Borador final final tesis JARS

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
SUBRUTINA DE ANÁLISIS DE PROGRESIÓN DE DAÑOS POR FATIGA A AMPLITUD
CONSTANTE EN ASPAS DE AEROGENERADOR
TESIS
PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL
PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DE MANUFACTURA
POR
JUAN ANDRÉS RIVERA SANTANA
MONTERREY, N. L. DICIEMBRE DE 2014

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS MONTERREY
DIVISIÓN DE INGENIERÍA
PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA
Los miembros de este Comité de Tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis
presentado por el Ing. Juan Andrés Rivera Santana sea aceptado como requisito parcial para
obtener el grado académico de:
Maestro en Ciencias en Sistemas de Manufactura
Especialidad en Materiales Avanzados
Comité de tesis
Dr. Oliver Matthias Probst Oleszewski
Asesor
Dr. Diego Ernesto Cárdenas Fuentes
Coasesor
Dr. Nicolás Jorge Hendrichs Troeglen
Sinodal
M. C. Abiud Flores Valentín
Sinodal
____________________________
Dr. Hugo Ramón Elizalde Siller
Sinodal
___________________________
Dr. Héctor Rafael Siller Carrillo
Director del programa de Maestría en Sistemas de Manufactura
Diciembre de 2014

Declaración de Copyright
Yo, por medio de este mensaje, declaro que todo lo escrito en esta disertación es
parte de mi trabajo de investigación original. Cada contribución proveniente de
colegas, profesores, investigadores, empresarios, especialistas, técnicos,
practicantes y alumnos de posgrado está referencia de manera adecuada.
__________________________
Juan Andrés Rivera Santana

Teorías de falla
Modelos de degradación

Modelo de ciclos de vida
Sistema de unidades utilizado

NOTA: Esta no es la versión definitiva de la tesis, falta agregar agradecimiento,
dedicatoria y resumen.

1

____________________________________________________
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN______________________________________
Resumen. En el presente capítulo se introducen de forma resumida los conceptos y las
bases que sostendrán al resto de este trabajo. Para ello, primero se hará un enfoque a
los avances inminentes en el área de la energía eólica, enfatizando el incremento en su
uso durante los últimos años. También se discuten las cargas mecánicas típicas que se
presentan en un aspa de aerogenerador, en donde se enfatiza la carga por fatiga.
Finalmente, con esta información, será posible establecer una serie de objetivos que
regirán la estructura general del trabajo.
______________________________________________________________________
1.1. Introducción a la energía eólica
La utilización de la energía eólica se ha disparado en los últimos años. De acuerdo con
Abassi [1] en su informe más reciente relacionado con el estado del arte, esto se debe
a la doble ventaja de ser relativamente noble al medio ambiente así como ser la más
redituable de las energías limpias, con tasas de generación de energía comparables a
las formas de energía denominadas como “convencionales” tales como los combustibles
fósiles o la energía nuclear.
Este incremento en su uso se refleja directamente en las estadísticas. En la Figura 1, se
puede notar una tendencia a la alza en el uso de la energía eólica a través del incremento
en la capacidad instalada por los cinco principales productores mundiales [2].

Figura 1. Incremento en capacidad instalada de los cinco principales países productores [Adaptado de 2].

Análisis de progresión de daños progresivos por fatiga en aspas de aerogenerador

2

Sin embargo, esta tendencia no solamente se hace notar en estos cinco países sino
también alrededor del mundo. En la Figura 2 se muestra el incremento exponencial de la
capacidad instalada a lo largo de los últimos años alrededor del mundo [1].

Figura 2. Capacidad mundial instalada de energía eólica [Adaptado de 1].
Como ya se comentó, el impacto ambiental por parte de los aerogeneradores es mínimo
si se le compara con fuentes de energía tales como los combustibles fósiles y la energía
nuclear; sin embargo, hay algunos aspectos que se deben tomar en cuenta. En la Figura
3 se puede ver que el tamaño de las aspas, y por ende de los equipos, ha venido
presentando un crecimiento estable durante los últimos años [3]. También existen
problemas en cuanto al ruido, ya que las intensidades registradas a partir de estos
aparatos rondan entre los 98 y 104 dB, si se toma una velocidad de viento de 8 m/s [1].
Las causas de este ruido son mecánicas (movimiento de partes electromecánicas) y
aerodinámicas (rotaciones y turbulencias), principalmente [4]. Por último, existe una
preocupación medioambiental respecto al impacto de los aerogeneradores sobre las
aves y murciélagos que pudieran pasar a proximidad [5-7].

Capítulo 1: Introducción

3

Figura 3. Crecimiento progresivo del tamaño de los aerogeneradores a lo largo de los años [Adaptado de 3].
Esto ha ocasionado que se forme una opinión encontrada entre los proponentes de la
energía eólica, quienes obviamente están a favor de su implementación sin embargo
desean que las torres eólicas se construyan lo más apartado posible de las zonas
habitacionales tales como ciudades y comunidades rurales [8]. Sin embargo, existen
diversas soluciones y contraargumentos a la problemática presentada en el párrafo
anterior.
Primeramente, el problema del ruido se puede minimizar de sobremanera sin tener que
alejarse mucho del aerogenerador. De acuerdo con [1], se puede lograr reducir el ruido
a un nivel de entre 33 y 40 dB si se vive a 500 m de la torre eólica. Evidentemente el
problema disminuye conforme uno se sitúa más lejos. Para el caso de las vidas animales
perdidas a causa de los aerogeneradores, [9] argumenta que este número de muertes
es mucho menor al ocasionado por los depredadores. Sin embargo este no es argumento
para minimizar las cifras propuestas en estudios como [5-7] y por ende este debate se
encuentra lejos de resolverse.
Finalmente, el problema de la estética en cuanto al tamaño es una subjetividad que
escapa al estudio de esta tesis; sin embargo el tamaño sigue importando. Al incrementar
el radio de las aspas, también se corre el riesgo de trabajar con momentos flectores más
grandes y por ende experimentar mayores errores estructurales [10]. Tal y como se
comenta en la sección 1.2, esta problemática puede resolverse e incluso prevenirse con
ayuda del diseño asistido por computadora (CAD) y la ingeniería asistida por
computadora (CAE).


4

1.2. Cargas mecánicas en un aspa de aerogenerador
El diseño de un aerogenerador incluye diversos factores tales como costo, aerodinámica,
sistema eléctrico, ruido, distribución de los parques y en definitiva, su integridad
estructural. Como este último aspecto presenta una problemática más pronunciada hacia
la fatiga debido a los relativamente largos períodos de operación (de alrededor de 20
años, con un equivalente de 108
a 109
ciclos [11]), este fenómeno será el centro de
estudio de este trabajo.
El problema de analizar y predecir el historial estructural de las aspas de aerogenerador
es uno relativamente complejo. A partir de la Figura 4 se puede concluir que un aspa de
aerogenerador presenta cargas por fatiga de amplitud y frecuencia variable, las cuales
son aplicadas a un material compuesto (anisotrópico) cuya sección transversal es un
perfil aerodinámico geométricamente irregular.

Figura 4. Naturaleza de las cargas aplicadas a diversos productos ingenieriles, incluyendo los aerogeneradores
[adaptado de 10].

Las cargas aplicadas sobre un aspa de aerogenerador son de origen y naturaleza
diversa. Existen cargas determinísticas debidas a la flexión ocasionadas por el peso del
aspa. Estas cargas suelen ser edgewise (ver Figura 5) y su naturaleza cíclica se justifica
por el cambio de posición del aspa mientras está girando. Por su parte, las cargas
aerodinámicas suelen ser variables y de naturaleza estocástica, debido a la siempre


5

variante velocidad del viento. Cabe destacar que éstas tienen dirección flapwise (ver
Figura 5).

Figura 5. Naturaleza de las cargas y materiales en una sección transversal de aspa de aerogenerador. Flapwise y edgewise, se
refieren a los ejes de rotación de los momentos flectores.

1.3. El problema de la fatiga y el programa de Análisis de Progresión de Fallas
La fatiga se encuentra en diversas aplicaciones de ingeniería tales como medios de
transporte (aviones, automóviles, bicicletas), partes de máquinas (flechas, engranes) y
generación de energía (pallets de generación de energía hidráulica, aspas de
aerogenerador). De hecho, de acuerdo con Sachs [12], la fatiga representa el 57 % de
las fallas registradas en ingeniería (Tabla 1).
Tabla 1. Comparativo de frecuencia de fallas en ingeniería [adaptado de 12].
Típico de falla física registrada Frecuencia
Corrosión 18 %
Fatiga 44 %
Desgaste 11 %
Fatiga corrosiva 13 %
Sobrecarga 15 %
Como se mencionó en la sección 1.2, debido a la naturaleza de las cargas y los largos
de operación para los cuales son diseñados los aerogeneradores, especialmente sus
aspas, es conveniente evaluar la fatiga y poder predecir parámetros tales como el
número de ciclos de vida y la degradación de las propiedades del material.


6

En vista de la problemática presentada, resulta necesario valerse de algunos modelos
que ayuden a predecir tales parámetros. Debido a su simpleza matemática, se escogió
el modelo de degradación de resistencia de Whitworth [13] sobre otros que se exponen
con mayor detalle en el capítulo 3.
Finalmente, es importante mencionar que el modelo de fatiga se acoplará al programa
de Análisis de Progresión de Fallas (PFA, por sus siglas en inglés) implementado por
Cárdenas en su tesis doctoral [14]. El PFA se vale de elementos finitos unidimensionales
del tipo TWB, los cuales de acuerdo con sus siglas en inglés suponen una viga de pared
delgada.
Las ventajas que supone utilizar el modelo TWB son la inclusión de la anisotropía del
material, la admisión de laminados arbitrarios, la representación de la deformación al
cortante y la capacidad de reproducir el comportamiento estructural de cortezas
tridimensionales y sólidos con una precisión razonable [14].
La teoría TWB expuesta por Librescu, et al. [15-18], la discretización en elementos finitos
realizada por Vo y Lee [19-21], así como su aplicación a un aspa de turbina eólica por
parte de Cárdenas [22], se explican con mayor detalle en el capítulo 2.
1.4. Justificación
Se considera importante implementar un modelo que diseñe la durabilidad de las aspas
de aerogenerador. Un enfoque muy práctico es el de contabilizar los daños debido a la
fatiga, ya que este fenómeno mecánico se trata de un proceso gradual. Sin embargo, la
existencia de un programa computacional que pueda tratar la complejidad de manejar
cargas fluctuantes y sus efectos mecánicos en aspas de aerogenerador, las cuales están
conformadas por materiales compuestos anisotrópicos, describiendo una geometría
irregular de sección transversal aerodinámica. Por esta razón, se desea programar la
predicción de estos daños, utilizando el mínimo de recursos computacionales posibles.
1.5. Objetivos
El principal objetivo de este trabajo es programar una subrutina capaz de predecir el daño
por fatiga en espacio y tiempo en aspas de aerogenerador utilizando el modelo de
degradación de resistencia y rigidez de Shokrieh [46, 47], acoplándolo a la rutina de
análisis de esfuerzos mediante el modelo de viga de pared delgada (TWB) con el
elemento finito como método numérico base. A partir de esta codificación se buscan
obtener resultados tales como:


7

 El historial de degradación de resistencia y rigidez del material en cada uno
de los segmentos del aspa.
 El número de ciclos necesarios para hacer fallar cada segmento del aspa.
 La causa del daño de cada uno de los segmentos del aspa ya sea a tensión,
compresión o cortante.
 Progresión del daño en el aspa a través del número de ciclos.
1.6. Organización del contenido
Los temas tratados en esta obra se resumen en el siguiente esquemático:
 Capítulo 2. El modelo de Viga de Pared Delgada (TWB por sus siglas en
inglés) para elemento finito. Se explican los fundamentos de los materiales
compuestos así como un breve estado del arte respecto a los modelos analíticos
y computacionales para predecir su comportamiento mecánico. Posteriormente se
hace un enfoque al modelo TWB propuesto por Librescu y se expone el elemento
1D de elemento finito diseñado por Cárdenas.
 Capítulo 3: Modelos de degradación por fatiga. Se definen los conceptos
básicos de fatiga aplicados a materiales isotrópicos y posteriormente se hace su
adaptación a los materiales compuestos introduciendo los conceptos de
degradación de materiales propuestos por el estado del arte existente,
especialmente el trabajo de Shokrieh.
 Capítulo 4: Subrutina de daños progresivos por fatiga. Se define una subrutina
para ir degradando y dañando progresivamente un aspa de aerogenerador de
material anisotrópico, utilizando los modelos de fatiga y los elementos finitos
tratados en los dos capítulos anteriores, basándose en la rutina TWB-PFA para
carga estática propuesta por Cárdenas.
 Capítulos 5 y 6: Simulación y análisis de casos base y de estudio. Se definen
los casos de carga que se simularán y se discuten gráfica y analíticamente los
resultados obtenidos tras la aplicación del programa desarrollado en el capítulo 4.
 Capítulo 7: Conclusiones y recomendaciones finales. En este capítulo se
sintetizan los resultados obtenidos en los capítulos anteriores y se discuten las
implicaciones reales de los mismos. Por último, se enlistan una serie de
recomendaciones finales que servirán como directrices para trabajos futuros.

8

____________________________________________________
CAPÍTULO 2
EL MODELO DE VIGA DE PARED DELGADA PARA
ELEMENTO FINITO____________________________________
Resumen. En este capítulo se tratará la teoría básica sobre la mecánica de los
materiales que usualmente componen las aspas de aerogenerador: los materiales
compuestos fibra de vidrio-polímero. Como este tipo de materiales no es monolítico, sus
propiedades varían de acuerdo a cada uno de sus componentes, así como en las
direcciones en que se acomodan las diferentes capas (anisotropía). Asimismo, estas
aspas poseen una sección de perfil aerodinámica, la cual es geométricamente irregular.
Dichas complicaciones requieren la aplicación de un método computacional por lo que el
modelo TWB aquí presentado resulta ideal por su relativa sencillez en implementación,
flexibilidad y precisión.
______________________________________________________________________
2.1. Terminología básica
Por definición, un material compuesto es todo aquél que se forma a partir de la unión de
dos materiales para conseguir la combinación de propiedades que no es posible obtener
de los materiales originales [23]. En la actualidad, estos materiales son los de elección
para la manufactura de las aspas de turbinas eólicas haciendo una especial preferencia
hacia los polímeros reforzados por fibras [10]. Los materiales compuestos reforzados por
fibras consisten en fibras de alta resistencia y alto módulo embebidas en una matriz
polimérica. Estos elementos se encuentran separados por una interfaz, impidiendo
alguna reacción química entre ambos.
Como consecuencia, ambos elementos combinan sus propiedades mecánicas, sin
perder su integridad química. Así pues, las fibras se encargan de resistir la carga
mecánica aplicada sobre el material, mientras que la matriz mantiene a las fibras en su
lugar. Además, la matriz protege a las fibras de condiciones ambientales extremas tales
como la humedad y las temperaturas elevadas [24]. Las fibras más utilizadas en la
industria son la de vidrio y de carbono, mientras que los materiales más recurridos para
la matriz son el epóxico y el poliéster, siendo más popular el primero debido a que es
menos tóxico y por ende más fácil de manejar [10].
Para darse una idea de la complejidad de los materiales usados en un aspa de
aerogenerador se puede revisar el diagrama de distribución de materiales para la
manufactura de un aspa de turbina eólica por parte de la empresa suiza Gurit [25,26].

Capítulo 2: El modelo de viga de pared delgada para elemento finito

9

Estructuralmente, uno se puede imaginar un aspa de aerogenerador como una delgada
cobija recubriendo una superficie aerodinámica. Por lo tanto, un programa computacional
adecuado para esta problemática no solamente debe estar capacitado para analizar
datos de orientaciones y capas, sino también de laminados. En este trabajo se definirá
un laminado como una combinación única de capas apiladas de distinto material y
orientación que se extienden a lo largo del perímetro de la sección transversal. Más
adelante se definirá la dirección perimetral junto con los sistemas coordenados utilizados
para delimitar la geometría y la discretización del aspa.
Evidentemente, el espesor de estas celdas es mucho menor a las dimensiones de cuerda
y radio por lo que un enfoque de pared delgada es conveniente. Inspirándose en el
método clásico propuesto por la mecánica de materiales [27], Librescu [15-18] desarrolla
la teoría TWB, la cual se explica con mayor detalle en la sección 2.3.
Finalmente, para que el programa computacional se pueda implementar con facilidad,
conviene adoptar algún método numérico para resolver ecuaciones diferenciales
parciales. El método del elemento finito continúa siendo el más popular debido a su
flexibilidad y relativa facilidad de implementación [28], [29]. Por ello, Vo y Lee [19-21] se
dieron a la tarea de aterrizar varios casos de la mecánica clásica, utilizando este tipo de
elementos. En la sección 2.5 se habla con mayor detalle de estos avances.
En resumen es necesario desarrollar un programa que considere los siguientes aspectos:
 Dividir el aspa en diferentes elementos finitos unidimensionales,
adaptables a la teoría TWB de Librescu.
 Los distintos laminados que pueden presentarse a lo largo de la dirección
transversal (tangencial) del elemento.
 Las diferentes capas distribuidas a lo largo del espesor de la sección
transversal, así como sus propiedades mecánicas básicas y la orientación
de sus fibras.
2.2. Estado del arte en la mecánica de materiales compuestos
Por diseño, los aerogeneradores se han vuelto cada vez mayores en tamaño. En
consecuencia, resulta imprescindible desarrollar un programa computacional que atienda
las complejidades mencionadas en la sección anterior. Por fortuna, ya existe una base
científica y bibliográfica que si bien no siempre puede modelar todas las complejidades,
si puede atacar al menos cada una de ellas por separado [22].
Para entender mejor la complejidad del modelo estructural de aspa, habrá que
imaginárselo como un sistema dinámico con elementos bi o tridimensionales, lo cual
naturalmente involucrará miles de grados de libertad. Un grado de libertad (DOF) hace
referencia a los movimientos posibles que presenta un cuerpo. Un elemento


10

bidimensional tiene tres grados de libertad (dos de traslación y uno de rotación), mientras
que uno tridimensional posee hasta seis grados de libertad (tres de rotación y tres de
traslación) [30-32].
A esos grados de libertad habrá que agregarles el hecho de que el material es
anisotrópico, es decir sus propiedades mecánicas difieren dependiendo de la dirección
del mismo. Finalmente, la irregularidad de la sección transversal así como las relaciones
constitutivas no lineales hacen de la labor de cómputo un verdadero reto, incluso para la
computación moderna [33].
Por ello se propone reducir el problema a elementos unidimensionales, los cuales
conllevan menos grados de libertad y reducen la complejidad de las operaciones
matemáticas y por ende, el tiempo de cómputo. Los trabajos de Carrera [34] y, Carrera
y Petrolo [35] introducen una formulación unidimensional, que sin embargo no deja de
ser lineal.
Otro modelo que representa una simplificación al problema tridimensional es el
Variational Asymptotic Beam Section (VABS) [36], el cual va tomando elementos finitos
bidimensionales del modelo y los aplica en un análisis de viga unidimensional no lineal.
Obviamente la precisión obtenida respecto al modelo tridimensional es excelente, sin
embargo no resulta tan redituable como el modelo TWB.
El modelo TWB (Thin-walled beam) [15-18] fue desarrollado por Librescu y su equipo.
Existen varias ventajas de utilizar esta teoría. Primero, el TWB hace formulaciones
analíticas para las matrices de rigidez, las cuales pueden ser evaluadas directamente.
Por lo tanto, el cálculo de las propiedades de sección transversal se realiza en una sola
operación (offline), sin perjudicar mayormente la precisión de los resultados. Esta teoría
se puede utilizar en conjunto con las discretizaciones en FEM-1D propuestas por Vo y
Lee [19-21], para desarrollar un programa que sirva como base para la implementación
posterior de una subrutina de propagación daños efectuados por fatiga.
Finalmente, Cárdenas, et al. [22] compara los resultados provistos por el modelo FEM-
TWB en cargas estáticas y dinámicas, con software comercial tal como ANSYS [37]. Los
resultados arrojados concluyen que el modelo FEM-TWB para aspas de aerogenerador
resulta conveniente para su utilización en la fase de diseño debido a que se obtienen
resultados relativamente precisos utilizando pocos recursos computacionales.
2.3. El modelo de viga de pared delgada (TWB)


11

Mucho se ha comentado del modelo TWB hasta ahora, sin embargo es necesario
profundizar más en su funcionamiento. Para empezar, será necesario comprender la
Figura 6, en la cual se muestra una relación entre las variables fundamentales de la teoría
TWB.

Figura 6. Una viga genérica en cantiléver representando un álabe de turbina [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].
En dicha figura se muestra una porción de álabe de turbina modelada como viga en
cantiléver, de tal manera que está empotrada al rotor. Justo en el centroide de esta
sección de empotramiento, se coloca el origen del espacio cartesiano natural.
Definiremos este plano con las coordenadas (x, y, z), las cuales corren a lo largo de la
cuerda, la altura y la longitud del aspa. Asociadas a este espacio cartesiano están las
desplazamientos extensionales (U, V, W), rotacionales (x, y, ) y por alabeo ( ).
También se puede distinguir un alma que divide la sección transversal en dos celdas.

Figura 7. Comparación entre el sistema de coordenadas natural (x,y,z)
y el normal‐tangencial a la superficie del aspa (n‐s‐z) [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].
Sin embargo, para discretizar la superficie curva del aspa resulta mucho más sencillo
trabajar con el sistema normal-tangencial mostrado en la Figura 7. Para poder entender


12

mejor este sistema de coordenadas, situémonos en el polo p. El polo p es el origen del
sistema coordenado natural, por lo que es necesario girar un ángulo  y trasladarse con
una distancia transversal q y una distancia radial r, perpendiculares entre sí, para
localizar el punto de tangencia. Es a partir de este último punto, del cual se proyectan la
componente normal (n) que lleva la dirección radial r así como la de las capas y la
componente tangencial o perimetral (s) que tiene el mismo sentido que los laminados.
Para establecer una relación entre las variables mencionadas, es importante tomar en
cuenta cuatro suposiciones básicas:
i. Deformaciones pequeñas, por lo que el problema es mecánico lineal.
ii. Las secciones transversales permanecen rígidas, es decir no se deforman
en su propio plano.
iii. Las deformaciones cortantes transversales permanecen uniformes a lo
largo de la sección transversal de la vida.
iv. Se cumplen las hipótesis de Kirchhoff-Love, por lo que la teoría de placas
aplica a la superficie media y el esfuerzo plano es bidimensional. Las
hipótesis de Kirchhoff-Love estipulan que una placa delgada no presenta
esfuerzo significativo en la dirección perpendicular a la superficie de la
misma. Además, las fibras perpendiculares a la superficie neutra
permanecen perpendiculares a ésta, rectas y con la misma longitud [49].
A partir de estas suposiciones, se establecen las relaciones básicas de cinemática para
la teoría TWB, sin olvidar que aplican a la superficie media.
sin cos . 1
̅ cos sin . 2
. 3
Donde , ̅ y corresponden a los desplazamientos tangencial, normal y axial de un
punto ubicado en la superficie media del cascarón, en este caso la superficie curva del
álabe. Además es la función de alabeo, la cual se explica con mayor detalle en la
sección 2.4.
Tomando en cuenta las deformaciones en una viga, se pueden notar las siguientes
deformaciones (Figura 8).
. 4
. 5


13

. 6
Donde la prima (´) indica una derivada respecto a z. Ahora, si se considera que no hay
deformación al cortante (suposición de Euler), las Ecs. (1)-(3) quedan:
sin cos . 1
̅ cos sin . 2
. 7

Figura 8. Relación de desplazamientos y deformaciones en una viga [reproducido con permiso de D. Cárdenas 14].
De acuerdo con la teoría básica de placas [39,43] y las suposiciones de Kirchhoff, las
componentes de desplazamiento u, v, w obtenidos a partir de la superficie media del
cascarón son:
, , , . 8
, , ̅ ,
,
. 9
, , ,
,
. 10
Aplicando las definiciones de elasticidad básica provistas por [40]:
̅
. 11


14

. 12
2
̅
2 . 13
Las ecuaciones se pueden rescribir como:
̅ ̅ . 14
̅ ̅ . 15
̅ ̅ . 16
Donde
̅
̅
, ̅ . 17 , 17
̅ , ̅ , ̅ 2 . 18 , 18 , 18
̅
̅
′ . 19
La segunda parte de la ecuación (19) se explica en la sección 2.4. Además, aplicando la
suposición (ii) se pueden ignorar los valores de ̅ y ̅ . Sustituyendo la ecuación (7) en
(17b) y la ecuación (1) en (18b) y en (18c):
̅ . 20
̅ sin cos . 21
Por Kirchoff-Love
̅ . 22
Donde cada deformación unitaria y curvatura queda igualada por
. 23
′′ . 23
′′ . 23


15

′′ . 23
2 ′ . 23
Rescribiendo en la ecuación (15), queda la expresión para deformación normal en z y
distorsión cortante en el plano sz.
sin cos . 24
2
. 25
También puede expresarse la ecuación (25b), si las ecuaciones (4), (5) y (6) se sustituyen
en (3), (1) y (3) se introducen en la ecuación (10), las ecuaciones (1) y (2) se introducen
en la ecuación (9), y finalmente lo obtenido en las ecuaciones (9) y (10) se sustituye en
la ecuación (13).
cos sin
2

2
. 25
Esta formulación toma en cuenta la deformación por cortantes transversales, y es mejor
conocida por el nombre de Timoshenko. Aquí, Ft (s) es la función primaria incompleta de
alabeo, la cual se explica más detalladamente en la sección 2.4.
2.4. Teoría de alabeo (warping)
2.4.1. Conceptos fundamentales
Mucho se ha venido mencionando acerca del alabeo (warping, en inglés) a lo largo de
este capítulo, pero se ha guardado la explicación hasta esta sección por cuestiones de
continuidad en la explicación.
En la tesis de Aguirre [38], se define al alabeo como el desplazamiento fuera del plano
de la sección transversal a la cual se le está aplicando torsión. Cabe mencionar que no
todas las geometrías sufren este fenómeno, tal como la sección transversal circular [18],
hecho que queda demostrado numéricamente en [38]. Cuando el desplazamiento por
alabeo se restringe, aparecen dos componentes de par de alabeo, una axial (Mω) y otra
cortante (T). Estas se describen a continuación [38]:
 Esfuerzos de alabeo por cortante (Figura 9), actuando tangencial a la sección
transversal, siendo constante a lo largo del espesor y variando a lo largo del
contorno.
 Esfuerzos de alabeo normales (Figura 10), los cuales aparecen como resultado de
restringir los desplazamientos axiales de tensión/compresiٕón debido a la torsión
del elemento. Varían a lo largo del contorno de la sección transversal.


16

Figura 9. Esfuerzos de alabeo por cortante en algunas secciones abiertas [Cortesía de Aguirre, 38].

Figura 10. Esfuerzos de alabeo normal en algunas secciones abiertas [Cortesía de Aguirre, 38].
Estos esfuerzos deben agregarse a ya existentes en la sección transversal, aplicando el
principio de superposición. Los esfuerzos por alabeo pueden ignorarse para secciones
cerradas, sin embargo pueden ser significantes en secciones abiertas [38].
Los desplazamientos por alabeo pueden clasificarse en primarios y secundarios (ver
Figura 11). Los primarios se asocian al promedio del movimiento de la superficie media
(vía Kirchoff-Love), mientras que los secundarios representan la contribución de los
puntos exteriores a la superficie media [18, 84-87].


17

Figura 11. Comportamiento del desplazamiento por alabeo [Cortesía de Aguirre, 38].
Para comenzar con la deducción del modelo de alabeo, es necesario remontarse a su
causa que es el esfuerzo torsional. Supongamos que una sección en el plano transversal
está sometida a un par torsional constante To y a su vez genera un flujo de cortante qs,
el cual proyecta un área triangular respecto a un polo O a una distancia perpendicular r
(ver Figura 12, cf. Figura 7).
El área contenida por la capa media se barre a lo largo de la trayectoria cerrada descrita
por el perímetro de la sección transversal, por lo tanto a través de la fórmula de superficie
de un triángulo, se plantea [40]:

Figura 12. Deducción del esfuerzo cortante torsional en seccional transversales de pared delgada [Adaptado de 40].
1
2
. 26


18

De la misma Figura se puede observar que el flujo de cortante qs genera un diferencial
de fuerza dF = qs ds, el cual multiplicado por la distancia perpendicular r, genera a su vez
un diferencial de par torsional dTo = r qs ds, por lo que integrando se obtiene
. 27
De acuerdo con Megson [40], si la viga está sometida no presenta restricciones de
alabeo, el flujo qs es constante, además aplicando (26) en (27a), se llega a
2 . 27
Finalmente, aplicando la definición para flujo cortante constante qs = t [42], donde t es
el espesor de la pared
2
. 27
Ahora habrá que encontrar la rotación causada por el por el torque To. Hibbler [42] ofrece
un enfoque energético basado en la ley de conservación. Para ello, se plantea la energía
interna de deformación, la cual se calcula por medio de la siguiente integral
2
. 28
Introduciendo la ecuación (47c) en (48) y definiendo al diferencial de volumen como
, se llega a
8
. 29
A su vez, el par torsional genera energía mecánica al exterior [42]
1
2
. 30
Finalmente, aplicando el principio de conservación de energía (Ui + Ue = 0) y despejando
para 
4
. 31
2.4.2. Alabeo primario


19

La formulación de Librescu para vigas compuestas de pared delgada [18], supone que
el desplazamiento por alabeo a torsión pura se formula de la siguiente manera
, , , ´ . 32
Donde F(n,s) es la función total de alabeo para secciones abiertas y cerradas, y ´ es
la razón de giro del elemento de viga con respecto a la coordenada axial (en este caso,
z) de la viga. Esta función de alabeo F puede dividirse en primaria ( ) y secundaria
( ))
, . 33
Por su parte, si se suponen rotaciones pequeñas
´ ~
4
. 34
El desplazamiento primario por alabeo queda definido en Megson [40] por medio de
2
´ . 35
Donde:
 A es el área sectorial total y se define por la ecuación (26).
 AOs es el área sectorial parcial definida desde un origen arbitario O hasta un punto
de interés s localizado sobre el perímetro, su ecuación es
1
2
. 35
 ∮ 35 .
 35 .
Despejando para en la ecuación (35a) y aplicando además (34) y (35c)
2 2 . 36
Aplicando las definiciones (26) y (35b-d)

∮
. 36
Arupando todo dentro de una sola integral, se obtiene la función primaria de alabeo.


20

∮
∮
∮
. 36
También vale la pena introducir el concepto de flujo de corte de St. Venant λ, el cual
Cárdenas define en su artículo [14] por medio de la ecuación (37)
∮
. 37
Esta formulación resulta muy útil para el análisis de viga en el caso de Euler, ya que si
se aplica la definición de elasticidad (primera parte de 19) y tras unas cuantas
sustituciones con (2) y (7)
̅ . 38
Introduciendo (36) en (38) y luego aplicando (37) se verifica inmediatamente la segunda
parte de (19).
2.4.3. Alabeo secundario
Para deducir la función de alabeo secundario primero recurriremos a la ecuación de
Prandtl, la cual es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, en dos variables.
Φ Φ
2 ´ . 39
Donde Φ , es una función que debe proponerse para resolver la ecuación diferencial,
lo cual se oye matemáticamente desafiante. Por fortuna de acuerdo con Megson [40], en
franjas rectangulares 0 ya que por analogía de la membrana solamente se registra
variación a lo largo del eje x de la franja es decir, su espesor. Por lo tanto la ecuación
(39a) se convierte en ordinaria
Φ
2 . 39
Y se puede resolver fácilmente por doble integración. Si se toman como condiciones de
frontera Φ 0 en , la solución completa se expresa como
Φ
2
. 40


21

Ahora, pueden aprovecharse las relaciones de esfuerzos que propone el mismo Prandtl
para así poder aterrizar la ecuación (40) en una relación más práctica.
Φ
. 41
Φ
. 42
Resultando en
2 . 41
0 . 42
Ahora se harán suposiciones de sección transversal rígida, validando el supuesto de los
pequeños desplazamientos, reflejándose esto en la Figura 13. Por trigonometría
sin . 43
cos . 44

Figura 13. Suposición de desplazamientos pequeños en la sección transversal de una viga a torsión

De la elasticidad básica


22

. 45
. 46
Despejando (45a) y (46a),
. 45
. 46
Ahora, se derivan parcialmente las ecuaciones. (43 y 44) con respecto a z.
´ . 47
´ . 48
Sustituyendo (42b) y (47) en (45b) nos arroja la ecuación
´ . 49
Integrando por separación de variables
´ . 50
Finalmente, por analogía de la membrana las condiciones de frontera para el alabeo son
w = 0 en x = y = 0. Por lo tanto, f (y) = 0 y la ecuación (50a) se reduce a
´ . 50
Convirtiendo a coordenadas perimetrales
´ . 51
Por lo tanto, sustituyendo (36c) y (51) en (32) se obtiene el desplazamiento por alabeo
completo.


23

, , ´
∮
. 52
La constante de rigidez al corte G para materiales compuestos utilizada en todos los
modelos de esta sección, corresponde a [14]
. 53
Donde A66 se obtiene de la matriz ABD, explicada en la sección 2.4. Para concluir esta
sección solamente cabe recalcar que es conveniente escoger un origen de contorno 0 y
una posición polar P de tal manera que se satisfaga la condición [14, 40]
, 0 . 54
Lo que implica que el desplazamiento por alabeo , , es continuo a lo largo del
perímetro de la sección transversal. Para completar la función de alabeo es necesario
restarle una constante C definida como
∮ ,
∮
. 55
2.5. Discretización en elementos finitos
Ahora es necesario discretizar el modelo TWB para que se pueda implementar en
computadora. Existen varias razones por las cuales escoger el método del elemento finito
[28], entre las cuales se incluyen:
 Modelar geometrías irregulares con relativa facilidad.
 Manejar condiciones generales de carga sin dificultad.
 Modelar cuerpos compuestos por materiales tan diversos debido a que
las ecuaciones de cada elemento se evalúan individualmente.
 Manejar un número ilimitado y una diversidad de condiciones de frontera.
 Variar el tamaño de elementos de tal manera que sea posible utilizar
elementos pequeños donde sea necesario.
 Alterar el modelo de una forma rápida y eficaz.
 Incluir efectos dinámicos.
 Manejar comportamiento no lineal en caso de existir deformaciones
grandes y materiales no lineales.


24

Dentro de las ventajas también se puede incluir a la diversidad de problemas que se
pueden resolver, tal y como se muestran en la Tabla 2.
Tabla 2. Resumen sinóptico de los problemas que pueden ser modelados y resueltos por FEM [41].
Tipo de problema Equilibrio (constantes en el
tiempo)
Eingenvalores (frecuencias
características)
Propagación (variantes en
el tiempo)
Estructuras de ingeniería
civil
Armaduras, marcos, placas,
cascarones, puentes y arcos.
Frecuencias naturales de
estructuras, estabilidad y
análisis modal.
Propagación de las ondas de
esfuerzo.
Estructuras aeroespaciales Análisis estático de alas,
fuselajes, alerones, cohetes y
naves espaciales.
Frecuencias naturales, flutter,
estabilidad de aeronaves,
cohetes y naves espaciales.
Respuesta a cargas
aleatorias.
Conducción de calor Distribución de temperaturas
en estado estable.
Problemas en estado
transitorio de toberas,
motores de combustión
interna, álabes de turbinas y
edificios.
Hidráulica Flujos potenciales, viscosos,
transónicos,y análisis
aerodinámico.
Periodos naturales de presas,
lagos y otros cuerpos de
agua.
Flujos transitorios.
Ingeniería biomédica Análisis de esfuerzos de
globos oculares, huesos y
dientes; mecánica de las
válvulas del corazón;
capacidad de carga de
implantes.
Análisis de impactos en el
cráneo, dinámica de
estructuras anatómicas.
Diseño mecánico Concentración de esfuerzos,
recipientes a presión,
pistones, materiales
compuestos,
eslabonamientos y engranes.
Frecuencias naturales,
mecanismos, estabilidad de
engranes y máquinas
herramienta.
Problemas de agrietamiento y
fractura de elementos
sometidos a cargas
dinámicas.
Generación de energía Análisis de sistemas solares,
eólicos y de combustibles
fósiles.
Estado transitorio de
máquinas sincrónicas y de
inducción.
Magnetostática.
Comportamiento transitorio
de dispositivos
electromecánicos tales como
motores y actuadores.
Magnetodinámica.
Una capa de lámina es delgada en comparación con todo el laminado. Por lo tanto puede
considerarse que ésta se encuentra en un estado de esfuerzo plano, es decir todos los
esfuerzos relacionados con el espesor son iguales a cero. La relación constitutiva en la
dirección de la fibra de la k-ésima capa puede escribirse como
0
0
0 0
. 56


25

Donde
1
,
1
,
1 1
, . 57
La relación entre el sistema coordenado natural del aspa y el de las fibras se
muestra en la Figura 14.

Figura 14. Relación entre los ejes coordenados normal‐tangencial y local de fibra [Adaptado de 43].
Como el modelo TWB está expresado en el sistema coordenado normal-tangencial, es
necesario convertir los esfuerzos usando una matriz de transformación T donde m = sin
n, n = cos n. Por su parte, n es el ángulo entre ambos sistemas coordenados.
2
2

. 58
Después se obtiene la matriz de coeficientes reducidos [ ], aplicando la matriz de
transformación a [Q].
. 59
La cual, por facilidad de cómputo, se desarrolla de la siguiente forma
cos 2 2 sin cos sin . 60


26

sin cos 4 sin cos . 60
sin 2 2 sin cos cos . 60
2 sin 2 sin cos . 60
2 sin cos 2 sin            . 60
2 2 sin cos sin cos             . 60

Así, la relación entre esfuerzos y deformaciones en el sistema normal-tangencial queda
definida de la siguiente manera
. 61
La ecuación (61) puede reducirse aún más, si se toma en cuenta que la deformación εs
= 0 por rigidez de la sección transversal, por lo que habrá que modificar la matriz a
∗
, con las siguientes ecuaciones
∗
. 62
∗
. 62
∗
. 62
Quedando la ecuación constitutiva reducida a

∗ ∗
∗ ∗ . 63
Apoyándose en las ecuaciones (24) y (25b), es posible calcular las cargas internas de la
viga.
. 64


27

sin . 64
cos . 64
. 64
cos .64
sin .64
2
. 64

2
. 64
Quedando formuladas las cargas axial (Nz), por flexión (My, Mx), par de alabeo en la
dirección axial (Mω), cortante transversal (Vx, Vy), par torsional (Mt) y la torsión por alabeo
actuando en sentido tangencial de la sección transversal.
Por lo que sustituyendo la ecuación (63) en cada una de las ecuaciones (64), se llega a
una serie de integrales que debe evaluarse con ayuda de las matrices ABD. Las
integrales que constituyen la matriz E que se muestra en la ecuación (65), se desarrollan
en el Apéndice A.1.

. . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
.65
Donde,
; ; ; . 65


28

Para calcular la matriz [Eij], la cual representa la rigidez de una sección transversal dada,
es necesario utilizar los coeficientes proporcionados por las matrices ABD, conocidas
formalmente como matriz de rigidez a la extensión, rigidez a los efectos combinados de
extensión y flexión, y rigidez a la flexión, respectivamente [43]. Estas matrices combinan
las rigideces de todas las capas presentes en un solo laminado. El cálculo numérico
procede por integración aproximada.
. 66
1
2
. 66
1
3
. 66
El método del elemento finito tiene sus bases en los métodos energéticos desarrollados
por Bernoulli en el siglo XVII [42]. El principio de la energía potencial total del sistema se
calcula mediante la suma de la energía de deformación y el trabajo realizado por las
fuerzas externas [29].
Π . 67
Donde
1
2
. 68
Sustituyendo en la última expresión, las ecuaciones (24 y 25b)
1
2
sin cos
cos sin
2

2
. 69
Para simplificar la ecuación (69), se retoman las definiciones de las cargas internas
establecidas por (65b) y (66)


29

1
2
. 70
Incluyendo los términos de fuerzas superficiales de tracción y fuerzas internas de cuerpo,
se complementa la ecuación de energía [29].
d . 71
Entonces,

Π
1
2
′
0
′ ′ ′
d
. 72
Sustituyendo las cargas de la ecuación (65a) en (72), la energía de deformación se
expresa ahora como una función de los desplazamientos y la matriz [E]. Usando el
principio variacional de energía potencial cero en [19-21], se obtiene la forma débil de las
ecuaciones las cuales se resuelven suponiendo desplazamientos unidimensionales
basados en la formulación de elemento finito. Los desplazamientos generalizados se
expresan mediante una combinación lineal de funciones de interpolación de Lagrange
unidimensionales Υ , donde j es el subíndice nodal [14]:
Υ . 73
Υ . 73
Υ . 73
Υ . 73


30

Υ . 73
Υ . 73
Υ . 73
Donde:
Υ 1 . 74
Υ . 74
Donde ze es igual a 0 en el nodo número 1 y es igual a le (longitud del elemento) en el
nodo número 2. Las ecuaciones discretas de movimiento para un elemento genérico de
viga pueden expresarse por medio de [44]
M C u K u f . 75
De tal manera que [Me
], [Ke
] son las matrices de masa y rigidez lineales locales, tal y
como se definen en [19-21], [Ce
] es la matriz de amortiguamiento histerético, {f} es el
vector de cargas nodales, y u , u , son los desplazamientos, velocidades y
aceleraciones nodales, respectivamente.
Para calcular [Ke
] a partir de [E], existen formulaciones cerradas que permiten hacer el
cálculo [20], sin embargo hace falta algún implemento numérico para que pueda
programarse en la computadora. En su programa, Cárdenas [22] se vale del desarrollo
se muestra en el Apéndice A.2.
Este trabajo se enfoca en una modelación cuasiestática, por lo que se cancelan los
términos de masa-aceleración nodal y amortiguamiento-velocidad nodal, quedándonos
con la ecuación reducida (76)
K u f . 76


31

… ,
⋮ ⋱ ⋮
, … ,
. 76
. 76
. 76
La matriz de rigidez del elemento es de tamaño 14 x 14 ya que incluye los 7 grados de
libertad (W, U, V, , y, x, ) por cada uno de los dos nodos que limitan al elemento.
Este elemento puede apreciarse en la Figura 15.

Figura 15. Vista del elemento lineal de viga bajo el cual se basa el programa [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 14].
Por último se suman las contribuciones de cada elemento en una matriz de rigidez global
[K] y se despeja la ecuación [K]{u}={f} (globales de 707 x 707) para obtener los
desplazamientos que se utilizarán más adelante. El esquemático que resume toda esta
sección, se muestra en la Figura 16.


32

Figura 16. Representación gráfica de la subrutina para el ensamble de la matriz de rigidez [K].
2.6. Análisis de esfuerzos
Para el cálculo de esfuerzos se utiliza la formulación de Timoshenko con los siete
desplazamientos nodales obtenidos del análisis de elemento finito (sección 2.5). Una vez
que este campo de desplazamientos ha sido calculado, se recupera el siguiente campo
de deformaciones
sin cos . 24
cos sin
2

2
. 25
El estado de esfuerzos de cada segmento se obtiene por medio de

∗ ∗
∗ ∗ . 77
Finalmente, se utiliza una matriz de transformación para pasar del sistema coordenado
s-n-z al de fibra/matriz [14].
. 78


33

Donde,
. 78
Nótese que Cárdenas denomina en su programa a σ11 como σx, a σ22 como σy y a a σ12
como xy.
2.7. Aplicaciones en energía eólica
Como ya se comentó, Cárdenas [14] en su tesis codificó una programa que predecía la
progresión de daños (PFA) por carga estática. En este capítulo se discutirá la
introducción de los datos respecto al análisis de elemento finito.
2.7.1. Preprocesamiento
La introducción de todos los datos necesarios para correr el programa, se realiza a través
de una interfaz de Excel. Existen cuatro datos de geometría que deben ser introducidos.
Primero, es importante especificar la variación de la longitud de la cuerda a lo largo del
radio del aspa. Por esta variación, el aspa puede dividirse en tres regiones:
 La raíz cilíndrica y por ende de longitud constante.
 La zona de transición, cuya variación está dada por un polinomio.
 El cuerpo del aspa, que presenta una variación tapered o lineal.
En la Figura 17, se ilustra el ejemplo de modelación tratado en el artículo de Cárdenas, et
al en su artículo. Cabe mencionar que estas variaciones se realizan respeto a z, incluso
si en la figura se usa x. Todos los datos geométricos comentados en esta subsección se
tomaron del prototipo NS-100, implementado por Sandia National Laboratories (SNL) y
publicado por Locke y Valencia [45].


34

Figura 17. Modelo de variación de la longitud de la cuerda respecto a su posición radial
[reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

En el artículo también se menciona que es necesario indicarle al programa en cuáles
porciones de la cuerda se ubican ciertos laminados, tanto en la superficie superior como
inferior. En la Figura 18 se muestra una división de la sección transversal del aspa a través
de su cuerpo, con un perfil S821, en cinco segmentos. Nótese cómo esta regla aplica a
toda la cuerda, ya que las longitudes de los segmentos se proveen en porcentajes.

Figura 18. División de un perfil S821, en cinco diferentes segmentos [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Los perfiles de la zona de transición también se dividen en segmentos, sin embargo ésta
es más irregular y por eso se dejan para el Anexo B.1.


35

El tercer aspecto geométrico que hay que tomar en cuenta, según el artículo, es la
rotación del perfil respecto al eje horizontal de la cuerda. Nótese cómo el perfil se va
haciendo más horizontal conforme uno se acerca a la punta. El polinomio de variación
del ángulo en radianes se muestra en la Figura 19.

Figura 19. Variación del ángulo de rotación respecto a la horizontal de la cuerda, dependiendo de su posición radial

Finalmente, también existe la opción de especificar al programa un alma (web) que pase
por en medio de la sección transversal. Por default, la cuerda se ubica en el punto medio
del segmento III de cada perfil por lo que solamente habrá de especificar las coordenadas
de inicio y fin radial (Figura 20). Para el caso de estudio del trabajo de Cárdenas, se incluyó
un alma que se entendía de R = 1 m a R = 8.2 m. Sin embargo, para esta tesis, la sección
transversal no contará con este aspecto.

Figura 20. Aspa utilizada en el artículo de Cárdenas, con corte en R = 3.2m, donde se muestra el alma del perfil


36

Quedando la geometría completa, habrá de especificar los atributos de material. Como
se trata de una fibra de vidrio, el material no es homogéneo ni isotrópico. En la Tabla 3, se
enlistan los cinco materiales básicos requeridos para modelar el aspa.
Tabla 3. Materiales básicos usados para la modelación del aspa [22].
Código
material
Nombre del
material
Densidad
(kg/m3
)
E11 (GPa) E22 (GPa) v12 G12 (GPa)
A C520 1874 48.2 11.7 0.30 6.48
B C260 1874 43 8.9 0.27 4.5
C Petatillo ¾ 1670 7.58 7.58 0.30 6.48
D Capa de gel 1230 3.44 3.44 0.30 1.32
E Madera
balsa
144 2.07 - 0.22 -
Los materiales se apilan en capas, dentro de una serie de laminados. Existen quince
diferentes tipos de laminados, los cuales se distribuyen en el aspa tal y como se muestra
en la Tabla 4 y la Figura 21. Información más específica respecto a los laminados, se
desglosa en el Anexo B.2.
Tabla 4. Distribución de los laminados a lo largo del aspa [22]. Confróntese con la Figura 16 [reproducido con permiso de D.
Cárdenas, 22].

Figura 21. Distribución de los laminados a lo largo del aspa. Confróntese con la Tabla 4

Para las condiciones de frontera, se empotró la raíz del aspa y se utilizaron cuatro casos
de carga, los cuales se ilustran en la Figura 22.


37

Figura 22. Diversos casos de carga aplicados al aspa.
En la sección 4.3 se detallan los pormenores del preprocesamiento en el archivo MS
Excel.
2.7.2. Procesamiento
Para fines de corroboración, el modelo codificado por Cárdenas fue contrastado contra
resultados provistos por un programa comercial, así como resultados experimentales. En
este caso, ANSYS fue el software de elección, específicamente usando el modelo 3D-
SHELL 99 con elementos cuadráticos de 8 nodos. Éste será tomado como el Modelo 1;
este modelo se discretizó en 3 352 elementos y 9 956 nodos, equivalente a 55 356 grados
de libertad. Por su parte, el Modelo 2 es el que codificó Cárdenas para su tesis [14, 22].
Finalmente, el Modelo 3 se tomó de los resultados provistos por SNL, sin embargo éstos
se consideran incompletos debido a que no se tienen datos de la raíz del aspa.
2.7.3. Posprocesamiento y análisis de resultados


38

Después de correrse los modelos, se analizan las curvas deflexión obtenidas, donde se
comprueba que los resultados obtenidos por el programa de Cárdenas son muy cercanos
a los obtenidos por el programa comercial (ANSYS), con la ventaja adicional del primero
ser mucho más eficiente computacionalmente (30 elementos, 31 nodos y 217 grados de
libertad). Ver Figuras (23‐25).

Figura 23. Comparativo de curvas de deflexión para casos 1 y 2, mostrados en la Figura 22


39

Figura 24. Desplazamiento angular para el caso 3 de la Figura 22 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Figura 25. Comparativo de deflexión para el caso 4 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

40

____________________________________________________
CAPÍTULO 3
MODELO DE ANÁLISIS DE FALLAS PROGRESIVAS POR
FATIGA______________________________________________
Resumen. El propósito de este capítulo será seleccionar y desarrollar el modelo de
daños progresivos por fatiga. Para ello, primero se hará una breve introducción al tema
de fatiga, familiarizando al lector con los conceptos normalmente utilizados en la materia.
Después, se hará una revisión bibliográfica de todos aquellos modelos de degradación
por fatiga que partan de experimentos hechos en materiales compuestos. Paso seguido,
el trabajo se enfocará al estado del arte especializado en aspas de aerogenerador. Por
último, se mencionará y desarrollará el modelo escogido para el programa de análisis de
fallas progresivos (PFA por sus siglas en inglés) por fatiga, sin olvidar enlistar sus tres
componentes: el análisis de esfuerzo, el cálculo del número teórico de ciclos a falla y la
degradación de propiedades.
______________________________________________________________________
3.1. Conceptualización de la fatiga
3.1.1. Generalidades
Como ya se describió en el Capítulo 1, la fatiga es el fenómeno más frecuente de fallas
en aspas de aerogenerador sin embargo, no es sencillo de modelar. Por esta razón es
importante que se desarrolle un programa que prediga la vida del aspa y la evolución del
daño en la misma, representando esta rutina una herramienta esencial para todo
diseñador.
Antes de adentrarnos al tema, es importante definir el concepto de fatiga. De acuerdo al
manual de Shigley [50], la falla por fatiga es aquélla generada por la acción de cargas
repetidas o fluctuantes. Cabe mencionar que estas cargas fluctuantes pueden ser de
amplitud constante o variable. Para propósitos de simplificación, el programa codificado
para obtener los resultados de simulación del Capítulo 5, simula un aspa sometida a
esfuerzos de amplitud constante. En la Figura 26, se esquematiza una serie de ciclos a
amplitud variable (inciso a) y amplitud constante (inciso b).
Como ya lo habrá notado el lector, la vida de la fatiga se medirse en ciclos. En mecánica
elemental [51], un ciclo se define mide el número de repeticiones de un objeto sometido
a movimiento oscilatorio a lo largo de cierto período de tiempo. Por lo tanto, extrapolando
esta definición, los ciclos de esfuerzo en fatiga corresponden a una operación de carga

Capítulo 3: Modelo de análisis de fallas progresivas por fatiga

41

y descarga en ambas direcciones. Por extensión, el número de ciclos de vida o de falla
por fatiga (Nf), corresponde a cuántas veces se puede realizar esta repetición antes de
que falle el componente sometido a este régimen de cargas.

Figura 26. Representación gráfica de ciclos de amplitud a) variable b) constante.

3.1.2. Fatiga a amplitud constante
Ya hecha la delimitación del problema al caso de amplitud constante, es necesario
conocer todos los conceptos relacionados a las curvas de amplitud constante (Figura 26b).
El esfuerzo máximo (σmax), es el mayor valor que puede tomar la carga cíclica y el
esfuerzo mínimo (σmin) es el menor valor. A partir de estos dos conceptos, surgen el
esfuerzo promedio (σm) y la amplitud de esfuerzo (σa), definiéndose matemáticamente
por medio de las ecuaciones (79) y (80).
2
. 79
2
. 80
Finalmente, se debe introducir el concepto de razón de esfuerzo (R), el cual es
simplemente la división del esfuerzo mínimo entre el esfuerzo máximo.


42

. 81
En fatiga no solamente importa conocer el estado de esfuerzos, sino también cómo se
van degradando las propiedades del material (S) tras una serie de ciclos (N), las cuales
pueden graficarse usando un diagrama S-N (Figura 27). Visto de forma simplista, esto no
es más que la gráfica de las funciones de degradación de propiedad de material
(usualmente alguna resistencia S), sin embargo a partir de ésta pueden notarse otras
cuestiones relacionadas con la curva de esfuerzos a amplitud constante y la resistencia
a la fatiga (Se). Existen ejemplos de curvas S-N para metales, tales como las propuestas
8por Wöhler (Ec. 87) y Basquin (Ec. 88). Un desarrollo completo para materiales
compuestos se presenta de la sección 3.2.5 en adelante.

Figura 27. Esquematización del diagrama S‐N así como su relación con el diagrama de esfuerzo a amplitud constante (CA)
[adaptado de 10].
Cabe mencionar que los diagramas S-N, son obtenidos experimentalmente a partir de
un valor exclusivo para R, por lo tanto este valor siempre debe ser especificado [10].
Así como los diagramas S-N son útiles para determinar la vida del material, existen los
diagramas vida constante (CLD, por sus siglas en inglés), que ayudan a determinar
geometrías y esfuerzos máximos a partir de un nivel determinado de vida del material
(Nf). Estos diagramas incluyen varios elementos tales como el Diagrama de Goodman,


43

las coordenadas de esfuerzo cíclico y estático, así como las envolventes de los diversos
criterios de falla. A continuación solamente se mencionan los usados para materiales
dúctiles isotrópicos, ya que la sección 3.4 está específicamente diseñada para incluir los
criterios de falla en materiales compuestos.
El uso más importante que se le da a un diagrama CLD es la aplicación de criterios de
falla. Para metales, la industria utiliza tres criterios. El primero fue propuesto por el
alemán Gerber en 1874, quien trazó una parábola basada en la resistencia a la fatiga
(Se) y la resistencia última a la tensión (Sut). La expresión se muestra en la ecuación (82)
y en la Figura 28, todo punto que quede bajo la curva se encuentra en el área segura
(punto negro). Goodman (1899), propuso un criterio similar al anterior con la diferencia
que la envolvente estaba limitada por una línea recta (Ec. 83). Un tercer criterio, fue
propuesto por el norteamericano Soderberg, quien adaptó la ecuación de Goodman
sustituyendo la resistencia última por la resistencia a la cedencia (Syp), ecuación (84)
[53]. Haciendo comparaciones, el criterio de Goodman contempla la falla por fluencia, sin
embargo es bastante restrictivo y conservador en comparación a los primeros dos.
1 . 82
1 . 83
1 . 84

Figura 28. Diagrama CLD utilizado para criterios de falla. El punto negro (P1) está en el área seguro, mientras que el rojo (P2)
no lo está [adaptado de 53].


44

Otro uso que se le da al diagrama CLD es la reconstrucción de curvas S-N para otros
valores de R, dada la curva original [10]. Por ejemplo, esto es muy útil cuando se desea
saber la curva S-N de un material para R=0.1, cuando se tiene la de R = -1. En la Figura
29, se pueden observar las rectas representativas para cada R. Como todas estas rectas
pasan por el origen, solamente es necesario calcular su pendiente para trazarlas (Ec.
85). Nótese que para R = -1, su pendiente es infinita y por ende la recta es vertical.
1
1
. 85
Ahora, para relacionar la coordenada del diagrama S-N con el diagrama CLD, es
necesario transformar a , aplicando la siguiente ecuación.
1
2
. 86

Figura 29. Ejemplo de cálculo de diagrama S‐N, a partir de un diagrama CLD. Adaptado de [53].

3.2. Estado del arte de la fatiga en materiales
3.2.1. Primeros desarrollos de la fatiga en metales
Una curiosidad que se conoce desde la antigüedad y es interesante mencionar sobre las
fallas por fatiga, es la relacionada a las magnitudes de esfuerzo de falla relativamente
menores si se le comparan con aquéllas ocasionados por carga estática. Por esta razón,
las deflexiones de ésta última también son mayores y más notorias que las ocasionadas


45

por fatiga. De hecho, existe un aura de misterio en el origen de la palabra fatiga, acuñado
por el ingeniero francés Jean-Victor Poncelet [52], quien la usó para englobar todas
aquellas fallas que se originaron por un “cansancio” debido a la acción repetitiva de las
cargas y que en determinado momento, fallaron.
Esta imprecisión temporal en la definición de Poncelet también se debe a la aparición de
grietas que a simple vista resultan difíciles de detectar [53]. Sin embargo, conocer la
naturaleza de éstas permite conocer el comportamiento general en fatiga. Existen tres
fases importantes en el desarrollo de una falla por fatiga. Inicialmente se da un proceso
de nucleación a partir de concentradores de esfuerzos que originan la grieta, continuando
con una propagación lenta de grieta (Zona 1, Figura 30). En esta primera zona es posible
a veces distinguir la propagación de la grieta ciclo a ciclo. Conforme uno se acerca a la
zona 2, las marcas de playa de la zona 1 se distinguen con mayor facilidad. Esta zona 2
es considerada la de propagación rápida de grieta y refleja el carácter exponencial con
el que se da la falla por fatiga durante todo el proceso. Finalmente, la grieta termina por
hacer fallar el componente, tal y como se ve en la zona 3.

Figura 30. Generación y progresión de una grieta por fatiga en una flecha. Nótese cómo la grieta comienza en el chavetero
[adaptado de 53].
Sin embargo, a pesar lo antiguo del conocimiento sobre los fundamentos de la fatiga, su
estudio no se formalizó hasta la tercera década del siglo XIX, cuando se popularizó el
uso del ferrocarril. La aparición de fallas causadas por fatiga no se hizo esperar: diversos
componentes mecánicos giratorios, mayor durabilidad y fuentes de concentración de


46

esfuerzos fueron las causas que hicieron que la Ingeniería Mecánica prestara más
atención al fenómeno cíclico. Los primeros estudios sistemáticos [53] de fatiga fueron
realizados hacia 1837 por W. A. J. Albert en Alemania respecto a cadenas de arrastre en
instalaciones mineras. En 1842, el escocés Rankine analizó y comentó las posibles
causas de las roturas que con preocupante frecuencia se presentaban en los ejes de las
ruedas del ferrocarril y demostró que la reducción de las concentraciones de esfuerzo
aumenta la duración de los ejes y citó el fenómeno de “envejecimiento” del material
debido a la aplicación de tensiones variables.
3.2.2. Desarrollo de la ecuación de fatiga en metales
Sin embargo, el uso del vocablo “fatiga” como tal se origina a mediados de siglo XIX con
la ya mencionada analogía de Poncelet. También se hace mención a Baithwaite como el
inventor de la palabra, sin embargo a partir de la bibliografía se puede confirmar que el
solamente tradujo el concepto acuñado por Poncelet. En 1860, el alemán Wöhler fue el
primero en realizar pruebas de laboratorio especializadas en fatiga de metales, a partir
de probetas y piezas de ferrocarriles, y fue el primero en proponer una ley exponencial
para predecir matemáticamente el comportamiento mecánico en fatiga [10].

log ∙ . 87
Donde:
 N es el número de ciclos aplicado
 σ es la amplitud del esfuerzo
 c, d son las constante resultantes del ajuste exponencial y dependen del material.
Como notar del autor, esta formulación se obtuvo a partir de experimentos de fatiga con
ciclos a amplitud constante [10]. Entre otras aportaciones importantes hechas por Wöhler
al campo de fatiga se encuentran la invención de la máquina rotatoria para hacer los
ensayos, así como la resistencia a la fatiga Se, que es nivel máximo de esfuerzo en el
cual no se produce rotura por elevado que sea el tiempo de aplicación de las cargas
cíclicas [53].
En 1910, el norteamericano Basquin se dio a la tarea de plantear una ecuación
logarítmica de tipo S-N.
log log . 88


47

Donde:
 N es el número de ciclos aplicado
 σ es la amplitud del esfuerzo
 a, b son las constante resultantes del ajuste exponencial y dependen del material.
Como ésta se trata de una adaptación log-log de la ecuación de Wöhler, está también
parte del supuesto que el material es metálico y se somete a cargas de amplitud
constante [10].
3.2.3. Caracterización fenomenológica de la fatiga en metales
En 1903, Ewings y Humphries observaron que con tensiones de fatiga, el aspecto de la
superficie de las probetas vistas al microscopio era similar a las que superaban el límite
de proporcionalidad o la resistencia a la cedencia estática (Syp, ver Figura 31), al
presentarse deslizamientos parecidos en algunos planos del material. Estas líneas de
deslizamiento surgen para un valor de esfuerzo máximo en fatiga mucho menor que Syp.
Además, si se continúa aplicando la carga cíclica, crece la anchura de estas líneas hasta
que se produce la rotura de algunos cristales que componen al material [53]. Sin
embargo, Ewings y Humphries no pudieron explicar fenomenológicamente el concepto
de la resistencia a la fatiga Se, registrado en las curvas de Wöhler.

Figura 31. Típico diagrama esfuerzo‐deformación obtenido tras un ensayo de tensión en una probeta metálica. Nótese la
ubicación del límite proporcional (Syp) y la resistencia última a la tensión (Sut) [adaptado de 53].


48

Por ello, a mediados de la década de 1920, Hanson y Gough explicaron este fenómeno
con una hipótesis que apuntaba al endurecimiento por deformación, de tal manera que
ésta es capaz de frenar la propagación de las microgrietas originadas por el
deslizamiento cristalino. Por desgracia, esta explicación no ha podido ser caracterizada
cuantitativamente. Otros trabajos que intentan explicar σe son las teorías de
endurecimiento de inclusiones (Orowan, 1939) y las ecuaciones de fractura por fatiga de
Paris (1960). Sin embargo, todavía no existe una interpretación cuantitativa contundente
que permita explicar dicho fenómeno aun así existe una metodología utilizada en la
práctica para aproximar el valor de Se en base a factores de diseño, para más información
consúltense [50] y [53].
3.2.4. Otros desarrollos de fatiga en metales
Por último, se presenta una tabla con las aportaciones de importancia hechas al estudio
de la fatiga. La razón por la cual se hace este sintético, es para no extender más el tema
y perder el hilo del trabajo.
Tabla 5. Sintético de aportaciones al estudio de fatiga [adaptado de 53].
Año Autor Desarrollo
1886 Bauschinger Efecto Bauschinger: variación de la resistencia a la cedencia debido
a la aplicación repetida de tensiones.
1874 Geber Propuso la primera teoría de falla para fatiga: la línea de Gerber.
1899 Goodman Propuso la línea de Goodman como criterio de falla lineal basado en
la resistencia última del material.
1918 Moore Máquina de prueba rotatoria.
1920 Griffith Mecánica de la fractura.
1924 Palmgren Regla de daño acumulativo.
1924 Gough Sensibilidad a las muescas.
1930 Thum Estudios sobre la concentración de esfuerzos.
1939 Weibull Aspectos estadísticos de la fatiga.
1945 Miner Autor de otra regla de daño acumulativo.
1953 Peterson Manual completo de factores de concentración de esfuerzos.
Soderberg Propuso la línea de Soderberg como criterio de falla lineal basado
en la resistencia a la cedencia.


49

3.2.5. Desarrollo actual de fatiga en materiales compuestos
El estado del arte indica que los primeros estudios de fatiga en materiales compuestos
tuvieron lugar en la década de los setenta. La necesidad es estudios radica en la ventaja
ya mencionada de los compuestos, los cuales combinan alta resistencia con bajo peso.
Aunque en esta sección se incluyen ejemplos aterrizados tales como el de Noback a
aspas de helicóptero y el de Mandell a aspas de aerogenerador, el propósito de esta
sección es limitar el estudio de esta sección a modelos de degradación y las técnicas de
obtención experimental. Por su parte, aspectos externos más enfocados con aspas tales
como cargas a las que usualmente están sometidas se revisan en la sección 3.3.
Como ya se mencionó, el estudio estructurado de los materiales compuestos se dio inicio
en la década setenta. Sendeckjy fue de los primeros en incursionar en el tema y en su
trabajo [54] describe un modelo de degradación a partir de un ajuste de curvas usando
la distribución de Weibull. Este ajuste de curvas se aplicó a una serie de puntos obtenidos
experimentalmente (número de ciclos de falla contra esfuerzo a amplitud constante) de
un prueba con máquina universal (frecuencia de 3 Hz, R = 0.1) a un material compuesto
unidireccional de ocho capas con fibras de vidrio en orientación a 0° reforzando una
matriz de epóxico. La relación obtenida es
1 . 89
Donde:
 Sr es la resistencia residual.
 Seq es la resistencia equivalente, que es una corrección de la resistencia inicial.
 σmax es el esfuerzo cíclico máximo.
 n es el número de ciclos normalizado.
 C, S son constantes de ajuste para esta ecuación.
Poco después, Noback [55] aplicó un modelo estadístico similar para aspas de
helicóptero. Esta publicación no específica los métodos experimentales utilizados, sin
embargo la peculiaridad que vale la pena rescatar es la utilización del límite o resistencia
de fatiga (Se) en su modelo. Como ya se mencionó, las curvas S-N tienden
asintóticamente a un valor conocido como Se, es decir lim
→
. La ecuación obtenida
tras el ajuste es:
. 90


50

Con N siendo el número de ciclos. Lo problemático de este modelo es que cuenta con
tres parámetros de ajuste (b, B, ), uno más que el modelo propuesto por Sendeckjy.
En búsqueda de simplificar los modelos y reducir el número de parámetros de ajuste,
Mandell [56] empieza una serie de experimentos para determinar curvas de fatiga en
materiales compuestos en aspas de aerogenerador. Para este caso, Mandell utilizó
probetas de poliéster y viniléster reforzadas fibra de vidrio triaxiales [0°/±45°] y uniaxiales
[0°], sometidas a una prueba de 50 kip a 15 Hz con una máquina universal MTS 880, a
temperatura ambiente.
Después de realizar un ajuste de curvas, se llegó a:
. 91
Lográndose simplificar el modelo de degradación a una sola variable. Debido a que este
modelo ha sido respaldado por posteriores experimentos de Mandell (Sección 3.3.),
algunos autores [79] lo han incorporado en sus predicciones de propagación de daños
por fatiga.
Sin embargo, es muy importante tener en mente que extrapolar una curva de
degradación general a partir de datos experimentales específicos conlleva cierto margen
de error. Para solucionar este problema, Noback [55] propuso un factor de reducción,
haciendo que el análisis con curvas S-N se vuelva más conservador. Sin embargo este
modelo puede considerarse primitivo, ya que este factor proviene de una distribución
normal, argumento que en la actualidad está desacreditado ya que la práctica ha
mostrado que la distribución de Weibull es más apropiado para el análisis [57].
Función de cumulativa (cdf):
exp . 92
Función cumulativa (pdf)
exp . 93
Donde:
 V0 es el valor límite.
 V es cierto valor puntual.


51

 C es el valor de escala.
 k es el valor de forma.
En las ecuaciones, V y V0 son las variables que se están distribuyendo y por ende pueden
cambiar dependiendo de la aplicación. También existe la aplicación de criterios de falla
probabilísticos, los cuales se proponen en la tesis de Arellano Escárpita [48].
Ronold y Echtemeyer [58] han escrito bastante [73 y 74] en cuanto a desarrollos
estadísticos relacionados con la confiabilidad de los resultados obtenidos de pruebas
experimentales. También introduce el concepto de frontera de tolerancia, el cual indica
qué tan sesgados se encuentran los valores respecto a la media.
Mao y Mahadevan [59] proponen un modelo triparamétrico, el cual puede considerarse
completo ya que muestra las tres fases del proceso de degradación por fatiga (sección
3.2.1), el cual suma dos términos ambos semejantes al modelo propuesto por [56]. Estos
laminados 810 O, se cargaron en una máquina universal a 75 y 80 % de Sut, f = 10 Hz y
R = 0.1.
1 . 94
Donde:
 Er es la rigidez residual.
 E0 es la rigidez inicial.
 Ef es la rigidez final.
 n/N es el número de ciclos normalizado.
 q, m1, m2 son constantes de ajuste para esta ecuación.
Más cercano al tema de esta disertación, se encuentra el trabajo de Tserpes [60], quien
implementó un modelo computacional para determinar la progresión de daños por fatiga
en una probeta de plástico reforzada con fibra de carbono. En este caso se realizó un
análisis de elemento finito para obtener el estado de esfuerzos, el cual a su vez se usó
en un criterio cuadrático de Hashin 3-D (explicado en sección 3.4) para verificar si hubo
falla. En caso de haberla, se aplica degradación súbita (sudden) sino hay se utilizan las
fórmulas de degradación gradual. En resumen, la metodología seguida por este trabajo
es similar a [46-47], la cual se explicará con mayor detalle en (3.3 y 3.4).
Entre otros modelos desarrollados para fatiga se encuentran la relación de la fatiga con
el número de grietas [61], la determinación de la vida de un material compuesto a partir
de constantes físicas [62] y el caso de la fatiga multiaxial [63].


52

3.3. Estado del arte de la fatiga en aspas de aerogenerador
De acuerdo con [53] existen dos categorías de pruebas de fatiga claramente
diferenciadas: ensayos en probetas y sobre prototipos. Como se verá, los ensayos sobre
prototipos no son tan comunes, sin embargo ofrecen una óptica más realista sobre el
comportamiento estructural del aspa. A continuación se mencionarán ambos casos de
experimentación.
Como se venía discutiendo en la sección anterior, existen diversas caracterizaciones
experimentales para materiales compuestos, sin embargo este campo de estudio es
mucho más reducido si se sitúa en aspas para aerogenerador. El primer estudio
registrado en la base de datos de OPTIMAT [64] es el realizado por Bach en 1992 [65],
quien adapta los resultados obtenidos de probetas a la evaluación de fatiga en aspas. El
autor obtiene diferentes modelos de degradación para epóxico reforzado con fibra de
carbono y fibra de vidrio, tanto para R=0.1 y R=-1. Asimismo, se puede notar claramente
de las gráficas que la evolución del daño por fatiga se compone de las tres fases
mencionadas en la sección 3.2.1. Por último, cabe mencionar que el modelo de
degradación extrapolado es relativamente completo y se basa en la resistencia última a
tensión (Sut) así como en la razón de esfuerzos (R), pero no toma en cuenta otros
aspectos tales como modos de falla y orientación de las fibras.
Otra contribución hecha a las bases de datos de fatiga [71] son los estudios de Mandell,
investigadores de la Universidad Estatal de Montana (MSU, por sus siglas en inglés). En
conjunto con Wahl y Samborsky, este autor ha logrado caracterizar experimentalmente
una gama más amplia de materiales que en la contribución hecha por Bach [66-70]. Los
experimentos son también peculiares; en vez de usar una máquina universal, [72] realiza
las experimentaciones con una bocina de 300 Hz. Finalmente, en algunos trabajos
manejan amplitud variable, la cual se basa en trabajos estadísticos de Ronold y
Echtemeyer, cuyas aportaciones se explican más adelante. No obstante, estos estudios
no logran consolidar una ecuación universal, sino más bien tratan el comportamiento de
cada material como un caso distinto.
Aunque el caso de esfuerzos variables escapa al campo delimitado por esta tesis, es
importante mencionar que se han logrado desarrollar diversos estudios estadísticos que
permiten manejar la información provista por valores estocásticos tales como la carga
del viento. Trabajos tales como el de Mandell o el de Neijssen [10] se refieren a los
estudios estadísticos hechos por los noruegos Ronold y Echtemeyer [73 y 74], quienes
obtiene curvas S-N (específicamente ε-N) a partir de un análisis estadístico basado en la


53

distribución de Weibull. Un caso más práctico es presentado por el australiano
Eparachchi [75], quien desarrolla un espectro de carga por fatiga, también basado en la
distribución de Weibull, en aspas de 600 W, 5 kW y 20 kW. Cabe destacar que en este
trabajo se maneja la técnica de conteo rainflow, siendo éste un método de conteo para
extraer las secuencias de tensiones [53]. Primero se procede a un filtrado (peak-valley
sequencing), en el cual se dejan solamente los valores máximos y mínimos (ver Figura
32a) [53].
Después, se comparan consecutivamente valores de esfuerzo en un instante, el anterior
y el siguiente; si el valor analizado es un mínimo relativo en valor absoluto como sucede
en el punto 3 de la Figura 32b, se obtiene el ciclo correspondiente con sus respectivos
valores medio y de amplitud, y : de igual modo se procede a continuación con los
puntos 7, 10, 13 y 15. Los puntos correspondientes a esos ciclos se eliminan. Las Figuras
32c y 32d, repiten el procedimiento. El resultado obtenido será una serie de valores de
tensiones medias y variables a cada una de las cuales le corresponda un único ciclo
(ocho en este caso) [53].

Figura 32. Metodología rainfall [adaptado de 53].


54

Un trabajo reciente que muestra cómo se va realizando la metodología es el de
Pratumnopharat [76], quien la va aplicando en una serie de tiempo de esfuerzos
aplicados a un aspa de eje horizontal con una capacidad de 65 kW.
Uno de los primeros intentos que hubo para simular computacionalmente la fatiga por
medio de la técnica rainflow es el descrito por Noda y Flay [77]. En este trabajo se toman
datos experimentales obtenidos a partir de una turbina de viento de 225 kW sometido a
un estado de cargas de viento en dirección flapwise para una estación localizada en
Nueva Zelanda. Sin embargo, el modelo solamente está limitado a este tipo de cargas,
además el modelo de un solo grado de libertad para toda el aspa es demasiado simplista,
también se supone que el aspa es de un mismo material y en el trabajo no se mencionan
efectos por anisotropía. Por último, los daños por fatiga se evalúan por Regla de Miner,
desconociéndose el modo de daño del aspa.
El trabajo computacional realizado por Nijssen [10] representa una actualización al
anterior, ya que también simula con la técnica rainflow pero toma en cuenta
complejidades no mencionadas en [77]. Por ejemplo, utiliza el método basado en
resistencia (strength based method) para cuantificar el daño por fatiga, obteniéndose
información sobre las propiedades del material (en este caso, resistencia). Además, las
propiedades se obtienen a partir de pruebas experimentales, usando cargas de bloque,
alternando diferentes regímenes de amplitud constante.
Uno de los pioneros en análisis computacional de la fatiga es Shokrieh [46], quien maneja
un modelo de degradación de las propiedades del aspa por fatiga utilizando tres
componentes: análisis de esfuerzos, reglas de degradación y criterios de falla. El análisis
de esfuerzos por elemento finito arroja un estado de esfuerzos que degrada las
propiedades de resistencia (S) y rigidez (E) del aspa. Las reglas de degradación, así
como las propiedades se obtienen por medio de experimentaciones con probetas ASTM
en una máquina universal MTS 810. Existen reglas de degradación para cada uno de los
seis modos de falla: tensión y compresión en la fibra, tensión y compresión en la matriz,
cortante in-plane y cortante out-plane. Después, se descuenta el material si no cumple
con el criterio de falla cuadrático de Hashin. Finalmente, se arma la nueva matriz de
rigidez a partir de las propiedades degradadas y se vuelve hacer el análisis de esfuerzos.
Shokrieh, en su trabajo de investigación publicado posteriormente [47] se puede notar
que ha extendido el modelo a diferentes tipos de cargas: aerodinámica, peso, ráfagas
anuales, cambios en la dirección del viento, fuerzas centrífugas y giroscópicas, fuerzas
de arranque y frenado, efectos térmicos; además de incorporar cargas variables.


55

Además de métodos computacionales, existen modelos paramétricos que permiten
evaluar de forma rápida y explícita la extensión de los daño por fatiga. Por ejemplo, Kong
[78] evalúa manualmente un estado de fatiga dada cierta distribución de cargas, así como
su serie de tiempo. A partir de un breve análisis estadístico, se obtienen las amplitudes
de momento flexionante flapwise y edgewise, y subsecuentemente los momentos
máximos. Después, aplica un método para recalcular la curva S-N de R=0.1 a R=0.37.
Por último corrobora los resultados introduciendo el modelo reducido a un análisis
estático de elemento finito. Los factores de seguridad obtenidos indican que el diseño al
tiempo especificado es seguro.
Una formulación muy similar es ofrecida por Wu y Lai [79], quienes se dieron a la tarea
de calcular la amplitud de las cargas axial y flexionantes (edgewise y flapwise) a partir
del modelo simplificado ofrecido por el estándar IEC 61400-2, del cual luego calcularon
el valor correspondiente de los esfuerzos, para finalmente combinarlos en un estado
único de esfuerzos en fatiga. Después se utiliza una curva S-N [56] para R=0.1, sin
embargo como R0.33 fue necesario utilizar un CLD para recalcular los valores de la
curva. Por último, se hacen correcciones al número de ciclos obtenido, usando la
velocidad angular del aspa y los factores de seguridad.
Por último, cabe concluir que muchos de los modelos aquí presentados [75, 76, 46,47,
78] son para una vida estimada de 20 años.
3.4. Desarrollo del modelo seleccionado
A continuación se describirá el modelo a implementar en la subrutina de daños
progresivos por fatiga, el cual fue el que describió Shokrieh [46] en sus tesis. Las razones
por las cuales se escogió este modelo fueron las siguientes:
 Provee un modelo completo de degradación para resistencia y rigidez.
 Es capaz de calcular el número de ciclos a la falla (Nf).
 Se acopla bien con cualquier software de análisis de esfuerzos.
 Es perfectamente adaptable a la discretización por segmentos propuesta por
Cárdenas [14, 22].
 Se proveen resultados experimentales para todas las propiedades del material
incluidas en el modelo, así como las constantes de ajuste.
3.4.1. Estructura general del modelo de degradación
El modelo de degradación propuesto por Shokrieh [46] consiste en tres partes
conectadas entre sí. Primero, el programa realiza un análisis de esfuerzos, usualmente
por medio de algún programa o código de elemento finito, a partir de las cargas, la
geometría, las propiedades del material y las condiciones de frontera consideradas.


56

Después, se aplica un criterio de falla para determinar cuáles partes del aspa, en este
caso los segmentos, han fallado. Hay que recordar que un segmento es una celda
formada por el cruce entre un elemento axial, una capa y una partición perimetral (ver
sección 2.3). Si se identifica la falla, se degradan súbitamente las propiedades del
material, haciéndose igual a cero las propiedades relacionadas al modo de falla
identificado.
Paso seguido, se aplica la degradación gradual a todas las propiedades de resistencia y
rigidez de todos aquellos segmentos que todavía no han fallado. Estas reglas de
degradación gradual son leyes logarítmicas parecidas a las que se presentaron en la
sección 3.2.5 y son las que rigen el comportamiento del material a fatiga.
Una vez degradadas las propiedades de rigidez, se ensambla de nuevo la matriz [K].
Debido a este cambio, es necesario volver a calcular el estado de esfuerzo tal y como se
hizo al principio de este proceso. Finalmente, cabe mencionar que este procedimiento se
repite hasta haber llegado algún límite de daño ya sea en volumen de segmentos
dañados o bien, por número de iteraciones.
A continuación se describen a detalle los conceptos relacionados a las teorías de falla
utilizadas así como las reglas de degradación aplicadas al material. Para el caso del
análisis de esfuerzos, éste ya quedó explicado en el capítulo 2. Finalmente, en la Figura
33 se muestra un sintético de la estructura del modelo de degradación por fatiga de
Shokrieh.

Figura 33. Resumen esquemático del modelo de degradación por fatiga de Shokrieh [46].

•Formulación clásica de elemento finito con un elemento viga unidimensional
con siete grados de libertad por nodo.
Análisis de elemento finito
•Esfuerzo cortante máximo.
•Hashin 3D.
Teoría de falla
•Súbitos.
•Graduales.
Modelos de degradación


57

3.4.2. Teorías de falla
Las teorías de falla son útiles en el diseño de componentes mecánicos y estructurales
debido a que indican por medio de una formulación matemática si un material puede
resistir las cargas externas. Debido a que se trata de un material anisotrópico, Shokrieh
[46] utiliza una teoría de falla que se encargue de monitorear los siguientes modos de
falla:
 Tensión de fibras.
 Compresión de fibras.
 Cortante en interfaz fibra matriz in-plane.
 Tensión de matriz.
 Compresión de matriz.
 Tensión normal.
 Compresión normal.
Además, en la tesis [46] se considera una relación constitutiva no lineal entre el esfuerzo
y la deformación:
. 95
Donde  es una constante de proporcionalidad cúbica entre la deformación y el esfuerzo.
Esta constante es un recurso que se vuelve más relevante conforme se excede el límite
de cedencia del material. Aunque el modelo TWB no toma en cuenta deformaciones no
lineales, la implementación de un criterio de falla más completo resulta en una simulación
sobreestimada y por ende del lado más seguro. De cualquier forma, se recomiendo
flexibilizar el programa para que acepte cualquier valor de esta constante, incluyendo
cero (caso de linearidad). Aunque Shokrieh utilice los subíndices x-y-z para el sistema
fibra/matriz, por cuestiones de consistencia en esta tesis se respetará la convención
establecida en el capítulo 2, donde se determina el eje 1 para la dirección de la fibra, el
eje 2 para la dirección de la matriz y el eje 3 para la dirección normal.
A continuación se muestra la Tabla 6 con un resumen de todas las teorías de falla
consideradas por Shokrieh. En ella se mencionan las ventajas y desventajas de cada
uno.
Tabla 6. Resumen de ventajas y desventajas de teorías de falla.
Teoría de falla Ventajas Desventajas
Tsai-Wu Puede predecir cuál capa
falla primero.
No distingue modos de falla
y tampoco predice de
forma adecuada la


58

degradación del material
en zonas dañadas.
Máximo esfuerzo o máxima
deformación
Pueden determinar los
modos de falla.
Aplicable a TWB.
Carecen de los términos de
interacción con esfuerzos
cortantes.
Hashin Envolvente polinomial,
combina precisión y
capacidad para distinguir
entre modos de falla.
Aplicable a TWB.
Requiere de conocer el
valor .
Ejecución de operaciones
aritméticas adicionales.
Como se puede ver, el criterio de falla de Hashin es bastante completo, sin embargo
requiere el conocimiento de la constante de proporcionalidad cúbica  así como la
relización de las operaciones adicionales de suma y elevar al cubo para cada propiedad
de cada segmento. El criterio de Hashin suma las contribuciones de los tres esfuerzos
correspondientes a la dirección analizada, normalizados a la resistencia correspondiente.
La envolvente es un polinomio cuadrático, usualmente un elipsoide tridimensional.

∗

∗

. 96
Donde ε* denota la deformación última, para el segundo término al cortante in-plane y
para el último término al cortante out-plane. La inclusión de la ecuación (95) en (95) así
como su subsecuente integración, convierte a esta última expresión en una más
manejable.
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4
. 97
Los demás criterios, excepto el de compresión que no incluye términos cortantes debido
a que este modo no está completamente entendido [46], se obtienen de manera análoga.
Revísese la Tabla 7 para un resumen de la teoría cuadrática de Hashin tridimensional.


59

Tabla 7. Teoría cuadrática de Hashin tridimensional.
Criterio de falla Formulación Notas (Falla si e>1)
Tensión fibra Para casos lineales, de lo
contrario usar la ecuación (97).
Compresión fibra No completamente entendido.
Interacción por
cortante fibra-
matriz in-plane
Para 0.
2
3
4
2
3
4
,
2
3
4
2
3
4
Tensión matriz Matriz isotrópica y lineal.
Matriz isotrópica y lineal (cont).
Compresión
matriz
Compresión
normal
Tensión normal
Como el programa original de Cárdenas [14] toma en cuenta las suposiciones de
Kirchhoff-Love y de sección transversal rígida, el estado de esfuerzo resultante es plano
y por lo tanto conviene adoptar una versión bidimensional de Hashin (Tabla 8).


60

Tabla 8. Adaptación del criterio de Hashin al estado plano de esfuerzos obtenido en la tesis de Cárdenas [14] así como en
esta disertación.
Criterio Formulación
Tensión fibra
2
3
4
2
3
4
Compresión fibra
Interacción por cortante fibra-matriz in-
plane 2
3
4
2
3
4
Tensión matriz
2
3
4
2
3
4
Compresión matriz
2
3
4
2
3
4
Como nota final, cabe mencionar que los criterios de falla a fatiga son idénticos a los
mostrados en la Tabla 8, con la diferencia de que las propiedades del material se van
degradando y varían respecto a los ciclos, al estado de esfuerzo y al valor R. Un
repertorio más completo de teorías de falla se desarrolla en la tesis de Cárdenas [14] y
de Shokireh [46].
3.4.3. Reglas de degradación
En la tesis de Shokrieh [46] se utilizan dos de reglas de degradación, aplicándose cada
una de ellas dependiendo de si ya falló el material. En caso de haber ocurrido esto, se
recurre a las reglas de degradación súbita, las cuales dejan en ceros a las propiedades
del material relevantes. En la Tabla 9 se muestra un resumen de éstas.


61

Tabla 9. Resumen de degradación súbita.
Modo de falla Regla de degradación Notas
Tensión fibra , ,
, , , , 0
Falla catastrófica,
Compresión fibra Falla catastrófica.
Cortante in-plane , , 0 Falla no catastrófica. El
resto de las propiedades
no se alteran.
Tensión matriz , , 0
Compresión matriz , , 0
Para todos los demás casos, se emplea una regla de degradación que es básicamente
la ecuación de las curvas S-N para la resistencia y la rigidez. Para ello partimos de la
ecuación general de degradación [46]
d
. 98
Para después resolverla por separación de variables
d . 99
Simplificando
. 100
Para este caso S(n) es el valor de la resistencia después de n ciclos, es el esfuerzo
cíclico máximo y m es una constante de ajuste obtenida por métodos experimentales.
Para determinar este valor, se aplica la condición final, la cual estipula que R(n) = σmax
cuando n = Nf. Es decir, la dalla ocurre cuando la resistencia del material alcance al nivel
máximo de esfuerzos. Por lo tanto, al resolver este problema se llega a la ecuación (98).
1 . 101
Después de hacer un repaso bibliográfico, [46] se decanta por el modelo biparamétrico
de Harris ya que ofrece una normalización del número de ciclos a fatiga, en este caso
0.5, el cual [46] sustituye por 0.25. Según Harris [80-81], dos ventajas que tienen los
parámetros de ajuste α, β de la ecuación (102) es la de adaptarse a cualquier modo de
falla y poder reproducir fielmente las diferentes fases del proceso de fatiga.


62

,
1
log log 0.25
log log 0.25
. 102
Donde:
 , es la resistencia residual tras un estado de esfuerzos σ y un número de
ciclos n.
 es el esfuerzo máximo del ciclo de fatiga.
 es la resistencia inicial.
 es el número de ciclos a la falla.
 , son parámetros de ajuste obtenidos de manera experimental.
Como ya se mencionó, [46] no solamente degrada la resistencia sino también la rigidez
del material a través de sus módulos de Young y rigidez al corte. Esto trae como
consecuencia una actualización de la matriz de rigidez en cada iteración, haciendo que
los resultados obtenidos por la simulación sean más integrados y realistas. Para ello, el
autor propone una ley exponencial con base análoga a la propuesta por Harris.
,
1
log log 0.25
log log 0.25
. 103
El valor de εf es una constante obtenida a través de experimentos y representa la
deformación promedio a la falla. Una ventaja de usar este parámetro es que no varía a
lo largo de los ciclos, considerándose independiente del estado de esfuerzos σ, razón de
esfuerzos R y por supuesto, n. Los parámetros γ, λ se obtienen experimentalmente.
Para calcular el valor de Nf según la tesis de [46], es necesario tomar en cuenta la
suposición de amplitud constante. Debido a que el valor del esfuerzo va variado respecto
a n porque la rigidez del aspa se va degradando, sin embargo es posible aplicar la
suposición de Shokrieh instantáneamente. Gathercole [82-83] propone un método
analítico de acuerdo con la variación de la amplitud promedio normalizado con (a) con el
promedio del esfuerzo normalizado (q), por lo que un diagrama de vida constante (CLD)
es bastante conveniente para esta metodología (Figura 34).


63

La gráfica en forma de campana corresponde al modelo de la ecuación (104).
1 . 104
Donde:
 f = 1.06 [82-83], u, v son parámetros de ajuste experimentales para la curva.

, 0
| |
, 0
, es el esfuerzo alternante normalizado.

, 0
| |
, 0
, es el esfuerzo promedio normalizado.
 , es la razón de la magnitud de la resistencia a tensión contra la resistencia
a compresión.
Nótese que se manejó una simbología genérica para las resistencias últimas a tensión y
compresión dentro de la ecuación (104) ya que existen tales propiedades tanto para la
Figura 34. Gráfica que muestra la relación del cálculo de número de ciclos de vida respecto al estado de
esfuerzos y el valor de R.

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