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S11 funcion delta_de__dirac_-_series_de_fourier
- 1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONESDIFERENCIALES FORMACIÓN POR COMPETENCIAS Funciones periódicas, función Delta de Dirac, series de Fourier.
- 2. Objetivos Calcular latransformada de Laplace de funciones periódicas. Definir la función delta de Dirac y resolver ecuaciones diferenciales. Definir e interpretar una función par e impar. Calcular la serie de Fourier de una función 𝒇 𝒙 . Analizar la convergencia puntual de una serie de Fourier. Aplicar los métodos estudiados a diferentes problemas aplicativos del contexto real.
- 4. Función periódica Una función𝒇 es periódica con periodo 𝑻 si: 𝒇 𝒕 + 𝑻 = 𝒇 𝒕 ∀ 𝒕 en el dominio de 𝒇
- 5. Ejemplo 1 La funcióncuya gráfica se muestra en la figura adjunta, tiene periodo 2. y se puede escribir : 𝑓 t = 1; 0 < 𝑡 < 1 −1; 1 < 𝑡 < 2 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
- 6. Transformada de unafunción periódica Teorema: Sea 𝒇 continua por partes para 𝒕 ≥ 𝟎 y de orden exponencial. Si 𝒇 es periódica con periodo 𝑻 , entonces: 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝟏 𝟏 − 𝒆−𝒔𝑻 𝒆−𝒔𝒕 𝑻 𝟎 𝒇 𝒕 𝒅𝒕
- 7. Ejemplo 1 Halle latransformada de Laplace de la función periódica, cuya gráfica se muestra en la figura adjunta: 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
- 8. Ejemplo 1 Solución : 𝑻= 𝟐, la función 𝒇 la podemos escribir así: 𝒇 𝐭 = 𝟏; 𝟎 < 𝒕 < 𝟏 −𝟏; 𝟏 < 𝒕 < 𝟐 entonces 𝒇 𝒕 = 𝟏 − 𝟐𝒖 𝒕 − 𝟏 , aplicamos trasformada de Laplace 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝓛 𝟏 (𝒔) − 𝟐𝓛 𝒖 𝒕 − 𝟏 (𝒔) 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝟏 𝒔 − 𝟐 𝒆−𝒔 𝒔
- 9. Ejercicios 1) Halle latransformada de Laplace de la siguiente función periódica: Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
- 10. Ejercicios 2) Halle latransformada de Laplace de la siguiente función periódica: Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
- 11. Ejercicios 3) Halle latransformada de Laplace de la siguiente función periódica: Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
- 12. Ejercicios 4) Halle latransformada de Laplace de la siguiente función periódica: Solución 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
- 14. Introducción En muchos sistemasmecánicos, circuitos eléctricos, doblamiento de vigas y otras aplicaciones; aparecen fuerzas externas muy grandes que actúan en intervalos de tiempo muy pequeños, por ejemplo: El golpe de un martillo. Un relámpago. Un gran peso concentrado en un punto de viga suspendida. La forma de representar esta fuerza exterior, los físicos y los ingenieros usan la función delta de Dirac, introducido por Paul A.M. Dirac.
- 15. Definición Sea la funciónimpulso unitario: donde 𝒂 y 𝒕 𝟎 son constantes positivas y 𝒕 𝟎 ≥ 𝒂. 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 = 1 2𝑎 ; 𝑠𝑖 𝑡0 − 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 + 𝑎 0; 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑡0 − 𝑎 ∨ 𝑡 > 𝑡0 + 𝑎 𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝜹 𝒂 𝒕 − 𝒕 𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏 +∞ −∞
- 16. Definición función deltade Dirac La función delta de Dirac es la “función” definida por: δ 𝑡 − 𝑡0 = lim 𝑎→0 𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 Equivalentemente : δ 𝑡 − 𝑡0 = 0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 𝑡0 +∞ 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑡0 𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝜹 𝒕 − 𝒕 𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏 +∞ −∞
- 17. Transformada de Laplacede la función delta de Dirac ℒ 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑠 = 𝑒−𝑡0 𝑠 Para 𝒕 𝟎 ≥ 𝟎, se tiene: Observación: 1) Si 𝒕 𝟎 = 𝟎, se tiene 𝓛 𝜹 𝒕 𝒔 = 𝟏 2) La transformada inversa de Laplace de 1, es: 𝓛−𝟏 𝟏 𝒕 = 𝜹(𝒕)
- 18. Ejercicios 1) Resuelva lassiguientes ecuaciones diferenciales, siendo 𝜹 la función delta de Dirac. a) 𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝜹 𝒕 − 𝟐 , 𝒚 𝟎 = 𝟎 𝐛) 𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒆 𝒕 + 𝜹 𝒕 − 𝟐 + 𝜹 𝒕 − 𝟒 𝒚 𝟎 = 𝒚′ 𝟎 = 𝟎 Solución
- 19. Ejercicios Una viga uniformede longitud 𝑳 soporta una carga concentrada 𝒘 𝟎 en 𝒙 = 𝑳 𝟐 . La viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la transformada de Laplace para determinar la deflexión 𝒚(𝒙) de: 𝑬𝑰 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅𝒙 𝟒 = 𝒘 𝟎 𝜹(𝒙 − 𝑳 𝟐 ) donde: 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 𝑦′′ 𝐿 = 𝑦′′′ 𝐿 = 0 Solución
- 21. Introducción Al analizar elflujo de calor y las cuerdas vibrantes, tenemos que expresar una función en una serie trigonométrica, es por ello que el análisis de Fourier es una herramienta matemática que se utiliza para analizar funciones periódicas a través de descomponer una función en la suma de funciones senoidales mucho más simple.
- 22. Definiciones básicas Función periódica Unafunción 𝐟 es periódica con período 𝐓 si: 𝑓 𝑡 + 𝑇 = 𝑓 𝑡 ∀ 𝑡 en el dominio de 𝑓
- 23. Función par eimpar 𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 (𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀) 𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 (𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀)
- 24. Teorema para funcionessimétricas 1. Si 𝒇 es una función par y continua por partes en −𝒂; 𝒂 , entonces: 𝑓(𝑥) 𝑎 −𝑎 𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥) 𝑎 0 𝑑𝑥 2. Si 𝒇 es una función impar y continua por partes en −𝒂; 𝒂 , entonces: 𝑓(𝑥) 𝑎 −𝑎 𝑑𝑥 = 0 3) El producto de dos funciones pares es par.
- 25. Teorema para funcionessimétricas 4) El producto de dos funciones impares es par. 5) El producto de una función par y una función impar es impar.
- 26. Ejercicios 1) Grafique lasiguientes funciones indicando el período: 𝒂) 𝒇 𝒙 = − 𝝅 𝟒 , −𝝅 < 𝒙 < 𝟎 𝝅 𝟒 , 𝟎 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙) 𝒃) 𝒇 𝒙 = 𝟎, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙) 𝒄) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 cuando −𝝅 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙) Solución
- 27. Funciones periódicas Senoy Coseno En su forma más general la función seno y coseno se expresa como 𝒇 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝒙 − 𝝋 𝒇 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒙 − 𝝋 donde A, 𝝎 y 𝝋 son números reales. 𝐏𝐞𝐫í𝐨𝐝𝐨: 𝐓 = 𝟐𝛑 𝛚
- 28. Ejercicios Determine el menorperíodo 𝑻 de las siguientes funciones: a) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) b) 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙) c) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝅𝒙) Solución
- 30. Definición Sea 𝒇 unafunción continua por partes en el intervalo −𝑻; 𝑻 . La serie de Fourier de 𝒇 es la serie trigonométrica: 𝒇 𝒙 ~ 𝒂 𝟎 𝟐 + 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑻 + 𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑻 ∞ 𝒏=𝟏 donde 𝒂 𝒏 y 𝒃 𝒏 están dadas por las fórmulas: 𝒂 𝒏 = 𝟏 𝑻 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑻 𝑻 −𝑻 𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; … 𝒃 𝒏 = 𝟏 𝑻 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑻 𝑻 −𝑻 𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; …
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- 34. Convergencia puntual deuna serie de Fourier Si 𝒇 y 𝒇′ son continuas por partes en −𝑻; 𝑻 , entonces para cualquier 𝒙 en −𝑻; 𝑻 , 𝒂 𝟎 𝟐 + 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑻 + 𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑻 ∞ 𝒏=𝟏 = 𝟏 𝟐 𝒇 𝒙+ + 𝒇(𝒙− ) donde 𝒂 𝒏 y 𝒃 𝒏 están dadas por las fórmulas: 𝒂 𝒏 = 𝟏 𝑻 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑻 𝑻 −𝑻 𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; … 𝒃 𝒏 = 𝟏 𝑻 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑻 𝑻 −𝑻 𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; … Para 𝑥 = ±𝑇, la serie converge a: 𝟏 𝟐 𝒇 −𝑻+ + 𝒇(𝑻−)
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