):B
+v
λx.g(x):A B
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6. 命題論理とデータ型
• Propositions as Types
• 証明を関数（λ項：「証明項」と呼ぶ）、命題を証明項のデータ型と見なす
• 命題の指示するもの（意味）= 証明項
• 命題Aが真であると判断 a:Aとなる証明aを構成
• 正規な証明 正規なλ項
• 任意のλ項は正規化可能（ML-ITTはゲーデルのTの拡大）
• 任意の直観主義論理上の証明は正規化可能
• To know the meaning of A is to know the conditions for
asserting A. The condition for asserting A is to know a
cannonical proof of A (Rathjen).
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7. 述語論理と依存型
• 述語論理をBHK解釈で表現するため、データ型を拡張（依存型の導
入）
• P(x)の証明は、xにどのような項が代入されるかに依存
• xに依存して中身が決まる P を依存型（P：D!Sets）と呼ぶ
• 述語論理の量化子は、Πタイプ・ Σタイプと呼ばれる型を使い表現
• 【∀xP(x)】=Π(x: D)P(x) = {λx.t(x): t(x)はP(x)の証明
を与える関数}
• 【∃xP(x)】=Σ(x: D)P(x) = {(a,t(a)): a:D かつ t(x)は
P(x)の証明を与える関数}
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8. H,NをML-ITTに埋め込む
• HとN、どちらの体系もML-ITTの中で解釈可能
• 同じ字面の論理式は同じ集合として解釈
• 論理結合子は、集合を集合に写す関数として解釈
• H,Nの結合子はどちらも同じ関数として解釈
• 同じ解釈を持つという意味において、論理式および論
理結合子の意味は同一
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9. H,N間の証明の違い
• Hにおける A HAの証明と、NにおけるA NAの証明の違い
• A HAの証明は、正規でない、β簡約がまだ可能な証明項 σ に
解釈
• A NAの正規な証明は、正規なλ項 τ に解釈
• 両者の違いと同一性
• σとτは字面が異なる（認識論的な違いを表現）
• σとτは、β-等号の意味で同一：β変換を繰り返すとσはτに変換
される（意味の同一性を保証）
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10. 解答(ML-ITTの意味で)
• 論理結合子の意味は形式化の方法に依存しな
い
• Hilbert流(H)の形式化におけるA HAの証
明と自然演繹(N)におけるA NAの証明は異
なる（字面の異なるλ項に変換される）
• H と Nの「意味」は異ならない（ML-
ITTでは同じ関数で解釈される）
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11. 問題点？
• ML-ITTは、非常に強いメタ理論
• ML-ITT全体は、強到達不能基数を無限個持つ古典論理上のZFのUniverseとお互い
に埋め込み可能[Werner]
• こんな「強い」メタ理論を、証明論的意味論のプログラムにおいて採用すべきなの
か？
• 直観主義論理以外への拡張は難しい
• Curry-Howard対応は、排中律があると成立しない：直観主義論理・最小論理
[Schwichtenberg]などのみ
• λ計算を拡張する必要
• 古典論理 ! λμ計算[Parigot]？
• ファジイ論理 ! 超列計算／λ計算の超列計算への対応[Avron]？
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12. まとめ
• 証明論的意味論の研究とは、ダメットを読むこと
ではなく、（型理論を含む）論理学のテクニカル
な研究である。
• λ計算の概念を拡張し、直観主義論理ばかりでは
なく、他の論理についても、ML-ITTに対応する
ような理論を構築することが早急に望まれる
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