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Finite Elements libmesh

El documento presenta libMesh, una biblioteca de elementos finitos de código abierto. Introduce los objetivos de libMesh, que es proporcionar clases y funciones para escribir aplicaciones de elementos finitos paralelas y adaptativas, actuando como interfaz a bibliotecas de álgebra lineal, mapeado y particionado. Describe brevemente los modelos de objetos, ensamblaje de sistemas y ejemplos de aplicaciones en dinámica de fluidos, biología y ciencia de materiales.

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Introduction Object Models System Assembly Examples Summary libMesh Finite Element Library Roy Stogner roystgnr@cfdlab.ae.utexas.edu Derek Gaston drgasto@sandia.gov 1Univ. of Texas at Austin 2Sandia National Laboratories Albuquerque,NM August 22, 2007
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Outline 1 Introduction 2 Object Models Core Classes BVP Framework 3 System Assembly Basic Example Coupled Variables Essential Boundary Conditions 4 Examples Fluid Dynamics Biology Material Science 5 Summary
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit. Classes and functions for writing parallel adaptive finite element applications.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit. Classes and functions for writing parallel adaptive finite element applications. An interface to linear algebra, meshing, partitioning, etc. libraries.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary For most applications we assume there is a Boundary Value Problem to be approximated in a Finite Element function space M ∂u ∂t = F(u) ∈ Ω G(u) = 0 ∈ Ω u = uD ∈ ∂ΩD N(u) = 0 ∈ ∂ΩN u(x, 0) = u0(x) δΩD δΩN                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 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Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Associated to Ω is the Mesh data structure A Mesh is basically a collection of geometric elements and nodes Ωh := e Ωe Ω h
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Object Oriented Programming
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces. Concrete Subclasses implement functionality.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces. Concrete Subclasses implement functionality. One physics code can work with many discretizations.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Geometric Element Classes Elem #_nodes: Node ** #_neighbors: Elem ** #_parent: Elem * #_children: Elem ** #_*flag: RefinementState #_p_level: unsigned char #_subdomain_id: unsigned char +n_{faces,sides,vertices,edges,children}(): unsigned int +centroid(): Point +hmin,hmax(): Real NodeElem FaceEdge Cell InfQuad InfCell Prism Hex Pyramid Tet Hex8 Hex20 Hex27 DofObject -_n_systems: unsigned char -_n_vars: unsigned char * -_n_comp: unsigned char ** -_dof_ids: unsigned int ** -_id: unsigned int -_processor_id: unsigned short int Node Abstract interface gives mesh topology Concrete instantiations of mesh geometry Hides element type from most applications
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Finite Element Classes FEBase +phi, dphi, d2phi +quadrature_rule, JxW +reinit(Elem) +reinit(Elem,side) Lagrange Hermite Hierarchic Monomial Finite Element object builds data for each Geometric object User only deals with shape function, quadrature data
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Core Features Mixed element geometries in unstructured grids Adaptive mesh h refinement with hanging nodes, p refinement Integration w/ PETSc, LASPack, METIS, ParMETIS, Triangle, TetGen Support for UNV, ExodusII, Tecplot, GMV, UCD files Mesh creation, modification utilities
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints DofMap class applies constraints
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints DofMap class applies constraints System class handles AMR/C projections
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Generic Constraint Calculations To maintain function space continuity, constrain “hanging node” Degrees of Freedom coefficients on fine elements in terms of DoFs on coarse neighbors. uF = uC i uF i φF i = j uC j φC j Akiui = Bkjuj ui = A−1 ki Bkjuj Integrated values (and fluxes, for C1 continuity) give element-independent matrices: Aki ≡ (φF i , φF k ) Bkj ≡ (φC j , φC k )
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes Generic Projection Calculations Upon element coarsening (or refinement in non-nested spaces): Copy nodal Degree of Freedom coefficients Project edge DoFs, holding nodal DoFs constant Project face DoFs, holding nodes/edges constant Project interior DoFs, holding boundaries constant Advantages / Disadvantages Requires only local solves Consistent in parallel May violate physical conservation laws
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations Refinement/Coarsening flagging
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations Refinement/Coarsening flagging Mesh, solution I/O
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Core Classes ParallelMesh Parallel subclassing of MeshBase Start from unstructured Mesh class Add methods to delete, reconstruct non-semilocal Elem and Node objects Parallelize DofMap methods Parallelize MeshRefinement methods Add parallel or chunked I/O support Add load balancing support Also want parallel BoundaryInfo, BoundaryMesh, Data, Function, Generation, Modification, Smoother, and Tools classes
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary BVP Framework Boundary Value Problem Framework Goals Goals Improved test coverage and reliability Hiding implementation details from user code Rapid prototyping of new formulations Physics-dependent error estimators Methods Object-oriented System and Solver subclasses Factoring common patterns into library code Per-element Numerical Jacobian verification
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary BVP Framework FEM System Classes FEMSystem +elem_solution: DenseVector<Number> +elem_residual: DenseVector<Number> +elem_jacobian: DenseMatrix<Number> #elem_fixed_solution: DenseVector<Number> #*_fe_var: std::vector<FEBase *> #elem: Elem * +*_time_derivative(request_jacobian) +*_constraint(request_jacobian) +*_postprocess() NavierStokesSystem LaplaceYoungSystem CahnHilliardSystem SurfactantSystem Generalized IBVP representation FEMSystem does all initialization, global assembly User code only needs weighted time derivative residuals (∂u ∂t , vi) = Fi(u) and/or constraints Gi(u, vi) = 0
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary BVP Framework ODE Solver Classes TimeSolver +*_residual(request_jacobian) +solve() +advance_timestep() SteadySolver EulerSolver AdamsMoultonSolver EigenSolver Calls user code on each element Assembles element-by-element time derivatives, constraints, and weighted old solutions
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary BVP Framework Nonlinear Solver Classes NonlinearSolver +*_tolerance +*_max_iterations +solve() QuasiNewtonSolverLinearSolver ContinuationSolver Acquires residuals, jacobians from FEMSystem assembly Handles inner loops, inner solvers and tolerances, convergence tests, etc
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example System Assembly For simplicity we will focus on the weighted residual statement arising from the Poisson equation, with ∂ΩN = ∅, (R(uh ), vh ) := Ωh uh · vh − fvh dx = 0 ∀vh ∈ Vh
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx are written in terms of the local “φi” basis functions Ns j=1 uj Ωe φj · φi dx − Ωe fφi dx , i = 1, . . . , Ns
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx are written in terms of the local “φi” basis functions Ns j=1 uj Ωe φj · φi dx − Ωe fφi dx , i = 1, . . . , Ns This can be expressed naturally in matrix notation as Ke Ue − Fe
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x ξ)x( ξ eΩ
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x x(ξ) ξ Ωe The Jacobian of the map x(ξ) is J. Fe i = Ωe fφidx = ˆΩe f(x(ξ))φi|J|dξ
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x ξ)x( ξ Ωe
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”. Fe i = ˆΩe fφi|J|dξ ≈ Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”. Ke ij = ˆΩe φj · φi |J|dξ ≈ Nq q=1 φj(ξq) · φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example At the qth quadrature point, LibMesh can provide variables including: Code Math Description JxW[q] |J(ξq)|wq Jacobian times weight phi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. dphi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. gradient d2phi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. Hessian xyz[q] x(ξq) location of ξq in physical space normals[q] n(x(ξq)) normal vector at x on a side
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[ ][ ]
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[1][1]
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[2][2]
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[3][2]
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[].
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[1].
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[2].
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow The matrix assembly can proceed in essentially the same way. For the momentum equations: for (q=0; q<Nq; ++q) for (d=0; d<2; ++d) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe[d](i) += JxW[q]*f(xyz[q],d)*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke[d][d](i,j) += JxW[q]*nu*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector 4 subtracting off the column entries from the rhs
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector 4 subtracting off the column entries from the rhs     k11 k12 k13 . k21 k22 k23 . k31 k32 k33 . . . . .     ,     f1 f2 f3 .     →     1 0 0 0 0 k22 k23 . 0 k32 k33 . 0 . . .     ,     g1 f2 − k21g1 f3 − k31g1 .    
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach :
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general. May be inefficient to change individual entries once the global matrix is assembled.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general. May be inefficient to change individual entries once the global matrix is assembled. Need to enforce boundary conditions for a generic finite element basis at the element stiffness matrix level.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V Here 1 is chosen so that, in floating point arithmetic, 1 + 1 = 1 .
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V Here 1 is chosen so that, in floating point arithmetic, 1 + 1 = 1 . This weakly enforces u = uD on the Dirichlet boundary, and works for general finite element bases.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid. While the weak formulation of the stationary condition is given by: u 1 + | u|2 , ϕ Ω + κ (u, ϕ)Ω = σ (1, ϕ)∂Ω (1)
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid. While the weak formulation of the stationary condition is given by: u 1 + | u|2 , ϕ Ω + κ (u, ϕ)Ω = σ (1, ϕ)∂Ω (1)
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Solution An overkill solution containing 200,000 DOFs. (a) 2D. (b) Contour Elevation.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh. Solves both Compressible Navier Stokes and Inviscid Euler.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh. Solves both Compressible Navier Stokes and Inviscid Euler. Includes both SUPG and a shock capturing scheme.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function. Utilizing libmesh’s exact solution capability the exact L2 error can be solved for.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function. Utilizing libmesh’s exact solution capability the exact L2 error can be solved for. The exact solution is shown below:
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Uniformly Refined Solutions For comparison purposes, here is a mesh and a solution after 1 uniform refinement with 10890 DOFs. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (c) Mesh after 1 uniform x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (d) Solution after 1 uni-
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics H-Adapted Solutions A flux jump indicator was employed as the error indcator along with a statistical flagging scheme.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics H-Adapted Solutions A flux jump indicator was employed as the error indcator along with a statistical flagging scheme. Here is a mesh and solution after 2 adaptive refinements containing 10800 DOFs: x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Redistributed Solutions Redistribution utilizing the same flux jump indicator. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (i) Mesh after 8 redistri- butions. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (j) Solution after 8 redis- tributions.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Redistributed and Adapted Now combining the two, here are the mesh and solution after 2 adaptations beyond the previous redistribution containing 10190 DOFs. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Solution Comparison For a better comparison here are 3 of the solutions, each with around 11000 DOFs: x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (m) Uniform. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (n) Adaptive. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (o) R + H.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Error Plot libmesh provides capability for computing error norms against an exact solution.
Introduction Object Models System Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Error Plot libmesh provides capability for computing error norms against an exact solution. The exact solution is not in H1 therefore we only obtain the L2 convergence plot: 3.5 4.0 4.5 5.0 01 sfoD )N(gol -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 01)rorrE 2 L(gol Uniform Adaptivity Redist + Adapt
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Finite Elements libmesh

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    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary libMesh Finite Element Library Roy Stogner roystgnr@cfdlab.ae.utexas.edu Derek Gaston drgasto@sandia.gov 1Univ. of Texas at Austin 2Sandia National Laboratories Albuquerque,NM August 22, 2007
  • 2.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Outline 1 Introduction 2 Object Models Core Classes BVP Framework 3 System Assembly Basic Example Coupled Variables Essential Boundary Conditions 4 Examples Fluid Dynamics Biology Material Science 5 Summary
  • 3.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not
  • 4.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation.
  • 5.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application.
  • 6.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is
  • 7.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit.
  • 8.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit. Classes and functions for writing parallel adaptive finite element applications.
  • 9.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Goals libMesh is not A physics implementation. A stand-alone application. libMesh is A software library and toolkit. Classes and functions for writing parallel adaptive finite element applications. An interface to linear algebra, meshing, partitioning, etc. libraries.
  • 10.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary For most applications we assume there is a Boundary Value Problem to be approximated in a Finite Element function space M ∂u ∂t = F(u) ∈ Ω G(u) = 0 ∈ Ω u = uD ∈ ∂ΩD N(u) = 0 ∈ ∂ΩN u(x, 0) = u0(x) δΩD δΩN                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 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  • 11.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Associated to Ω is the Mesh data structure A Mesh is basically a collection of geometric elements and nodes Ωh := e Ωe Ω h
  • 12.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Object Oriented Programming
  • 13.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces.
  • 14.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces. Concrete Subclasses implement functionality.
  • 15.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Object Oriented Programming Abstract Base Classes define user interfaces. Concrete Subclasses implement functionality. One physics code can work with many discretizations.
  • 16.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Geometric Element Classes Elem #_nodes: Node ** #_neighbors: Elem ** #_parent: Elem * #_children: Elem ** #_*flag: RefinementState #_p_level: unsigned char #_subdomain_id: unsigned char +n_{faces,sides,vertices,edges,children}(): unsigned int +centroid(): Point +hmin,hmax(): Real NodeElem FaceEdge Cell InfQuad InfCell Prism Hex Pyramid Tet Hex8 Hex20 Hex27 DofObject -_n_systems: unsigned char -_n_vars: unsigned char * -_n_comp: unsigned char ** -_dof_ids: unsigned int ** -_id: unsigned int -_processor_id: unsigned short int Node Abstract interface gives mesh topology Concrete instantiations of mesh geometry Hides element type from most applications
  • 17.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Finite Element Classes FEBase +phi, dphi, d2phi +quadrature_rule, JxW +reinit(Elem) +reinit(Elem,side) Lagrange Hermite Hierarchic Monomial Finite Element object builds data for each Geometric object User only deals with shape function, quadrature data
  • 18.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Core Features Mixed element geometries in unstructured grids Adaptive mesh h refinement with hanging nodes, p refinement Integration w/ PETSc, LASPack, METIS, ParMETIS, Triangle, TetGen Support for UNV, ExodusII, Tecplot, GMV, UCD files Mesh creation, modification utilities
  • 19.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling
  • 20.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices
  • 21.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh
  • 22.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints
  • 23.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints DofMap class applies constraints
  • 24.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Degree of Freedom Handling DofObject subclasses store global Degree of Freedom indices DofMap class assigns indices to a partitioned mesh FE classes calculate hanging node, periodic constraints DofMap class applies constraints System class handles AMR/C projections
  • 25.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Generic Constraint Calculations To maintain function space continuity, constrain “hanging node” Degrees of Freedom coefficients on fine elements in terms of DoFs on coarse neighbors. uF = uC i uF i φF i = j uC j φC j Akiui = Bkjuj ui = A−1 ki Bkjuj Integrated values (and fluxes, for C1 continuity) give element-independent matrices: Aki ≡ (φF i , φF k ) Bkj ≡ (φC j , φC k )
  • 26.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes Generic Projection Calculations Upon element coarsening (or refinement in non-nested spaces): Copy nodal Degree of Freedom coefficients Project edge DoFs, holding nodal DoFs constant Project face DoFs, holding nodes/edges constant Project interior DoFs, holding boundaries constant Advantages / Disadvantages Requires only local solves Consistent in parallel May violate physical conservation laws
  • 27.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code
  • 28.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra
  • 29.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc.
  • 30.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc.
  • 31.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code
  • 32.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node
  • 33.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations
  • 34.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations Refinement/Coarsening flagging
  • 35.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes libMesh Parallelization Parallel code PetscVector, DistributedVector classes for Linear Algebra Parallel assembly, error indicators, etc. Mesh partitioning with ParMETIS, etc. Serial code Mesh storage on every node DoF renumbering, constraint calculations Refinement/Coarsening flagging Mesh, solution I/O
  • 36.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Core Classes ParallelMesh Parallel subclassing of MeshBase Start from unstructured Mesh class Add methods to delete, reconstruct non-semilocal Elem and Node objects Parallelize DofMap methods Parallelize MeshRefinement methods Add parallel or chunked I/O support Add load balancing support Also want parallel BoundaryInfo, BoundaryMesh, Data, Function, Generation, Modification, Smoother, and Tools classes
  • 37.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary BVP Framework Boundary Value Problem Framework Goals Goals Improved test coverage and reliability Hiding implementation details from user code Rapid prototyping of new formulations Physics-dependent error estimators Methods Object-oriented System and Solver subclasses Factoring common patterns into library code Per-element Numerical Jacobian verification
  • 38.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary BVP Framework FEM System Classes FEMSystem +elem_solution: DenseVector<Number> +elem_residual: DenseVector<Number> +elem_jacobian: DenseMatrix<Number> #elem_fixed_solution: DenseVector<Number> #*_fe_var: std::vector<FEBase *> #elem: Elem * +*_time_derivative(request_jacobian) +*_constraint(request_jacobian) +*_postprocess() NavierStokesSystem LaplaceYoungSystem CahnHilliardSystem SurfactantSystem Generalized IBVP representation FEMSystem does all initialization, global assembly User code only needs weighted time derivative residuals (∂u ∂t , vi) = Fi(u) and/or constraints Gi(u, vi) = 0
  • 39.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary BVP Framework ODE Solver Classes TimeSolver +*_residual(request_jacobian) +solve() +advance_timestep() SteadySolver EulerSolver AdamsMoultonSolver EigenSolver Calls user code on each element Assembles element-by-element time derivatives, constraints, and weighted old solutions
  • 40.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary BVP Framework Nonlinear Solver Classes NonlinearSolver +*_tolerance +*_max_iterations +solve() QuasiNewtonSolverLinearSolver ContinuationSolver Acquires residuals, jacobians from FEMSystem assembly Handles inner loops, inner solvers and tolerances, convergence tests, etc
  • 41.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example System Assembly For simplicity we will focus on the weighted residual statement arising from the Poisson equation, with ∂ΩN = ∅, (R(uh ), vh ) := Ωh uh · vh − fvh dx = 0 ∀vh ∈ Vh
  • 42.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx
  • 43.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx are written in terms of the local “φi” basis functions Ns j=1 uj Ωe φj · φi dx − Ωe fφi dx , i = 1, . . . , Ns
  • 44.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The element integrals . . . Ωe uh · vh − fvh dx are written in terms of the local “φi” basis functions Ns j=1 uj Ωe φj · φi dx − Ωe fφi dx , i = 1, . . . , Ns This can be expressed naturally in matrix notation as Ke Ue − Fe
  • 45.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x ξ)x( ξ eΩ
  • 46.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x x(ξ) ξ Ωe The Jacobian of the map x(ξ) is J. Fe i = Ωe fφidx = ˆΩe f(x(ξ))φi|J|dξ
  • 47.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals are performed on a “reference” element ˆΩe, transformed via Lagrange basis to the geometric element. eΩ x ξ)x( ξ Ωe
  • 48.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature.
  • 49.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”.
  • 50.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”. Fe i = ˆΩe fφi|J|dξ ≈ Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 51.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The integrals on the “reference” element are approximated via numerical quadrature. The quadrature rule has Nq points “ξq” and weights “wq”. Ke ij = ˆΩe φj · φi |J|dξ ≈ Nq q=1 φj(ξq) · φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 52.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example At the qth quadrature point, LibMesh can provide variables including: Code Math Description JxW[q] |J(ξq)|wq Jacobian times weight phi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. dphi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. gradient d2phi[i][q] φi(ξq) value of ith shape fn. Hessian xyz[q] x(ξq) location of ξq in physical space normals[q] n(x(ξq)) normal vector at x on a side
  • 53.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); }
  • 54.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 55.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 56.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 57.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Fe i = Nq q=1 f(x(ξq))φi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 58.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 59.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 60.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example The LibMesh representation of the matrix and rhs assembly is similar to the mathematical statements. for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); } Ke ij = Nq q=1 ˆξφj(ξq) · ˆξφi(ξq)|J(ξq)|wq
  • 61.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
  • 62.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
  • 63.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Basic Example Convection-Diffusion Equation The matrix assembly routine for the linear convection-diffusion equation, −k∆u + b · u = f for (q=0; q<Nq; ++q) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe(i) += JxW[q]*f(xyz[q])*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke(i,j) += JxW[q]*(k*(dphi[j][q]*dphi[i][q]) + (b*dphi[j][q])*phi[i][q]); }
  • 64.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[ ][ ]
  • 65.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[1][1]
  • 66.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[2][2]
  • 67.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   We have an array of submatrices: Ke[3][2]
  • 68.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[].
  • 69.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[1].
  • 70.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow For multi-variable systems like Stokes flow, p − ν∆u = f · u = 0 ∈ Ω ⊂ R2 The element stiffness matrix concept can extended to include sub-matrices   Ke u1u1 Ke u1u2 Ke u1p Ke u2u1 Ke u2u2 Ke u2p Ke pu1 Ke pu2 Ke pp     Ue u1 Ue u2 Ue p   −   Fe u1 Fe u2 Fe p   And an array of right-hand sides: Fe[2].
  • 71.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Coupled Variables Stokes Flow The matrix assembly can proceed in essentially the same way. For the momentum equations: for (q=0; q<Nq; ++q) for (d=0; d<2; ++d) for (i=0; i<Ns; ++i) { Fe[d](i) += JxW[q]*f(xyz[q],d)*phi[i][q]; for (j=0; j<Ns; ++j) Ke[d][d](i,j) += JxW[q]*nu*(dphi[j][q]*dphi[i][q]); }
  • 72.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix
  • 73.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries
  • 74.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector
  • 75.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector 4 subtracting off the column entries from the rhs
  • 76.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Essential Boundary Data Dirichlet boundary conditions can be enforced after the global stiffness matrix K has been assembled This usually involves 1 placing a “1” on the main diagonal of the global stiffness matrix 2 zeroing out the row entries 3 placing the Dirichlet value in the rhs vector 4 subtracting off the column entries from the rhs     k11 k12 k13 . k21 k22 k23 . k31 k32 k33 . . . . .     ,     f1 f2 f3 .     →     1 0 0 0 0 k22 k23 . 0 k32 k33 . 0 . . .     ,     g1 f2 − k21g1 f3 − k31g1 .    
  • 77.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach :
  • 78.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general.
  • 79.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general. May be inefficient to change individual entries once the global matrix is assembled.
  • 80.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions Cons of this approach : Works for an interpolary finite element basis but not in general. May be inefficient to change individual entries once the global matrix is assembled. Need to enforce boundary conditions for a generic finite element basis at the element stiffness matrix level.
  • 81.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V
  • 82.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V Here 1 is chosen so that, in floating point arithmetic, 1 + 1 = 1 .
  • 83.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions A “penalty” term is added to the standard weighted residual statement (R(u), v) + 1 ∂ΩD (u − uD)v dx penalty term = 0 ∀v ∈ V Here 1 is chosen so that, in floating point arithmetic, 1 + 1 = 1 . This weakly enforces u = uD on the Dirichlet boundary, and works for general finite element bases.
  • 84.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
  • 85.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
  • 86.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Essential Boundary Conditions LibMesh provides: A quadrature rule with Nqf points and JxW f[] A finite element coincident with the boundary face that has shape function values phi f[][] for (qf=0; qf<Nqf; ++qf) { for (i=0; i<Nf; ++i) { Fe(i) += JxW_f[qf]* penalty*uD(xyz[q])*phi_f[i][qf]; for (j=0; j<Nf; ++j) Ke(i,j) += JxW_f[qf]* penalty*phi_f[j][qf]*phi_f[i][qf]; } }
  • 87.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids.
  • 88.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds
  • 89.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid.
  • 90.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid. While the weak formulation of the stationary condition is given by: u 1 + | u|2 , ϕ Ω + κ (u, ϕ)Ω = σ (1, ϕ)∂Ω (1)
  • 91.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Introduction Laplace-Young equation model surface tension effects for enclosed liquids. Combining surface tension, gravity and contact the energy functional for Laplace-Young is: Ω 1 + | u|2 dΩ + Ω 1 2 κu2 dΩ − ∂Ω σu ds Where κ is the ratio of surface energy to gravitational energy and u is the height of the liquid. While the weak formulation of the stationary condition is given by: u 1 + | u|2 , ϕ Ω + κ (u, ϕ)Ω = σ (1, ϕ)∂Ω (1)
  • 92.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 93.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 94.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 95.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 96.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 97.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Instead of explicitly finding the Jacobian, we’ll use FEMSystem to finite difference the weak form. element constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { Number u = interior_value(0, qp); Gradient grad_u = interior_gradient(0, qp); Number K = 1. / sqrt(1. + (grad_u * grad_u)); for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) += JxW[qp] * ((_kappa * u * phi[i][qp]) + (K * grad_u * dphi[i][qp])); } } side constraint() for (unsigned int qp=0; qp != n_qpoints; qp++) { for (unsigned int i=0; i != n_u_dofs; i++) { Fu(i) -= JxW[qp] * _gamma * phi[i][qp]; } } 0 B @ u q 1 + | u|2 , ϕ 1 C A Ω + κ (u, ϕ)Ω − σ (1, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ V
  • 98.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Solution An overkill solution containing 200,000 DOFs. (a) 2D. (b) Contour Elevation.
  • 99.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh.
  • 100.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh. Solves both Compressible Navier Stokes and Inviscid Euler.
  • 101.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Compressible Shocked Flow Original compressible flow code written by Ben Kirk utilizing libMesh. Solves both Compressible Navier Stokes and Inviscid Euler. Includes both SUPG and a shock capturing scheme.
  • 102.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle.
  • 103.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function.
  • 104.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function. Utilizing libmesh’s exact solution capability the exact L2 error can be solved for.
  • 105.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Problem Specification The problem studied is that of an oblique shock generated by a 10o wedge angle. This problem has an exact solution for density which is a step function. Utilizing libmesh’s exact solution capability the exact L2 error can be solved for. The exact solution is shown below:
  • 106.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Uniformly Refined Solutions For comparison purposes, here is a mesh and a solution after 1 uniform refinement with 10890 DOFs. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (c) Mesh after 1 uniform x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (d) Solution after 1 uni-
  • 107.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics H-Adapted Solutions A flux jump indicator was employed as the error indcator along with a statistical flagging scheme.
  • 108.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics H-Adapted Solutions A flux jump indicator was employed as the error indcator along with a statistical flagging scheme. Here is a mesh and solution after 2 adaptive refinements containing 10800 DOFs: x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1
  • 109.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Redistributed Solutions Redistribution utilizing the same flux jump indicator. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (i) Mesh after 8 redistri- butions. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (j) Solution after 8 redis- tributions.
  • 110.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Redistributed and Adapted Now combining the two, here are the mesh and solution after 2 adaptations beyond the previous redistribution containing 10190 DOFs. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1
  • 111.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Solution Comparison For a better comparison here are 3 of the solutions, each with around 11000 DOFs: x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (m) Uniform. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (n) Adaptive. x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 (o) R + H.
  • 112.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Error Plot libmesh provides capability for computing error norms against an exact solution.
  • 113.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Error Plot libmesh provides capability for computing error norms against an exact solution. The exact solution is not in H1 therefore we only obtain the L2 convergence plot: 3.5 4.0 4.5 5.0 01 sfoD )N(gol -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 01)rorrE 2 L(gol Uniform Adaptivity Redist + Adapt
  • 114.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics
  • 115.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Natural Convection Tetrahedral mesh of “pipe” geometry. Stream ribbons colored by temperature.
  • 116.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Surface-Tension-Driven Flow Adaptive grid solution shown with temperature contours and velocity vectors.
  • 117.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Fluid Dynamics Double-Diffusive Convection Solute contours: a plume of warm, low-salinity fluid is convected upward through a porous medium.
  • 118.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Biology Tumor Angiogenesis The tumor secretes a chemical which stimulates blood vessel formation.
  • 119.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Material Science Free Energy Formulation Cahn-Hilliard systems model phase separation and interface evolution f(c, c) ≡ f0(c) + fγ( c) fγ( c) ≡ 2 c 2 c · c f0(c) ≡ NkT (c ln (c) + (1 − c) ln (1 − c)) + Nωc(1 − c) ∂c ∂t = · Mc f0(c) − 2 c∆c
  • 120.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Material Science Phase Separation - Spinodal Decomposition Initial Evolution Initial homogeneous blend quenched below critical T Random perturbations anti-diffuse into two phases divided by narrow interfaces Gradual coalescence of single-phase regions Additional physics leads to pattern self-assembly
  • 121.
    Introduction Object ModelsSystem Assembly Examples Summary Summary libMesh Development Open Source (LGPL) Leveraging existing libraries Public site, mailing lists, CVS tree, examples, etc. at http://libmesh.sf.net/ 18 examples including: Infinite Elements for the wave equation. Helmholtz with complex numbers. Laplace in L-Shaped Domain. Biharmonic Equation. Using SLEPc for an Eigen Problem. Unsteady Navier Stokes. And More!