3. MÓDULO I
FUNÇÕES

4. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00,
o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ b
f(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800
f(3) = 416
Portanto após 3 anos a
Máquina valerá R$ 416,00

5. As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas
expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor
máximo da área em cm2 , que esse retângulo pode assumir.
Vértice
5/2
yV
0 5
2x
10 – 2x
A = base x altura
A = 2x . (10 – 2x)
A(x) = – 4x2 + 20x
a = - 4 b = 20 c = 0
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO
0 = – 4x2 + 20x
x2 - 5x = 0
x1 = 0 x2 = 5
Área
Área Máxima é o yv
A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)
A(5/2) = 25cm2

6. EXPONENCIAL E
LOGARITMOS

7. LOGARITIMOS DEFINIÇÃO
logB A = x  A = Bx
Aplicando a definição, determine
o valor do log21024
log21024 = x
1024 = 2x
210 = 2x
x = 10
CASOS PARTICULARES
logB 1 = 0 logA A = 1
PROPRIEDADES
logC (A.B) = logc A + logc B
logC (A/B) = logc A – logc B
logC Am = m.logc A
Sendo log 2 = 0,301 e log 7 =
0,845, qual será o valor de log 28?
log 28 = log (22.7)
log 28 = log 22 + log 7
log 28 = 2.log 2 + log 7
log 28 = 2.0,301 + 0,845
log 28 = 0,602 + 0,845
log 28 = 1,447
28 2
14 2
7 7
1

8. A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
loga (b . c) = loga b + loga clog 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
Incógnita auxiliar:
2X = y
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
y’ = 2 y’’ = - 3
2x = 2
x = 1

9. PROGRESSÕES

10. Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas
Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5.
4 96
5 95
an = a1 + (n - 1)·r
95 = 5 + (n - 1)·5
90 = (n - 1)·5
90/5 = n - 1
18 = n - 1
n = 19V
a1= 5 an= 95
r = 5

11. a20 = a1 + 19·r
a20 = 0 + 19·2
a20 = 38
A soma dos vinte primeiros números pares é 380
NÚMEROS PARES:
0, 2, 4, 6 ...
P.A.
a1= 0 e r = 2
S20 =
( a1 + a20) · 20
2
S20 = ( 0 + 38 ) · 10
S20 = 380
V

12. O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9











?n
768a
2
3
6
q
3a
n
1
an = a1.qn - 1
768 = 3.2n - 1
256 = 2n - 1
28 = 2n - 1
8 = n – 1
n = 9
V

13. A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1
(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)






 ....
27
1
9
1
3
1
3
1
1
3
1

S
S =
a1
1 – q
S = 0,5 V

14. ANÁLISE
COMBINATÓRIA

15. USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!
p)!(n
!np
n
A


p!p)!(n
!np
n
C


FORMULÁRIO

16. Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o número
de comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é:
B B B I I
10 . 3 = 30
___ ___ ___ ___ ___
5
C 3
3
C 2
!!.
!.
!!.
!
12
3
23
5

17. O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem
juntas é:
I E
___ ___ ___ ___ ___
2P
4P
Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação
de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada
pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de
siglas possíveis é :
P4 . P2
4! . 2!
48
12
!2
!42
4
P

18. MATRIZES
DETERMINANTES
E SISTEMAS

19. Julgue os itens:
Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F
Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a
matriz nula ou B é a matriz nula.
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos
ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0.
.
00
11












10
10 0 0
0 0






F

20. Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal












21
43
=Be
43
21
A
que X.A = B. Então, det X vale – 1
X.A = B
det(X.A) = det B
det X. det A = det B
det X. (- 2) = 2







43
21
A






21
43
=B
det A = – 2
det B = 2
det X = – 1
V
A matriz é singular









0213
1845
1524
0321
A
det A- 1 = 1
det A
Se det A = 0
Não existe inversa
(A é singular)
A.A-1 = I
Se det A  0 Existe inversa
(A é inversível)
det A = 0
V

21. POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS

22. Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0
x = - 3
raiz do divisor
P(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32
P(-3) = - 81 + 72 + 32
P(-3) = 23

23. As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz
dessa equação é:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0
raízes em P.A.








rxx
xx
rxx
3
2
1








a
d
3
.x
2
.x
1
x
a
b
3
x
2
x
1
x
Relações de Girard
x – r + x + x + r = 9
3x = 9
x = 3
1 -9 23 -153
1
+
- 6 5 0
x2 – 6x + 5 = 0
x’ = 1 x’’ = 5
Solução: S = {1, 3, 5}

24. TRIGONOMETRIA

25. Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o =
x x – 38
y
60o
30o
y
x
3
3 y
x
tg 60o =
y
x – 38
3 =
x – 38
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3
=
(x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x

26. SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2 x = 1
tg x =
sen x
cos x
xsen
=xcossec
1
xcos
=xsec
1
xsen
xcos
xtg
=xcotg
1


27. Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o
valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x =
4
5
sen x =
5
4
sen2x + cos2 x = 1
1cos
5
4 2
2






x
1cos
25
16 2
 x
25
16
1cos
2
x
25
9
cos
2
x
5
3
cos x
3
5
sec x
tg x =
sen x
cos x
5
3
5
4
xtg
3
4
xtg
9.(sec2 x + tg2 x)


















22
3
4
3
5
9





9
16
9
25
9




9
41
9 41

28. GEOMETRIA
ANALÍTICA

29. GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
d x x y yAB B A B A      
2 2
2
AM
2
AMAM
)y(y)x(xd 
  22
)84(63 AM
d
PONTO MÉDIO
x
x x
M
A B


2
y
y y
M
A B


2
Considere um triângulo de vértices A(6,8);
B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da mediana
AM do triângulo ABC é:
  22
)4(3 AM
d
5AM
d MEDIANA AM = 5
A(6,8)
B(2,3) C(4,5)M(3,4)

30. x
y
2
3
Determine a equação reduzida da reta r
que passa pelo centro da circunferência
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela à
reta s: y = 4x - 2
y – yo = m(x – xo)
y – 3 = ?(x – 2)
r // s  mr = ms
y – 3 = 4(x – 2)
y = 4x – 5

31. GEOMETRIA
PLANA

32. Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o



 xSuplemento
xÂngulo
180:
: x = 3(180 – x)
x = 540o – 3x
4x = 540o x = 135o
V
02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V
2
3)n(n
d


2
)312(12 
d d = 54

33. Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o
Si = 180°(n  2)
decágono regular
Si = 180°(10  2)
Si = 1440o
n
S
ai i

10
1440
o
ai  ai = 144o
V
Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice
formam entre si um ângulo de 40o
72o
F
5
360
o

34. Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto
dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área
desse triângulo é de 45cm2.
h
12 3
a2 = b2 + c2
a.h = b.c
b2 = a.n
c2 = a.m
h2 = m.n
h2 = m.n
h2 = 12.3
h2 = 36
h = 6
45
2
6.15

2
a.h
A
V

35. O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm
então a altura desse triângulo mede 6cm.
2

r = 1/3 . h
2 = 1/3 . h
h = 6
V
Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a
área do círculo é 16 m2
Aquadrado =
16 =
2

4 = 
2
d
R 
2
2
R
2
24
R
22R
Acírculo = R2
Acírculo =  2
22
Acírculo = 8 m2
F

36. GEOMETRIA
ESPACIAL

37. PARALELEPÍPEDO
ST = 2(ab + ac + bc)
V = a.b.c
D2 = a2 + b2 + c2
As dimensões de um paralelepípedo são
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo
que seu volume é 480m3, determine sua área
total.
DICAS:
Soma das dimensões:
a + b + c
Soma das arestas:
4a + 4b + 4c
Dimensões em P.A.
x – r, x, x + r
Dimensões em P.G.
x/q, x, xq
V = a. b. c
480 = 3k . 4k . 5k
480 = 60k3
8 = k3
k = 2
a = b = c =3k 4k 5k
ST = 2(ab + ac + bc)
a = 6
b = 8
c = 10
ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10)
ST = 2(48 + 60 + 80)
ST = 2(188)
ST = 376m2

38. CILINDRO
SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h
Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua
área lateral vale 36cm2
CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh
36 = 2rh
36 = 2rh
36 = 2r h
36 = h.h
6 = h
2r = h
V = r2h
V =  32.6
V = 54 cm3r = 3