A' taksi gimnasioy

1. Συνεδρία 3:
Εισαγωγή στα Λογισμικά Παρουσίασης, στους Διαδραστικούς Πίνακες και τα
Διαδραστικά Σχολικά Βιβλία
Οδηγίες για τους Επιμορφούμενους Προτεινόμενες δραστηριότητες στο
μεσοδιάστημα: Συνεδρία 3 & 4
1 Δραστηριότητα 1 Οι επιμορφούμενοι καλούνται να δημιουργήσουν μια διδακτική παρέμβαση
για τη διδασκαλία συγκεκριμένης ενότητας του μαθήματος του καθενός, με την αξιοποίηση του
διαδραστικού πίνακα χρησιμοποιώντας το διαδίκτυο ή κάποια από τα εργαλεία του διαδραστικού
πίνακα. Οι επιμορφούμενοι καλούνται να δημιουργήσουν παρουσίαση για συγκεκριμένο θέμα
σχετικά με την αξιοποίηση του ψηφιακού περιεχομένου των εμπλουτισμένων βιβλίων. Οι
επιμορφούμενοι μπορούν, για παράδειγμα, να επιλέξουν το αρχείο ggb που εμπλουτίζει το
κεφάλαιο των ακροτάτων http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-
B133/708/4691,21216/ (το πρώτο μικροπείραμα μετά τον ορισμό του μεγίστου συνάρτησης,
άμεση πρόσβαση: http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5302) ή το αρχείο Χελωνόκοσμου
που αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης f(x)=αx2 στη διεύθυνση
http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGLA100/490/3186,12923/ (τελευταίο
δόμημα της παραγράφου, άμεση πρόσβαση: http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5181).
Το αρχείο έχει προσαρμοστεί στη Χελωνόσφαιρα. Αντίστοιχα μπορούν να επιλέξουν και οι
ειδικότητες της Πληροφορικής, της Οικονομίας και της Διοίκησης. Οι ειδικότητες μπορούν να
επιλέξουν το δόμημα που θεωρούν ότι είναι περισσότερο κοντά στο γνωστικό τους αντικείμενο
και να δημιουργήσουν ένα αρχείο pptx για τη διδακτική αξιοποίησή του.

2. ΟΛΙΚΟ
ΜΕΓΙΣΤΟ
ΟΛΙΚΟ
ΕΛΑΧΙΣΤΟ
ΟΛΙΚΑ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

3. Αρχικά θα δώσουμε τους ορισμούς του ολικού μεγίστου,
του ολικού ελαχίστου και των ολικών ακροτάτων.
Στη συνέχεια θα κάνουμε ένα μικροπείραμα με
δραστηριότητες για τη γραφική παράσταση και τη μελέτη
των ακρότατων της συνάρτησης 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
To μικροπείραμα έχει δημιουργηθεί με χρήση εργαλείων
δυναμικής γεωμετρίας και χειρισμού αλγεβρικών
ψηφιακών συστημάτων (Geogebra).

4. Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα
σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈Α
(ολικό) μέγιστο όταν
ƒ(x) ≤ ƒ(x0) , για κάθε x∈Α
ΟΛΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ
Το x0∈Α λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το ƒ(x0) ολικό μέγιστο ή
απλώς μέγιστο της συνάρτησης ƒ και το συμβολίζουμε με max ƒ(x).

5. Το x0 ∈Α λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το ƒ(x0) ολικό ελάχιστο ή
απλώς ελάχιστο της συνάρτησης ƒ και το συμβολίζουμε με min ƒ(x).
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο ορισμού ένα
σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈Α
(ολικό) ελάχιστο όταν:
ƒ(x) ≥ ƒ(x0), για κάθε x∈Α
ΟΛΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ

6. ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται
ολικά ακρότατα αυτής.
ΣΧΟΛΙΟ
Μια συνάρτηση ενδέχεται
• να έχει και μέγιστο και
ελάχιστο (Σχ. α) ή
• μόνο ελάχιστο (Σχ. β') ή
• μόνο μέγιστο (Σχ. γ') ή
• να μην έχει ούτε μέγιστο
ούτε ελάχιστο (Σχ. δ').

7. • Συνδεθείτε με το Internet μέσω του Google Chrome.
Ανοίξτε το διαδραστικό βιβλίο της διεύθυνσης
http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-B133/708/4691,21216/
και θα οδηγηθείτε στο κεφάλαιο 2, στην παράγραφο ‘’Μονοτονία Συνάρτησης’.’
• Πατήστε το πρώτο μικροπείραμα μετά τον ορισμό του μεγίστου
συνάρτησης για να επισκεφτείτε την τοποθεσία
http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5302)

8. Το αρχείο ggb
εμπλουτίζει το
κεφάλαιο των
ακροτάτων.
Στο περιβάλλον του
λογισμικού υπάρχει
μόνο η γραφική
παράσταση της
συνάρτησης f
(με κόκκινο χρώμα)
και οι συντεταγμένες
των άκρων της.
Κάνουμε κλικ στην
Δραστηριότητα 1.

9. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1
Στο περιβάλλον του λογισμικού
υπάρχουν:
• η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f : [-1,1] → R
με γενικό τύπο
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
(με κόκκινο χρώμα),
• οι συντεταγμένες των
μεταβλητών άκρων,
• οι 3 δρομείς α, b, c και
• ο τύπος της συνάρτησης.

10. • Μετακινείστε τα α, b, c.
• Τι παρατηρείτε;
(Όση ώρα μετακινείτε
τα α, b, c, οι συντεταγμένες
των μεταβλητών άκρων και
ο τύπος της συνάρτησης
αλλάζουν. )
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

11. • Μετακινείστε κατάλληλα
τους δρομείς ώστε να
προκύψει συνάρτηση που
να παρουσιάζει ελάχιστο
το -1 για x=1 και μέγιστο το
3 για x=1.
(Μετά από αρκετές δοκιμές
προκύπτει η ζητούμενη
συνάρτηση. )
• Κάνουμε κλικ στην
Δραστηριότητα 2.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

12. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2α
Στο περιβάλλον του λογισμικού
υπάρχουν:
• η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f (με κόκκινο χρώμα),
• οι τιμές της συνάρτησης
f(1)=-1, f(3)=19, f(-3)=-17 και
f(-1)=3,
• τα μεταβλητά σημεία Α και Β
(του άξονα x’x) που καθορίζουν
ένα διάστημα του πεδίου
ορισμού της συνάρτησης και
• οι συντεταγμένες του
μεταβλητού σημείου Σ.

13. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2α
• Μετακινείστε τα σημεία Α και Β
ώστε x=-1 ∈[Α,Β],
• σύρετε το σημείο Σ στο [Α,Β] και
• παρατηρείστε τις τιμές του f(x) σε
σχέση με το f(-1).
• Ισχύει ότι f(x) ≤ f(-1), ∀x∈[Α,Β] ;
• Eίναι το f(-1)=3 μέγιστη τιμή της
συνάρτησης;
(Παρατηρούμε ότι όση ώρα
μετακινούμε το Σ, η απάντηση είναι
αρνητική και στα δύο ερωτήματα.
Το f(-1)=3 είναι τοπικό μέγιστο της
συνάρτησης (σε μια περιοχή
μέγιστο) και όχι ολικό μέγιστο.)

14. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2β
• Μετακινείστε τα σημεία Α και Β
ώστε x=1 ∈[Α,Β],
• σύρετε το σημείο Σ στο [Α,Β] και
• παρατηρείστε τις τιμές του f(x) σε
σχέση με το f(1).
• Ισχύει ότι f(x) ≥ f(1), ∀x∈[Α,Β] ;
• Eίναι το f(1)=-1 ελάχιστη τιμή της
συνάρτησης;
(Παρατηρούμε ότι όση ώρα
μετακινούμε το Σ, η απάντηση είναι
αρνητική και στα δύο ερωτήματα.
Το f(1)=-1 είναι τοπικό ελάχιστο της
συνάρτησης (σε μια περιοχή
ελάχιστο) και όχι ολικό ελάχιστο.)

15. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα
για συνάρτηση με κλειστό πεδίο
ορισμού.
(Παρατηρούμε ότι
όση ώρα μετακινούμε το Σ,
η απάντηση είναι θετική
και στα δύο ερωτήματα. Δηλαδή
• είναι το f(1)=-1 ολικό ελάχιστο
της συνάρτησης και
• το f(-1)=3 ολικό μέγιστο
της συνάρτησης.)

16. Θ.Μ.Ε.Τ
Συμπεραίνουμε ότι μια (συνεχής) συνάρτηση f με κλειστό πεδίο
ορισμού [α,β] παρουσιάζει ολικό μέγιστο Μ και ολικό ελάχιστο m.
Ισχύει, δηλαδή, το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής της
Γ’ Λυκείου.

17. Στη συνέχεια, θα έρθει ένας μαθητής και
1. θα επαναλάβουμε το πείραμα χρησιμοποιώντας
το Διαδραστικό μας Πίνακα (με mode διαφάνεια),
2. θα εστιάσουμε στο σύστημα συντεταγμένων (ζουμ) και
3. θα καταγράψουμε σε βίντεο των δράσεων στον πίνακα.

18. Θα ακολουθήσει ένας άλλος μαθητής και θα συμπληρώσει τα κενά στην
επόμενη άσκηση ανακεφαλαίωσης – εμπέδωσης του μαθήματός μας
στο Διαδραστικό μας Πίνακα (με mode διαφάνεια).
Μια συνάρτηση ƒ, με ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι
στο x0 (ολικό) όταν ƒ(x) ≤ ƒ(x0) , για κάθε x∈Α.
Το x0 ∈Α λέγεται ελαχίστου, ενώ το ƒ(x0) ολικό ή
απλώς ελάχιστο της συνάρτησης ƒ και το συμβολίζουμε με .
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται
αυτής.
Στο πείραμα που κάναμε, συμπεράναμε ότι μια (συνεχής) συνάρτηση f
με πεδίο ορισμού παρουσιάζει
και .

19. ΤΕΛΟΣ