ملخص الاحصاء التطبيقي - 5263 إعداد: د. عماد نشوان كلية العلوم الإدارية والاقتصادية جامعة القدس المفتوحة

1. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
31
‫الثالثة‬ ‫الوحد‬
‫ومقطعه‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫بميل‬ ‫المتعلقة‬ ‫الفرضيات‬ ‫اختبار‬
‫الوحدة‬ ‫في‬ ‫االحصاء‬ .‫م‬ ‫كتاب‬ ‫في‬ ‫درست‬ ‫لقد‬‫الثالثة‬‫انحدار‬ ‫معادلة‬Y‫عمى‬X‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫بط‬‫ر‬‫ت‬ ‫التي‬Y
‫المستقل‬ ‫بالمتغير‬X‫الشكل‬ ‫عمى‬ ‫وكانت‬  XY 10‫أن‬ ‫حيث‬1‫ميل‬ ‫ىو‬‫انحدار‬ ‫خط‬)‫انحدار‬ ‫(معامل‬
Y‫عمى‬X‫و‬0‫و‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫مقطع‬ ‫ىو‬.‫التقدير‬ ‫في‬ ‫الخطأ‬ ‫ىو‬
‫استخد‬ ‫وقد‬‫مت‬‫من‬ ‫كل‬ ‫تقدير‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫أيض‬ ‫الكتاب‬ ‫ىذا‬ ‫من‬ ‫األولى‬ ‫الوحدة‬ ‫في‬ ‫ليا‬ ‫تعرضنا‬ ‫التي‬ ‫ى‬‫الصغر‬ ‫بعات‬‫ر‬‫الم‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ط‬
‫أن‬1‫و‬0:‫كالتالي‬ ‫وىي‬







22
22
101
ˆˆ,ˆ
ynySS
xnxSS
yxnxySS
XBYB
SS
SS
B
y
x
xy
x
xy
‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫بين‬ ‫خطية‬ ‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫"ىل‬ ‫االساسي‬ ‫ال‬‫ؤ‬‫الس‬ ‫عمى‬ ‫االجابة‬ ‫يد‬‫ر‬‫ن‬ ‫وىنا‬Y‫المستقل‬ ‫المتغير‬‫و‬X‫؟‬
‫الشكل‬ ‫عمى‬ ‫ستكون‬ ‫وجدت‬ ‫إذا‬ ‫الخطية‬ ‫العالقة‬ ‫أن‬ ‫المعروف‬ ‫من‬0 1Y B B X ‫حيث‬0B‫خط‬ ‫مقطع‬ ‫ىو‬
‫و‬ ‫االنحدار‬1B‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بيانات‬ ‫رسم‬ ‫وتم‬ ‫خطية‬ ‫العالقة‬ ‫كانت‬ ‫ولو‬ .‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫ميل‬ ‫ىو‬X‫و‬Y‫المستوى‬ ‫في‬
‫العالقة‬ ‫ىذه‬ ‫رسم‬ ‫فسيكون‬ ‫تي‬‫ر‬‫الديكا‬‫يبا‬‫ر‬‫تق‬‫بع‬‫ر‬‫م‬ ‫ع‬‫مجمو‬ ‫يكون‬ ‫(أو‬ ‫النقاط‬ ‫معظم‬ ‫بين‬ ‫يصل‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫شكل‬ ‫عمى‬
‫المسافات‬‫مبادئ‬ ‫مقرر‬ ‫في‬ ‫ى‬‫الصغر‬ ‫بعات‬‫ر‬‫الم‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ط‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫سابق‬ ‫ذلك‬ ‫درست‬ ‫كما‬ )‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أقل‬ ‫ىي‬ ‫النقاط‬ ‫وبين‬ ‫بينو‬
.‫االحصاء‬
‫االنحدار‬ ‫معادلة‬ ‫خط‬
)‫(المشاىدات‬ ‫الحقيقة‬ ‫القيم‬
‫ية‬‫ر‬‫التقدي‬ ‫القيمة‬
‫التقدير‬ ‫في‬ ‫الخطأ‬

2. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
32
‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫يب‬‫ر‬‫تق‬ ‫عن‬ ‫وينجم‬X‫و‬Y‫الحقيقية‬ ‫القيم‬ ‫ىي‬ ‫القيم‬ ‫من‬ ‫نوعين‬ )‫انحدار‬ ‫(خط‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫بعالقة‬
‫نقدر‬ ‫التي‬ ‫ية‬‫ر‬‫التقدي‬ ‫القيم‬‫و‬ )‫(المشاىدات‬‫ية‬‫ر‬‫التقدي‬ ‫القيمة‬‫و‬ ‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬‫و‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫معادلة‬ ‫باستخدام‬ ‫ىا‬
.‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬‫و‬ ‫التقدير‬ ‫في‬ ‫بالخطأ‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ىو‬
1.‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫بميل‬ ‫المتعلقة‬ ‫الفرضيات‬
‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫بين‬ ‫خطية‬ ‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫ىل‬ ‫فة‬‫ر‬‫مع‬ ‫يد‬‫ر‬‫ن‬ ‫العممية‬ ‫المسائل‬ ‫بعض‬ ‫في‬Y‫المستقل‬ ‫المتغير‬‫و‬X‫بمعنى‬ ‫أي‬
‫ىل‬ ‫آخر‬‫أن‬‫ال‬ ‫أم‬ ‫لمصفر‬ ‫مساوي‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫ميل‬‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫و‬‫خطية‬‫ىي‬ ‫ىل‬‫سنضع‬ ‫ولذلك‬ ‫؟‬ ‫عكسية‬ ‫أم‬ ‫طردية‬
:‫التالية‬ ‫الفرضيات‬
‫طردية‬ ‫خطية‬‫خطية‬‫عكسية‬ ‫خطية‬
0:0:0:
0:0:0:
111
101010
 

aaa HHH
HHH


‫اختبار‬ ‫نطبق‬t‫التالي‬
2..
ˆ
2
ˆ
1
2
11






nfd
SSBSSSSEwhere
n
SSE
S
where
SS
S
BB
t
xyy
x
‫مثال‬12‫التا‬ ‫البيانات‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ :‫ين‬‫ر‬‫لمتغي‬ ‫أخذت‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ ‫لية‬X‫و‬Y‫باعتبار‬ ،Y‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫ىو‬
‫طردية‬ ‫خطية‬ ‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫فيل‬‫ال‬ ‫بين‬‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬ ‫ين‬‫ر‬‫متغي‬05.0‫؟‬
1.‫الفرضيات‬ ‫نحدد‬
0:
0:
1
10


aH
H 
2.‫االختبار‬ ‫بتطبيق‬ ‫نقوم‬
X Y XY 2
X 2
Y
-2 -3 6 4 9
0 1 0 0 1
1 4 4 1 16
3 8 24 9 64
4 9 36 16 81
‫ع‬‫المجمو‬ 6 11 07 37 101
8.98)8.35(171
8.22)2.15(30
8.3
5
19
,2.1
5
6
222
222





ynySS
xnxSS
YX
y
x

3. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
33
316.1)2.107.2(8.3ˆˆ
07.2
8.22
2.47ˆ
2.47)8.32.15(70
10
1


 
XBYB
SS
SS
B
yxnxySS
x
xy
xy
3252..
35.16
8.22
6044.0
007.2ˆ
6044.0365.0365.0
25
096.1
2
096.1)2.4707.2(8.98ˆ
11
2
1












nfd
SS
S
BB
t
S
n
SSE
S
SSBSSSSE
x
xyy
3.‫نحدد‬.‫الرفض‬‫و‬ ‫القبول‬ ‫مناطق‬
4.‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫أنو‬ ‫أي‬ ‫ية‬‫ر‬‫الصف‬ ‫الفرضية‬ ‫نرفض‬ ‫بالتالي‬ ‫الرفض‬ ‫منطقة‬ ‫في‬ ‫وقعت‬ ‫االختبار‬ ‫قيمة‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬
.‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بين‬ ‫طردية‬ ‫خطية‬
‫مثال‬13‫ين‬‫ر‬‫لمتغي‬ ‫أخذت‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمثل‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ :X‫و‬Y‫باعتبار‬ ،Y‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫ىو‬
‫توجد‬ ‫فيل‬‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬ ‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بين‬ ‫خطية‬ ‫عالقة‬05.0‫؟‬
1.‫الفرضيات‬ ‫نحدد‬
0:
0:
1
10




aH
H
2.‫االختبار‬ ‫بتطبيق‬ ‫نقوم‬
X Y XY 2
X 2
Y
-2 5 -10 4 25
0 6 0 0 36
6 9 54 36 81
6 -1 -6 36 1
8 9 72 64 81

4. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
34
12 11 132 144 121
‫ع‬‫المجمو‬ 30 39 242 284 345
XY
soXBYB
SS
SS
B
yxnxySS
ynySS
xnxSS
YX
x
xy
xy
y
x
35.075.4
75.4)535.0(5.6ˆˆ
35.0
134
47ˆ
47)5.656(242
5.91)25.426(345
134)256(284
5.6
6
39
,5
6
30
10
1
22
22










4262..
936.0
134
33.4
035.0ˆ
33.47625.187625.18
26
05.75
2
05.75)4735.0(5.91ˆ
11
2
1












nfd
SS
S
BB
t
S
n
SSE
S
SSBSSSSE
x
xyy
3..‫الرفض‬‫و‬ ‫القبول‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬
4.‫الفرضي‬ ‫نقبل‬ ‫وبالتالي‬ ‫القبول‬ ‫منطقة‬ ‫في‬ ‫وقعت‬ ‫االختبار‬ ‫قيمة‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫أنو‬ ‫أي‬ ‫ية‬‫ر‬‫الصف‬ ‫ة‬
.‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بين‬ ‫خطية‬

5. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
35
2.‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫بمقطع‬ ‫المتعلقة‬ ‫الفرضيات‬
:‫يمي‬ ‫كما‬ ‫الفرضيات‬ ‫ىنا‬ ‫وتكون‬
0:0:0:
0:0:0:
000
000000
 

aaa HHH
HHH


‫ىو‬ ‫االختبار‬ ‫ويكون‬
2..
1
ˆ
2
00




nfd
where
SS
X
n
S
BB
t
x
‫مثال‬14‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫في‬ :12‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫مقطع‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫ىل‬ ‫اختبر‬‫من‬ ‫اكبر‬‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬ ‫الصفر‬
05.0‫؟‬
:‫الحل‬
1.‫الفرضيات‬ ‫نحدد‬
0 0
0
: 0
: 0a
H
H



2.‫االختبار‬ ‫بتطبيق‬ ‫التالية‬ ‫المعمومات‬ ‫توفرت‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫من‬
6044.0,096.1
316.1ˆ,07.2ˆ,2.47
8.98,8.22,8.3,2.1
01



SSSE
BBSS
SSSSYX
xy
yx
3252..
244.4
8.22
2.1
5
1
6044.0
0316.1
1
ˆ
22
00








nfd
SS
X
n
S
BB
t
x
3..‫الرفض‬‫و‬ ‫القبول‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬

6. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
36
4.‫وقعت‬ ‫االختبار‬ ‫قيمة‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬‫خط‬ ‫مقطع‬ ‫طول‬ ‫أنو‬ ‫أي‬ ‫ية‬‫ر‬‫الصف‬ ‫الفرضية‬ ‫فض‬‫ر‬‫ن‬ ‫بالتالي‬ ‫الرفض‬ ‫منطقة‬ ‫في‬
.‫االصل‬ ‫بنقطة‬ ‫يمر‬ ‫ال‬ ‫أي‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫االنحدار‬
‫مثال‬15‫المثال‬ ‫في‬ :13‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬ ‫الصفر‬ ‫عن‬ ‫يختمف‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫مقطع‬ ‫طول‬ ‫ىل‬05.0‫؟‬
‫الفرضيات‬
0 0
0
: 0
: 0a
H
H




33.475.4ˆ35.0ˆ475.911345.6,5 01  SBBSSSSSSYX xyyx
4262..
84.1
134
5
6
1
33.4
075.4
1
ˆ
22
00








nfd
SS
X
n
S
BB
t
x
‫االرتباط‬ ‫بمعامل‬ ‫المتعلقة‬ ‫الفرضيات‬ ‫اختبار‬
‫توجد‬ ‫ىل‬ ‫نعرف‬ ‫فينا‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫ميل‬ ‫اسة‬‫ر‬‫د‬ ‫من‬ ‫الغاية‬ ‫نفس‬ ‫ىو‬ ‫ع‬‫الموضو‬ ‫ىذا‬ ‫اسة‬‫ر‬‫د‬ ‫من‬ ‫الغرض‬‫و‬‫تباط‬‫ر‬‫ا‬)‫(عالقة‬
‫المستقل‬‫و‬ ‫التابع‬ ‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬ ‫بين‬ ‫خطي‬‫المستقل‬ ‫ىو‬ ‫ومن‬ ‫التابع‬ ‫ىو‬ ‫من‬ ‫النظر‬ ‫بغض‬‫ىي‬ ‫ىل‬ ‫العالقة‬ ‫ىذه‬ ‫طبيعة‬ ‫وما‬
‫عكسية؟‬ ‫أم‬ ‫طردية‬
‫نعرف‬‫بين‬ ‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬‫ىو‬ ‫مجتمعين‬‫و‬‫بين‬ ‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬‫ىو‬ ‫العينات‬r‫فإن‬
1
ˆB
SSy
SS
SSSS
SS
r x
yx
xy

‫أيضا‬‫و‬‫ل‬‫نعرف‬2
r‫الستخدام‬ ‫نتيجة‬ ‫التقدير‬ ‫في‬ ‫الخطأ‬ ‫انخفاض‬ ‫نسبة‬ ‫تحديد‬ ‫نستطيع‬ ‫خاللو‬ ‫من‬ ‫الذي‬‫و‬ ‫التحديد‬ ‫معامل‬
( ‫االنحدار‬ ‫خط‬‫فعالية‬ ‫مدى‬ ‫عن‬ ‫مؤشر‬ ‫يعطى‬ ‫فيو‬ )‫االنحدار‬ ‫معادلة‬ ‫يق‬‫ر‬‫ط‬ ‫عن‬ ‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫تقدير‬ ‫في‬ ‫الدقة‬ ‫نسبة‬
‫بقيم‬ ‫التنبؤ‬‫و‬ ‫التقدير‬ ‫في‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫معادلة‬Y‫و‬:‫بالقانون‬ ‫عنو‬ ‫يعبر‬

7. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
37
y
y
SS
SSESS
r

2
‫ا‬‫ال‬‫و‬‫أ‬:‫ة‬‫الصغير‬ ‫(العينات‬ ‫متغيرين‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫ع‬‫نو‬ ‫معرفة‬30n).
‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫بمعامل‬ ‫الخاصة‬ ‫الفرضيات‬ ‫اسة‬‫ر‬‫ولد‬
1.‫ىي‬ ‫الفرضيات‬
0:
0:0


aH
H 
‫عكسية‬ ‫العالقة‬
0:
0:0




aH
H
‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫ىل‬‫خطية‬
0:
0:0


aH
H 
‫طردية‬ ‫العالقة‬
2.‫االختبار‬ ‫نطبق‬t‫التالي‬
2
1
2
r
nr
t



3.‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الرفض‬‫و‬ ‫القبول‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬.‫نقرر‬
‫مثال‬16‫المثال‬ ‫في‬ :13‫ىل‬‫خطية‬ ‫العالقة‬‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬05.0‫؟‬
‫الفرضيات‬
0:
0:0




aH
H
‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫ىل‬
475.911345.6,5  xyyx SSSSSSYX
93.0
42.01
2642.0
1
2
42.0
5.91134
47
22










r
nr
t
SSSS
SS
r
yx
xy
‫مثال‬10‫المثال‬ ‫في‬ :12‫خطية‬ ‫العالقة‬ ‫ىل‬ ‫اختبر‬‫طردية‬‫الد‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬ ‫ال‬ ‫أم‬‫اللة‬05.0‫معامل‬ ‫باستخدام‬
‫تباط؟‬‫ر‬‫اال‬

8. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
38
:‫الحل‬
1.‫الفرضيات‬ ‫نحدد‬
0 : 0
: 0a
H
H




‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫ىل‬
‫االختبار‬ ‫بتطبيق‬ ‫التالية‬ ‫المعمومات‬ ‫توفرت‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫من‬
6044.0,096.1
316.1ˆ,07.2ˆ,2.47
8.98,8.22,8.3,2.1
01



SSSE
BBSS
SSSSYX
xy
yx
74.15
994.01
25994.0
1
2
994.0
8.988.22
2.47
22










r
nr
t
SSSS
SS
r
yx
xy
2..‫الرفض‬‫و‬ ‫القبول‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬
3.‫قيمة‬ ‫أن‬‫بين‬ ‫خطية‬ ‫عالقة‬ ‫توجد‬ ‫أنو‬ ‫أي‬ ‫ية‬‫ر‬‫الصف‬ ‫الفرضية‬ ‫فض‬‫ر‬‫ن‬ ‫بالتالي‬ ‫فض‬‫ر‬‫ال‬ ‫منطقة‬ ‫في‬ ‫وقعت‬ ‫االختبار‬
.‫ين‬‫ر‬‫المتغي‬
4.‫ف‬ ‫االنحدار‬ ‫خط‬ ‫ميل‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ط‬ ‫من‬ ‫الحسابات‬ ‫في‬ ‫أسيل‬ ‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬ ‫يقة‬‫ر‬‫ط‬ ‫أن‬ ‫الحظ‬‫بعم‬ ‫نقوم‬ ‫ال‬‫حياب‬ ‫ميات‬
‫مثل‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كثير‬SSSEBB ,,316.1ˆ,ˆ
01 ‫كما‬‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫في‬.‫باستخداميا‬ ‫ننصح‬ ‫لذا‬
:‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫االرتباط‬ ‫معامل‬ ‫فرضيات‬ ‫اختبار‬.
‫مع‬ ‫المجتمع‬ ‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬ ‫سنقارن‬ ‫ع‬‫الموضو‬ ‫ىذا‬ ‫وفي‬،‫رقم‬ ‫أي‬: ‫كالتالي‬ ‫الفرضيات‬ ‫وتكون‬
000
000000
:::
:::


 aaa HHH
HHH


‫ة‬‫ر‬‫الكبي‬ ‫العينات‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫القانون‬ ‫ىذا‬ ‫يستخدم‬ ‫حيث‬30n‫أي‬‫اختبار‬ ‫نطبق‬Z‫التالي‬

9. DD RR .. II MM AA DD NNAA SS HH WW AA NN CC HH AA PP TT EE RR 33
39









)1)(1(
)1)(1(
ln
2
3
0
0


r
rn
Z
‫حيث‬r.‫القيم‬ ‫بين‬ ‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬ ‫لقياس‬ ‫يستخدم‬ ‫الذي‬ ‫بيرسون‬ ‫تباط‬‫ر‬‫ا‬ ‫معامل‬ ‫ىو‬
‫مثال‬18‫المثال‬ ‫في‬ :13‫ىل‬‫تباط‬‫ر‬‫اال‬ ‫معامل‬‫ع‬ ‫يختمف‬‫ن‬0.3‫الداللة‬ ‫مستوى‬ ‫عند‬0.1 ‫؟‬
0 : 0.3 : 0.3aH H  
1 0
0
0)
ˆ ˆ5, 6.5 134 91.5 47 0.35 4.75 4.33
0.42
(1 )(1 )3 6 3 (1 0.42)(1 0.3)
ln ln 0.239
2 (1 )(1 2 (1 0.42)(1 0.3)
x y xy
xy
x y
X Y SS SS SS B B S
SS
r
SS SS
rn
Z
r


       
  
       
           