Geostatistic

1. KRIGEAGE
Presenté par:
• ANDRIANANTENAINA Tsiferana Faneva
• RAHANTANANDRASANA Lunah Francia
• RAMAHENINA Andrisoa Marie Princia
• TSIARONIAINA Andrianjaka Tahinasoa
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO
DOMAINE : SCIENCES DE L’INGENIEUR
MENTION : INGENIERIE MINIERE
• NIRINANARINJAKA Harenarinony Voahary
• RAZAFIMAMPIANDRA Fandresena Annah
• RAVONIHANITRA Tahinjanahary Christelle
• ANDRIAMIADANARIVO Joda Nirina

2. INTRODUCTION
Le krigeage est une méthode d’estimation linéaire utilisée en géostatistique qui vise à
minimiser la variance de l’estimation. Cette technique réalise l’interpolation spatiale
d’une variable régionalisée, c’est-à-dire une variable qui varie dans l’espace, en
calculant l’espérance mathématique d’une variable aléatoire. Cette espérance est
obtenue en utilisant l’interprétation et la modélisation du variogramme expérimental.
Le krigeage est considéré comme le meilleur estimateur linéaire non biaisé car il
prend en compte non seulement la distance entre les données et le point
d’estimation, mais aussi les distances entre les données elles-mêmes. Le nom de cette
méthode provient de l’ingénieur minier sud-africain Danie G. Krige, et elle a été
formalisée pour la prospection minière par Georges Matheron.

3. EXEMPLE NUMERIQUE DE KRIGEAGE
LIEN ENTRE KRIGEAGE SIMPLE ET KRIGEAGE ORDINAIRE
TYPE DE KRIGEAGE
PLA
N
PROPRIETES
INFLUENCE DU CHOIX DU MODELE
VALIDATION CROISEE

4. Supposons que l'on veuille estimer un bloc v centré au point xo. Notons 𝑍𝑣 la vraie
valeur (inconnue) de ce bloc et 𝑍𝑣
∗
l'estimateur que l'on obtient.
L'estimateur est linéaire d’où on a: 𝑍𝑖 désignent les v.a. correspondant aux points
échantillons.
𝑍𝑣: vrai valeur du bloc
𝑍𝑣
∗
: estimateur du bloc
𝑖: poids aux points d’échantillons
𝑘
2
: variance de krigeage
: multiplicateur de Lagrange.
C(h): Covariance de Zx
γ(h): variogramme
𝑘𝑜
2
: variance de krigeage ordinaire
𝐾𝑜: Krigeage ordinaire
KRIGEAGE ORDINAIRE

5. La variance d'estimation minimale, appelée variance de
krigeage a pour formule:
Système de krigeage en fonction du variogramme. Avec C(h) = σ2 - γ(h) et
que Σλ=1:
Visualisation du système de krigeage ordinaire et la variance de krigeage ordinaire sous forme
matricielle:

6. KRIGEAGE SIMPLE
Parfois on connaît la moyenne "m" du champ à estimer ou du moins on en possède un estimé fiable.
On peut alors former un estimateur sans biais sans imposer la contrainte que la somme des poids soit
égale à 1.
Tout comme pour le krigeage ordinaire, on écrit la variance d'estimation et on substitue
l'expression précédente pour l'estimateur Zv * . On trouve:

7. On peut démontrer que le krigeage ordinaire d'un point ou d'un
bloc à partir de "n" points observations peut se décomposer en 2
étapes:
1-Estimation de la moyenne "m" (inconnue) du processus par
krigeage ordinaire en utilisant les "n" points.
2-Estimation du point ou du bloc par krigeage simple en
prenant la moyenne estimée par krigeage ordinaire comme une
moyenne connue et toujours utilisant les mêmes "n" points.
LIEN ENTRE KRIGEAGE SIMPLE ET
KRIGEAGE ORDINAIRE

8. µ = Ssµm
Avec
*Pour l'estimation de la moyenne
λm,i: poids de krigeage ordinaire
µm: multiplicateur de Lagrange
σko,m
2
: variance de krigeage ordinaire obtenue
*Pour un point ou bloc
λo,i: poids de krigeage ordinaire
µ:multiplicateur de Lagrange
λs,i: 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑟𝑖𝑔𝑒𝑎𝑔𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒
Ss:poids attribué à la moyenne dans le krigeage
simple
Ss = (1 − 𝑖 λs,i )
σko
2
: variance de krigeage ordinaire
σk𝑠
2
: variance de krigeage simple
λo,i= λs,i + Ssλm,i
σko
2
= σk𝑠
2
+ Ss
2
σko,m
2

9. Linéaire, sans biais,
Interpolateur exact.
Présente un effet d'écran
Tient compte de la taille du champ
PROPRIETES
Par l'utilisation du variogramme
Effectue généralement un lissage
Presque sans biais conditionnel
Transitif.

10. Le choix du modèle a peu d'influence sur les résultats du krigeage pour autant que
chaque modèle fournisse un ajustement équivalent pour les courtes distances
INFLUENCE DU CHOIX DU MODELE
• Les modèles courants:
• Effet de pépite: 𝛾 ℎ =
0 𝑠𝑖 ℎ = 0
𝐶0 𝑠𝑖 ℎ > 0
• Sphérique: 𝛾 ℎ =
𝐶0 + 𝐶
3
2
ℎ
𝑎
−
1
2
ℎ
𝑎
3
𝑠𝑖 0 < ℎ < 𝑎
𝐶0 + 𝐶 𝑠𝑖 ℎ > 0
• Gaussien: 𝛾 ℎ = 𝐶0 + 𝐶[1 − 𝑒
−3
ℎ
𝑎
2
]
• Exponentiel: 𝛾 ℎ = 𝐶0 + 𝐶[1 − 𝑒−3(
ℎ
𝑎
)
]

11. EXEMPLE NUMÉRIQUE DE KRIGEAGE
Soit les points suivants:
x1
X2 x0 x3
Et on a : x1=(0,1) Z1=9
x2=(0,0) Z2=3
x3=(3,0) Z3=4
BUT: estimer le point x0 situé à
(1,0)
Supposons que l'on a un modèle
sphérique, avec effet de pépite 1,
palier 11 et portée 3.
calcul des distances entre toutes les paires de points

12. Evaluation du variogramme sphérique à chacune de ces distances avec
l'équation:
Calcul de la covariance correspondante:
C(h)=11-γ(h)
Construction du système de krigeage:
K = ko
L’estimation est alors:
L’inverse de K:

13. La variance de krigeage est donnée par:

14. VALIDATION CROISEE
Objectifs :
-Valider le modèle de variogramme
-Valider le voisinage utilisé pour le krigeage
Principe :
-Eliminer à tour de rôle chaque observation
-Estimer à l'aide de ses voisins
Avec:
e=Zi-Zi* un résidu
𝑛𝑖 =
𝑒𝑖
𝜎𝑘𝑖
un résidu normalisé
Un modèle et un voisinage adéquats devraient fournir:

15. Le krigeage est effectué avec le bon
modèle.
On a fourni un modèle trop optimiste par
rapport à la réalité (sphérique avec a=10
fourni vs réalité : effet de pépite pur)
On a fourni un modèle trop pessimiste
(effet de pépite pur) au lieu du vrai modèle
VALIDATION CROISEE

16. CONCLUSION
 Estimateur sans biais qui minimise la variance d’éstimation
Prend on compte la redondance spatiale entre les données
Paramètre d’entrée:
o Voisinage
o modèle de variogramme
o Modèle de moyenne
• Constante et connue (Sk, Krigeage simple)
• Constante par voisinage (OK, Krigeage ordinaire)
• Modèle polynomial par voisinage (UK = Ked)
fournit:
Estimation = espérance conditionnelle de la fonction aléatoire
Variance d’estimation