「数学の世界」の発表で用いたpptxファイルを公開します。

1. 順列・組合せ
確率・期待値
@_s_bear_
1

2. 定義の復習
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3. 階乗 – n!
1からnまでの自然数の総乗
𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 1
–Ex) 5! = 5 * 4 * 3 * 2* 1 = 120
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4. 順列 - nPi
 n個の要素をi個の場所に並べる場合の数
– 順番を気にする
𝑛 𝑃𝑖 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ (𝑛 − 𝑖 + 1)
–Ex) 5P3 = 5 * 4 * 3 = 60
4

5. 組み合わせ – nCi
 n個の要素からi個を取り出す場合の数
– 順番を気にしない
𝑛 𝐶𝑖 = 𝑛
𝑃𝑖
𝑖!
–Ex) 5C3 = 5 * 4 * 3 / 3 * 2 * 1 = 10
5

6. 順列と組合せの違い
5個のイスに3人が座る場合の数
– 順列（5P3） 3人の並びも含めて考える
,
– 組合せ(5C3) どのイスが使われるか考える
6
A B C B C A

7. 確率 – P(A)
P A =
事象Aの起こる場合の数
起こりうるすべての場合の数N
–Ex)52枚のジョーカー抜きトランプから
スペードを取り出す確率
13/52 = 1/4
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8. 期待値 – E(X)
ある試行で得られる数値をxi
そのときの確率をpiとする
E 𝑋 = 𝒙 𝟏 𝒑 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒑 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒏 𝒑 𝒏
Ex)サイコロの出目の期待値
1*1/6 + 2*1/6 + … +6*1/6 = 21/6
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9. 身近な
組合せ・確率論
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10. サイコロ問題
6面サイコロ1つを「全ての面が出る」
まで振る
だいたい何回振れば条件を満たすか？
– 期待値はいくつか？
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11. サイコロ問題
新しい目が出る確率は徐々に下がる
– 6/6, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6
𝐸 𝐴 = 𝑛 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
– n=6を代入してE(A) = 14.7[回]
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12. サイコロ問題
仮にこれを賭けゲームとする
– 降るたびに10円消費, 揃った時にx円もらえる
xの妥当な値は？
– 回数の期待値14.7より147円
12

13. サイコロ問題 実は……
先ほど考えた確率は、かつて規制された
「コンプガチャ」に近い
「n種類のガチャを全部揃えば特典」
– 厳密にはレア度による確率の違いなどで
より複雑になる
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14. より詳しく
コンプガチャの数理
-コンプに必要な期待回数の計算方法について-
– http://doryokujin.hatenablog.jp/entry/2012/05/09/034209
リアルなケースで考察しています
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15. 並び替え問題 - 1
7枚のカードを1,2,3,4,5,6,7 として、
それらを並び替えることを考える。
全てのカードの並びは何通りか？
→階乗・順列・組み合わせのどれ？
15
1 2 3 4 5 6 7

16. 並び替え問題
7枚の中から1枚取り出す
→6枚の中から1枚取り出す
→……
→1枚の中から1枚取り出す
階乗が使える
–７！ = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
= 5040[通り]
161 2 3 6 74 5

17. 並び替え問題 - 2
1,7のカードが左3枚のいずれか
3,5のカードが右4枚のいずれか
に来る確率はどれほどか？
– 確率 = （その場合の数） / （全通り）
17
1 2 34 567

18. 並び替え問題
 1,7・3,5各側の並びについて考える
– 左側に1,7が来る並びは3P2 = 6[通り]
– 右側に3,5が来る並びは4P2 = 12[通り]
 2,4,6を3枚の空きに並べる
– 3P2 = 6[通り]
 それぞれは独立だから掛けて全通りが求まる
– 6*12*6 = 432[通り]
181 2 3 67 4 5

19. 並び替え問題
確率は（その場合の数） / （全通り）
– 432/5040 = 4/35 ≒ 8.7[%]
 右側に1,7が来る場合も同様
– 6*12*6 = 432[通り]
19

20. 並び替え問題 実は…… 20
「7枚のカード」は
ある音楽ゲームの
「譜面」と同値である
と考えられる
1 2 3 6 74 5

21. 並び替え問題 実は……
先ほど求めた場合の数は
レーンの位置をランダムにする
RANDOMオプションを用いた時に
「譜面が“割れる”パターン」に等しい
譜面が“割れる”と押しやすくなる
→難易度が低下する
21
1 2 3 67 4 5

22. 譜面イメージ 22
1 2 3 6 74 5
両手を同じタイミングで
動かす必要がある
→難しい

23. 譜面イメージ 23
1 3 6 742 64 51 2 37 4 5
両手を交互に動かす
だけでよい
→易しい

24. 余談
最近“R-RANDOM”という
「（反転させたもの含めた）譜面を
横にズラす」ランダムが実装された
– 全12通り, 元のパターンとその反転は含まない
– Ex) ,
これを使うと先ほどの場合で“割れる”
確率は1/6(16.7%)になる
– 普通のRANDOM（8.7％）の約2倍！！
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1 23 6 74 5 1236 745

25. より詳しく
「確率的視点から見た当たり譜面」
– http://sig49san.hatenadiary.jp/entry/2014/
12/10/001412
統計的見地からも書かれています
– 「統計学入門」が分かれば理解できます
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26. n!,nPi,nCi,で
表せない場合の数
26

27. ウォームアップ
同じ正方形による格子状の道があり、
左上を始点, 右下を終点とする
最短距離のパターンは何通りか？
– これは簡単に表せる
27
S
G

28. 簡単な組み合わせ 解法
「右」と「下」をそれぞれ3回選ぶと考える
→ 6個の中から3つ選ぶ
6C3 = 6*5*4 / 3*2*1
= 20(通り)
28
S
G

29. 難しい組み合わせ
同じ道を通らない全てのパターンは
何通りか？
– 寄り道してもよい
– 大きな数になりそう……
29
S
G

30. 難しい組み合わせ
実は公式は存在しない
– NP困難に属すると予想されている
– ざっくり言うと「簡単に計算できる方法がない」
– 計算時間が多項式で表せない
“Self-Avoiding Walk”と呼ばれる問題
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31. 組み合わせ爆発
格子の大きさをn * nとして
– 1 * 1 … 2
2 * 2 … 12
3 * 3 … 184
4 * 4 … 8,512
5 * 5 … 1,262,816
6 * 6 … 575,780,564
7 * 7 … 789,360,053,252
(通り)
31
S
G

32. より詳しく
「フカシギの数え方」
– https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs
手動で数えると大変なことになるのが
よく分かる動画
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33. 参考文献
 山本幸一(1983)『順列・組合せと確率』岩波書店.
 西岡弘明(1999)『やさしい組合せ数学』コロナ社.
 コンプガチャの数理 -コンプに必要な期待回数の計算方法について-
– http://doryokujin.hatenablog.jp/entry/2012/05/09/034209
 「確率的視点から見た当たり譜面」
– http://sig49san.hatenadiary.jp/entry/2014/12/10/001412
 「フカシギの数え方」
– https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs
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