Magnitude ~ extend the Euler Characteristics via Möbius Inversion ~

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2017/10/07 s.t.@simizut22
ロマンティック数学ナイト@MathPower Day1
M→E→M

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Contents
目的
Möbius 関数
Euler 標数
Magnitude
まとめ

目的

目的
Euler 標数 𝜒は次の意味で一種の測度、または “個数” と思える
1. (有限加法性)
𝜒 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝜒 𝐴 + 𝜒 𝐵 − 𝜒 𝐴 ∩ 𝐵
2. (積 preserving)
𝜒 𝐴 × 𝐵 = 𝜒 𝐴 ⋅ 𝜒 𝐵
Euler 標数は object の”次元”に非依存な重要な値を与える
→ Euler 標数を拡張することには意味があるだろう

目的
Euler 標数を位相空間以外に対して与える試み
1. Rota による Poset の Euler 標数
2. Baez & Dolan による Groupoid に対する Groupoid Cardinality
3. Category 𝔸 に対して分類空間を用いた Euler 標数 𝜒 𝐵𝔸

目的
これらと一致する圏の Euler 標数を
Möbius 関数を使用して定義する

注意
この発表では若干ながら圏論の言葉が使われています。
もしこれらに馴染みのない方は
alg-d.com へ

0. Möbius 関数の進展

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1. Number Theoretic Möbius Inversion

Möbius (1831) による古典的なMöbius 関数
𝜇 𝑛 ≔
−1 𝑟 𝑛 = 𝑝1 ⋯ 𝑝 𝑟
0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
について、
Möbius 反転公式が成り立つ。i.e.
𝜁 n = 1 ∶ ℕ → ℂ
を定数関数とすると、Dirichlet convolution に
関して 𝜇 は 𝜁 の right-inverse.
August Ferdinand Möbius(画像はwikiより

2. Möbius Inversion for Posets

Gian-Carlo Rota(1932-1999)
画像は A Biographical Memoir by Joseph P.S. Kungより抜粋

2. Möbius Inversion for Poset
ℙ, ≤ を有限な半順序集合(locally finite poset)とする
ℙ × ℙ 行列 Z を
𝑍 𝑎,𝑏 =
1, 𝑎 ≤ 𝑏
0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
で定める
Thm(Hall 1936)
𝑍 は正則でありその逆行列 𝜇ℙ = 𝑍−1
は
𝜇 𝑎,𝑏 =
𝑛∈ℕ
−1 𝑛
⋅ # 𝑎 = 𝑎0 < ⋯ < 𝑎 𝑛 = 𝑏
で表される。これを Poset ℙ のメビウス関数という

2. Möbius Inversion for Poset
Poset に対する上の定義は、最初の Möbius 関数の定義を次の意味で拡張し
ている。
ℤ>0 上に divisibility によって半順序を入れる。i.e.
𝑎 ≼ 𝑏 ⇔ 𝑎 は 𝑏 を割り切る a | b
このとき、
𝜇ℤ>0
𝑎 ∣ 𝑏 = 𝜇 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐
𝑏
𝑎
∵
𝑏:𝑎≤𝑏≤𝑐 𝜇ℙ 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝛿 𝑎,𝑐 を使用して帰納的に確認できる

3. Fine Möbius Inversion for categories

略

4. Coarse Möbius Inversion for categories

Rota による構成のアナロジーを “よい” 圏に対して行いたい
Def(Möbius 関数)
𝔸 ∶ を finite category とする。
ob𝔸 × ob𝔸-行列 Z を
𝑍 𝑎,𝑏 ≔ #Hom 𝔸 𝑎, 𝑏
とする。
Z が正則のとき、その逆行列
𝜇 𝔸 ≔ 𝑍−1
∈ GL ob𝔸; 𝑘
を 𝔸 の Möbius 関数という。

例1(Poset)
Poset ℙ に対しては
| Poset に対しての Möbius 関数
| Category に対しての Möbius 関数
の一致は明らか
例2 (Monoid)
Monoid M を object をただ一つ持つ category と思うと、
𝜁 = #𝑀
𝜇 =
1
#𝑀
特に Monoid(or Grp) は常に Möbius Inversion を持つことを表す
これは Monoid に対する Cartier & Foata (1969) と一致

Möbius 反転公式の類似が category の Möbius 関数についても成立
Thm
𝑋: 𝔸 → 𝑆𝑒𝑡 を表現可能関手の直和とする i.e.
𝑋 ≈
𝑎
∃
𝑟 𝑎 Hom 𝔸 𝑎, −
このとき、 𝑟 𝑎 は Möbius 関数 𝜇 を用いて以下のようにかける。
𝑟 𝑎 =
𝑏
#𝑋𝑏 ⋅ 𝜇 𝑏, 𝑎

例(モンモール数の計算)
完全順列の総数 𝑑 𝑛 :モンモール数(Montmort number)を計算してみる
𝔻 𝑁 を 1, … , 𝑁 を object とし、
Hom 𝔻 𝑁
𝑖, 𝑗 = 𝑖 ↪ [𝑗]
を射の集合とする圏とする
また 𝑆: 𝔻 𝑁 → 𝑆𝑒𝑡 を 𝑆 𝑛 ≔ 𝔖 𝑛 という関手とする。
関手 𝑆 は表現可能関手の直和に分解する：
𝑆 ≈
𝑛
𝑑 𝑛 Hom 𝔻 𝑁
𝑛, −
よって、 Möbius 反転公式から
𝑑 𝑛 =
𝑚
𝑆 𝑚 ⋅ 𝜇 𝔻 𝑁
𝑚, 𝑛 = 𝑛!
1
0!
−
1
1!
+ ⋯ +
−1 𝑛
𝑛!

5. Euler Characteristics via Möbius function

定義(Euler 標数 for category)
Möbius inversion を持つ圏 𝔸 に対し
𝜒 𝔸 ≔
𝑎,𝑏∈𝑜𝑏𝔸
𝜇 𝔸 𝑎, 𝑏
を Euler 標数という。
Prop
1. 𝜒 は直和、直積を保つ
2. 𝔸 ⋍ 𝔹 ⇒ 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹
3. 𝐹: 𝔸 ⇄ 𝔹: 𝐺 を随伴, i.e. 𝐹 ⊣ 𝐺とすると 𝜒 𝔸 = 𝜒 𝔹

グラフに対しての Euler 標数と category に対しての Euler 標数は”一致”
Prop.
𝐺 = 𝑉, 𝐸 ：有限 acyclic quiver 対し、
𝜒 𝐹 𝐺 = 𝑉 − 𝐸
ここで 𝐹 𝐺 は free category on G
Remark:
ここから、
逆に圏を有向グラフと思えるが、その Euler 標数は射の合成にはよらず、
その underlying graph にしか依存していない不変量であることがわかる

分類空間 𝐵𝔸 の Euler 標数が定義される、”適切な”圏に対しては、位相的な
Euler 標数と category に対してのそれは一致する
Prop.
適切な圏 𝔸 に対し分類空間の(位相的な) Euler 標数が定まるとする
𝜒 𝐵𝔸 = 𝜒 𝔸

例 (Groupid)
𝔾 を有限 groupoid とし各連結成分から 1 点 𝑎𝑖 をとる。
このとき
𝜒 𝔾 =
𝑖
1
#Aut 𝑎𝑖
これは Baez & Dolan (2001)の Groupooid Cardinality と一致

三角形分割された多様体に対しては、その face poset を経由することで
Euler 標数が定義される
一方、位相的(または (co)homology 的) な Euler 標数も定義できるが、整数
係数で両者は一致(Leinster & Moerdijk)
i.e. 次は可換

6. From Euler Characteristics to Magnitude

Euler 標数は Magnitude という概念に一般化されている
𝒱 : semi-cartesian monoidal category
𝕏 : 𝒱 上の豊穣圏(category enriched over 𝒱 )
𝐴: 𝒱 → 𝐴𝑏 : small functor
というデータに対し、 𝕏 の 𝐴 係数 Magnitude が定義される
例：
1. 𝑆𝑒𝑡 上の豊穣圏は通常の圏
↝ Magnitude for (locally fin.) category
1. Poset ℤ≥0 ∪ {∞} 上の豊穣圏は Graph
↝ Magnitude for Graph
1. 距離空間は ][0, ∞ 上の豊穣圏と思える(Lawvere ‘73
↝ Magnitude for (cpt) Metric Space

コンパクト距離空間 X に対し、その magnitude を 𝑋 で表すとする。
例：
1. 𝜙 = 0
2. ∗ = 1
3. ∗← 𝑙 →∗ =
2
1+𝑒−𝑙 →
1 𝑙 → +0
2 𝑙 → ∞
Magnitude は(Euler 標数に対して述べたように) 点の個数と思える

距離空間 X に対し距離を t 倍した距離空間を tX で書くとする。
例：
この X について tX の変化を見よう
Observation:
• t が small のとき tX はほぼ 1pt( 0 次元 )に見える
• t が普通のとき、 tX はだいたい円周(1 次元)に見える
• t が largeのとき、 tX はほぼ空集合(0 次元)のように見える

Def: (Magnitude Dimension)
dim 𝑋, 𝑡 ≔ growth 𝑡𝑋 , 𝑡
where
growth 𝑓, 𝑡 =
𝑑 log𝑓 𝑡
𝑑 log𝑡
Growth の例：
𝑓 = 𝐶𝑡 𝑛
のとき、 growth 𝑓, 𝑡 = 𝑛 □
Magnitude Dimension の例:
Euclid 空間 ℝ 𝑛 の半径 r 以下のなす球体の体積は ∃
𝑐𝑟 𝑛
よって、半径 1 の球体 𝐷 𝑛 について
dim 𝐷 𝑛, 𝑡 = 𝑛 ∀𝑡

先ほど挙げた例
に対し Magnitude Dimension は次のようなグラフで与えられる。

Thm(Barcelo & Carbery 2015)
𝑋 ⊂ ℝ 𝑛
: compact に対し
lim
𝑡→+0
𝑡𝑋 = 1
Remark:
ℓ1 𝑛𝑜𝑟𝑚 の場合は比較的簡単。 ℓ2 𝑛𝑜𝑟𝑚 ではもうちょい複雑
Thm: (Meckes 2015)
𝑋 ⊂ ℝ 𝑛
: compact に対し
lim
𝑡→∞
dim 𝑋, 𝑡 = dim 𝑀𝑖𝑛𝑘 𝑋
右辺はミンコフスキー次元
証明は再生核 Hilbert 空間(RKHS) での Fourier 解析による

応用
ある生態系における種の多様性を測るのに Magnitude を使用している
Ref:
* T. Leinster. 2009 “A maximum entropy theorem with applications to the
measurement of biodiversity. “
* T. Leinster and C. Cobbold. 2012 “Measuring diversity: the importance of
species similarity. “
* T. Leinster and M. W. Meckes. 2016 “Maximizing diversity in biology and
beyond.”

まとめ
• 数論的なメビウス関数の Poset への拡張(主に Rota により)
• 局所有限な圏に対する類似の構成
• メビウス関数を経由して Euler 標数が圏に対して定まる
• それは Poset, Monoid, groupid, graph, etc に対するその他の構成を含む
• 豊穣圏に対して定義を拡張 ↝ Magnitude
• 圏論的な構成で与えられた Magnitude が幾何学的な不変量を与えた
• Magnitude の categorification ： Magnitude Homology の構成

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