calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF

2010
INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
CECyT “WILFRIDO MASSIEU”
Departamento de Unidades de Aprendizaje
Del Área Básica
PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.
CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica
PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 2
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .
Verificación por derivación

ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas
las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas
contenidas en las integrales.
Identidades trigonométricas
Problema 1
   
  xdx
xdx
dx
dx
x
x
dx
x
dx
x
sen
xdx
sen
2
cos
4
1
2
cos
2
1
4
1
2
cos
2
cos
2
1
4
1
2
cos
1
2
1
2
2
2
2
2
4
 




















du
du
dx
du
x
u



2
2
2
dx
dv
dx
dv
x
v



2
2
2
1)  
dx
sen4
6)  
xdx
3
tan 11)  
dx
x
x
sen 3
2
cos 16)  xdx
x
tg 4
sec
4 4
3
2)  
dx
sen5 7)  
xdx
3
tan4
12) dx
x
x
sen 4
3
cos
 17) 
 xdx
x
sen 2
3
cos
3)  
xdx
3
cos4
8)  
xdx
ctg 2
13)  
xdx
x
sen 2
cos
2 3
5
18) 
 xdx
x 4
3
sec
tan
4)  
xdx
2
cos5
9)  
xdx
ctg 3
14)  
xdx
x 5
3
sec
tan 19) 
 xdx
x 3
5
sec
tan
5)  
xdx
2
tan 10)  
dx
x
ctg 4
15)  
xdx
x 6
3
sec
tan 20) 
 xdx
x
sen 3
3
cos

 dv
v
senu
x
vdv
udu
x
dv
v
du
u
x
2
cos
1
2
1
8
1
4
1
4
1
cos
8
1
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
2
cos
2
1
4
1
2
2















  

 






 vdv
dv
x
sen
x
dv
v
x
sen
x 2
cos
16
1
16
1
2
4
1
4
1
2
cos
1
16
1
2
4
1
4
1
dv
dw
dv
dw
v
w



2
2
2
x
sen
x
x
sen
x
senw
x
x
sen
x
dw
w
v
x
sen
x
4
32
1
8
1
2
4
1
4
1
32
1
2
16
1
2
4
1
4
1
2
cos
16
1
16
1
2
4
1
4
1












 
c
x
sen
x
sen
x 


 4
32
1
2
4
1
8
3
Problema 2
 
   
 
xsenxdx
xsenxdx
senxdx
dx
xsenx
xsenx
senx
senxdx
x
x
senxdx
x
dx
x
sen
senx
xdx
senxsen
xdx
sen

 



















4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
4
5
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
1
cos
1
   
5
3
2
cos
2
cos
2
cos
5
3
4
2
4
2 v
u
x
dv
v
du
u
x
du
v
du
u
x 












 



c
x
x
x 




5
cos
cos
3
2
cos
5
3
senxdx
du
senxdx
du
x
u




 cos
senxdx
dv
senxdx
dv
x
v




 cos

Problema 3
Problema 4
Problema 5
 
  
 


 dx
xdx
dx
x
xdx 2
2
2
sec
1
sec
tan
c
x
x 

 tan
Problema 6
 
 
  





xdx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
tan
tan
sec
tan
1
sec
tan
tan
tan
2
2
2
3
xdx
du
x
u
2
sec
tan


c
x
Ln
u
c
x
Ln
udu 




  sec
2
sec
2
c
x
Ln
x


 sec
2
tan2

Problema 7
 
   

 du
u
u
udu
u
xdx 1
sec
tan
3
1
tan
tan
3
1
3
tan 2
2
2
2
4
 

 du
u
du
u
u 2
2
2
tan
3
1
sec
tan
3
1
v = tg u ; dv = sec2
u du
 
)
3
(
3
1
3
tan
3
1
3
tan
9
1
3
1
tan
9
1
3
1
3
1
9
1
3
1
sec
3
1
3
3
1
1
sec
3
1
3
1
3
3
3
2
3
2
2
x
x
x
c
x
v
u
u
u
tg
v
du
udu
v
du
u
dv
v















 

 
c
x
x
x 


 3
tan
3
1
3
tan
9
1 3
Problema 8
   
  


 dx
xdx
dx
x
xdx 2
2
2
csc
1
csc
cot c
x
ctgx 



Problema 9
 
 
  
 









senx
Ln
du
u
xdx
xdx
x
dx
x
x
xdx
x
xdx
cot
csc
cot
1
csc
cot
cot
cot
cot
2
2
2
3
xdx
du
xdx
du
ctgx
u
2
2
csc
csc





senx
Ln
u
senx
Ln
udu 




  2
2
c
senx
Ln
x
ctg




2
2
Problema 10
 
 

 





xdx
xdx
x
dx
x
x
xdx
x
xdx
2
2
2
2
2
2
2
4
cot
csc
cot
1
csc
cot
cot
cot
cot
xdx
du
xdx
du
x
u
2
2
csc
csc
cot





dx
du
x
u


3
1
3

    c
x
x
ctg
u
dx
xdx
du
u
dx
x
du
u 











 



 3
csc
1
csc
3
2
2
2
2
c
x
x
x




 cot
3
cot3
Problema 11
Problema 12
Problema 13
=
Problema 14

 
 dx
x
x 5
3
sec
tan c
x
x 
 5
7
sec
5
1
sec
7
1
Problema 15
 
  dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x
2
4
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
4
3
6
3
sec
)
tan
tan
2
1
(
tan
sec
tan
1
tan
sec
sec
tan
sec
sec
tan
sec
tan












 
 

 xdx
x
xdx
x
xdx
x 2
7
2
5
2
3
sec
tan
sec
tan
2
sec
tan
c
u
u
u
u
du
u
du
u 





 

 8
6
2
4
2
8
6
4
7
5
3
c
x
x
x




8
tan
3
tan
4
tan 8
6
4
Problema 16
=
Problema 17
  dx
senx
x
dx
senx
x
dx
senx
x
x
dx
senx
x
x
sen
xdx
x
sen










4
2
2
2
2
2
2
3
cos
cos
cos
cos
1
cos
cos
senxdx
du
senxdx
du
x
u




 cos
c
u
u
du
u
du
u 





 
 5
3
5
3
4
2
c
x
x




5
cos
3
cos 5
3
xdx
du
x
u
2
sec
tan



Problema 18
  dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
2
5
2
3
2
2
3
2
2
3
4
3
sec
tan
sec
tan
sec
tan
1
tan
sec
sec
tan
sec
tan










c
u
u
du
u
du
u 



 
 6
4
6
4
5
3
c
x
x



6
tan
4
tan 6
4
Problema 19
 
    dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
tan
sec
sec
1
sec
2
sec
tan
sec
sec
1
sec
tan
sec
sec
tan
tan
sec
sec
tan
sec
tan
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
3
5












dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x tan
sec
sec
tan
sec
sec
2
tan
sec
sec 2
4
6


 


c
u
u
u
du
u
du
u
du
u 





 

 3
5
2
7
2
3
5
7
2
4
6
c
x
x
x 


 3
5
7
sec
3
1
sec
5
2
sec
7
1
Problema 20
 
dx
x
x
sen
dx
x
x
sen
dx
x
x
sen
x
sen
dx
x
x
x
sen
dx
x
x
sen
cos
cos
cos
1
cos
cos
cos
5
3
2
3
2
3
3
3










    c
u
u
du
u
du
u 



 
 6
4
6
4
5
3
c
x
sen
x
sen



6
4
6
4
xdx
du
senx
u
cos


xdx
du
x
u
2
sec
tan


x
x
du
x
u
tan
sec
sec



ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I .
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.
S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:

3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:

6. Solución:
7. Solución:
8. Solución:

9. Solución:
10. Solución:
11. Solución:

En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el
siguiente ejercicio.
12. Solución:

SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO

Actividad complementaria II: Soluciones
Problema 1
Problema 2

Problema 3

Problema 4
Problema 5

Problema 6
Problema 7

Problema 8
Problema 9
Problema 10

Problema 11
Problema 12

Problema 13
Problema 14

Problema 15
Problema 16

Problema 17

INTEGRACIÓN POR PARTES.
ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.     
  







 c
x
xsenx
c
x
xsenx
senxdx
senx
x
xdx
x cos
cos
cos
xdx
dv
x
u
cos


senx
v
dx
du


2.
 
 
 
c
x
x
sen
x
x
x
x
x
sen
x
x
x
dx
x
sen
x
sen
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
vdu
uv
dv
u
dx
x
sen
x






























cos
2
2
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
2
2
2
2
2
2
x
sen
v
dx
du
dx
x
dv
x
u
dx
x
sen
dv
x
v
dx
x
du
x
u









cos
cos
2
2
3.
c
e
xe
dx
e
xe
dx
xe
x
x
x
x
x




 

x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u




4.
 
c
e
ex
e
x
dx
e
xe
e
x
dx
x
e
e
x
dx
x
e
e
x
vdu
uv
dv
u
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
e
v
dx
x
du
dx
e
dv
x
u








2
2

5.   
   
 






 dw
e
we
dw
e
we
dw
we
dw
we
dx
xe
x
dx
e
x w
w
w
w
w
w
x
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
3
u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew



 c
e
we w
w
2
1
2
1
c
e
e
x x
x


2
2
2
1
2
1 2
6. c
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
x
dx
x
x
Ln
x
dx
x
Ln 





  

dx
dv
x
Ln
u


x
v
x
dx
du


7.
   












dx
x
dx
x
Ln
x
x
Lnx
x
dx
x
x
Ln
x
x
x
Ln
x
dx
x
xLn
2
2
c
x
x
x
x
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
x
x
x
Ln
x
dx
x
Ln
x
dx
Lnx
x













 
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
ln
2
1
2
2
2
x
x
Ln
x
v
dx
du
dx
x
Ln
dv
x
u





8
 
 
 
c
x
sen
x
x
x
sen
x
x
sen
x
x
x
sen
x
dx
x
x
x
x
sen
x
dx
x
x
x
x
sen
x
dx
x
sen
x
x
sen
x
dx
x
senx
x
sen
x
vdu
uv
dv
u
dx
x
x































2
cos
2
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
x
v
dx
du
dx
x
sen
dv
x
u
x
sen
v
dx
x
du
dx
x
dv
x
u
cos
2
cos
2









xdx
dw
xdx
dw
x
w



2
2
2

9.
x
x
e
v
dx
x
du
dx
e
dv
x
u
2
2
2
3
2
1
3




u
u
e
du
e
dx
du
dx
du
x
u
2
1
2
1
2
2
2






c
e
xe
e
xe
dx
e
xe
dx
e
e
x
dx
xe
x
x
x
x
x
x
x
x
x















 

 4
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 



 x
2
u
u
u
x
2
e
2
1
e
2
1
du
e
2
1
2
du
e
dx
e
v
Finalmente la integral original se resuelve así:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xe
xe
e
x
e
x
c
x
e
xe
e
x
e
x
dx
e
xe
e
x
e
x
dx
e
x
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
8
3
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
2
4
3
4
3
4
3
2


















 

































dx
xe
e
x
e
x
dx
x
e
e
x
e
x
dx
e
x
e
x
dx
x
e
e
x
vdu
uv
dv
u
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
3
2
3
2
1
2
x
x
e
dv
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
2
2
2
1






dx
du
dx
du
x
u



2
2
2

10.


 dx
xe x
c
e
xe
)
e
(
xe
dx
e
xe
dx
e
)
e
(
x x
x
x
x
x
x
x
x













 







 
INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.
PROBLEMA 1.
=
=
PROBLEMA 2.
x
x
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u








=
=
= -
=
COMPROBACIÓN
= =
= =
= =
PROBLEMA 3.
=
=

=
COMPROBACIÓN
PROBLEMA 4.
=
= =
PROBLEMA 5.
=
=
PROBLEMA 6.









 


d
ctg
tg
3
= =

PROBLEMA7.
u cosy du seny dy seny dy
( ) 2 (
du du du 2 ·
c
y y +
2 (1 y y) c

PROBLEMA 8

INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE
PROBLEMA 1.


 x
x
dx
3
Hacemos la sustitución :
x
u 
6
ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3
du
u
dx
x
u
5
6
6
1


; Además
2
3
u
x  3
u
x 
   



 u
du
u
u
u
du
u
x
x
dx
1
6
6 3
3
2
5
3
Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt
   
 






t
dt
t
t
t
t
dt
t 1
3
3
6
1
6
2
3
3
      c
u
u
u
u
c
t
t
t
t
dt
t
t
t































 
1
ln
6
1
18
1
9
1
2
ln
3
2
3
3
6
1
3
3
6
2
3
2
3
2
Por lo tanto:
      c
x
x
x
x
x
x
dx










 1
ln
6
1
18
1
9
1
2 6
6
2
6
3
6
3
INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡

PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!
dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :
dx = dx
u = 2
du = dx
=6 dx
dx
⋅ du ⋅ c
COMPROBACIÓN:
d ⋅ 4

INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
PARTES
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.

PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.

PROBLEMA 5.
- Demostrar la siguiente igualdad :







 xdx
sen
n
n
n
x
x
sen
xdx
sen n
n
n 2
1
1
cos
Solución:
xsenxdx
sen
xdx
sen n
n



 1
Proponiendo: u= x
senn 1

Dv= senxdx
 






 xdx
xsen
n
x
xsen
xdx
sen n
n
n 2
2
1
cos
1
cos
   
 




 

xdx
sen
n
xdx
sen
n
x
xsen n
n
n
1
1
cos 2
1
Agrupando se tiene:







 xdx
sen
n
n
n
x
x
sen
xdx
sen n
n
n 2
1
1
cos
…… Así queda demostrado
PROBLEMA 6.
 


 dx
x
Cos
e
x
Cos
e
dx
x
Sen
e x
x
x
3
9
3
3
3
3
3
3
x
e
u 3
 dx
x
Sen
dv
3
 ; x
e
u 3
 dx
x
Cos
dv
3

dx
e
du x
3
3
 dx
e
du
x
Cos
v x
3
3
;
3
3 


3
3
x
Sen
v 
C
x
Cos
x
Sen
e
dx
x
Sen
e
x
Sen
e
x
Cos
e
x
x
x
x












 
3
3
9
82
3
3
81
3
27
3
3
3
3
3
3

PROBLEMA 7.

 xdx
xn
ln
 


































dx
x
n
x
n
x
x
dx
x
n
x
n
x
x
dx
n
x
x
n
x
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
ln
1
 
c
n
x
n
x
c
n
x
x
n
x
c
n
x
n
l
x
n
x
dx
x
n
l
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n









































1
1
ln
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
ln
1
1
2
1
1
1
1
1
PROBLEMA 8.
Sea u= x ; du= dx
dv= ;
w= ;
V= -
V= -

PROBLEMA 9
u= arctanx ;
dv = xdx ; v=
Haciendo la división:

PROBLEMA 10.
Sea u=
Integrando por partes

PROBLEMA 11.
Sea
Integrando esta ultima por partes:

x
u
x²-9
3
x
z
x²+16
4
ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS
INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMA 1.
5
Secu
x 3 secu
dx 3 secu tgu du
5 45
15 15 udu 15tgu = 15 +C
5
PROBLEMA 2
tg z
x 4 tgz
dx 4
4
4 4 4 4tg z 4z
x 4arctg

x
u
9-x²
3
PROBLEMA 3
5 25 25 5
Sen u
x 5 senu
dx 5 cos u du
5 25 5 5 5 u al llegar a ésta
parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es
el
ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen
el resultado final es: 5 arcsen +c
PROBLEMA 4
Sen u
x 3senu
dx 3cosu du
9 9 9 cos2u) du

v 2u
dv 2du
du
u · arc sen senv
arc sen sen 2v c arc sen · · c
arc sen x
PROBLEMA 5
Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado
a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !
PROBLEMA 6
Sec w x
dx secw tgw dw
=
= = + c
PROBLEMA 7

PROBLEMA 8
=
= =
= =
= + + c = + + C
PROBLEMA 9
PROBLEMA 10
1
x
1-x²

PROBLEMA 11

Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales
indicando planteamientos ,operaciones y resultado.
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

Solución:
(Fig.1)

Solución:
Solución:

Solución:

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO
EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
S o l u c i o n e s

Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,
cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Ejercicios resueltos

S o l u c i o n e s

MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.
Caso 1-
De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1
A-4B=0
Resolviendo este sistema obtenemos: A=

Efectuando la división
Caso 2
De ésta identidad obtenemos
A=6
-2A-B=-8
A+B+C=3
Resolviendo el sistema tenemos
A=6 ; B=-4 ; C=1
=

Sea u=1-x ;
=-
=- +4
=-
Caso
-x+3=A (
-x+3=A
-x+3=(A+B)
De esta identidad obtenemos que
A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3
Resolviendo el sistema
A= 1 , B = -1 , C = 1

Sea u=
=
=
=
Caso IV.- =
+Cx+D
+(A+C) x+B+D
De esta identidad tenemos
A=2
B=0
A+C=0
B+D=0
Resolviendo el sistema
A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0
∴
Sea u=
=

Realizando división:
dx
Caso 1
5x+4 = A
5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B
5x+4=(A+B) x + 2A-4B
De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema
A+B = 5
2A-4B =
Resolviendo el sistema obtenemos
A=4 ;B=1
= x + 4
= x +
6)
Multiplicando ambos miembros por eliminamos los
denominadores y obtenemos :
X=A(x-2)+B = Ax-2A+B

De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0
Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2
Sea
=
=
=
7)
Caso 1
Ax+A+Bx+2B
De esta identidad tenemos:
A+B=5
A+2B=8
Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3
=2

8) Caso 3
(A+B)
De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6
Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0
=2 =
9)
A A+B +Ct-2C-2Bt
A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C
DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA:
A+B=2
C-2B=-4
4A-2C=-4
RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0

PROBLEMA DE CONCURSO

¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA!
P1)

P2)
P3)

La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes
=
P4)

=
P5)

P6)
P7)

P8)

P9)
Integrando ésta última por partes :

P10)
P11)

P12) -
P13)

BIBLIOGRAFÍA
AYRES, F. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”. SERIE SCHAUM, MC GRAW-HILL,
MÉXICO.
BOSCH-GUERRA. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”.ED.PUBLICACIONES
CULTURAL,MÉXICO
DEL GRANDE, D. “CÁLCULO ELEMENTAL”. ED. HARLA, MÉXICO
ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL”.GRUPO EDITORIAL
IBEROAMÉRICA.MÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.
FUENLABRADA, S. “CÁLCULO INTEGRAL”. ED. TRILLAS, MÉXICO
GRANVILLE,W.A. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, ED. LIMUSA, MÉXICO
LEITHOLD, L. “CÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO
PURCELL, E.J. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, MÉXICO.
STEWART, J. “CALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.THOMPSON, MÉXICO.
SWOKOWSKY, E. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA,
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ZILL,D.G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO.
FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.

PÁGINAS ELECTRÓNICAS
http://www.vitutor.com
http://www.vadenumeros.es
http://www.vadenumeros.es/index.htm
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