Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Praktikum
Fisika Dasar
Fakultas Pertanian

Fakultas Pertanian
Universitas Trunojoyo

Oleh:
Richard Blocher

September 2007

Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher

Daftar Isi

Daftar Isi ......................................................................................... I

Peraturan Praktikum.................................................................. III

Perhitungan Ralat ..........................................................................1

1 Prinsip-Prinsip Dasar .............................................................1
1.1 Mengukur .......................................................................................... 1
1.1.1 Apakah Mengukur itu ?....................................................... 1
1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan
Ralat .................................................................................... 2

2 Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran
yang Diukur .............................................................................5
2.1 Statistika ............................................................................................ 5
2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis. ..................................................... 5
2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya .............. 7
2.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil
Ukur ?.................................................................................. 9
2.1.4 Ralat Maksimal ................................................................... 9
2.2 Cara menulis hasil ........................................................................... 10
2.3 Ralat Sistematis ............................................................................... 10

3 Perambatan Ralat ................................................................. 11
3.1 Prinsip ............................................................................................. 11
3.2 Perkalian dengan Pangkat f ( x, y, z,... ) = Ax a ⋅ y b ⋅ z c ⋅ ... .............. 12
3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,…) = ax ± by ± cz ±…......................... 13
3.4 Jumlah: f(x, y, z,…) = x ± y ± z ±… ............................................... 13
3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks.................................................... 13

I

II Daftar Isi

4 Grafik untuk Besaran yang Berhubungan .........................14
4.1 Grafik dan Rumus ........................................................................... 14
4.1.1 Titik dalam Grafik dan Persamaan .................................... 14
4.1.2 Grafik dari fungsi linear .................................................... 16
4.1.3 Transformasi dari Fungsi Non Linear Menjadi
Linear ................................................................................ 17
4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat................................................. 19
4.3 Perkiraan Ralat ................................................................................ 20

Soal Latihan ..................................................................................26

Petunjuk Praktikum ....................................................................29

1 Bandul Matematis .................................................................29

2 Elastisitas ...............................................................................34

3 Hukum Newton II .................................................................39

4 Bola Jatuh Bebas ...................................................................46

5 Koefisien Muai Panjang .......................................................50

6 Voltameter Tembaga .............................................................54

7 Lensa.......................................................................................59

8 Viskositas Zat Cair................................................................69



Peraturan Praktikum

1. Persiapan di rumah dan test awal:
Supaya Mahasiswa dapat mengikuti praktikum dengan baik, setiap mahasiswa
harus menyiapkan diri di rumah sebelum praktikum mulai. Untuk mengecek
persiapan itu dan untuk membicarakan hal yang masih belum jelas, pada awal
praktikum akan diadakan satu test awal oleh asisten. Bila pada test itu ternyata
mahasiswa belum tahu bagaimana mengerjakan percobaan atau belum cukup
tahu tentang teori, mahasiswa tidak boleh mengerjakan percobaan itu. Percobaan
harus dilakukan (diulangi) sesuai jadwal Her (remedial). Penyelesaian test awal
tersebut dicantumkan dalam Kartu Praktikum oleh Asisten.

2. Ketepatan waktu
Praktikum mulai tepat pada waktu yang telah dijadwalkan. Bagi mahasiswa yang
terlambat lebih dari 15 menit tidak boleh mengikuti praktikum pada hari itu dan
harus mengulangi percobaan itu sesuai dengan jadwal remedial.

3. Laporan praktikum
a. Laporan Praktikum harus diserahkan kepada asisten satu minggu setelah
percobaan dikerjakan. Dalam bentuk praktikum yang dipadatkan (setiap
hari ada praktikum), laporan harus diserahkan dua hari setelah percobaan
dilaksanakan. Kalau Laporan Praktikum masuk terlambat, tidak bisa
diterima lagi dan percobaan harus diulangi.
b. Isi Laporan Praktikum adalah:
1. Di halaman depan harus tercantum: Nama praktikan, nama teman
kerja, nama asisten, tanggal praktikum, no. dan nama percobaan,
hari dan kelompok praktikum.
2. Data-data ukuran asli, berarti catatan asli yang dibuat ketika
mengerjakan percobaan. Data asli ini tidak boleh dicopy atau diubah.
Data asli dilampirkan pada laporan dari salah satu laporan untuk setiap
kelompok.
3. Tugas sesuai penjelasan pada masing-masing percobaan dalam pasal
“Laporan Praktikum”.
4. Data ukur dan hasil ditulis dalam daftar / tabel yang jelas.
5. Grafik-grafik dari pengukuran di atas kertas mm (Millimeterblock) jika
dalam percobaan ada grafik yang dibutuhkan untuk analisa hasil.
6. Perhitungan percobaan
7. Kesimpulan mengenai hasil dari percobaan.

III

IV Peraturan Praktikum

Setiap mahasiswa harus membuat satu laporan praktikum. Hanya catatan
asli data ukur pada prinsipnya ada hanya satu, berarti satu mahasiswa dari
kelompok kerja mengikutkan catatan asli.

4. Laporkan kerusakan
Kalau ada kerusakan alat dalam percobaan, kerusakan itu harus diberitahukan
segera kepada asisten dan harus dicatat ke dalam daftar kerusakan yang ada di
ruang praktikum supaya bisa diperbaiki dengan cepat. Kalau pada awal
percobaan sudah ada alat yang rusak juga harus dilaporkan dan dicatat dalam
daftar tersebut.

5. Tanggung jawab terhadap kerusakan
Kalau alat menjadi rusak karena mahasiswa kurang hati-hati atau dengan sengaja
merusakkan alat, maka kerusakan tersebut harus ditanggung oleh mahasiswa
yang merusakkannya.

6. Pemakaian alat untuk setiap percobaan
Jangan ambil alat dari percobaan lain. Semua alat yang diperlukan untuk satu
percobaan, sudah tersedia di tempat percobaan. Kalau seandainya ada
kekurangan, mintalah kepada asisten.

7. Rapikan tempat setelah percobaan
Setelah percobaan selesai tempat kerja harus dibereskan dan asisten diminta
supaya membuktikan kerapian tempat kerja dengan tanda tangannya di Kartu
Praktikum. Bereskan tempat termasuk:
- Kalau dalam percobaan air dipakai, semua air harus dibuang setelah
percobaan dikerjakan.
- Alat harus dicek supaya semuanya ada.
- …

8. Penilaian dan Her (remedial)
Nilai test awal, kerapian tempat kerja setelah percobaan, ketepatan memasukkan
laporan, nilainya dan ACC dicantumkan di lembar Kartu Praktikum. Kalau ada
kekurangan dalam satu hal (Tanda tangan dari asisten tidak ada atau nilai di
bawah C) atau laporan praktikum masuk terlambat, percobaan tidak diakui dan
harus diulangi sesuai dengan jadwal remedial.
Paling banyak dua percobaan bisa diulangi. Kalau lebih banyak
percobaan perlu diulangi, seluruh praktikum harus diulangi.



Perhitungan Ralat

1 Prinsip-Prinsip Dasar

1.1 Mengukur

1.1.1 Apakah Mengukur itu ?
Mengukur adalah menentukan suatu besaran fisik dari suatu benda
dengan cara membandingkan benda itu dengan besaran satuan. Untuk cara,
bagaimana satuan dibandingkan dengan benda harus ada aturan yang jelas.
Jadi untuk mengukur kita perlu satuan standar dan suatu peraturan,
bagaimana cara membandingkan standar tersebut dengan satuan standar.
1. Contoh untuk satuan:
• Dulu panjang satu meter terdefinisi sebagai panjang dari meter asli di
Paris.
• Sekarang panjang satu meter terdefinisi sebagai 1.650.763,73 kali
panjang gelombang dari Kr86.
• Satu detik adalah 9.192.631.770 periode dari salah satu ayunan
frekuensi tinggi Cs133.
2. Contoh untuk peraturan membandingkan:
• Mengukur panjang dilakukan dengan cara meletakkan panjang satuan
disebelah benda yang mau diukur. Panjang sama jika ujung awal dan
ujung akhir pada posisi yang sama.
Untuk menyebut suatu besaran yang kecil atau besar, maka satuan bisa
diberikan tambahan seperti: km, cm, mm, mikro-meter, nm. Suatu besaran
fisik selalu terdiri atas satu bilangan dan satu satuan.

1

2 Perhitungan Ralat

1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan Ralat

1.1.2.1 Besaran yang Sebenarnya
Suatu besaran dari satu benda atau sistem fisik mempunyai nilai
tertentu. Misalnya satu benda memiliki tinggi tertentu. Nilai dari besaran itu
(dalam contoh tinggi benda) merupakan sifat dari sistem fisik atau benda itu.
Kita akan sebutkan nilai itu sebagai nilai (tinggi) yang sebenarnya.

1.1.2.2 Hasil Ukur
Ketika kita mengukur suatu besaran fisik (contoh: tinggi benda), maka
kita akan mendapatkan suatu nilai untuk besaran fisik (tinggi benda) sebagai
hasil pengukuran. Hasil pengukuran biasanya disebut secara singkat sebagai
hasil ukur. Hasil ukur biasanya tidak persis sama dengan besaran fisik yang
sebenarnya. Dalam setiap pengukuran terdapat berbagai kesalahan mengenai
hasil ukur sehingga hasil ukur berbeda dengan nilai yang sebenarnya. Besar dari
kesalahan tersebut tergantung berbagai faktor, misalnya: berapa baik alat yang
dipakai, berapa teliti orang mengukur, suhu lingkungan, angin atau getaran yang
mengganggu pengukuran dan lain sebagainya. Perbedaan antara hasil ukur dan
besaran yang sebenarnya disebut sebagai ralat ukur. Untuk mendapatkan hasil
pengukuran yang baik, kita harus berusaha supaya ralat ukur kecil sehingga hasil
ukur pasti dekat dengan besaran yang sebenarnya.

1.1.2.3 Ralat
Ralat adalah perbedaan antara hasil ukur dan nilai yang sebenarnya.
Karena kita tidak tahu nilai (besaran) yang sebenarnya, maka kita juga tidak tahu
besar dari ralat ukur dengan pasti. Untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian
dari hasil ukur, maka kita harus memperkirakan besar ralat ukur. Ketidakpastian
hasil ukur (ralat ukur) menunjukkan berapa besar perbedaan antara hasil ukur
dan nilai yang sebenarnya bisa terjadi. Misalnya terdapat hasil ukur untuk
panjang l sebesar l = 3,452967 m. Pertanyaan yang harus diajukan: Maksimal
berapa jauh nilai yang sebenarnya dari hasil ukur ini ? Seandainya ralat ukur
sebesar Δl = 0,000001 m, berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak
sejauh ± 0,000001 m dari hasil ukur. Seandainya ralat ukur sebesar Δl = 0,1 m,
berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak sejauh ± 0,1 m dari hasil ukur,
berarti kita hanya tahu, panjang sebenarnya dari benda ini antara 3,35 m dan
3,55 m. Untuk menilai suatu hasil ukur, sangat penting ralatnya atau ketidak-
pastiannya diketahui. Dengan kata lain, untuk setiap pengukuran selain hasil
ukur juga ralat dari hasil ukur harus ditentukan. Menentukan ralat dari hasil ukur
disebut membuat perkiraan ralat.


1. Prinsip-Prinsip Dasar 3

Hasil ukur tanpa perkiraan ralat tidak berguna !!!

1.1.2.4 Sumber Ralat
Dalam setiap pengukuran terdapat bermacam-macam sumber kesalahan
yang mengakibatkan hasil pengukuran tidak sama dengan besaran fisik yang
sebenarnya. Semua sumber ralat dikelompokkan menjadi dua jenis yakni ralat
sistematis dan ralat statistis.
1. Ralat Sistematis (Systematic Error)
Ralat sistematis terjadi pada setiap kali mengukur. Arah (hasil ukur terlalu
besar / terlalu kecil) dan besar dari ralat sistematis selalu sama. Ralat
sistematis adalah suatu kesalahan yang terdapat dari cara (sistem)
mengukur. Berarti dalam cara mengukur atau dalam alat sudah ada suatu
kesalahan yang mempengaruhi hasil ukur sehingga setiap kali mengukur
terdapat perbedaan yang sama antara nilai yang sebenarnya dan hasil ukur.
Beberapa contoh untuk ralat sistematis:
• Posisi nol tidak berada pada posisi nol yang sebenarnya (pada alat ukur
listrik atau pada penggaris).
• Alat ukur tidak disesuaikan dengan standar asli (tidak ditera). Misalnya
meteran terlalu panjang atau terlalu pendek.
• Cara mengukur atau alat ukur mempengaruhi besaran asli yang
sebenarnya sehingga berubah ketika diukur. Hal ini bisa terjadi ketika
mengukur voltase dan arus secara serentak.
Untuk menghindari ralat sistematis, kita harus menera alat ukur dengan
baik dan harus memperhatikan semua pengaruh yang bisa mengubah hasil
pengukuran. Misalnya besaran yang mau diukur tergantung suhu dan alat
ukur akan mengubah suhu pada benda itu, maka hasil akan mengandung
ralat sistematis. Sebab itu, hal seperti ketergantungan besaran dari suhu,
medan magnet bumi, gesekan atau hal lain harus diperhatikan dengan baik.
2. Ralat Statistis / Ralat Rambang (Random Error)
Ralat statistis berasal dari hal yang terjadi secara kebetulan dan dapat
berubah-ubah. Ralat statistis bisa mengakibatkan hasil ukur menjadi lebih
besar atau lebih kecil dari nilai yang sebenarnya. Kalau pengukuran
diulangi, ralat statistis akan berbeda dan baik besarnya maupun arahnya
(besar/kecil) bersifat statistis, berarti berubah-ubah. Ralat statistis kadang-
kadang membuat hasil ukur menjadi lebih besar dan kadang-kadang
membuat hasil ukur menjadi lebih kecil. Beberapa contoh untuk ralat
statistis:
• Tidak melihat skala alat ukur secara teliti.

4 Perhitungan Ralat

• Stopwatch dijalankan terlambat atau lebih awal.
• Getaran mekanik mempengaruhi hasil ukur.
Supaya kemungkinan terjadi ralat statistis (ralat rambang) diperkecil, maka
kita harus mengukur secara teliti. Untuk mendapatkan suatu informasi
tentang besar ralat itu, kita bisa mengukur berulang kali. Jika suatu besaran
sudah diukur beberapa kali, maka statistika dapat dipakai untuk
memperkirakan besar dari ralat statistis. Kalau suatu besaran diukur
berulang kali, maka ralat dari nilai rata-rata dari semua hasil ukur akan
lebih kecil daripada ralat dari satu hasil ukur sendiri. Dalam pasal berikut
kita akan membicarakan cara untuk memperkirakan ralat statistis.



2 Perkiraan Ralat yang Sederhana
untuk satu Besaran yang Diukur

2.1 Statistika

2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis.
Kalau suatu besaran diukur beberapa kali, maka hasil pengukuran akan
berbeda-beda. Hasil pengukuran biasanya sekitar nilai yang sebenarnya. Setelah
mengukur berulang kali (misalnya 1000 kali), kita bisa membuat satu grafik
seperti gambar 2.1. Grafik ini menunjukkan, berapa sering satu nilai hasil ukur
tertentu didapatkan. Jika alat ukur yang dipakai baik dan kita mengukur secara
teliti, kesalahan (ralat) dari setiap pengukuran akan kecil dan semua nilai hasil
ukur akan dekat dengan nilai yang sebenarnya. Jadi lebar dari grafik akan kecil.
Lebar dari grafik ini bisa dinyatakan dengan deviasi standard σ. Jika alat ukur
kurang baik atau pengukuran dilakukan secara kurang teliti, maka σ akan besar.
Kalau σ besar, sebagian besar dari nilai-nilai hasil ukur akan jauh dari nilai yang
sebenarnya. Kalau σ kecil, semua nilai hasil ukur akan dekat dengan nilai yang
sebenarnya. Berarti, besar σ atau tebal distribusi hasil ukur menunjukkan sejauh
berapa suatu nilai hasil ukur dapat dipercayai.
Setelah mengukur berulang kali, maka nilai rata-rata x dan deviasi
standar σx bisa dihitung. Setelah mengetahui besar x dan besar σx dari
pengukuran besaran tertentu, maka kita tahu mengenai setiap pengukuran sendiri
bahwa hasil ukur hampir pasti (dengan kemungkinan besar) akan terdapat antara

Jumlah
Distribusi nilai
nilai x
pengukuran
2⋅σ

Gambar 2.1.: Distribusi nilai peng-
ukuran yang biasanya diperoleh
dengan jumlah pengukuran besar.
x Nilai pengukuran x
5

6 Perhitungan Ralat

nilai hasil ukur ±σ

Gambar 2.2.: Nilai hasil ukur
t1- σ t1 t1+ σ dan interval di mana nilai yang
sebenarnya dapat dianggap.
x − σ x dan x + σ x seperti ditunjukkan dalam gambar 2.2.
Dari penjelasan ini kita bisa juga mengambil kesimpulan terbalik: Kalau
suatu besaran telah diukur satu kali dan telah didapat nilai t1 sebagai hasil ukur,
dan kalau juga besar deviasi standar dalam mengukur variabel t diketahui sebesar
σt, maka kemungkinan besar, nilai tb yang sebenarnya berada dalam interval
antara t1 − σ t dan t1 + σ t . Situasi seperti ini diperlihatkan dalam gambar 2.2.
Contoh:
• Kita telah mengukur waktu t1 ± σ
jatuh dari sebuah batu dan
sebuah bulu ayam dari tinggi 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 t/det
tertentu. Untuk bulu ayam
terdapat selang waktu jatuh t2 ± σ
sebesar t1 = 1,5 det, untuk batu Gambar 2.3: Interval untuk nilai yang
terdapat t2 = 1,7 det. Apakah sebenarnya dari contoh.
dari hasil ukur ini dapat disimpulkan bahwa batu memang jatuh lebih
pelan ? Atau harus disimpulkan bahwa perbedaan hasil ukur terdapat
sebagai ralat dalam pengukuran ? Untuk menentukan jawaban dari
pertanyaan-pertanyaan ini kita harus mengerti, berapa baik hasil ukur kita.
Dengan kata lain kita harus tahu besar ralat dari hasil ukur yang telah kita
dapatkan. Seandainya kita tahu ralat ukur σt dari cara mengukur yang
dipakai sebesar σt = 0,3 det, maka dapat disimpulkan sbb.: kemungkinan
besar nilai ta yang sebenarnya untuk selang waktu jatuh dari bulu ayam
antara t1 - σ = 1,2 det dan t2 + σ = 1,8 det. Sedangkan nilai tb yang
sebenarnya untuk batu antara t2 - σ = 1,4 det dan t2 + σ = 2,0 det. Biasanya
ditulis sbb.: Hasil pengukuran untuk selang waktu jatuh bulu ayam sebesar
t1 = 1,5 det ± 0,3 det dan waktu jatuh batu sebesar t2 = 1,7 det ± 0,3 det.
Hasil ini diperlihatkan dalam gambar 2.3. Dari hasil ini dilihat bahwa
terdapat kemungkinan besar, waktu jatuh sebenarnya sama untuk bulu ayam
dan untuk batu, bahkan mungkin batu jatuh lebih cepat daripada bulu ayam.
Maka teori yang menyatakan bahwa bulu ayam jatuh dengan kecepatan
yang sama dengan batu tidak perlu diragukan karena hasil ukur ini. Tetapi
hasil ukur ini juga tidak membuktikan bahwa teori tersebut benar. Dari hasil
ukur ini masih ada kemungkinan, waktu jatuh berbeda.


2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 7

Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan berikut untuk menghitung
besar deviasi standar σ dari hasil ukur x1 … xn yang didapatkan dari n kali
mengukur satu besaran x:

∑ ( xi − x )
2
σ= =
∑ δi 2 = δi 2 (2.1)
n n
di mana:
n : jumlah pengukuran
xi : hasil ukur no i
x : nilai rata-rata dari semua pengukuran
δi : deviasi hasil ukur no i dengan definisi δi = xi − x
Jadi deviasi standar merupakan akar dari rata-rata deviasi kuadrat dari
semua hasil ukur.
Jika suatu besaran telah diukur dengan jumlah pengukuran n yang tak
terhingga, maka nilai yang sebenarnya untuk besaran itu diketahui sebesar x .
Ketelitian dari pengukuran juga diketahui sebesar deviasi standar σ. Tetapi kalau
jumlah pengukuran terbatas maka kita tidak bisa tahu nilai yang sebenarnya dari
besaran yang diukur dan kita juga tidak bisa tahu ralat ukur yang sebenarnya.
Kita harus memperkirakan nilai yang sebenarnya dan ralat ukur.

2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya
Kalau jumlah pengukuran terbatas, nilai yang sebenarnya dan deviasi
standar σ dari besaran yang diukur tidak diketahui. Tetapi besar dari nilai yang
sebenarnya dan dari deviasi standar σ bisa diperkirakan. Perkiraan paling baik
untuk nilai yang sebenarnya adalah besar nilai rata-rata xn dari semua hasil ukur
dengan definisi sbb.:
x1 + x2 + x3 + ... + xn 1 n
xn =
n
⇔ xn = ∑x
n i =1 i
(2.2)

Perkiraan yang paling baik untuk deviasi standar σ adalah deviasi
standar yang disesuaikan sn dengan definisi sbb.:

n
( xi − xn )2
sn = ∑ n −1
(2.3)
i =1
dengan:
xn : perkiraan untuk nilai benar
sn : perkiraan untuk besar deviasi standar σ


8 Perhitungan Ralat

Deviasi standard σ atau perkiraan yang paling baik untuk deviasi
standar sn merupakan satu besaran yang menunjukkan ketelitian dari setiap
pengukuran masing-masing. Tetapi jika suatu pengukuran sudah dilakukan
beberapa kali sehingga terdapat nilai rata-rata xn dari sebanyak n hasil ukur
sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya, maka nilai rata-rata xn tersebut
lebih teliti daripada ketelitian σ atau sn yang terdapat untuk satu pengukuran
sendiri. Hal ini dijelaskan lebih rinci dalam alinea berikut ini.
Kalau eksperimen dilakukan dengan mengukur nilai x sebanyak n kali,
maka terdapat nilai hasil ukur x1, x2, …, xn. Dari nilai-nilai ukur ini terdapat nilai
rata-rata x1 . Juga terdapat perkiraan untuk deviasi standar sebesar sn1. Jika
eksperimen yang sama diulangi, nilai-nilai hasil ukur x1, x2, ...,xn akan berbeda
dari pengukuran pertama dan juga nilai rata-rata x2 dan perkiraan untuk deviasi
standar sn2 akan berbeda. Jika mengukur lagi, hasil akan lain lagi, dst. Jadi nilai
rata-rata xn juga akan bervariasi dan mempunyai ketidakpastian. Tetapi
perbedaan-perbedaan (ketidakpastian) dari nilai rata-rata xn akan lebih kecil
daripada ketidakpastian sn dari setiap pengukuran xi masing-masing. Perkiraan
untuk ketidakpastian dari nilai rata-rata xn disebut sebagai ralat ukur disesuaikan
Sn. Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan untuk menghitung Sn sbb:

sn n
( xi − xn )2
Sn =
n
= ∑ n ( n − 1) (2.4)
i =1

Dari (2.4) dilihat ralat dari hasil ukur rata-rata akan semakin kecil jika
suatu pengukuran diulangi lebih sering, berarti dengan semakin banyak
pengukuran, maka hasil ukur akan semakin teliti.
Juga nilai sn dan Sn akan berubah jika pengukuran diulangi. Berarti dua
nilai ini sendiri juga memiliki suatu ketidakpastian. Semakin sering suatu
pengukuran diulangi, berarti semakin banyak nilai hasil ukur terdapat, maka
semakin kecil ketidakpastian dari perkiraan ralat ini. Supaya ketidakpastian dari
sn dan Sn tidak terlalu besar, berarti dua nilai ini bisa dipercayai cukup teliti, kita
perlu minimal 10 pengukuran dari satu besaran. (Harus: n ≥ 10 untuk
perkiraan ralat dengan statistika seperti ini !)
Dalam praktikum jumlah pengukuran yang dipakai paling besar sekitar
n ≈ 10. Dalam situasi ini nilai dari sn dan Sn sendiri memiliki ketidakpastian yang
cukup tinggi, sehingga ralat selalu dibulatkan sampai angka pertama yang
bernilai. Supaya perkiraan ralat tidak terlalu kecil, pembulatan selalu dilakukan
ke nilai yang lebih tinggi. (Bulatkan selalu ke atas !)


2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 9

2.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil Ukur ?
Jika pengukuran dilakukan hanya satu kali saja, maka terdapat hanya
satu nilai hasil ukur dan ralat tidak bisa ditentukan dari statistika. Dalam situasi
ini ralat harus diperkirakan dari ketelitian alat ukur atau cara mengukur.
Misalnya ralat ditentukan dari ketelitian membaca nilai pada skala pengukuran
(misalnya skala penggaris) dan dari memperkirakan ketelitian alat ukur yang
dipakai. Sering pembuat alat ukur memberi spesifikasi (penetapan) mengenai
ketelitian alat ukur. Spesifikasi ini bisa dipakai untuk menentukan ralat dari hasil
ukur. Supaya perkiraan ralat kita aman, kita selalu ambil ralat yang maksimal
yang bisa terjadi. Dalam cara ini ada ketidakpastian yang besar.

2.1.4 Ralat Maksimal
Dalam praktikum waktu yang dipakai sering tidak cukup untuk
mengukur semua besaran lebih dari 10 kali. Satu kompromi adalah dengan cara
seperti berikut ini:
• Mengukur beberapa kali.
• Menghitung nilai rata-rata sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya.
• Menentukan deviasi δi = xi − x dari semua hasil ukur. Memakai nilai
mutlak dari deviasi yang paling besar sebagai ralat.
Cara ini disebut sebagai metode ralat maksimal. Contoh untuk metode ralat
maksimal ini seperti dalam tabel 2.1. Dalam contoh ini waktu t diukur empat kali
dengan hasil t1 sampai t4. Dari semua hasil ukur terdapat rata-rata waktu t .
Untuk setiap hasil ukur ti deviasi δti dihitung. Harga mutlak δti yang paling besar
dipakai sebagai perkiraan untuk ralat ukur Δt.

ti δt ( = ti − t ) Tabel 2.1: Contoh data
i
untuk ralat maksimal.
2,0 det - 0,05 det
2,3 det 0,25 det
1,9 det - 0,15 det
2,0 det - 0,05 det
t = 2,05 det Max (|δti|) = 0,25 det ⇒ Ralat Δt = 0,25 det

Hasil ukur dalam contoh ini sebesar: t = 2,1 det ± 0,3 det

10 Perhitungan Ralat

2.2 Cara menulis hasil
Kalau memberitahukan hasil pengukuran kepada orang lain, ralat selalu
harus diikutkan. Misalnya terdapat hasil ukur waktu sebesar t = 2,1 det dan ralat
dari pengukuran ini sebesar Δt = 0,3 det, maka ditulis:
Hasil ukur adalah waktu t = 2,1 det ± 0,3 det atau t = (2,1 ± 0,3) det.
Kalau hasil jarak s sebesar s dengan ralat sebesar Sn, maka ditulis:
Hasil ukur adalah jarak s = s ± S n .
Ralat sering ditandai dengan huruf Yunani Delta, Δ (besar ralat),
misalnya ΔS, Δt,... Ralat bisa disebut secara absolut atau secara relatif (sebagai
ralat nisbi). Ralat absolut adalah ralat dengan angka dan satuan seperti hasil ukur
yang dinyatakan dalam contoh di atas. Sedangkan yang dimaksud dengan ralat
relatif adalah perbandingan antara ralat absolut dan nilai ukuran:
Δx
Ralat relatif =
x
Ralat relatif biasanya dinyatakan dalam persen (%). Dengan memakai
ralat relatif contoh pengukuran waktu di atas dapat ditulis sbb: t = 2.1det ± 14%,
di mana 14% dari hasil ukur t = 2,1 det sebesar ralat 0,3 det di atas.
Seperti telah dijelaskan dalam pasal di atas, hasil perkiraan ralat selalu
dibulatkan ke atas dan dengan membulatkan angka pertama yang mempunyai
nilai. Misalnya terdapat hasil perkiraan ralat untuk besaran l sebesar
Δl = 0,0425 m, maka ralat ini dibulatkan pada angka pertama yang mempunyai
nilai, dalam contoh ini angka kedua di belakang koma, dan dibulatkan ke atas,
berarti angka 4 tersebut menjadi 5 sehingga terdapat ralat sebesar Δl = 0,05 m.
Hasil ukur pada angka yang lebih belakang dari ralat tidak mempunyai makna
sehingga angka tersebut tidak usah ditulis. Misalnya hasil ukur panjang dalam
contoh ini sebesar l = 2,462963 m, maka yang ditulis sebagai hasil:
l = 2,46 m ± 0,05 m atau l = (2,46 ± 0,05) m.

2.3 Ralat Sistematis
Dalam perkiraan ralat secara statistika ralat sistematis belum diperhati-
kan. Untuk mengetahui ralat sistematis yang bisa terjadi, alat ukur dan proses
pengukuran harus dipikirkan dan diteliti dengan baik. Misalnya ketidakpastian
yang ada dalam pengaturan alat ukur sesuai dengan besaran standar merupakan
satu ralat sistematis yang harus diperhatikan. Ralat sistematis lain bisa berupa
pengaruh dari proses mengukur kepada besaran yang diukur, suatu kesalahan
yang selalu dibuat dalam proses mengukur dan yang tidak bisa dihilangkan.
Setiap proses pengukuran bisa memiliki ralat sistematis tersendiri yang
pengaruhnya terhadap hasil ukur perlu diperkirakan.



3 Perambatan Ralat

3.1 Prinsip
Sering beberapa besaran x, y, z, … perlu diukur untuk menentukan suatu
besaran f yang lain. Misalnya untuk mendapatkan massa jenis ρ, maka massa m
dan volume V dari suatu benda diukur. Lalu massa jenis ditentukan dengan
persamaan:
m
ρ= (3.1)
V
Dalam mengukur massa m ada kesalahan (ralat) Δm dan dalam
mengukur volume V ada kesalahan (ralat) ΔV. Pasti hasil perhitungan, ρ, juga
mempunyai ralat. Secara umum bisa dikatakan: satu besaran f yang dicari (dalam
contoh f adalah ρ) adalah fungsi dari beberapa variabel x, y, z, ... yang diukur:
f = f (x, y, z, ...) (dalam contoh x, y adalah m dan V). Besaran f pasti mempunyai
ralat Δf jika variabel x, y, z,... mempunyai ralat Δx, Δy, Δz, …. Teori yang
meneliti hubungan antara besar ralat Δf dan besar Δx, Δy, Δz, … disebut sebagai
teori perambatan ralat. Dalam diktat ini hubungan-hubungan yang didapatkan
untuk berbagai situasi tidak dibuktikan, hanya hasilnya dijelaskan dalam pasal
ini. Silakan carilah bukti dalam buku-buku tentang teori perhitungan ralat. Hasil
umum yang didapatkan untuk ralat Δf dari f adalah:

⎛ ∂ f ( x, y,...) ⎞ ⎛ ∂ f ( x, y, z ,...) ⎞
2 2

Δf = ⎜ Δx ⎟ + ⎜ Δy ⎟ + ... (3.2)
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
Δ x Δy
Jika ralat relatif (ralat nisbi) , , … kecil, maka Δf bisa dihitung
x y
dengan rumus pendekatan:
∂ f ( x, y , z,... ) ∂ f ( x, y, z,... )
Δf ≈ ⋅ Δx + ⋅ Δy + ... (3.3)
∂x ∂y
Dalam pasal-pasal berikut persamaan (3.2) dan (3.3) diterapkan untuk
beberapa situasi yang sering terdapat. Dari penerapan ini persamaan khusus
untuk situasi tersebut ditentukan.

11


3.2 Perkalian dengan Pangkat f ( x, y, z,... ) = Ax a ⋅ y b ⋅ z c ⋅ ...
Dalam situasi ini, (3.3) menjadi:
Δf = A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... ⋅ Δx + A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ... ⋅ Δy + … (3.4)

Δf
untuk ralat relatif terdapat:
f

Δf A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ...
= ⋅ Δx + ⋅ Δy + … (3.5)
f f ( x, y , z, …) f ( x, y , z, …)
Karena:
a
A ⋅ ax a −1 ⋅ y b ⋅ z c ... = ⋅ f ( x, y , z …) dan
x
b
A ⋅ x a ⋅ by b−1 ⋅ z c ... = ⋅ f ( x, y, z …)
y
dst.
maka (3.5) menjadi:
Δf a ⋅ f ( x, y , z ,... ) b ⋅ f ( x, y , z ,... )
= ⋅ Δx + ⋅ Δy + ...
f x ⋅ f ( x, y , z ,... ) y ⋅ f ( x, y , z,... )
(3.6)
Δf Δx Δy
⇔ =a +b + ...
f x y
Dari (3.6) terdapat aturan untuk menentukan ralat dari hasil perhitungan
dalam situasi perkalian dengan pangkat sbb.: ralat relatif dari hasil terdapat
sebagai jumlah dari ralat relatif semua faktor, di mana ralat relatif dari masing-
masing faktor harus dikalikan dengan harga mutlak dari pangkat faktor itu dulu.
Contoh:
• Daya listrik P dihitung dari arus I dan voltase V: P = V ⋅ I . Dalam
eksperimen telah terdapat hasil ukur:
ΔV 0,1V
V = 10V ± 0,1V, berarti terdapat ralat relatif = = 0,01 = 1%
V 10 V
ΔI 0,1A
I = 2,5A ± 0,1A, berarti terdapat ralat relatif = = 0, 04 = 4%
I 2,5A
Maka terdapat daya sebesar P = V ⋅ I = 10 V⋅ 2,5A = 25W dan ralat relatif
untuk daya sebesar:


3. Perambatan Ralat 13

ΔP ΔV ΔI
= 1⋅ +1⋅ = 1% + 4% = 5%
P V I
maka ralat absolut untuk daya sebesar:
ΔP = P · 5% = 25W · 0,05 = 1,25W,
sehingga hasil pengukuran menjadi: P = 25W ± 1, 25W yang akhirnya akan
kita nyatakan sebagai hasil ukur P = 25W ± 2 W .

3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,…) = ax ± by ± cz ±…
Dengan (3.3) dalam situasi ini terdapat:
Δf = a ⋅ Δ x + b ⋅ Δ y + c ⋅ Δ z + … (3.7)

3.4 Jumlah: f(x, y, z,…) = x ± y ± z ±…
Ini situasi khusus dari 3.3. kombinasi linear dengan semua koefisien
sebesar satu: a = b = c = …= 1. Ralat untuk f terdapat sebesar:
Δf = Δx + Δy + Δz + ... (3.8)
Perhatikan dalam situasi ini dan pada 3.3. kombinasi linear bahwa ralat
selalu bertambah dan tidak berkurang, walaupun dalam perhitungan nilai f ada
pengurangan. Misalnya perbedaan massa Δ'm dihitung dari dua kali menimbang
suatu benda dengan hasil timbang m1 ± Δm1 dan m2 ± Δm2 , berarti terdapat ralat
dari masing-masing pengukuran sebesar Δm1 dan Δm2 . Ralat dari perbedaan
massa Δ ' m = m2 − m1 sebesar Δ ( Δ ' m ) = Δm1 + Δm2 ,
bukan Δ ( Δ ' m ) = Δm1 − Δm2 .

3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks
Kalau hubungan antara hasil ukur dan variabel yang diukur masing-
masing lebih kompleks atau dalam persamaan terdapat fungsi lain, maka besar
ralat bisa ditentukan dengan kombinasi dari cara 3.2 sampai 3.4 atau harus
dihitung langsung dari persamaan (3.2) atau (3.3).



4 Grafik untuk Besaran yang
Berhubungan

4.1 Grafik dan Rumus

4.1.1 Titik dalam Grafik dan Persamaan
Dalam fisika sering terjadi bahwa yang penting untuk sifat fisik dari
suatu sistem bukan sekedar satu besaran, tetapi terdapat beberapa besaran fisik
yang mempunyai hubungan satu sama yang lain. Misalnya suatu pegas diberikan
gaya tarik F, maka pegas akan bertambah panjang sebanyak Δx. Dalam situasi
ini jelas bahwa besar dari gaya yang bekerja pada pegas menentukan besar
perpanjangan pegas. Maka dalam situasi ini hubungan antara besar gaya dan
besar perpanjangan perlu diselidiki. Secara matematis bisa dikatakan hubungan
antara besar dari variabel gaya dan besar dari variabel perpanjangan diselidiki.
Dalam alinea ini soal semacam ini dibicarakan secara umum dengan memberikan
nama x dan nama y kepada dua variabel yang diselidiki.
Grafik merupakan satu sarana praktis untuk memperlihatkan sifat dari
hubungan antara dua variabel. Kalau menggambarkan grafik dari dua variabel,
maka akan digambarkan dalam bidang mendatar (kertas gambar). Satu variabel
digambarkan sebagai satu skala ke satu arah (misalnya mendatar), variabel kedua
digambarkan ke dalam skala dengan arah yang tegak lurus terhadap arah pertama
(misalnya tegak lurus ke atas). Skala yang digambarkan ke arah mendatar atau ke
arah tegak lurus disebut sebagai sumbu
grafik. Biasanya variabel x digambarkan ke y
arah mendatar, variabel y ke arah atas. Kalau
menunjukkan nilai x sebesar x = 2, maka nilai 2
itu bisa digambarkan pada posisi skala 2 ke
kanan dari nol. Posisi x = 2 tidak hanya y=1
berlaku untuk satu titik pada posisi skala 2 ke 1 x
arah x, tetapi seluruh garis yang tegak lurus x
ke atas dan yang melewati skala x pada posisi
2 ditafsir sebagai tempat x = 2. Lihat garis -1 1 2 3
dalam gambar 4.1. Untuk variabel y yang
-1
dihitung dalam skala ke atas terdapat prinsip
yang sama. Misalnya nilai y = 1ditunjukkan Gambar 4.1: Grafik dipakai
oleh satu garis mendatar pada posisi y = 1 untuk menunjukkan nilai dari
seperti garis dalam gambar 4.1. Kalau variabel x dan y.
14

4. Grafik untuk Besaran yang Berhubungan 15

x1 = -2 y1 = 1 y
x2 = 0 y2 = 2
4
x3 = 1 y3 = 2,5
x4 = 2 y4 = 3 2

x5 = 4 y5 = 4 x
x6 = 6 y6 = 5 -2 0 2 4 6

Tabel 4.1: Contoh untuk pa- Gambar 4.2: Pasangan nilai dari tabel 4.1
sangan nilai yang memenuhi dan pasangan lain dari fungsi y = 2 + 1 x
2
fungsi y = 2 + 1 x
2 yang merupakan garis lurus.
dalam suatu rumus atau dalam suatu hasil ukur terdapat hubungan antara dua
besaran x dan y sehingga nilai dari y sebesar y = 1 jika nilai dari x sebesar x = 2,
maka dikatakan terdapat pasangan nilai (x, y) = (2, 1). Pasangan nilai ini bisa
digambarkan ke dalam grafik pada tempat x = 2 dan y = 1, yaitu titik pertemuan
antara dua garis yang menunjukkan dua nilai masing-masing. Contoh ini
diperlihatkan dalam gambar 4.1 pada titik .
Berarti satu pasangan nilai digambarkan sebagai satu titik dalam grafik.
Dengan menggambarkan berbagai titik, maka untuk berbagai nilai dari variabel x
diberikan hubungan dengan nilai dari variabel y, berarti dengan berbagai titik
atau suatu garis dalam grafik hubungan antara dua variabel digambarkan.
Satu cara lain untuk memberikan informasi mengenai hubungan antara
dua variabel terdapat dengan fungsi-fungsi matematis. Misalnya fungsi
(persamaan) y = 2 + 1 x menentukan pasangan-pasangan nilai variabel x dan
2
variabel y, berarti persamaan ini menunjukkan suatu hubungan antara variabel x
dan variabel y. Untuk setiap nilai x terdapat satu nilai y yang memenuhi
persamaan ini. Beberapa dari pasangan nilai (x, y) yang memenuhi contoh fungsi
ini dicatat dalam tabel 4.1. Semua pasangan nilai dari tabel 4.1 digambarkan ke
dalam satu grafik gambar 4.2 dengan tanda silang (x). Tetapi pasangan nilai yang
memenuhi fungsi y = 2 + 1 x bukan hanya pasangan nilai tersebut, tetapi untuk
2
setiap nilai x terdapat satu nilai y, berarti terdapat satu garis yang tidak putus dari
kiri ke kanan. Garis tersebut terdiri dari semua pasangan nilai yang memenuhi
fungsi tersebut. Karena fungsi dalam contoh ini fungsi linear (pasal berikut),
maka terdapat garis lurus yang telah digambarkan dalam gambar 4.2.



4.1.2 Grafik dari fungsi linear 6 y f(x)
Gambar grafik dari fungsi linear (x2,y2)
y2 x
dengan bentuk y = ax + b adalah garis 4 Δy (x1,y1) Δy
lurus, di mana konstanta a menunjukkan y1 x Δx
kemiringan dari garis pada grafik dan
konstanta b adalah bagian sumbu y. 2 b
Hubungan antara letak garis
Δx x
lurus dan besar konstanta a dan b dalam
-2 2 x1 4 x 26 8
fungsi f: y = ax + b dapat dilihat dari
gambar 4.3 dan penjelasan berikut. -2
Dalam contoh yang digambar dalam
gambar 4.3 konstanta a = 2 dan konstanta Gambar 4.3: Grafik dari fungsi
b = 0,5. linear adalah garis lurus.
Jika x = 0,maka y terdapat
sebesar b dari rumus tersebut. Jarak antara posisi y = 0 dan tempat di mana garis
lurus fungsi f memotong sumbu y disebut sebagai bagian sumbu y. Berarti bagian
sumbu y adalah nilai dari y ketika x = 0. Dengan kata lain, bagian sumbu y
sebesar f ( x = 0 ) = b.
Dua pasangan nilai (x2, y2) dan (x1, y1) yang memenuhi fungsi f akan
menjadi bagian dari grafik fungsi f. Dua pasangan nilai memenuhi fungsi f
berarti hubungan antara y1 dan x1 sesuai dengan fungsi f dan terdapat hubungan
antara dua pasangan nilai tersebut sesuai f: y1 = ax1 + b dan y2 = ax2 + b.
Perbedaan antara dua nilai y biasa disebut sebagai Δy (baca: “delta y”) dengan
persamaan: Δy = y2 − y1 . Untuk perbedaan antara dua nilai dari variabel x
dengan cara menulis yang sama terdapat: Δx = x2 − x1 . Perbedaan Δy antara dua
nilai y ditunjukkan dalam grafik dengan jarak tegak lurus ke atas dan bisa digam-
barkan dengan satu garis tegak lurus ke atas sepanjang Δy. Perbedaan Δx antara
dua nilai variabel x ditunjukkan dengan garis mendatar sepanjang Δx. Dalam
gambar 4.3 Δx dan Δy telah digambar pada sumbu grafik dan pada grafik fungsi.
Dengan menggambarkan besar Δx dan besar Δy ke dalam grafik pada dua titik
pasangan nilai (x1,y1) dan (x2,y2), maka terdapat segitiga yang dibentuk oleh
garis Δx, Δy dan sebagian grafik fungsi. Sudut kemiringan dari grafik bisa dilihat
Δy Δy
sebagai sudut dalam segitiga tersebut sebesar ϕ = arctan . Pecahan
Δx Δx
disebut sebagai kemiringan grafik. Mengenai pecahan ini, berarti mengenai
kemiringan grafik terdapat:
Δy y2 − y1 ( ax2 + b ) − ( ax1 + b ) a ( x2 − x1 )
= = = =a (4.1)
Δx x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1



Jadi kemiringan dari garis lurus yang menggambarkan fungsi linear
y = ax + b sebesar konstanta a dalam fungsi. Dari (4.1) dilihat kemiringan dari
grafik fungsi linear sama besar pada setiap posisi grafik, berarti sudut ϕ dari
segitiga pada grafik fungsi sama besar pada setiap tempat. Grafik dengan sudut
konstan adalah garis lurus.

4.1.3 Transformasi dari Fungsi Non Linear Menjadi Linear
Sering terdapat hubungan linear antara dua variabel seperti hubungan
antara gaya pada pegas dan perpanjangannya. Dalam situasi linear seperti ini
eksperimen mengenai hubungan antara dua variabel tersebut menjadi sederhana
dan bisa dilakukan secara grafik seperti dijelaskan dalam pasal berikut ini.
Tetapi sering juga terdapat situasi dengan variabel yang mempunyai
hubungan non linear. Dalam situasi ini analisa data bisa dilakukan dengan
sederhana dengan mentransformasikan hubungan non linear tersebut menjadi
hubungan linear. Misalnya dalam suatu eksperimen terdapat hubungan antara
dua variabel sesuai dengan fungsi y = kx2. Fungsi ini bisa diubah atau
ditransformasikan menjadi suatu fungsi linear dalam bentuk v = au + b dengan
dua variabel v dan u yang mempunyai hubungan linear. Melakukan transformasi
seperti ini disebut, fungsi dilinearisasi atau dilinearkan. Setelah suatu fungsi
dilinearkan, maka grafiknya menjadi garis lurus dan bisa diteliti dengan mudah.
Salah satu hal yang mudah dilihat dengan grafik linear adalah kecocokan hasil

3 7
2
T / det

T / det

2,5 6
2

5
2
4
1,5
3
1
2
0,5 1
l / cm l / cm
0 0
0 50 100 150 0 50 100 150

Gambar 4.4: Ternyata hubungan Gambar 4.5: Hasil ukur digambarkan
antara waktu dan panjang bandul sebagai grafik T2 terhadap l. Ternyata
matematis tidak linear. terdapat hubungan linear.


ukur dengan teori, apakah hasil ukur memang benar linear atau ada
penyimpangan dari teori yang menyatakan hubungan sebagai fungsi linear. Juga
mudah untuk menentukan konstanta kemiringan a dan bagian sumbu y, b. Dalam
praktikum rumus non linear selalu dilinearkan untuk membuat grafik.
Suatu grafik dilinearkan dengan meneliti persamaan teori yang
menyatakan hubungan antara dua variabel, lalu mendefinisikan variabel baru dari
persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga variabel baru memiliki hubungan
linear. Dalam contoh di atas di mana terdapat fungsi y = kx2 untuk hubungan
antara variabel x dan variabel y transformasi bisa dilakukan dengan
mendefinisikan dua variabel baru: v = y dan u = x2. Dengan dua variabel ini
terdapat hubungan linear v = ku.
Dalam contoh percobaan bandul matematis terdapat hubungan antara
4π 2
waktu ayunan T dan panjang bandul l dalam bentuk T 2 = ⋅ l . Pasangan nilai
g
yang diukur adalah waktu ayunan T dan panjang bandul l, sedangkan besaran
yang dicari adalah gravitasi g. Jika T terhadap l diukur dan pasangan-pasangan
ukuran dimasukkan ke dalam grafik terdapat grafik fungsi akar atau fungsi
kuadratis. Besar g sulit ditentukan dari fungsi seperti itu. Maka fungsi asli perlu
dilinearkan dengan menggantikan (mensubstitusikan) variabel atau bagian dari
fungsi asli. Dengan kata lain kita akan mendefinisikan variabel baru sehingga
terdapat fungsi linear. Dalam contoh tersebut T2 bisa diganti (disubstitusi)
dengan v. Dengan kata lain variabel v didefinisikan v = T2. Panjang l diganti
dengan u atau variabel u didefinisi u = l. Maka dari teori asli terdapat persamaan
v= 4 π2 ⋅ u . Persamaan baru ini merupakan fungsi linear. Kemiringan grafik dari
g

fungsi ini sebesar a = 4 π2 . Kemiringan ini bisa ditentukan dari grafik yang
g
digambar dengan data ukur untuk v = T2 dan l. Dalam gambar 4.4 contoh hasil
ukur waktu ayunan T digambar terhadap panjang bandul l. Ternyata titik-titik
yang terdapat dari pengukuran tidak bisa disambungkan dengan garis lurus,
berarti ternyata tidak terdapat hubungan linear antara waktu ayunan T dan
panjang bandul l. Dalam gambar 4.5 kuadrat dari waktu T, T2 atau v digambar
terhadap panjang bandul. Ternyata di sini terdapat hubungan linear dan titik-titik
dari pasangan nilai hasil ukur bisa disambungkan dengan garis lurus. Garis lurus
2 4 π2
dalam contoh ini memiliki kemiringan a = 0,0404 det . Karena a =
cm g
, maka
dari hasil eksperimen ini percepatan bumi bisa ditentukan dengan mudah sebesar
4π2 4π2
g= = 2
= 977, 2 cm2 .
a 0,0404 det det
cm



Untuk percobaan dengan persamaan dan teori yang lain, substitusi /
penggantian variabel untuk mendapatkan fungsi linear berbeda juga.

4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat
Kalau terdapat suatu eksperimen dengan dua variabel, x dan y. Antara
dua variabel tersebut terdapat hubungan linear dalam bentuk y = a ⋅ x + b . Jika
beberapa pasangan nilai dari dua besaran ini telah diukur, maka semua pasangan
nilai ( xi , yi ) yang didapatkan sebagai hasil ukur seharusnya memenuhi
persamaan linear tersebut. Ketika pasangan nilai tersebut digambarkan sebagai
titik dalam grafik, maka semua titik seharusnya berada di atas satu garis lurus.
Tetapi dalam pengukuran biasanya terjadi ralat, maka pasangan nilai tidak semua
akan memenuhi persamaan linear dengan konstanta a dan b yang sebenarnya dan
titik hasil ukur yang digambarkan dalam grafik tidak akan berada di atas satu
garis lurus. Sebagai contoh kita menyelidiki suatu hasil dari mengukur waktu
dan posisi suatu benda beberapa kali. Benda tersebut bergerak dengan kecepatan
konstan, berarti antara posisi s dan waktu t terdapat hubungan linear
s = s0 + v ⋅ t . Dalam tabel 4.2 telah dicatat hasil pengukuran 5 pasangan nilai si
dan ti. Posisi si diukur pada waktu ti, berarti s1 diukur pada waktu t1, s2 diukur
pada waktu t2 dsb. Pasangan nilai tersebut telah digambarkan ke dalam grafik
gambar 4.6.

10
t (det) s (m)
9
s/m

8
t1 = 1,0 s1 = 2,6
7
6
Δs=6m t2 = 1,9 s2 = 5,3
5
4 t3 = 2,1 s3 = 4,5
3
Δt=2,7det
2 t4 = 3,0 s4 = 6,5
1 t / det
s0=0,37m
0 t5 = 3,8 s5 = 9,2
0 1 2 3 4
Gambar 4.6: Grafik dari data Tabel 4.2. Tabel 4.2: Data dari
contoh pasal 4.2


Ternyata titik yang menggambarkan pasangan nilai tidak berada persis
di atas satu garis lurus, berarti pasangan nilai hasil ukur tidak memenuhi
persamaan linear. Walaupun persamaan linear tetap benar untuk proses fisik ini,
pergeseran titik dari garis lurus bisa diakibatkan oleh ralat ukur. Kalau satu nilai
tempat ataupun waktu diukur terlalu besar atau terlalu kecil, maka titik dari hasil
ukur akan bergeser dari garis lurus. Titik-titik ukur tidak berada di atas garis
lurus menunjukkan adanya ralat dalam pengukuran dan kemiringan a, dalam hal
ini kecepatan v, yang sebenarnya tidak diketahui. Juga bagian sumbu y, b atau v0,
yang sebenarnya tidak diketahui. Untuk mendapatkan satu perkiraan untuk besar
dari kemiringan garis lurus a yang sebenarnya atau besar kecepatan benda v yang
sebenarnya dan juga bagian sumbu y, yaitu konstanta b atau posisi awal s0 yang
sebenarnya, maka pasangan nilai hasil ukur digambarkan ke dalam satu grafik.
Sebagai pendekatan, kita memperkirakan, garis lurus mana yang paling dekat
dengan hasil ukur. Dalam hal ini “paling dekat dengan hasil ukur”, berarti satu
garis lurus dengan sifat, jarak rata-rata antara garis lurus itu dan titik-titik ukuran
paling kecil. Garis dengan sifat tersebut dikirakan, kemudian digambarkan ke
dalam grafik. Sebagai pendekatan posisi garis yang paling cocok dikirakan
dengan melihat grafik saja. Baru dalam pasal mengenai prinsip kuadrat terkecil
suatu cara untuk menghitung posisi garis yang paling cocok secara objektif akan
dijelaskan. Besar bagian sumbu y (dalam contoh s0) dan kemiringan dari garis
tersebut (dalam contoh v) dibaca dari grafik sebagai perkiraan untuk nilai yang
sebenarnya.
Dalam grafik gambar 4.6 “garis lurus yang paling cocok” telah
digambarkan. Dari grafik itu didapatkan besar kecepatan:
Δs 6m m
v= = = 2, 22 (4.2)
δt 2,7 det det
dan besar dari bagian sumbu y: s0 = 0,37 m. (4.3)

4.3 Perkiraan Ralat
Dengan cara menentukan “garis lurus yang paling cocok” dengan
pasangan nilai hasil ukur, maka dari garis lurus tersebut terdapat perkiraan untuk
kemiringan a yang sebenarnya dan untuk bagian sumbu y, b. Hasil dari perkiraan
untuk dua nilai tersebut pasti terpengaruh oleh ralat ukur. Maka kemiringan a dan
bagian sumbu y, b, memiliki ketidakpastian atau ralat. Ralat untuk kemiringan a
disebut sebagai Δa dan ralat untuk b disebut sebagai Δb. Dalam pasal ini satu
cara untuk memperkirakan besar dari ralat tersebut dibicarakan.



10
δs5
9
8 s/m
7
δs4
6
δs2 s2
5
s*
2 δs3
4
3
2
1 t / det Gambar 4.7: Ralat dari
t2 masing-masing nilai ukuran
0
0 1 2 3 4 tempat δsi.

Untuk mendapatkan ralat dari kemiringan dan dari bagian sumbu y, ralat
dari nilai-nilai hasil ukur perlu ditentukan lebih dulu. Ketika mengukur pasangan
nilai biasanya terdapat ralat dalam dua-duanya variabel x dan y. Jika ralat tidak
terlalu besar, menganggap hanya salah satu variabel mempunyai ralat merupakan
pendekatan yang cukup baik. Berarti dianggap satu variabel telah diukur dengan
tepat dan hasil ukurnya merupakan nilai yang sebenarnya. Seluruh ralat ukur
dimasukkan ke dalam ralat dari variabel kedua.
Untuk mendapatkan perkiraan mengenai besar ralat statistis dari
variabel kedua tersebut, deviasi (perbedaan) dari setiap hasil pengukuran dengan
perkiraan untuk nilai yang sebenarnya ditentukan. Perkiraan untuk nilai yang
sebenarnya terdapat di atas garis lurus yang telah ditentukan sebagai garis lurus
yang paling cocok dengan nilai-nilai hasil ukur. Dalam praktikum biasanya
dipilih untuk memasukkan seluruh ralat ke dalam variabel y yang digambar ke
arah atas. Kalau cara ini diterapkan dalam contoh di atas, ralat dimasukkan ke
dalam pengukuran tempat. Maka pada setiap pasangan nilai hasil pengukuran
terdapat deviasi δsi antara tempat si yang diukur dan perkiraan untuk tempat
yang sebenarnya pada waktu ti. Perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada
waktu ti akan kita sebutkan sebagai si*. Dengan contoh hasil ukur dari tabel 4.2
dan grafik dalam gambar 4.6 yang digambar lagi dalam gambar 4.7 terdapat
deviasi sbb.:
Untuk titik pasangan nilai kedua (i = 2) terdapat dari grafik gambar 4.7
dan dari data hasil ukur dalam tabel 4.2: waktu pada titik ukur kedua ini sebesar
t2 = 1,9 det, tempat yang diukur pada waktu t2 sebesar s2 = 5,3 m, dari “garis
lurus yang paling cocok” terdapat perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada
t2 sebesar s2* = 4,6 m, berarti terdapat deviasi (antara tempat yang diukur dan



perkiraan untuk tempat yang sebenarnya) pada waktu t2 sebesar
δs2 = s2 * − s2 = 4,6 m − 5, 3m ⇒ δs2 = 0, 7 m .
Dalam tabel 4.3 perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada setiap
waktu pengukuran serta deviasi tempat dicatat.
Ralat ukur Δs untuk pengukuran tempat ditentukan dari deviasi tempat
δsi pada semua hasil ukur. Dalam situasi umum dengan variabel x dan y cara
yang sama dipakai untuk menentukan deviasi δyi dari setiap nilai hasil ukur
variabel y. Ralat Δy untuk pengukuran variabel y ditentukan dari semua nilai
deviasi δyi. Dua cara berikut bisa dipakai untuk menentukan ralat Δy atau ralat
Δs dalam contoh.
1. Jika jumlah pasangan nilai ukuran minimal sepuluh, perkiraan untuk
deviasi standar bisa dihitung dengan menyesuaikan persamaan (2.3).
Perkiraan untuk nilai yang sebenarnya x dalam (2.3) diganti dengan
perkiraan untuk nilai yang sebenarnya dalam situasi ini, yaitu yi* atau si*
dalam contoh. Maka terdapat besar perkiraan sn untuk deviasi standar σn:

n
( si − si* )2 n δs 2
ssn = ∑ n −1
= ∑ n −1
i (4.4)
i =1 i =1

Untuk situasi umum s diganti dengan y dan t diganti dengan x. Berarti (4.4)
menjadi:
n
( yi − yi* )2 n δy 2
s yn = ∑ n −1
= ∑ n −i 1 (4.5)
i =1 i =1

2. Jika jumlah pasangan nilai yang diukur tidak lebih dari sepuluh, ralat
variabel y (atau tempat s dalam contoh) ditentukan dengan metode ralat
maksimal seperti dijelaskan dalam pasal 2.1.4, halaman 9. Dalam metode
ralat maksimal ini harga mutlak deviasi yang paling besar dianggap sebagai
ralat dari variabel y (tempat s dalam contoh). Jika memakai ralat maksimal,
ralat dari variabel y sering bisa dibaca langsung dari grafik dengan mencari
titik hasil ukur yang paling jauh dari “garis lurus yang paling cocok”, lalu
menentukan jarak antara “garis lurus yang paling cocok” dan titik hasil
ukur tersebut dalam skala ke arah y.
Dalam tabel 4.3 semua deviasi dan hasil untuk ralat Δs untuk tempat
dengan memakai statistika dan dengan memakai metode ralat maksimal
dicantumkan. Dalam contoh ini metode ralat maksimal lebih cocok karena
terdapat hanya 5 pasangan nilai (si, ti).



Setelah ralat Δy dari i ti (det) si (m) si* (m) δsi (m)
pengukuran nilai y ditentukan, maka
besar Δy bisa dipakai untuk 1 1 2,6 2,6 0
menentukan ralat Δa dari 2 1,9 5,3 4,6 0,7
kemiringan garis lurus dan ralat Δb 3 2,1 4,5 5,0 - 0,5
dari bagian sumbu y.
4 3 6,5 7,0 - 0,5
Selanjutnya kita memakai
ralat / ketidakpastian Δy dari pengu- 5 3,8 9,2 8,8 0,4
kuran nilai-nilai y untuk mencari Metode ralat maksimal: Δy = 0,7
ketidakpastian Δa dari kemiringan a
dengan cara yang sederhana. Cara Cara statistik: sn =
∑ δsi 2 = 0,536
yang lebih pasti secara matematis n −1
akan dibicarakan dalam pasal Tabel 4.3: Hasil ukur dari tabel 4.2
mengenai prinsip kuadrat terkecil. dengan nilai perkiraan untuk tempat
Dianggap bahwa x1 adalah nilai yang sebenarnya dari grafik gambar 4.7
hasil ukur skala x yang paling kecil dan deviasi dari hasil ukur tempat
dan xn adalah nilai hasil ukur skala x masing-masing.
yang paling besar. Garis yang paling
cocok memiliki kemiringan a dan
bagian sumbu b sehingga terdapat garis yang memenuhi persamaan y* = a x + b .
Garis ini dalam gambar 4.8 ditandai sebagai garis “kemiringan a”. Semua titik di
atas garis ini merupakan perkiraan untuk pasangan nilai yang sebenarnya.
Karena hasil ukur variabel y mempunyai ketidakpastian, maka terdapat
ketidakpastian dalam kemiringan garis lurus. Nilai y mempunyai ralat, berarti
pada satu posisi x ada kemungkinan nilai y sebenarnya lebih tinggi atau lebih
rendah daripada perkiraan untuk nilai yang sebenarnya. Seandainya nilai y
sebelah kanan lebih tinggi dan / atau sebelah kiri lebih rendah, maka kemiringan
akan menjadi lebih besar. Kemiringan paling besar terdapat dengan nilai y lebih
besar di sebelah kanan dan nilai y lebih kecil di sebelah kiri. Dalam gambar 4.8
digambar garis “kemiringan a+” dengan kemiringan yang lebih besar daripada
perkiraan garis yang paling cocok.
Garis “kemiringan a+” adalah garis dengan kemiringan paling besar
yang bisa didapatkan dengan ketidakpastian Δy untuk nilai y. Garis ini terdapat
sbb.:
- Nilai yn* ditambah ketidakpastian Δy. Di atas yn* telah ditentukan
sebagai perkiraan untuk nilai y yang sebenarnya pada nilai hasil ukur xn,
berarti pada nilai x yang paling besar. Berarti yn * = a xn + b . Dengan
tambahan Δy tersebut terdapat yn + = a xn + b + Δy .



- Nilai y1* dikurangi ketidakpastian Δy. Dengan y1* sebagai perkiraan
untuk nilai y yang sebenarnya pada nilai hasil ukur x1, berarti pada nilai
x yang paling kecil. Berarti y1* = a x1 + b . Dengan pengurangan Δy
tersebut terdapat y1+ = a x1 + b − Δ y .
- Garis “kemiringan a+” adalah garis yang melewati dua titik pasangan
nilai tersebut (pasangan (x1, y1+) dan pasangan (xn, yn+)). Untuk garis
tersebut terdapat kemiringan a+ sebesar:
yn + − y1+ ( a xn + b + Δy ) − ( a x1 + b − Δy )
a+ = =
xn − x1 xn − x1
(4.6)
a ( xn − x1 ) + 2Δy 2 Δy
= = a+
xn − x1 xn − x1
- Ralat Δa untuk kemiringan terdapat sebagai perbedaan antara
kemiringan a+ dan kemiringan a:
2 Δy 2 Δy
Δa = a + − a = a + −a = (4.7)
xn − x1 xn − x1
- Untuk bagian sumbu y, nilai b dari garis “kemiringan a” dan nilai b–
dari garis “kemiringan a+” terdapat:
* * * *
y1 + yn x1 + xn y1 + yn x1 + xn +
b= − ⋅a ; b− = − ⋅a (4.8)
2 2 2 2

y kemiringan a+
kemiringan a
yn*+Δy
Δy
yn* kemiringan a-
Δy
yn*-Δy

Δy
Gambar 4.8:
y1*+Δy
b+ Perkiraan ralat
y1* Δa dari
b Δy kemiringan a dan
y *-Δy ralat Δb dari
b- 1 xn–x1
bagian sumbu
x1 xn x y, b.


Jadi ralat Δb dari b terdapat dari perbedaan antara b dan b- sebesar:
⎛ y* + yn x1 + xn ⎞ ⎛ y1 − yn x1 + xn + ⎞
* * *
Δb = b − b − = ⎜ 1 − ⋅a ⎟ − ⎜ − ⋅a ⎟
⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.9)
x +x
(
⇔ Δb = 1 n a + − a
2
)
x1 + xn x +x 2 Δy
⇔ Δb = ⋅ Δa = 1 n ⋅ (4.10)
2 2 xn − x1
Garis “kemiringan a+” terdapat sebagai garis dengan kemiringan paling
besar yang bisa terjadi dengan ketidakpastian Δy. Dalam gambar 4.8 garis
“kemiringan a- ” juga digambarkan. Garis ini terdapat dengan anggapan nilai y
sebenarnya lebih kecil di sebelah kanan dan lebih besar sebelah kiri. Garis ini
merupakan garis dengan kemiringan paling kecil yang bisa didapatkan dengan
ketidakpastian Δy. Kalau ralat kemiringan a dan bagian sumbu y dihitung dengan
memakai garis “kemiringan a- “ terdapat hasil ralat yang sama dengan
perhitungan di atas dengan garis “kemiringan a+”. Untuk menghitung kemiringan
dari garis “kemiringan a- “, nilai yn* dikurangi Δy dan nilai y1* ditambahi Δy.
Selain itu cara untuk menentukan kemiringan, bagian sumbu y dan ralat sama
dengan yang dipakai di atas untuk garis “kemiringan a+”. Hasil yang didapatkan
sama juga sehingga bisa disimpulkan dengan Δa dan Δb dari (4.7) dan (4.10)
terdapat hasil untuk kemiringan a dan untuk bagian sumbu y sbb.: kemiringan a
sebesar a ± Δa, bagian sumbu y sebesar b ± Δb.



Soal Latihan

1 Dasar Ralat

1.1. Dalam kuliah, waktu yang dibutuhkan batu untuk jatuh setinggi 2m telah
diukur. Pakai data hasil ukur dari semua kelompok untuk tugas berikut:
a. Buat grafik jumlah hasil ukur waktu tertentu terhadap hasil ukur waktu.
Pakai interval waktu sebesar 0,1 det. Berarti tentukan jumlah
terdapatnya hasil ukur antara 0 det dan 0,09 det, jumlah hasil ukur
antara 0,1 det dan 0,19 det, jumlah hasil ukur antara 0,2 det dan
0,29 det, dst. dan buat grafik jumlah terhadap besar waktu.
b. Tentukan satu perkiraan untuk waktu yang sebenarnya.
c. Tentukan satu perkiraan untuk ralat dari pengukuran ini.
d. Tentukan satu perkiraan untuk ketelitian dari nilai rata-rata dari semua
hasil ukur.

2 Ralat Satu Besaran
2.1. Waktu ayunan suatu bandul diukur 15 kali. Dari masing-masing
pengukuran terdapat waktu dalam satuan detik sbb.:
1,53; 1,42; 1,62; 1,57; 1,59; 1,70; 1,40; 1,48; 1,46; 1,57; 1,53; 1,54; 1,56;
1,61; 1,48;
→ Tentukan hasil ukur dan ralatnya.

2.2. Suatu proses elektrolisa yang sama dilakukan 5 kali. Pada masing-masing
eksperimen terdapat perubahan massa sbb.:
Δm = 0,63g; 0,71g; 0,65g; 0,62g; 0,70g
→ Tentukan hasil ukur untuk perubahan massa dan ralatnya.
2.3. Waktu jatuh dari sebuah bola besi diukur 12 kali. Hasil ukur masing-masing
sbb.:
0,143 det; 0,148 det; 0,139 det; 0,145 det; 0,146 det; 0,146 det;
0,144 det; 0,145 det; 0,142 det; 0,143 det; 0,141 det; 0,147 det;
→ Tentukan hasil ukur dan ralatnya.
26

Soal Pengantar Praktikum 3. Teori Perambatan Ralat 27

3 Teori Perambatan Ralat
I ⋅t
3.1. Besaran N dihitung dengan persamaan N = a⋅ . Besaran I, t dan m
m
diukur dengan hasil ukur sbb.:
I = (1,52 ± 0,04) A; t = 2400 det ± 5 det; m = (0,8634 ± 0,0008) g
Besaran a dalam persamaan ini adalah suatu konstanta sebesar
g
a = 4⋅10-14 .
A⋅det
→ Tentukan N dan ralatnya.

3.2. Besaran mk dihitung dari m1 dan m2 dengan persamaan: mk = m1 − m2 .
Hasil ukur sbb.: m1 = 92,52 g ± 0, 04 g ; m2 = 24,07 g ± 0,1g .
→ Tentukan mk dan ralatnya.
3.3. Dalam suatu percobaan terdapat hubungan antara besaran waktu T, panjang
l
l dan percepatan gravitasi g sbb.: T = 2π . Dalam eksperimen waktu T
g
dan panjang l telah diukur dengan hasil sbb.: T = 2,47 det ± 0,05 det;
l = (151,4 ± 0,3) cm.
→ Tentukan hasil ukur untuk besar g dan ralatnya.
3.4. Dalam sebuah eksperimen terdapat hubungan antara besaran waktu t,
jarak s dan percepatan gravitasi g sbb.: s = 1 g t 2 . Dalam eksperimen waktu
2
t dan jarak s telah diukur dengan hasil sbb.: t = 0,397 det ± 0,002 det;
s = (76,3 ± 0,2) cm.
→ Tentukan hasil ukur untuk besar percepatan gravitasi g dan ralatnya.
3.5. Besaran f ditentukan dari dua besaran s1 dan s2 dengan persamaan
1 1 1
= + . Terdapat hasil ukur untuk s1 dan s2 sbb.:
f s1 s2
s1 = 5,3 cm ± 0,1 cm; s2 = 45 cm ± 0,2 cm.
→ Tentukan besar f dan ralatnya.


28 Soal Pengantar Praktikum 4. Grafik

4 Grafik
4.1. Dalam suatu eksperimen terdapat hubungan antara h / cm t / det
tinggi h, waktu jatuh t dan percepatan gravitasi g 85,2 0,4231
dari suatu benda sbb.: h = 1 g t 2 . Terdapat data hasil 77
2 0,4025
ukur seperti dalam tabel 4.1. 69,7 0,3830
a. Buat grafik h terhadap t2. 64 0,3663
b. Tentukan kemiringan a dan ralat kemirinigan 58,8
dari grafik. 0,3516
54,7 0,3389
c. Tentukan g dan ralatnya dari kemiringan dan
ralat kemiringan. 49 0,3216
4.2. Antara gaya f pada pegas dan panjangnya l terdapat 44,2 0,3051
hubungan linear l = k * ⋅F + l0 . Panjang pegas l 36,3 0,2754
telah diukur pada beberapa gaya yang berbeda
26,1 0,2330
dengan hasil seperti dalam tabel tabel 4.2.
a. Buat grafik l terhadap F. 15,3 0,1759
b. Tentukan konstanta k* dan panjang awal l0 dari 6,7 0,1084
grafik. Tabel 4.1.: Data
c. Tentukan ralat dari konstanta k dan ralat dari dari soal 4.1.
panjang awal l0.

F/N 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
l/cm 27 32 34 45 50 54 65 72 82 83
Tabel 4.2.: Data dari soal 4.2.

4.3. Terdapat persamaan untuk hubungan antara variabel yang diukur seperti
dalam tabel berikut. Tentukan transformasi untuk melinearkan persamaan-
persamaan ini sehingga terdapat fungsi linear dalam bentuk: y = a x + b
Variabel Persamaan y= x= a= b=
s= 1 a t2
s, t 2

4π
T, l T2 = ⋅l
g
u, v u 2 = d ⋅ ln v + 4πR 2



Petunjuk Praktikum

1 Bandul Matematis

1.1 Literatur
• Halliday Resnick; Fisika I; Bab 15-1 Osilasi; Bab 15-3 Gerak Harmonik
Sederhana; Bab 15-5 Penerapan Gerak Harmonik Sederhana; Bab 16-3
Konstanta Gravitasi Universal, γ;
• Sears, Zemansky; Fisika (Mekanika-Panas-Bumi);

1.2 Daftar Alat
• Tiang bandul 1 set
• Bandul matematis dengan benang dan gantungan 1 buah
• Stopwatch 1 buah

1.3 Teori

1.3.1 Prinsip Ayunan
Jika sebuah benda yang digantungkan pada seutas tali, diberikan sim-
pangan, lalu dilepaskan, maka benda itu akan berayun ke kanan dan ke kiri.
Berarti, ketika benda berada di sebelah kiri akan dipercepat ke kanan dan ketika
benda sudah di sebelah kanan akan diperlambat dan berhenti, lalu dipercepat ke
kiri dan seterusnya. Dari gerakan ini dilihat bahwa benda mengalami percepatan
( )
selama gerakannya. Menurut Hukum Newton F = m ⋅ a percepatan hanya
timbul ketika ada gaya. Arah percepatan dan arah gaya selalu sama. Berarti
dalam eksperimen ini ternyata ada gaya ke arah gerakan benda, yaitu gerakan
yang membentuk lingkaran.

29

30 Petunjuk Praktikum

Gaya yang bekerja dalam bandul ini
seperti digambarkan dalam gambar 1.1. Semua
gaya ini berasal dari gravitasi bumi dan gaya
pada tali. Arah gaya gravitasi Fgrav tegak lurus ϕ

ke bawah. Arah gaya tali Ftali ke arah tali.
Sedangkan gaya Ft yang mempercepat benda, Ftali
bekerja ke arah gerakan, berarti ke arah lingkaran
yang tegak lurus dengan arah tali atau ke arah Ft
tangen lingkaran. Sebab itu gaya ini juga disebut
gaya tangensial Ft . Besar Ft yang mempercepat F ϕ Fgrav
n

benda terdapat dengan membagi gaya gravitasi ϕ
Fgrav ke dalam dua bagian, yaitu Ft ke arah
gerakan dan gaya normal Fn . Gaya normal Fn
Gambar 1.1: Gaya-gaya
berlawanan arah dengan gaya tali Ftali sehingga yang bekerja pada bandul
dua gaya ini saling menghapus. matematis.
Karena Fgrav dibagi menjadi Fn dan
Ft , maka:

Fgrav = Fn + Ft (1.1)

Karena arah gerakan tegak lurus dengan arah tali, maka Fn ⊥ Ft . Dari
gambar dapat dilihat hubungan antara besar gaya tangensial, besar gaya gravitasi
dan sudut simpangan ϕ:
Ft = Fgrav ⋅ sin ϕ (1.2)

Arah dari Ft berlawanan dengan arah simpangan ϕ, maka dalam
persamaan terdapat tanda negatif:
Ft = − Fgrav ⋅ sin ϕ (1.3)
Tanda negatif dalam (1.3) menunjukkan gaya Ft bekerja untuk
mengembalikan bandul kepada posisi yang seimbang dengan simpangan ϕ = 0.
Karena benda tidak bisa bergerak ke arah tali, maka gaya ke arah tali harus
seimbang atau jumlahnya nol, berarti: Ftali + Fn = 0 . Berarti gaya tali selalu
sama besar dengan gaya normal: Ftali = Fn .


1. Bandul Matematis 31

Dengan memahami gaya tersebut yang bekerja pada bandul, maka
gerakan osilasi (gerakan ayunan) dapat dimengerti dengan mudah. Ketika bandul
sedang diam di sebelah kiri, maka gaya tangensial mempercepat bandul ke arah
kanan sehingga kecepatan ke arah kanan bertambah. Selama bandul bergerak ke
arah kanan, sudut simpangan menjadi semakin kecil dan gaya tangensial
( Ft = − Fgrav ⋅ sin ϕ ) ikut semakin kecil. Maka percepatan akan semakin kecil.
Tetapi perhatikanlah bahwa percepatan semakin kecil (tetapi belum nol) berarti
kecepatan masih bertambah terus. Ketika simpangan bandul nol, berarti posisi
bandul di tengah, gaya tangensial nol, maka percepatan nol dan bandul bergerak
terus dengan kecepatan konstan ke kanan. Ketika simpangan bandul ke arah
kanan bertambah besar, maka gaya tangensial juga bertambah, tetapi ke arah kiri.
Gaya tangensial ke kiri ini melawan arah gerakan bandul yang masih ke kanan.
Maka terdapat percepatan ke kiri sehingga kecepatan bandul – masih ke arah
kanan akan – berkurang terus sampai bandul berhenti (kecepatan menjadi nol).
Ketika bandul berhenti posisinya sudah memiliki sudut simpangan ke sebelah
kanan. Dalam posisi ini terdapat gaya tangensial ke arah kiri yang akan
mempercepat bandul ke kiri. Proses dalam gerakan ke kiri berjalan dengan cara
yang sama persis dengan proses bergerak ke kanan. Maka bandul akan terus
berayun ke kiri dan ke kanan.
Dari penjelasan di atas dilihat dua hal yang menjadi syarat untuk
mendapatkan osilasi atau ayunan:
1. Gaya yang selalu melawan arah simpangan dari suatu posisi seimbang.
Dalam hal ini gaya yang melawan simpangan adalah gaya tangensial.
2. Kelembaman yang membuat benda tidak berhenti ketika berada dalam
situasi seimbang (tanpa gaya). Dalam contoh ini massa yang berayun
tidak berhenti pada posisi bawah (posisi tengah, gaya nol), tetapi
bergerak terus karena kelembaman massanya.

1.3.2 Waktu Ayunan
Pada percobaan bandul matematis ini, kita memakai sebuah bandul
dengan massa m yang digantungkan pada seutas tali. Supaya perhitungan lebih
mudah, dianggap bahwa tali tidak molor 1 dan tidak mempunyai massa. Di atas
telah diselidiki mengenai gaya tangensial Ft yang membuat bandul berayun.
Besar gaya tangensial Ft sesuai (1.3). Besar percepatan a yang terdapat dari gaya
tangensial sesuai dengan Hukum Newton: Ft = m ⋅ a , maka:

1 Tidak molor, berarti tali tidak elastis sehingga panjangnya tidak berubah ketika gaya ke arah tali
berubah. Gaya kepada tali memang akan berubah selama ayunan karena kecepatan berubah dan
sebab itu juga gaya sentrifugal akan berubah. Juga gaya normal yang berasal dari gaya gravitasi
berubah karena sudut simpangan berubah.


Ft = − Fgrav ⋅ sin ϕ = m ⋅ a (1.4)
Percepatan a dari benda yang bergerak di atas garis lingkaran sebesar:
d2 s d2 ϕ
a= =l⋅ 2 (1.5)
d t2 dt
Persamaan (1.5) dimasukkan ke dalam (1.4), maka dengan besar gaya
gravitasi Fgrav = m ⋅ g terdapat:

d2 ϕ d2 ϕ
− Fgrav sin ϕ = m ⋅ l ⋅ ⇔ − mg sin ϕ = m ⋅ l ⋅
d t2 d t2
(1.6)
d2 ϕ
⇔ m ⋅ l ⋅ 2 + mg sin ϕ = 0
dt
Untuk simpangan kecil, berarti sudut ϕ kecil sin ϕ ≈ ϕ dan (1.6)
menjadi lebih sederhana:
d2 ϕ d2 ϕ g
m ⋅l ⋅ + m⋅ g ⋅ϕ = 0 ⇔ + ⋅ϕ = 0 (1.7)
d t2 d t2 l
Hasil (1.7) merupakan satu persamaan diferensial. Untuk menyelesaikan
persamaan diferensial ini, kita bisa memakai suatu pemasukan atau pemisalan
(statement) sebagai perkiraan untuk hasil. Pemasukan / pemisalan (statement) itu
dimasukkan ke dalam persamaan asli, lalu dihitung, apakah persamaan bisa
diselesaikan dengan pemasukan itu. Dengan pemasukan:
ϕ = ϕ0 cos ωt (1.8)
terdapat – seperti dihitung dengan lebih rinci dalam petunjuk mengenai
“Elastisitas” – bahwa masukan ini memang menyelesaikan persamaan diferensial
dan kecepatan sudut osilasi sebesar:
g
ω2 = (1.9)
l
2π
Karena ω = , maka waktu ayunan T dalam percobaan bandul
T
matematis sebesar:
4π2 l l
T 2 = 2 ⇔ T 2 = 4π 2 ⇔ T = 2π (1.10)
ω g g
Hubungan antara besar waktu ayunan T dan panjang bandul l ini bisa
dipakai untuk mencari besar dari konstanta gravitasi g dari hubungan antara T
dan l. Berarti untuk mencari besar g, kita mengukur hubungan antara T dan l, lalu
membuat grafik T2 terhadap l dan mencari kemiringan garis lurus yang paling
cocok dengan titik-titik ukuran.

1. Bandul Matematis 33

1.4 Tata Laksana
• Aturlah panjang tali pada 8 panjang tali yang berbeda, mulai dari panjang
tali terbesar yang bisa diukur sampai panjang tali sebesar l = 15 cm. Pada
setiap panjang tali waktu ayunan diukur 10 kali. Pada setiap pengukuran
sepuluh periode ayunan (10⋅T) diukur.
• Buatlah grafik T2 terhadap l. Cari garis lurus yang paling cocok dengan
titik-titik hasil ukur dan tentukanlah kemiringan a dari garis tersebut.
Tentukan konstanta gravitasi g dari kemiringan a dengan memakai
hubungan (1.10). 1

• Buatlah kesimpulan dari hasil yang anda peroleh dari percobaan ini.

1.5 Perhitungan Ralat
Tentukanlah ralat kemiringan a dan perpotongan sumbu y dengan
metode grafik. Ralat g dapat dihitung dari ralat kemiringan a dengan
menggunakan teori perambatan ralat.
Di mana dalam percobaan ini terdapat ralat sistematis ?

1.6 Laporan Praktikum
Dalam laporan praktikum harus ada:
• Tabel hasil ukur
• Grafik hasil ukur dengan perkiraan terbaik untuk garis lurus yang cocok
dengan data ukur
• Analisa data ukur / Perhitungan besar percepatan gravitasi di bumi dengan
perkiraan ralat
• Jawaban pertanyaan ulang

1.7 Pertanyaan Ulang
1. Jelaskanlah, mengapa sebuah bandul berayun ?
2.
1 Mengapa bandul tidak berhenti di posisi tengah di mana gaya tangensial
nol ?
3.
1 Mengapa massa dari bandul tidak mempengaruhi waktu ayunan ?
4.
1 Mengapa simpangan dalam melakukan percobaan harus kecil ?
5. Pakailah grafik T2 terhadap l yang telah dibuat untuk bandul matematis
untuk menentukan posisi pusat massa dari benda yang berayun. (Apakah
pusat massa memang benar seperti posisi yang dipakai dalam pengukuran
atau – dilihat dari grafik – di posisi yang lain ?)

Selamat Berayun-ayun


2 Elastisitas
2.1 Literatur
• Frederick J. Bueche, Seri buku Schaum, Teori dan soal Fisika, Bab 12,
Elastisitas, Hukum Hook.
• Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark W; Fisika untuk Universitas jilid 1;
Binacipta;, Mekanika. Panas. Bunyi; Bab 10-3 Elastisitas dan plastisitas.

2.2 Daftar Alat
• Tiang dengan gantungan pegas 1 buah
• Pegas 1 buah
• Gantungan beban untuk menggantungkan beban pada
pegas 1 buah
• Beban bulat 50 g 9 buah
• Meteran 1 buah
• Stopwatch 1 buah

2.3 Teori

2.3.1 Hukum Hook
Jika suatu benda terkena gaya F, maka
bentuk benda itu akan berubah. Besar
perubahan bentuk (misalnya panjang atau lebar)
sebesar Δx. Dalam banyak situasi Δx berbanding Δx
lurus dengan besar gaya F yang diberikan:
Fpegas = -kΔx
F = − k⋅ Δ x (2.1)
Dalam (2.1) k merupakan suatu
konstanta yang menunjukkan sifat benda itu.
Konstanta k ini disebut sebagai konstanta Hook. Fg = mg Fg
Persamaan (2.1) disebut sebagai hukum Hook.
Dalam percobaan ini kita memakai Gambar 2.1: Perpanjangan
pegas sebagai contoh benda. Ketika belum pegas kalau diberikan beban
diberi gaya, pegas sepanjang x0. Kita memberi m dengan gaya gravitasi
gaya kepada pegas dengan menggantungkan Fgrav = m ⋅ g .
34

2. Elastisitas 35

beban dengan massa m pada pegas. Beban tersebut mengalami gaya gravitasi Fg
sebesar Fg = m ⋅ g . Gaya gravitasi ini menarik pegas ke bawah sehingga panjang
pegas bertambah sejauh Δx. Maka panjang pegas menjadi sebesar x1. Berarti
dengan (2.1) terdapat hubungan antara panjang pegas x dan besar gaya Fg sbb.:
1
Fg = k ⋅ Δx = k ⋅ ( x − x0 ) ⇔ x = F + x0 (2.2)
k g

2.3.2 Ayunan pegas
Menurut hukum Newton II terdapat hubungan antara gaya F kepada
suatu benda dan percepatan a dari benda tersebut sebagai berikut:
F=m⋅a (2.3)
Jadi gaya berbanding lurus dengan massa m dan percepatan a. Gaya
yang bekerja pada benda dalam percobaan ini adalah gaya pegas yang besarnya
sesuai dengan Hukum Hook (2.1) dan gaya gravitasi kepada beban. Pada posisi
seimbang – ketika beban tergantung pada pegas dengan diam – gaya pegas dan
gaya gravitasi sama besar, berarti jumlah dari dua gaya ini nol. Karena gaya
gravitasi konstan, maka cukup menghitung perubahan gaya pegas ketika panjang
pegas berubah dari situasi seimbang. Dalam persamaan (2.1) dan persamaan
(2.3) gaya F sama sehingga terdapat persamaan gerak untuk benda ini:
− k⋅ Δ x = m ⋅ a (2.4)
d 2 Δx
Karena a = maka terdapat:
d t2
d 2 Δx
m + k⋅ Δx = 0 (2.5)
d t2
d 2 Δx k
⇔ + ⋅ Δx = 0 (2.6)
dt2 m
Persamaan ini adalah persamaan ayunan selaras. Persamaan semacam
ini biasanya diselesaikan dengan memakai pemasukan / permisalan (statement)
untuk Δx. Dalam hal ini pemasukan yang cocok sbb.:
Δx = Δx0 ⋅ sin ωt (2.7)
Dengan pemasukan ini terdapat:
d Δx
= Δx0 ⋅ ω cos ωt (2.8)
dt



d 2 Δx
2
= −Δx0ω 2 ⋅ sin ω t (2.9)
dt
d 2 Δx
Dengan Δx dari (2.7) dan dari (2.9) dalam (2.6) terdapat:
dt 2
k
−Δx0ω2 sin ωt + ⋅ Δx0 sin ωt = 0 (2.10)
m
k k
⇔ −ω2 + =0 ⇔ ω= (2.11)
m m
Jadi terdapat frekuensi ayunan ω yang tergantung massa beban dan
konstanta pegas. Frekuensi ayunan ω tidak tergantung amplitude ayunan Δx0.
Dari (2.11) diperoleh waktu untuk ayunan selama satu periode sebesar:
2π m
T= = 2π (2.12)
ω k

2.4 Tata laksana
1. Ukurlah perpanjangan pegas Δx terhadap besar massa beban yang
digantungkan. Untuk itu ukurlah jarak dari satu tempat permanen di atas
pegas sampai ke ujung bawah pegas atau sampai ke ujung kait yang dipakai
untuk menggantungkan beban. Jarak tersebut diukur tanpa beban dan
kemudian dengan beban mulai sebesar 50g sampai 450g, pada setiap 50g.
2. Buatlah grafik panjang pegas terhadap gaya gravitasi dari hasil 1.
3. Ukurlah panjang karet dengan beban mulai dari 0 sampai 450g pada setiap
50g. Kemudian ukur langsung secara terbalik, berarti beban mulai dari
450g tadi dikurangi 50g demi 50g dan pada setiap pengurangan beban,
panjang karet diukur.
4. Gambarlah panjang karet terhadap gaya gravitasi dari hasil ukur 3 ke dalam
grafik dari 2. Bandingkanlah dua grafik ini.
5. Pakai grafik dari 2 untuk menentukan konstanta pegas k. Gunakan (2.1)
atau (2.2).
6. Gantungkan beban sebesar 250g pada pegas, ayunkan pegas dan ukur
waktu ayunan. Pada satu pengukuran ukurlah sekaligus 10 periode ayunan.
Pengukuran ini dilakukan 5 kali. Tentukan konstanta pegas k dengan (2.12).
Perhatikan bahwa massa m dalam persamaan ini merupakan seluruh massa
yang berayun, berarti kait yang dipakai untuk menggantungkan beban harus
dihitung juga. Apakah pegas sendiri ikut berayun dan harus dihitung ?
(Perhatikan bagian pegas bawah, tengah dan atas ketika pegas berayun.)


Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (13)

Similar a Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Similar a Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum (20)

Fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum