1. Se presenta un modelo matemático para describir el fenómeno de la osmosis a través de una membrana semipermeable.
2. La ecuación diferencial propuesta para describir la evolución de la concentración de sal CA(t) es dCA/dt = σ(M - CA(t)), donde M es el promedio de concentraciones.
3. Esta ecuación diferencial surge de una ley física interpretada como que el aumento de concentración es proporcional a la diferencia entre el promedio y la concentración actual, lo que
Microsoft es la compañía de software más grande del mundo, fundada en 1975. Aunque es conocida por sus lenguajes de programación y aplicaciones, su mayor éxito ha venido de sus sistemas operativos Windows y DOS. En años recientes, las grandes empresas han migrado sus antiguos sistemas de información a ERP para enfocar más sus aplicaciones a ERP. Los ERP brindan ventajas como compartir información entre áreas, reducir procesos y tiempo, y están siendo adoptados por PyMES en Latinoamérica.
El documento describe varias tecnologías clave involucradas en la Web 2.0, incluyendo blogs, wikis, multimedia, SlideShare, gestores web, RSS y mapas conceptuales. Explica que la Web 2.0 se centra en el usuario final y permite que los usuarios creen y compartan contenido. También describe cómo cada tecnología, como los blogs, wikis y RSS, permite nuevas formas de crear y compartir información en línea de manera colaborativa.
TELEMEDICINA:Se define como telemedicina la prestación de servicios de medicina a distancia. Para su implementación se emplean usualmente tecnologías de la información y las comunicaciones.
Este documento presenta un nuevo canal de televisión por internet llamado Punkl dirigido a adolescentes entre 12 y 17 años. El canal transmitirá series, videos musicales, películas y programas de entretenimiento. Su visión es convertirse en el líder de internet y televisión de paga para adolescentes a través de una nueva forma de ver televisión. El canal usará publicidad patrocinada para generar vínculos entre marcas y adolescentes.
Este proyecto busca mejorar la eficiencia y reducir la contaminación de las motos de dos tiempos mediante la implementación de dos inyectores electrónicos controlados por el velocímetro y una modificación de la cámara de combustión, eliminando los boquetes de entrada actuales. Esto permitirá una combustión más completa que aproveche mejor el combustible y reduzca las emisiones de gases contaminantes.
Este documento presenta un syllabus para el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. El curso se divide en 4 unidades que cubren ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales de orden superior, resolución con series de potencias, y la transformada de Laplace. El objetivo principal es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y aplicarlos a problemas de ingeniería y ciencias.
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias wolanski noemianiguac1
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria describe la trayectoria de una partícula moviéndose en un campo de velocidades. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden en una y más variables, y cómo los datos iniciales determinan una solución única. También introduce sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la dinámica de partículas bajo la acción de fuerzas.
Microsoft es la compañía de software más grande del mundo, fundada en 1975. Aunque es conocida por sus lenguajes de programación y aplicaciones, su mayor éxito ha venido de sus sistemas operativos Windows y DOS. En años recientes, las grandes empresas han migrado sus antiguos sistemas de información a ERP para enfocar más sus aplicaciones a ERP. Los ERP brindan ventajas como compartir información entre áreas, reducir procesos y tiempo, y están siendo adoptados por PyMES en Latinoamérica.
El documento describe varias tecnologías clave involucradas en la Web 2.0, incluyendo blogs, wikis, multimedia, SlideShare, gestores web, RSS y mapas conceptuales. Explica que la Web 2.0 se centra en el usuario final y permite que los usuarios creen y compartan contenido. También describe cómo cada tecnología, como los blogs, wikis y RSS, permite nuevas formas de crear y compartir información en línea de manera colaborativa.
TELEMEDICINA:Se define como telemedicina la prestación de servicios de medicina a distancia. Para su implementación se emplean usualmente tecnologías de la información y las comunicaciones.
Este documento presenta un nuevo canal de televisión por internet llamado Punkl dirigido a adolescentes entre 12 y 17 años. El canal transmitirá series, videos musicales, películas y programas de entretenimiento. Su visión es convertirse en el líder de internet y televisión de paga para adolescentes a través de una nueva forma de ver televisión. El canal usará publicidad patrocinada para generar vínculos entre marcas y adolescentes.
Este proyecto busca mejorar la eficiencia y reducir la contaminación de las motos de dos tiempos mediante la implementación de dos inyectores electrónicos controlados por el velocímetro y una modificación de la cámara de combustión, eliminando los boquetes de entrada actuales. Esto permitirá una combustión más completa que aproveche mejor el combustible y reduzca las emisiones de gases contaminantes.
Este documento presenta un syllabus para el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. El curso se divide en 4 unidades que cubren ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales de orden superior, resolución con series de potencias, y la transformada de Laplace. El objetivo principal es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y aplicarlos a problemas de ingeniería y ciencias.
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias wolanski noemianiguac1
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria describe la trayectoria de una partícula moviéndose en un campo de velocidades. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden en una y más variables, y cómo los datos iniciales determinan una solución única. También introduce sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la dinámica de partículas bajo la acción de fuerzas.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
- Contributing to open source projects to build experience and network.
- Developing a personal brand through a website and social media presence.
- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
Creative operations teams expect increased AI use in 2024. Currently, over half of tasks are not AI-enabled, but this is expected to decrease in the coming year. ChatGPT is the most popular AI tool currently. Business leaders are more actively exploring AI benefits than individual contributors. Most respondents do not believe AI will impact workforce size in 2024. However, some inhibitions still exist around AI accuracy and lack of understanding. Creatives primarily want to use AI to save time on mundane tasks and boost productivity.
Organizational culture includes values, norms, systems, symbols, language, assumptions, beliefs, and habits that influence employee behaviors and how people interpret those behaviors. It is important because culture can help or hinder a company's success. Some key aspects of Netflix's culture that help it achieve results include hiring smartly so every position has stars, focusing on attitude over just aptitude, and having a strict policy against peacocks, whiners, and jerks.
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
PepsiCo provided a safe harbor statement noting that any forward-looking statements are based on currently available information and are subject to risks and uncertainties. It also provided information on non-GAAP measures and directing readers to its website for disclosure and reconciliation. The document then discussed PepsiCo's business overview, including that it is a global beverage and convenient food company with iconic brands, $91 billion in net revenue in 2023, and nearly $14 billion in core operating profit. It operates through a divisional structure with a focus on local consumers.
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
This document provides an overview of content methodology best practices. It defines content methodology as establishing objectives, KPIs, and a culture of continuous learning and iteration. An effective methodology focuses on connecting with audiences, creating optimal content, and optimizing processes. It also discusses why a methodology is needed due to the competitive landscape, proliferation of channels, and opportunities for improvement. Components of an effective methodology include defining objectives and KPIs, audience analysis, identifying opportunities, and evaluating resources. The document concludes with recommendations around creating a content plan, testing and optimizing content over 90 days.
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
The document provides guidance on preparing a job search for 2024. It discusses the state of the job market, focusing on growth in AI and healthcare but also continued layoffs. It recommends figuring out what you want to do by researching interests and skills, then conducting informational interviews. The job search should involve building a personal brand on LinkedIn, actively applying to jobs, tailoring resumes and interviews, maintaining job hunting as a habit, and continuing self-improvement. Once hired, the document advises setting new goals and keeping skills and networking active in case of future opportunities.
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
The document provides career advice for getting into the tech field, including:
- Doing projects and internships in college to build a portfolio.
- Learning about different roles and technologies through industry research.
- Contributing to open source projects to build experience and network.
- Developing a personal brand through a website and social media presence.
- Networking through events, communities, and finding a mentor.
- Practicing interviews through mock interviews and whiteboarding coding questions.
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
1. Core updates from Google periodically change how its algorithms assess and rank websites and pages. This can impact rankings through shifts in user intent, site quality issues being caught up to, world events influencing queries, and overhauls to search like the E-A-T framework.
2. There are many possible user intents beyond just transactional, navigational and informational. Identifying intent shifts is important during core updates. Sites may need to optimize for new intents through different content types and sections.
3. Responding effectively to core updates requires analyzing "before and after" data to understand changes, identifying new intents or page types, and ensuring content matches appropriate intents across video, images, knowledge graphs and more.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Edo 2010 version1
1. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´
ISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ´ MATEMATICA
´
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
AXEL OSSES
Centro de Modelamiento Matem´tico
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa a
axosses@dim.uchile.cl
2. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
Se concede permiso para imprimir o almacenar una unica copia de este documento.
´
Salvo por las excepciones m´s abajo se˜aladas, este permiso no autoriza fotocopiar o re-
a n
producir copias para otro uso que no sea el personal, o distribuir o dar acceso a copias
electr´nicas de este documento sin permiso previo por escrito del Director del Departa-
o
mento de Ingenier´ Matem´tica (DIM) de la Facultad de Ciencias F´
ıa a ısicas y Matem´ticas
a
(FCFM) de la Universidad de Chile.
Las excepciones al permiso por escrito del p´rrafo anterior son: (1) Las copias electr´ni-
a o
cas disponibles bajo el dominio uchile.cl, (2) Las copias distribuidas por el cuerpo docente
de la FCFM en el ejercicio de las funciones que le son propias.
Cualquier reproducci´n parcial de este documento debe hacer referencia a su fuente
o
de origen.
Este documento fue financiado a trav´s de los recursos asignados por el DIM para la
e
realizaci´n de actividades docentes que le son propias.
o
3. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
El texto original, excepto el ultimo cap´
´ ıtulo, fue elaborado por el autor en
el periodo 2002-2010, fue revisado por Juan Peypouquet el 2008 quien corrigi´ y o
agreg´ varias secciones y ejercicios a lo largo del texto y luego en 2010 por el
o
propio autor. El Cap´ ıtulo sobre C´lculo de Variaciones fue agregado el 2009 por
a
gentileza de su autor el profesor Felipe Alvarez. Este texto y el material docente de
ejercicios que lo acompa˜ a recibi´ aportes de los siguientes alumnos de la Facultad
n o
de Ciencias F´ısicas y Matem´ticas en el periodo 2002-2008: Francisco Ortega, Oscar
a
Peredo, Andre De Laire, Jorge Lemus, Nicol´s Carre˜ o, Felipe Serrano.
a n
5. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
´
Indice general
Cap´
ıtulo 1. Nociones b´sicas y m´todos elementales de resoluci´n
a e o 1
1. Motivaci´n: leyes f´
o ısicas y problemas geom´tricos
e 1
2. Definiciones b´sicas y noci´n de soluci´n de una EDO
a o o 5
3. Ecuaciones diferenciales elementales 7
4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales 19
Cap´
ıtulo 2. Existencia, Unicidad y M´todos Num´ricos
e e 29
1. Definiciones b´sicas
a 29
2. El problema de Cauchy 31
3. Los teoremas de existencia y unicidad 32
4. Aproximaci´n mediante m´todos num´ricos
o e e 34
Cap´
ıtulo 3. EDO lineales de orden superior 47
1. La EDO lineal de orden n 47
2. Estudio completo de la ecuaci´n de orden dos
o 50
3. M´s sobre la estructura de la soluci´n
a o 56
4. EDO lineal de orden n a coeficientes constantes 61
5. EDO lineal de orden n a coeficientes variables 70
Cap´
ıtulo 4. Transformada de Laplace 79
1. Definiciones y ejemplos 79
2. Propiedades b´sicas de la transformada de Laplace
a 83
3. Antitransformadas y aplicaciones 88
4. Funciones y derivadas generalizadas 93
Cap´
ıtulo 5. Sistemas lineales de primer orden 99
1. Introducci´n
o 99
2. Sistemas lineales y ecuaciones de orden superior 101
3. Los teoremas de existencia y unicidad 103
4. Estructura de las soluciones 110
5. Resoluci´n de sistemas lineales
o 114
Cap´
ıtulo 6. An´lisis cualitativo de sistemas no lineales
a 137
1. Sistemas no lineales y sistemas linealizados 138
2. Diagramas de fase y de flujo 144
3. Clasificaci´n de los puntos cr´
o ıticos 146
4. Puntos cr´
ıticos de sistemas lineales 152
5. Funciones de Liapunov y estabilidad 161
Indice anal´
ıtico 167
5
7. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
Cap´
ıtulo 1
Nociones b´sicas y m´todos elementales de
a e
resoluci´n
o
1. Motivaci´n: leyes f´
o ısicas y problemas geom´tricos
e
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son identidades que vinculan una funci´n
o
con sus derivadas. Por ejemplo, si y(t) denota el n´ mero de bacterias en una colonia
u
en funci´n del tiempo1, la ecuaci´n diferencial
o o
y ′ (t) = σy(t)
donde σ es una constante positiva, expresa que el aumento de la poblaci´n bacte-
o
riana, representada por la derivada y ′ , es proporcional a la propia poblaci´n y, esto
o
es, mientras m´s bacterias hay, m´s r´pido ellas se multiplican.
a a a
La soluci´n de una ecuaci´n diferencial es una funci´n y no un n´ mero, a
o o o u
diferencia de las ecuaciones algebraicas. En el ejemplo anterior se trata de encontrar
la funci´n y(t): n´ mero de bacterias en funci´n del tiempo. Una posible soluci´n es
o u o o
la funci´n:
o
y(t) = y0 eσt
donde y0 es el n´ mero inicial de bacterias en t = 0. Este tipo de soluciones expo-
u
nenciales aparecer´n recurrentemente en la teor´ y en la pr´ctica.
a ıa a
Las ecuaciones diferenciales aparecen con frecuencia en muchas ramas de la
matem´tica, y sirven para plantear y resolver problemas provenientes de la f´
a ısica, la
ingenier´ la econom´ la biolog´ y de las ciencias sociales, entre otras disciplinas.2
ıa, ıa, ıa
Veremos a trav´s de algunas leyes f´sicas y de algunos problemas geom´tricos
e ı e
que una ecuaci´n diferencial es una forma simple de reproducir y en el mejor de los
o
casos explicar una situaci´n real, esto es, al fin y al cabo una forma util de modelar.
o ´
1.1. Modelamiento de un fen´meno en biolog´ la osmosis. Analice-
o ıa:
mos el fen´meno de la osmosis, presente en muchos procesos fisiol´gicos. Conside-
o o
remos un experimento en que disponemos dos medios de salmuera A y B separados
0 0
por una membrana impermeable en t = 0 con concentraciones iniciales CA y CB
0 0
con CA < CB . En un instante t > 0 la membrana que los separa se vuelve semi-
permeable y permite el paso de las mol´culas de agua, pero no de las mol´culas de
e e
sal disueltas (ver Figura 1). El problema es modelar la evoluci´n de las concentra-
o
ciones de sal CA (t) y CB (t) en funci´n del tiempo. Se observa experimentalmente
o
que a medida que el tiempo transcurre, el agua se desplaza a trav´s de la membrana
e
desde la soluci´n de baja concentraci´n A hacia la de alta concentraci´n B hasta
o o o
1A menudo llamaremos a una funci´n y : R → R por y(t) simplemente y su derivada por y ′
o
siempre que ´sta exista.
e
2Las ecuaciones diferenciales se conocen tambi´n bajo otros nombres en ciencias e ingenier´
e ıa
tales como: modelos diferenciales, ecuaciones de evoluci´n, sistemas din´micos, etc.
o a
1
8. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
2 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
0 0
CA CB C (t)
A
C (t)
B
t=0 t>0
Figura 1. Osmosis por una membrana semipermeable.
alcanzar asint´ticamente un valor de equilibrio como se muestra en el gr´fico de la
o a
Figura 2.
Se constata, tambi´n experimentalmente, que este valor de equilibrio correspon-
e
de al promedio M de concentraciones, el cual es conservado a trav´s del tiempo.
e
Esto tiene dos consecuencias: dicho promedio debe ser igual al promedio de las con-
centraciones iniciales y es por lo tanto conocido. Adem´s, como CA (t)+CB (t) = 2M
a
es constante, podemos obtener en cada instante t la concentraci´n en B conociendo
o
la de A y viceversa. As´ es que el problema se reduce a encontrar solamente la
ı
funci´n CA (t).
o
CB
M
CA
t
Figura 2. Evoluci´n de las concentraciones durante la osmosis
o
que convergen asint´ticamente al promedio M de las concentracio-
o
nes de ambos medios.
Si registramos en un gr´fico el logaritmo natural de la diferencia M − CA (t)
a
en funci´n del tiempo, observaremos que la curva experimental se ajusta bien a
o
una recta de pendiente negativa −σ. Una hip´tesis razonable es entonces un ajuste
o
exponencial de CA (t) a la as´
ıntota de ordenada M , en efecto,
ln(M − CA (t)) = −σt + C ⇒ CA (t) = M − K e−σt ,
donde K es una constante que se obtiene imponiendo la condici´n inicial CA (0) =
o
0 0
CA lo que nos da K = M − CA . Reemplazando la constante K en la expresi´n o
9. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
1. MOTIVACION: LEYES F´
´ ´
ISICAS Y PROBLEMAS GEOMETRICOS 3
anterior, esto nos provee de la f´rmula siguiente para la concentraci´n buscada:
o o
(1) CA (t) = M − (M − CA (0))e−σt .
Esta funci´n representa un buen modelo de la realidad, ya que se ajusta razo-
o
nablemente bien a las mediciones experimentales, sin embargo, nos resulta todav´ ıa
misterioso por qu´ deber´
e ıamos aceptar este modelo de crecimiento exponencial como
un modelo razonable y no otro modelo diferente, por ejemplo, un ajuste polinomial
por pedazos.
Esto nos lleva a preguntarnos ¿hay alguna ley o principio que explique el
fen´meno de la osmosis? Una idea, que resulta ser fundamental, consiste en es-
o
tudiar si existe una relaci´n simple entre la concentraci´n CA (t) y su aumento
o o
′
CA (t). Derivando (1) obtenemos:
′
CA (t) = σ Ke−σ t
= σ Ke−σ t + σ M − σ M
= σ(M − (M − Ke−σ t ))
esto es, la relaci´n buscada es:
o
′
(2) CA (t) = σ(M − CA (t)).
Entonces la soluci´n (1) satisface (2). Interpretando (2) encontramos una relaci´n
o o
diferencial simple y comprensible que podemos enunciar como la ley siguiente:
Ley de Osmosis
“El aumento de concentraci´n es proporcional en cada ins-
o
tante a la diferencia de concentraci´n entre el promedio
o
asint´tico de concentraciones y la concentraci´n actual. La
o o
constante de proporcionalidad cuantifica la permeabilidad
de la membrana.”
La ley de osmosis representada por la ecuaci´n diferencial (2) provee una inter-
o
pretaci´n m´s intuitiva y profunda del proceso de osmosis. M´s adelante veremos
o a a
que (2) tiene como soluci´n (1). La otra ventaja esta ley es que, aparte de su sim-
o
plicidad, sirve para modelar por analog´ otros problemas similares, como lo es la
ıa
ley de enfriamiento o algunos modelos de poblaci´n, que veremos m´s adelante.
o a
Ejercicio Propuesto 1.1. Si en el gr´fico del experimento de la Figura 2, el
a
aumento de la concentraci´n en A hubiese resultado con una forma sigmoide (esto es
o
estrictamente creciente hacia la as´
ıntota pero con un punto de inflexi´n) ¿Qu´ mo-
o e
delo diferencial propondr´ usted para este fen´meno? Indicaci´n: averiguar sobre
ıa o o
el modelo de crecimiento log´ıstico.
1.2. Modelamiento de otros fen´menos naturales. Muchos fen´menos
o o
de la naturaleza pueden modelarse a trav´s de relaciones entre cantidades y sus va-
e
riaciones3, esta idea revolucionaria para la ciencia fue introducida en el siglo XVII
entre otros por Fermat, Newton y Leibniz. En t´rminos matem´ticos, estamos ha-
e a
blando en todos los casos de identidades que relacionan una funci´n y sus derivadas
o
o sea, de ecuaciones diferenciales.
3o fluxiones en la terminolog´ original de Newton, que da la idea de continuo temporal.
ıa
10. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
La mayor´ de las leyes f´
ıa ısicas pueden representarse por ecuaciones diferenciales
que involucran alguna funci´n como inc´gnita, la que puede representar por ejemplo
o o
el movimiento de un cuerpo o la concentraci´n de una especie qu´
o ımica. Dichas
ecuaciones diferenciales suelen ser simples, sin embargo el encontrar la funci´n o
inc´gnita puede llegar a ser una ardua o imposible tarea. Un ejemplo es la ley
o
de la gravitaci´n universal, que modela el movimiento de los planetas alrededor del
o
sol:
´
Ley de gravitacion universal
“La aceleraci´n de un planeta es proporcional a la fuer-
o
za que sobre ´l ejerce el sol, cuya magnitud es inversa al
e
cuadrado de la distancia que los separa.”
Esta ley del siglo XVII lleva a dos ecuaciones con dos derivadas de la forma:
x y
x′′ = − , y ′′ = − 2
(x2
+y 2 )3/2 (x + y 2 )3/2
donde (x, y) es la posici´n del planeta en el plano de origen en el Sol. Estas ecuacio-
o
nes tienen como soluci´n elipses en el caso de un solo planeta. En el caso de varios
o
planetas, en realidad tambi´n ejercen fuerza sobre un planeta los dem´s planetas y
e a
no solamente el Sol, lo que lleva a ´rbitas much´
o ısimo m´s complicadas y al estudio
a
posterior de ´rbitas ca´ticas en el siglo XX por Poincar´ entre otros.
o o e
El movimiento de los planetas hace parte de los esos fen´menos en los que
o
se conoce la ley y por lo tanto las ecuaciones diferenciales que representan dicho
fen´meno, pero no se logra comprender completamente la soluci´n a dichas ecua-
o o
ciones. La ley de movimiento en este caso resulta m´s simple que el movimiento en
a
si.4
Este ejemplo nos muestra a dem´s que las ecuaciones diferenciales se pueden
a
presentar en grupos de dos o m´s formando sistemas de ecuaciones diferenciales.5
a
Ejercicio Propuesto 1.2. Averigue qui´n recopil´ los datos a partir de los
e o
que Kepler postul´ la idea de ´rbitas el´
o o ıpticas.
1.3. Modelamiento de problemas geom´tricos. Las ecuaciones diferen-
e
ciales pueden ser tambi´n utiles para plantear y resolver problemas geom´tricos.
e ´ e
Puede servir por ejemplo para agrupar una familia de curvas. Veamos el caso de
las familias ortogonales.
Consideremos la familia F de todas las par´bolas con v´rtice en el origen defi-
a e
nidas por la ecuaci´n y = ax2 , con a ∈ R. Derivando con respecto a x obtenemos
o
y ′ = 2ax. Si usamos la expresi´n anterior para eliminar el par´metro a obtenemos
o a
La ecuaci´n diferencial que representa la familiaF :
o
y
y′ = 2 .
x
Esta ecuaci´n diferencial revela la siguiente propiedad geom´trica de esta familia de
o e
par´bolas: la pendiente en cada punto es el doble de la pendiente de la recta que une
a
el punto con el origen. En general, algunas propiedades geom´tricas compartidas por
e
4Es el caso tambi´n de las ecuaciones de Navier-Stokes que modelan el movimiento de un
e
fluido tridimensional, y no se sabe si dan lugar o no a una unica soluci´n; o el de la ecuaci´n de
´ o o
Schr¨dinger, que modela la compleja dualidad onda-part´
o ıcula de manera incre´ıblemente simple.
5Ver Cap´ ıtulo 5.
11. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
´ ´ ´
2. DEFINICIONES BASICAS Y NOCION DE SOLUCION DE UNA EDO 5
las curvas de una familia pueden conocerse al inspeccionar la ecuaci´n diferencial
o
correspondiente.
Tratemos ahora de encontrar la familia G de todas las curvas que intersectan
de manera perpendicular a las par´bolas de la familia F . Esto es, G es la familia
a
ortogonal a la familia F .
Si la funci´n z ∈ G define una de estas curvas entonces z ′ (x)y ′ (x) = −1 para
o
toda y ∈ F y para todo x ∈ R siempre que z(x) = y(x), esto es, las curvas se
2y(x)
intersectan en el punto (x, y(x)). Dado que y ′ (x) = , la ecuaci´n que define a
o
x
la familia G resulta ser:
−1 −x x
z ′ (x) = ′ = =− .
y (x) 2y(x) 2z(x)
Notar que reemplazamos y por z pues las curvas se intersectan.
Tratemos de resolver la ecuaci´n diferencial anterior. Esto es, tratemos de en-
o
contrar la forma de la funci´n z(x) o m´s precisamente, las curvas (x, z). Tenemos
o a
que
2z(x)z ′ (x) = −x
d 2
z(x) = −x.
dx
Si integramos a ambos lados de la ecuaci´n obtenemos
o
x2
z(x)2 = −
+ C,
2
donde C es una constante. Escrito de otro modo, esto es
z2 x2
+ = 1.
C 2C
La familia G est´ integrada por todas las elipses que est´n centradas en el origen.
a a
Ejercicio Propuesto 1.3. En la discusi´n anterior, al reemplazar y por z,
o
x
dado que las curvas se intersectan, se obtiene la ecuaci´n z ′ = − 2z . Por otro lado,
o
1
si hubi´semos reemplazado y por y = ax llegamos a la ecuaci´n z ′ = − 2ax que
e 2
o
es completamente diferente. Conv´nzace de que no es correcto reemplazar y por
e
y = ax2 dado que a depende de x por lo que la segunda ecuaci´n no es v´lida.
o a
2. Definiciones b´sicas y noci´n de soluci´n de una EDO
a o o
´
Definicion 1.1. Una ecuaci´n diferencial ordinaria (abreviada EDO) es una
o
identidad de la forma
F (x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x), . . . , y (n) (x)) = 0,
donde x representa la variable independiente e y una la funci´n inc´gnita, llamada
o o
tambi´n soluci´n de la EDO. La funci´n F representa la relaci´n que liga las deri-
e o o o
vadas de y. Se dice que la ecuaci´n es ordinaria si se deriva con respecto a una sola
o
variable6.
6Si se deriva con respecto a varias variables, se habla de Ecuaci´n Diferencial Parcial (EDP).
o
Notemos que existen tambi´n las inecuaciones diferenciales, donde la igualdad en la Definici´n 1.1
e o
es reemplazada por una desigualdad.
12. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
6 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
En algunas situaciones, como en los problemas geom´tricos, resulta natural usar
e
x como variable independiente. En otras situaciones, como en los problemas donde
se deriva respecto del tiempo, es mucho m´s natural utilizar la letra t. En los pri-
a
meros cap´ ıtulos hemos escogido arbitrariamente x como la variable independiente,
pero cuando sea apropiado cambiaremos a t.
Consideraremos aqu´ que F es una funci´n a valores escalares, esto corresponde
ı o
a una sola ecuaci´n diferencial. Se puede considerar tambi´n que F tome valores
o e
vectoriales, pero en este caso se tratar´ de sistemas de ecuaciones diferenciales que
a
veremos m´s adelante.7
a
Resultar´ ultil introducir el orden de una EDO.
a´
´
Definicion 1.2. El orden de una ecuaci´n diferencial es el grado de derivaci´n
o o
m´ximo que aparece en la ecuaci´n que en este caso es el n´ mero natural n.
a o u
Finalmente, mencionemos la diferencia fundamental entre ecuaciones diferen-
ciales lineales y no lineales.
´
Definicion 1.3. Una EDO lineal de orden n es de la forma
(3) an (x)y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x),
donde las funciones ai (x) ∈ R, ∀i ∈ {1, . . . , n} son llamadas coeficientes de la EDO.
´
Definicion 1.4. Si Q(x) (llamado com´ nmente lado derecho de la EDO) es
u
id´nticamente nulo, la EDO lineal se dice homog´nea. Si Q(x) = 0, la EDO lineal
e e
se dice no homog´nea.
e
´
Definicion 1.5. Si los coeficientes ai (x) no dependen de x, se dice que la EDO
lineal es a coeficientes constantes. De lo contrario se dice que ella es a coeficientes
variables.
En el caso que an (x) = 0 se puede dividir la EDO (3) por an (x). La EDO que
as´ se obtiene con
ı
ai (x) Q(x)
an (x) = 1, ai (x) = , i = 0, . . . , n − 1, Q(x) =
an (x) an (x)
se dice que est´ normalizada8 . Utilizaremos la barra sobre los coeficientes y el lado
a
derecho para indicar normalizaci´n.
o
Una EDO no lineal es simplemente una EDO que no es lineal. Gran parte de
este texto concierne en el estudio de EDO lineales.9
Ejemplo 1.1. y(1 + (y ′ )2 ) = 4. EDO no lineal, de orden 1. Esta es la EDO de
la curva braquist´crona, que estudiaremos m´s a fondo en el Ejemplo 1.9.
o a
Ejemplo 1.2. xy ′ + c sen(x)y = tan(x). EDO lineal de orden 1 a coeficientes
variables, no homog´nea ni normalizada.
e
Ejemplo 1.3. y ′′ − 2y = 0. EDO lineal de orden 2 a coeficientes constantes,
homog´nea y normalizada.
e
7Ver Cap´ıtulo 5.
8Si a (x) = 0 para valores discretos de x, se puede normalizar por intervalos.
n
9
Resolveremos algunas EDO no lineales en este cap´ ıtulo usando m´todos elementales y al
e
final estudiaremos algunos sistemas no lineales en el Cap´
ıtulo 6 por linealizaci´n.
o
13. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 7
n orden de la EDO
Q(x) = 0 homog´nea
e
Q(x) = 0 no homog´nea
e
∀i, ai = cte coeficientes constantes
∃i, ai = ai (x) coeficientes variables
an = 1 normalizada
n
Cuadro 1. Clasificaci´n de la EDO lineal
o ai (x)y (i) = Q(x).
i=0
3. Ecuaciones diferenciales elementales
En este cap´ıtulo estudiaremos algunas t´cnicas que nos permitir´n determinar
e a
las soluciones de una gran cantidad de EDO. Comenzaremos por analizar cuatro
tipos de ecuaciones de primer orden que llamaremos elementales:
integraci´n directa: y ′ = f (x).
o
variables separables: y ′ = f (x)g(y).
lineal de primer orden homog´nea: y ′ + a0 (x)y = 0.
e
lineal de primer orden no homog´nea: y ′ + a0 (x)y = Q(x).
e
Posteriormente estudiaremos algunas otras ecuaciones de primer y segundo
orden que pueden reducirse a estos casos elementales.
Nos enfocaremos en la resoluci´n de las ecuaciones y no siempre seremos dema-
o
siado rigurosos en los aspectos te´ricos que justifican los c´lculos. Estos aspectos
o a
(existencia, unicidad, regularidad de la soluci´n) ser´n tratados con m´s profundi-
o a a
dad en cap´ ıtulos posteriores.
Para resolver los casos elementales, ser´ util el c´lculo de primitivas y recordar
a´ a
el conocido Teorema Fundamental del C´lculo.a
Teorema 1.1 (TFC). Sea f integrable en [a, b], entonces, dado x0 ∈ [a, b] e
y0 ∈ R, la funci´n y, definida por
o
x
y(x) = y0 + f (s)ds, para x ∈ [a, b],
x0
es continua en [a, b] y se tiene y(x0 ) = y0 . Si adem´s f es continua en [a, b] entonces
a
la funci´n y(x) es tambi´n derivable10 en [a, b] con derivada continua igual a f (x),
o e
esto es, se tiene que
x
(4) y(x) = y(x0 ) + y ′ (s)ds, ∀x ∈ [a, b]
x0
x
d
(5) f (s)ds = f (x) ∀x ∈ [a, b].
dx x0
Las identidades anteriores ser´n especialmente utiles en este y los pr´ximos
a ´ o
cap´
ıtulos por lo que se sugiere al lector recordarlas siempre.
10Derivable en el cerrado [a, b] significa derivable en el abierto (a, b) y con derivadas laterales
en a+ y b− .
14. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
8 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
3.1. Integraci´n directa. Consideramos una EDO del tipo
o
(6) y ′ = f (x).
Si la funci´n f es integrable (por ejemplo si es continua o continua por pedazos11),
o
gracias al TFC las soluciones existen y est´n dadas por:
a
(7) y= f (x)dx + C,
donde C ∈ R es una constante arbitraria.
Ejemplo 1.4. Las soluciones de la ecuaci´n y ′ = sen(x) son de la forma
o
y= sen(x)dx + C = − cos(x) + C, con C ∈ R.
Ejemplo 1.5. La ecuaci´n y ′ = x tiene como soluciones a las funciones de la
o
forma
x2
y = xdx + C = + C, con C ∈ R.
2
Denotaremos por C gen´ricamente a una constante arbitraria sin importar las
e
eventuales transformaciones biyectivas que la mantienen arbitraria (ponderaciones
por un √escalar no nulo, cambios de signo, suma de otra constante). Por ejemplo C,
2C, C/ 2, −C, C + 4 pueden ser representadas por una misma constante gen´rica.
e
Si la transformaci´n no es biyectiva, por ejemplo C 2 , entonces se pierde la arbi-
o
trariedad y es mejor escribir expl´ıcitamente C 2 o precisar de alg´ n modo que la
u
constante no puede ser negativa.
1
Ejemplo 1.6. Estudiemos la ecuaci´n y ′ = para x = 0.
o
x
dx
y= + C = ln(|x|) + C = ln(|x|) + ln(k) = ln(k|x|), k > 0.
x
En el c´lculo anterior hemos reemplazado la constante arbitraria C por ln(k) (don-
a
de k = eC > 0) para escribir la soluci´n de manera m´s compacta y sin perder
o a
arbitrariedad. Observemos tambi´n que el m´dulo en el logaritmo nos da la primi-
e o
tiva correcta de 1/x cuando x < 0. Como |x| no es derivable en x = 0, se considera
la resoluci´n de la EDO separadamente en cada intervalo (−∞, 0) y (0, ∞).
o
Supongamos ahora que queremos encontrar la soluci´n de (6) definida sobre un
o
intervalo I y que adem´s pase por cierto punto (x0 , y0 ) dado. Esto es, queremos
a
resolver el siguiente problema12:
y ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I,
y(x0 ) = y0 .
Integrando la ecuaci´n y ′ = f (x) entre x0 y x ∈ I obtenemos
o
11Ver Cap´
ıtulo 4, donde las funciones constantes por pedazos aparecen de manera natural.
12Ver Cap´
ıtulo 2 donde se estudia este problema conocido como problema de Cauchy.
15. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 9
x x
y ′ (s)ds = f (s)ds
x0 x0
y del TFC (identidad (4)), se tiene que
x
(8) y(x) = y(x0 ) + f (s)ds.
x0
x
Deteng´monos aqu´ para comparar (7) y (8). La funci´n F (x) = x0 f (s)ds en (8)
a ı o
es una primitiva bien particular de f : aquella que cumple F (x0 ) = 0. Entonces la
constante C en (7) deja de ser arbitraria y se tiene que C = y(x0 ).
Esto nos dice que el problema de Cauchy que nos planteamos tiene una unica´
soluci´n para cada condici´n inicial.
o o
En las ecuaciones de primer orden que estudiaremos en este curso, siempre po-
dremos determinar la constante arbitraria si conocemos el valor de la funci´n en un
o
punto del intervalo13.
3.2. Variables separables. Una EDO en variables separables tiene la forma
siguiente:
(9) y ′ = f (x)g(y).
Lo primero que observamos es que si g(y0 ) = 0 entonces la funci´n constante
o
y(x) ≡ y0 define una soluci´n de la EDO (9). Para los valores de y donde g(y) = 0
o
y′
se tiene g(y) = f (x). Integrando y usando el Teorema del cambio de variables
obtenemos
y ′ (x) dy
(10) dx = = f (x)dx + C,
g(y(x)) g(y)
1
donde C ∈ R es una constante. Si G es una primitiva de g y F es una primitiva de
f entonces
G(y) = F (x) + C.
Si queremos una f´rmula expl´
o ıcita para las soluciones debemos despejar y en funci´n
o
de x en la relaci´n anterior14. Si no se puede despejar y, las soluciones quedan
o
expresadas de manera impl´ ıcita o param´trica (ver Ejemplo 1.9).
e
Ejemplo 1.7. Analicemos la ecuaci´n
o
y ′ = xy.
Aqu´ f (x) = x y g(y) = y. Observemos primero que la funci´n nula y(x) ≡ 0 define
ı o
una soluci´n de la EDO. Si y = 0 hacemos
o
dy
= x dx + C.
y
Tenemos entonces que
x2
ln(|y|) = + C,
2
13Para ecuaciones de orden n necesitaremos conocer los valores de la funci´n y sus derivadas
o
hasta el orden n − 1 pues las integraciones sucesivas arrojar´n m´s constantes.
a a
14El Teorema de la Funci´n Impl´
o ıcita, que se estudia en el curso de C´lculo en Varias Varia-
a
bles, da las condiciones para que esto sea posible.
16. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
10 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
de donde
x2 x2
|y| = exp +C = ke 2 ,
2
donde k = eC > 0. Eliminando el m´dulo y considerando los posibles valores
o
positivos y negativos vemos que todas las soluciones son de la forma
x2
y = ke 2 ,
con k ∈ R (el valor k = 0 nos da la soluci´n nula).
o
Ejemplo 1.8. Estudiemos ahora la EDO
y ′ = cos2 (y).
En este caso f (x) = 1 y g(y) = cos2 (y). Las soluciones constantes son de la forma
y(x) ≡ π + kπ con k ∈ Z. Para encontrar las dem´s soluciones,
2 a
dy
= dx + C
cos2 (y)
sec2 (y)dy = x+C
tan(y) = x + C,
donde C ∈ R. Para y ∈ (− π , π ) esto es
2 2
y = arctan(x + C).
Para los dem´s valores de y debemos tener en cuenta la periodicidad de la funci´n
a o
tangente. Tenemos entonces que todas las soluciones no constantes son de la forma
y = kπ + arctan(x + C),
con C ∈ R y k ∈ Z.
3π
2
π
2
−π
2
− 3π
2
17. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 11
Ejercicio Propuesto 1.4. Para el problema de Cauchy, vea c´mo funciona
o
el m´todo con integrales definidas. Si se integra entre x0 ∈ I y x ∈ I a ambos lados
e
de (9), se tiene que
y(x) x
dy
= f (x)dx.
y(x0 ) g(y) x0
1
Como antes, si G es primitiva de g y F es primitiva de f , se tiene que
G(y(x)) = F (x) − F (x0 ) + G(y(x0 ))
= F (x) + C
con C = G(y(x0 )) − F (x0 ) constante. Compare (10) y (11) como se hizo antes entre
(7) y (8).
En el siguiente ejemplo la soluci´n queda definida param´tricamente.
o e
Ejemplo 1.9. [Braquist´crona] Se denomina as´ a la forma que debe tener un
o ı
alambre para que una argolla que se desliza por ´l sin roce bajo la acci´n de la
e o
gravedad de un punto a otro de menor altura y no en la misma vertical, lo haga en
el menor tiempo posible.
La EDO que describe la forma de la curva es
y(1 + (y ′ )2 ) = k2 ,
donde k es una constante positiva. Utilizando el m´todo de separaci´n de variables,
e o
se tiene
1
′ k2 − y 2
y =
y
√
y
dy = dx + C.
k2 − y
Haciendo y = k 2 sen2 θ ⇒ dy = 2k 2 sen θ cos θdθ obtenemos
k sen θ2k 2 sen θ cos θdθ
= x+C
k cos θ
2k 2 sen2 θdθ = x+C
1 − cos(2θ)
2k 2 dθ = x+C
2
θ sen 2θ
2k 2 − = x+C
2 4
θ sen 2θ
x = 2k 2 − − C.
2 4
Por lo tanto, se tiene que x = x(θ) e y = y(θ) con
k2
x = (2θ − sen 2θ) − C
2
k2
y = (1 − cos 2θ) .
2
18. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
12 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
Si ahora hacemos ω = 2θ, vemos que
k2
x = (ω − sen ω) − C
2
2
k
y = (1 − cos ω),
2
con ω ∈ R. La soluci´n es una familia de curvas llamadas cicloides. Ver Figura 3.
o
Y 0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0 0.5 1 1.5
X
Figura 3. Curva Braquist´crona con x ∈ [0, π ], y ∈ [−1, 0],
o 2
par´metro k = 1 y constante C = 0.
a
Ejercicio Propuesto 1.5. Si las ruedas delanteras de un auto se mueven
sobre una l´
ınea recta que no es paralela a su eje, encuentre la curva que describen
las ruedas traseras, considerando que la distancia entre las ruedas delanteras y las
traseras permanece constante. Indicaci´n: averigue sobre la curva tractriz.
o
Ejemplo 1.10 (El problema de la gota de lluvia). Consideremos una gota de
masa inicial m0 y de densidad constante que cae del reposo y calculemos su masa
en funci´n del tiempo usando el siguiente principio:
o
Gota de lluvia
“Una gota de lluvia que cae por efecto de su peso va au-
mentando su volumen a medida que captura gotas m´s pe-
a
que˜as en su superficie inferior. Esto es, a una tasa que
n
es proporcional a su velocidad de ca´da y a su superficie
ı
inferior.
Supondremos que i) la gota es esf´rica, ii) la gota alcanza una aceleraci´n constante,
e o
iii) esta aceleraci´n l´
o ımite es menor que la de gravedad. Si el radio de la esfera es r(t)
entonces su volumen es proporcional a r3 y su superficie media a r2 . Si la densidad
es constante, entonces la masa es m(t) es proporcional a r3 de donde despejando r(t)
19. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 13
resulta proporcional a m1/3 . Con esto, suponiendo que y es la distancia recorrida
verticalmente hacia abajo por la gota, la EDO queda:
m′ (t) = Km2/3 y ′ , K > 0 constante.
Adem´s, la segunda ley de Newton (atenci´n que la masa es variable) es
a o
(my ′ )′ = mg.
Al reemplazar en la primera EDO obtenemos
m′ y ′ + my ′′ = mg
2/3 ′ 2 ′′
Km (y ) + my = mg
−1/3 ′ 2 ′′
Km (y ) + y = g
K(y ′ )2
m1/3 = .
g − y ′′
Derivando esta expresi´n vemos que
o
′
1 −2/3 ′ K(y ′ )2
m m = ,
3 g − y ′′
de donde
′
(y ′ )2
y′ = 3
g − y ′′
2(g − y ′′ )y ′ y ′′ + y ′′′ (y ′ )2
y′ = 3
(g − y ′′ )2
y ′ (g − y ′′ )2 = 6(g − y ′′ )y ′ y ′′ + 3y ′′′ (y ′ )2
′′′ ′
3y y = (g − y ′′ )(g − y ′′ − 6y ′′ ) = (g − y ′′ )(g − 7y ′′ ).
Suponiendo que y ′′ < g y que la aceleraci´n es constante (y ′′′ = 0) se obtiene que
o
′′ g
y = .
7
Ahora integrando entre 0 y t una vez (y suponiendo que la gota parte del reposo)
se obtiene la velocidad
gt
y′ = .
7
Reemplazando este valor en la EDO original de la masa se obtiene
gK
m′ = t m2/3 ,
7
que es una EDO a variables separables, que podemos resolver:
gK t2
m−2/3 dm = +C
7 2
gK 2
3m1/3 = t + C.
14
1/3
Si la masa inicial era m0 , entonces C = 3m0 . Luego
3
gK 2 1/3
m(t) = t + m0 .
42
20. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
14 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
Ejercicio Propuesto 1.6. ¿Es razonable pensar en el ejercicio anterior que
la masa crece de manera no acotada con el tiempo? ¿Qu´ se podr´ considerar adi-
e ıa
cionalmente en el modelo para mejorarlo?
3.3. EDO lineal de primer orden: caso homog´neo. Se tiene la EDO:
e
(11) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0.
a0 (x)
Normalizando los coeficientes, es decir, con a0 (x) = , a1 (x) = 0 se obtiene:
a1 (x)
y ′ = −a0 (x)y.
Presentaremos dos formas de resoluci´n:
o
Variables separables: Claramente la funci´n nula y(x) ≡ 0 define una solu-
o
ci´n para esta EDO. Para los valores donde y = 0, notamos que la EDO (3.3) es
o
de la forma y ′ = f (x)g(y) con f (x) = a0 (x) y g(y) = y. As´
ı
ln(|y|) = − a0 (x)dx + C
|y| = k exp − a0 (x)dx , k>0
y = k exp − a0 (x)dx
con k ∈ R, incluyendo la soluci´n nula.
o
Factor integrante: Definimos el factor
µ(x) = exp a0 (x)dx
y observamos que µ′ (x) = a0 (x)µ(x). Si multiplicamos la ecuaci´n por µ(x) obte-
o
nemos
µ(x)y ′ (x) + a0 (x)µ(x)y(x) = 0
µ(x)y ′ (x) + µ′ (x)y(x) = 0
(µ(x)y(x))′ = 0,
con lo cual el producto µ(x)y(x) es constante y as´
ı
k
y(x) = = k exp − a0 (x)dx
µ(x)
con k ∈ R, como antes. Este enfoque es la clave para resolver las ecuaciones lineales
no homog´neas.
e
21. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 15
1
Ejemplo 1.11. Encontremos las soluciones de la ecuaci´n y ′ cos x + cos x y = 0,
o
π
x = 2 + kπ usando el m´todo de separaci´n de variables. Tenemos que
e o
1
y′ + y = 0
cos2 x
y′ = −y sec2 x
dy
= − sec2 xdx + C
y
ln(|y|) = − tan x + C
y = k exp(− tan x), con k ∈ R.
Ejemplo 1.12. Resolvamos ahora el problema de Cauchy
1
y ′ (x) = x y(x) para x = 0,
y(1) = 2,
1
usando el factor integrante. Escribiendo la EDO como y ′ − x y = 0 calculamos
dx 1
µ(x) = exp = exp(− ln(x)) = .
x x
Tenemos entonces que
1
y′ − y = 0
x
1 ′ 1
y − 2y = 0
x x
y ′
= 0
x
y
= k, con k ∈ R.
x
As´ todas las soluciones son de la forma y(x) = kx con k ∈ R. De acuerdo con la
ı,
condici´n inicial, nos interesa que 2 = y(1) = k · 1, de donde k = 2. Concluimos que
o
la soluci´n del problema de Cauchy es y(x) = 2x.
o
3.4. EDO lineal de primer orden: caso no homog´neo. Se tiene la
e
ecuaci´n:
o
(12) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x)
Si a1 (x) = 0 podemos normalizar a0 (x) = a0 (x) , Q(x) = a1 (x) y reescribir la
a1 (x)
Q(x)
ecuaci´n como
o
y ′ + a0 (x)y = Q(x).
Si multiplicamos ambos lados de la ecuaci´n por el factor integrante µ(x) = exp a0 (x)dx
o
obtenemos
(µ(x)y(x))′ = µ(x)Q(x)
µ(x)y(x) = µ(x)Q(x)dx + C
C 1
(13) y(x) = + µ(x)Q(x)dx.
µ(x) µ(x)
22. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
16 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
´
Definicion 1.6. El primer t´rmino del lado derecho de (13),
e
C
yh (x) = = C exp − a0 (x)dx
µ(x)
se denomina soluci´n homog´nea. Aunque se habla de la soluci´n homog´nea, en
o e o e
realidad se trata de una familia de soluciones, indexadas por la constante C.
´
Definicion 1.7. El segundo t´rmino en el lado derecho de (13),
e
1
yp (x) = µ(x)Q(x)dx
µ(x)
= exp − a0 (x)dx exp a0 (x)dx Q(x)dx
se denomina soluci´n particular (que se obtiene si C = 0). Se habla de la soluci´n
o o
particular, pero depende de la primitiva que se escoja.
Ejemplo 1.13 (Ley de osmosis). Retomamos el ejemplo de la introducci´n o
donde estudiamos b´sicamente el movimiento de agua desde una soluci´n con baja
a o
concentraci´n de soluto (soluci´n A) a trav´s de una membrana semipermeable
o o e
hacia una soluci´n con alta concentraci´n de soluto (soluci´n B). Si CA (t) es la
o o o
0
concentraci´n de soluto que hay en la soluci´n A en funci´n del tiempo, CA es la
o o o
0
concentraci´n inicial de soluto en A y si CB es la concentraci´n inicial de soluto en
o o
B, una EDO que modela este fen´meno es:
o
0 0
′ CA + CB
CA (t) = σ − CA (t) , con σ > 0.
2
0 0
CA + CB
Introduciendo la concentraci´n promedio
o = M , se tiene
2
′
CA + σCA = σM
′
CA exp σdt + σCA exp σdt = σM exp σdt
CA eσt + σCA eσt
′
= σM eσt
′
CA eσt = σM eσt
CA eσt = σM eσt dt + C
CA = Ce−σt + σM e−σt eσt dt
1 σt
y como eσt dt = e , se tiene que
σ
CA (t) = Ce−σt + M
con C ∈ R. El resultado es una familia de curvas (indexadas por el par´metro C).
a
Si evaluamos en el tiempo inicial t = 0, se puede encontrar el valor de la constante
C 0 − CB0
C, es decir, CA (0) = C + M y CA (0) = CA . Luego C = CA − M = A
0 0
. Por
2
lo tanto, la soluci´n es
o
0 0
CA − CB C 0 + CB 0
CA (t) = e−σt + A
2 2
23. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 17
Ejemplo 1.14 (Ley de enfriamiento de Newton). Los m´s valientes hemos
a
experimentado el hecho de que al ba˜ arnos en el mar cuando se acerca la noche el
n
agua se siente tibia. Daremos una explicaci´n a este hecho, basados en el siguiente
o
principio:
Ley de enfriamiento de Newton
“Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y
el medio ambiente es peque˜a, el calor transferido en una
n
unidad de tiempo entre el cuerpo y la atm´sfera es propor-
o
cional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el
medio ambiente.”
Sean T y TA las temperaturas del mar y del ambiente respectivamente, la EDO
que modela el fen´meno es entonces:
o
T ′ (t) = k(TA (t) − T (t)),
donde k > 0 es una constante llamada coeficiente de transferencia t´rmica, y de-
e
pende localmente de la superficie de contacto, calor espec´
ıfico y masas involucradas.
Sea T (0) = T0 es la temperatura inicial del mar.
Supongamos primero que TA es constante. Tenemos entonces que
T ′ + kT = kTA
′ kt kt
T e + kT e = kTA ekt
kt ′
Te = kTA ekt
T ekt = k TA ekt dt + C
T = Ce−kt + TA
de donde, evaluando en t = 0, se obtiene C = T0 − TA . Con esto,
T (t) = (T0 − TA )e−kt + TA .
La temperatura del mar tiende exponencialmente a la temperatura ambiente. M´s
a
r´pidamente a mayores valores de k. Ver Figura 1.14.
a
Supongamos ahora que TA var´ en el tiempo de manera peri´dica. M´s pre-
ıa o a
0
cisamente, supongamos que TA (t) = TA + A sen(ω t), de manera que oscila con
frecuencia ω. La soluci´n es
o
(14) T (t) = Ce−kt + TA + ke−kt
0
A sen(ωt)ekt dt
Desarrollando sen(ωt)ekt dt se obtiene
−1 1
sen(ωt)ekt dt = ω cos(ωt)ekt dt + sen(ωt)ekt
k k
−ω 2 ω 1
= 2
sen(ωt)ekt dt − 2 cos(ωt)ekt + sen(ωt)ekt .
k k k
24. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
18 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
10
9
8
7
6
5
k=3
4
k =2
3
k =1
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 4. Comportamiento de la temperatura del mar T (t) frente
a una temperatura ambiente constante TA = 0 partiendo de una
temperatura inicial T (0) = 10 para distintos valores de la constante
k.
Esto implica que
ω2 ekt ω
1+ sen(ωt)ekt dt = sen(ωt) − cos(ωt) .
k2 k k
Ak ω
Luego, A sen(ωt)ekt dt = ekt sen(ωt) − cos(ωt) . Por lo tanto (14)
k2 +ω 2 k
queda de la forma
Ak 2 ω
T (t) = Ce−kt + TA +
0
sen(ωt) − cos(ωt) .
k2+ω 2 k
21
20
19
18
17
16
0 2 4 6 8 10 12
Figura 5. Variaci´n de la temperatura del mar T (t) inicialmen-
o
te con T (0) = 15 frente a una temperatura ambiente TA (t) =
20 + sen(2t) (l´
ınea gruesa). Asint´ticamente, T (t) tiene un desfase
o
positivo y una amplitud menor respecto de TA (t).
25. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 19
ω k
Si consideramos sen φ = √ y cos φ = √ podemos escribir
k 2 + ω2 k 2 + ω2
Ak
T (t) = Ce−kt + TA + √
0
(sen(ωt) cos(φ) − cos(ωt) sen(φ)).
k 2 + ω2
sen(ωt−φ)
w
k
Figura 6. Relaci´n entre φ, k y ω.
o
Ak
0
Finalmente, T (t) = Ce−kt + TA + √ sen(ωt − φ). Las variaciones de la
k2+ ω2
yh
yp
temperatura del mar se encuentran asint´ticamente retrasadas o con desfase posi-
o
tivo con respecto a las del ambiente (ver Figura 5). Adem´s, notar que la amplitud
a
asint´tica de la temperatura del cuerpo es menor que la amplitud de variaci´n de
o √ o
la temperatura ambiente ya que k/ k 2 + ω 2 < 1.
Ejercicio Propuesto 1.7. Explique c´mo se puede estimar el coeficiente k
o
a partir del tiempo que separa dos m´ximos sucesivos de la temperatura ambiente
a
y de la temperatura del mar.
4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales
Veremos ahora algunas ecuaciones diferenciales que se pueden reducir a casos
elementales mediante un cambio de variables.
4.1. Ecuaciones homog´neas. Sean f : R2 → R una funci´n de dos va-
e o
riables y k ∈ N. Se dice que f es homog´nea de grado k si f (λx, λy) = ±λk f (x, y)
e
para cada λ, x, y ∈ R. Observemos que si f y g son homog´neas de grado k entonces
e
el cuociente f (x,y) puede escribirse como una funci´n que depende unicamente del
g(x,y) o ´
cuociente entre x e y. En efecto,
y y y
f (x, y) f (x · 1, x · x ) ±xk f (1, x ) f (1, x ) y
= y = k g(1, )y = ± y = h .
g(x, y) g(x · 1, x · x ) ±x x g(1, x ) x
Una EDO es de tipo homog´nea15 si se puede escribir como
e
y
y′ = h .
x
15No confundir con una EDO lineal homog´nea.
e
26. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
20 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
y
Para resolverlas hacemos el cambio de variable z = x , que reescribimos como
y = xz de manera que y = xz + z. Tenemos entonces que xz ′ + z = h(z), de donde
′ ′
h(z) − z
z′ = ,
x
que es una ecuaci´n en variables separables.
o
Ejemplo 1.15. Encontrar las soluciones de la ecuaci´n
o
x+y
y′ = .
x−y
Es f´cil verificar que se trata de una ecuaci´n homog´nea. Hacemos el cambio
a o e
z = y/x, de donde y = zx e y ′ = z + xz ′ . La ecuaci´n se convierte en
o
x + zx 1+z
z + xz ′ = = .
x − zx 1−z
Despejando z ′ obtenemos
1 1+z 1 1 + z2
z′ = −z = .
x 1−z x 1−z
Para resolver esta ecuaci´n en variables separables hacemos
o
1−z 1
z′ =
1 + z2 x
dz zdz dx
2
− =
1+z 1 + z2 x
1
arctan(z) − ln(1 + z 2 ) = ln |x| + C.
2
Si ahora deshacemos el cambio de variables obtenemos la soluci´n expresada de
o
manera impl´ıcita:
y y2
arctan − ln 1+ = ln |x| + C.
x x2
Ejemplo 1.16 (Curva de persecusi´n). Sobre un r´ en la posici´n P = (c, 0),
o ıo, o
un bote trata de alcanzar la orilla situada en la posici´n O = (0, 0) como se muestra
o
en la Figura 1.16. Se quiere caracterizar la posici´n en el eje OY con respecto a la
o
posici´n en el eje OX. La rapidez de la corriente del r´ es a en direcci´n (0, −1).
o ıo o
La rapidez del bote es b en direcci´n (− cos θ, sen θ) donde θ = θ(t) va variando en
o
el tiempo de manera que este vector apunta siempre hacia O. Si las coordenadas
del bote en un tiempo dado son B = (x, −y), la rapidez en cada eje esta dada por
dx dy
= −b cos θ, = b sen θ − a.
dt dt
dy dx dy
Aplicando regla de la cadena tenemos que = . Recordando que cos θ =
dx dt dt
27. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 21
Figura 7. Bote con rapidez b cruzando un r´ cuya corriente tiene
ıo
rapidez a.
x −y
y sen θ = vemos que
y2 + x2 y 2 + x2
−a + b √ −y
dy b sen θ − a y +x2
2
−a x2 + y 2 − by
= = = .
dx −b cos θ x −bx
−b √
y 2 +x2
y
Esta ultima ecuaci´n es homog´nea. Hacemos el cambio de variable z =
´ o e x ⇒
xz + z = y ′ . Recordando que x e y son positivas tenemos que
′
a
xz ′ + z = 1 + z2 + z
b
z′ a
√ =
1+z 2 bx
dz a
√ = ln x + C.
1 + z2 b
a
Reescribimos la constante C como C = b ln k con k > 0 y obtenemos
a
ln(z + 1 + z 2) = ln(kx) b
a
z+ 1 + z2 = (kx) b
2a a
1 + z2 = (kx) b − 2z(kx) b + z 2 .
Despejando z y deshaciendo el cambio de variables obtenemos
1 a a
z = (kx) b − (kx)− b
2
y 1 a a
= (kx) b − (kx)− b
x 2
x a a
y = (kx) b − (kx)− b .
2
28. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
22 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
1
De la condici´n de borde y(c) = 0 vemos que k =
o .
c
4.2. Ecuaci´n de Bernoulli. La ecuaci´n de Bernoulli es de la forma
o o
y ′ + p(x)y = q(x)y n con n = 0, n = 1.
Se realiza el cambio de variable z = y 1−n ⇒ z ′ = (1 − n)y −n y ′ . Multiplicando
(1 − n)y −n a ambos lados de la ecuaci´n, queda
o
(1 − n)y −n y ′ + p(x)(1 − n)y 1−n = (1 − n)q(x)
′
z + p(x)(1 − n)z = (1 − n)q(x),
que resulta ser una ecuaci´n lineal no homog´nea de primer orden normalizada.
o e
Ejemplo 1.17 (Modelo log´
ıstico de poblaci´n). El modelo log´
o ıstico se basa en
el siguiente principio:
Ley log´
ıstica
“El aumento de una poblaci´n es proporcional al produc-
o
to entre la poblaci´n misma y su diferencia respecto a un
o
valor m´ximo que es funci´n de los recursos disponibles
a o
limitados.”
Esto traducido a una EDO queda como
(15) P ′ = σP (M − P ),
donde σ > 0 es constante (por ejemplo la diferencia entre tasas de natalidad y
mortalidad) y M > 0 es la carga m´xima alcanzable. Si P > M entonces P ′ es
a
negativo y la poblaci´n decrece. En esta ecuaci´n de Bernoulli hacemos el cambio
o o
′
1
de variables z = P ⇒ z ′ = −P y obtenemos
P 2
z ′ = −M σz + σ,
de donde
t t s
1 1
= exp − M σ(s)ds + exp M σ(s)ds σ(s)ds .
P 0 P0 0 0
Reordenando se obtiene
P0 M
(16) P = .
P0 + (M − P0 ) exp(−M σ t)
Notemos que P (0) = P0 y que P → M si t → ∞.
29. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 23
4.3. Ecuaci´n de Riccati. La ecuaci´n de Riccati es de la forma
o o
(17) y ′ = p(x)y 2 + q(x)y + r(x).
1
Se realiza el cambio de variable y = y1 + , donde y1 es alguna soluci´n conocida
o
z
(por ejemplo f´cil de calcular) de (17). Derivando con respecto a x se tiene y ′ =
a
′ z′
y1 − 2 y reemplazando en (17),
z
2
′ z′ 1 1
y1 − = p(x) y1 + + q(x) y1 + + r(x)
z2 z z
′ z′ 2 y1 p(x) q(x)
y1 − 2 = p(x)y1 + 2p(x) + 2 + q(x)y1 + + r(x)
z z z z
′ z′ 2 y1 p(x) q(x)
y1 − 2 = [p(x)y1 + q(x)y1 + r(x)] + 2p(x) + 2 +
z z z z
z′ = −2p(x)y1 z − p(x) − q(x)z,
de donde
z ′ + (2p(x)y1 + q(x))z = −p(x),
que resulta ser una EDO lineal de primer orden no homog´nea en la variable z.
e
Ejemplo 1.18. Analicemos la ecuaci´n diferencial
o
y ′ = −2 − y + y 2 .
Como se trata de una ecuaci´n de primer orden a coeficientes constantes, es posible
o
encontrar una soluci´n constante resolviendo la ecuaci´n algebraica
o o
λ2 − λ − 2 = 0,
cuyas ra´ıces son 2 y −1. Tomemos entonces y1 = 2 como una soluci´n particular
o
de la ecuaci´n. Siguiendo el procedimiento descrito arriba podemos encontrar la
o
soluci´n general haciendo el cambio
o
1 1 z′
=2+ ,
y = y1 + y′ = − .
z z z2
Sustituyendo en la ecuaci´n obtenemos
o
2
z′ 11
− = −2 − 2 + + 2+
z2 zz
z′ 1 4 1
− 2 = −2 − 2 − + 4 + + 2
z z z z
−z ′ = 3z + 1.
Resolvemos la ecuaci´n lineal de primero orden no homog´nea multiplicando por el
o e
factor integrante µ(x) = exp( 3dx) = e3x .
z ′ e3x + 3ze3x = −e3x
′
ze3x = −e3x
1
ze3x = − e3x + C,
3
30. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
24 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
1
con C ∈ R. Despejando encontramos z(x) = − 3 + Ce−3x . Esto nos dice finalmente
que la soluci´n general de la ecuaci´n es
o o
1
y(x) = 2 + 1 , con C ∈ R.
Ce−3x − 3
Notemos que tomando C = 0 recuperamos la otra soluci´n constante y(x) ≡ −1.
o
Es importante observar tambi´n que si C > 0 la soluci´n tiene una as´
e o ıntota vertical
en x = 1 ln(3C), de modo que |y(x)| → ∞ si x → 3 ln(3C).
3
1
4.4. EDO de segundo orden sin variable dependiente. En la ecuaci´n
o
G(x, y ′ , y ′′ ) = 0
no aparece la variable y expl´ ıcitamente. En estos casos se realiza el cambio de
variable p = y ′ , con lo cual la ecuaci´n se transforma en
o
G(x, p, p′ ) = 0,
que es una EDO de primer orden.
Ejemplo 1.19. Para resolver la ecuaci´n
o
′ x ′′
y = y −1
1+x
hacemos el cambio p = y ′ , p′ = y ′′ . Luego,
x ′
p+1 = p
1+x
1 p′
1+ =
x p+1
1 dp
1+ dx =
x p+1
x + ln |x| + C = ln |p + 1|
y de all´
ı,
p = −1 + kxex con k ∈ R.
En t´rminos de y esto es una ecuaci´n con integraci´n directa
e o o
y′ = −1 + kxex
y = −x + k(x − 1)ex + K con k, K ∈ R.
4.5. EDO de segundo orden sin variable independiente. En la ecua-
ci´n
o
H(y, y ′ , y ′′ ) = 0
la variable independiente x no aparece expl´ıcitamente. Se realiza el cambio de va-
riable
dy d2 y dp dp dy dp
p = y′ = y = = = p,
dx dx2 dx dy dx dy
31. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 25
con lo cual la ecuaci´n se transforma en
o
dp
H y, p, p = 0
dy
que es una EDO de primer orden en la variable p con variable independiente y.
Ejemplo 1.20 (Ley de Hooke). Se tiene el sistema indicado en la Figura 1.20,
siendo k > 0 constante de elasticidad del resorte y m la masa del cuerpo. La Ley
de Hooke establece que:
Ley de Hooke
“Para peque˜os desplazamientos en torno a la posici´n de
n o
equilibrio, la fuerza de restituci´n del resorte es proporcio-
o
nal al desplazamiento”.
k
Esto es my ′′ = −ky. Es decir, y ′′ + w2 y = 0, con w = . Si z = y ′ entonces
m
dz ′
z′ = y y la ecuaci´n se reescribe como
o
dy
dz
z + w2 y = 0
dy
dz
z = −w2 y.
dy
Integrando con respecto a la variable y vemos que
zdz = −w2 ydy + C
z2 y2
= −w2 +C
2 2
(y ′ )2 = 2 2
−w y + 2C
y′ = 2C − w2 y 2 .
Finalmente usando separaci´n de variables obtenemos
o
dy
= dt + φ
2C − w2 y 2
dy √
= 2Cdt + φ
w2 2
1− 2C y
wy √
arc sen √ = 2Ct + φ
2C
wy √
√ = sen( 2Ct + φ)
2C
√
2C √
y = sen( 2Ct + φ) con C, φ ∈ R.
w
32. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
26 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION
k
m
y
Figura 8. Sistema mec´nico de un resorte y una masa.
a
Ejemplo 1.21 (Cadena cayendo). Para el sistema de la segunda figura, el largo
de la cadena es L y su densidad es ρ [masa / largo], por lo tanto la EDO que lo
describe es
ρLy ′′ = ρgy
g
y ′′ − y = 0.
L
g
Definiendo σ = se tiene la EDO y ′′ − σ 2 y = 0. El mismo cambio de variable
L
nos da
dz
z − σ2 y = 0
dy
dz
z = σ2 y
dy
z2 y2
= σ2 +C
2 2
z = σ 2 y 2 + 2C
2C
y′ = σ y 2 + a2 con a= .
σ2
Esto es
dy
=σ dt = σt + φ.
y2 + a2
Haciendo el cambio de variable y = a senh θ en el lado izquierdo,
a cosh θ
dθ = σt + φ
a cosh θ
θ = σt + φ.
Por lo tanto, y = a senh(σt + φ), con φ ∈ R constante.
4.6. Otros casos. En ocasiones es posible reducir una ecuaci´n complicada
o
a otra m´s simple mediante un cambio de variables. No hay una regla general para
a
determinar el cambio correcto, de modo que la experiencia es clave.
33. ´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 27
g
y
Figura 9. Sistema mec´nico de una cadena bajo el efecto de g
a
con un extremo cayendo.
Ejemplo 1.22. La ecuaci´n
o
y ′ = (x + y)2
es de Riccati. Sin embargo, para aplicar el m´todo descrito m´s arriba es necesario
e a
conocer una soluci´n particular, lo que puede no ser evidente. Otra opci´n es usar
o o
el cambio w = x + y. Esto nos da w′ = 1 + y ′ y la ecuaci´n se transforma en
o
w′ = w2 + 1,
que es una ecuaci´n en variables separables. Para hallar la soluci´n general hacemos
o o
dw
= dx,
w2 + 1
de donde arctan(w) = x + C. Esto es
y = −x + tan(x + C), con C ∈ R.
Ejemplo 1.23. En la ecuaci´n
o
cos(x + y + 1)
y′ =
1 − cos(x + y + 1)
podemos hacer el cambio z = x + y + 1. Con esto, z ′ = y ′ + 1 y la ecuaci´n se
o
convierte en
1
z′ =
1 − cos(z)
(1 − cos(z))dz = dx
z − sen(z) = x+C con C ∈ R.
La soluci´n queda definida impl´
o ıcitamente como
y − sen(x + y + 1) = C.