2. Funkcijas atvasinājuma
jēdziena fizikālā interpretācija
x xt t xt
vvid
t t
x x xt t xt
v lim v lim lim
t 0 t t
vid
t 0 t 0
x(t + t)
x
x(t)
t
t t + t
t
3. Funkcijas maiņas vidējais
ātrums
□ Attiecība
y f x x f x
x x
□ izsaka funkcijas izmaiņu, kas
aprēķināta argumenta izmaiņas vienai
vienībai, un to sauc par funkcijas
maiņas vidējo ātrumu intervālā [x; x].
4. Funkcijas atvasinājums
□ Attiecības robežu
y f x x f x
lim
lim x x0
x 0 x
□ Sauc par funkcijas f(x) atvasinājumu un
apzīmē:
□ y’
f x
dy d
□ f’(x) dx dx
5. Funkcijas atvasinājums pēc
argumenta
□ Par funkcijas y = f(x) atvasinājumu pēc
argumenta x sauc funkcijas un
argumenta pieauguma attiecības
robežu, kad argumenta pieaugums
tiecas uz nulli
y f x x f x
y ' lim lim
x 0 x x0 x
y y
lim x
x 0
lim x
x 0
f ' ( x) f ' ( x)
6. Atvasināšanas algoritms –
atvasināšana vai diferencēšana
1. Argumenta pieaugumam x
atbilstoša funkcijas pieauguma
aprēķināšana
y f x x f x
y
2. Attiecības sastādīšana.
x
3. Robežas noteikšana
f x0 x f x0
f ' x0 lim
x 0 x
7. Funkcijas atvasinājuma
ģeometriskā interpretācija
MN y
tg k sekantei
M 0 N x
y
lim x limtg tg k pieskare f ' x0
x 0 x 0
y f x0 k x x0
M
f(x0 + x)
y
y f x0 f ' x0 x x0
M0
f(x0) N
x
x0 x0 + x
8. Līnijas normāle
□ Līnijas normāle – taisne, kas
perpendikulāra funkcijas pieskarei
1 1
kn
kp f ' x0
y f x0 x x0
1
f ' x0
9. Diferencēšanas likumi
□ Ja funkcija f ir konstanta kādā intervālā (a;
b), tad tās atvasinājums šajā intervālā ir
nulle.
f ' x c' 0
□ Summas, starpības un dalījuma
atvasinājums.
u v ' u 'v' u v ' u 'v'
u u ' v uv'
'
uv' u ' v uv' v0
v v2
10. Atvasināšanas pamatformulas
c ' 0 log a x ' 1
x ln a
arcctg x ' 1 1x 2
x ' 1 ln x ' 1
x
sh x ' chx
x ' nx
n n 1
a ' a ln a
x x
ch x ' shx
sin x ' cos x e ' e
x x
th x ' ch x
2
1
cos x ' sin x arcsin x ' 1
cth x ' sh1 x
2
1 x 2
tgx' 2 1
arccosx ' 1
cos x 1 x2
ctgx' 2 1
sin x
arctg x ' 1 x 2
1
11. Elementāro pamatfunkciju atvasināšanas
formulas pēc starpargumenta u = u(x)
u ' n u
n n 1
u' ln u ' u'
u
arcctg u ' 1 u 2
u'
sin u ' cosu u '
a ' a ln a u '
u u
sh u ' ch u u '
cosu ' sin u u ' eu ' eu u ' ch u ' sh u u '
tg u ' cos' u
u
2
arcsinu ' u ' 2 th u ' ch 2'u
u
1 u
ctg u ' sin 2 u
u'
arccosu ' u'
ch u sh 2u
' u'
1 u2
log a u ' u'
u ln a
arctg u ' 1 uu 2'
12. Apslēptas funkcijas
atvasinājums
1. Atvasina abas vienādojuma puses. x2 y2 a2 0
2 x 2 y y' 0
4. Otrajā izteiksmē y vietā ievieto
2. Izsaka y’.
iegūto izteiksmi
2x x
y' x x
2y y y'
3. Izsaka y no vienādojuma. y a x
2 2
y a2 x2
13. Logaritmiskā atvasināšana
y x 1
sin x
1. Logaritmē abas vienādojuma puses
ln y ln x 1 sin x ln x 1
sin x
2. Atvasina
cos x ln x 1 sin x
y' 1
y x 1
3. Izsaka y’.
1
y ' y cos x ln x 1 sin x
x 1
4. y vietā ievieto doto izteiksmi
sin x 1
y ' x 1 cos x ln x 1 sin x
x 1