2. Визначимо навчальні цілі які повинні бути поставленні
перед вчителем і учнями в процесі вивчення теми
«показникова функції»:
1. Учні повинні вміти зображати графік показникової
функцій, повинні знати основні показникові тотожності.
2. Учні повинні вміти роз’вязувати типові вправи на
використання основних показникових тотожностей.
Вміти розв’язувати основні показникові рівняння,
нерівності та їх системи.
3. Сформульовані цілі визначають певний рівень
навчально-пізнавальноїдіяльності учнів під час
вивчення данної теми. Це так званий рівень вмінь і
навичок. У дидактиці виділяють кілька таких рівнів.
Будемо дотримуватись класифікації рівнів, яка дана в
посібнику ():
І-й рівень - рівень знайомства,
ІІ-й рівень - рівень відтворення,
ІІІ-й рівень - рівень умнь і навичок,
IV-й рівень - рівень творчості.
10. Ізоморфізм — це дуже загальне
поняття , яке використовується в різних
розділах математики. Тобто, якщо задані
дві математичні структури одного виду
то взаємно-однозначне відображення
(бієкція) елементів однієї математичної
структури на іншу, що зберігатиме
структуру, є ізоморфізмом.
ф
11. Два рядки s та t називаються ізоморфними, якщо
можна так перепозначити усі букви першого рядка,
щоб отримати другий. Звичайно ж, різні букви повинні
бути перепозначені різними буквами, а однакові -
однаковыми.
Наприклад, рядки "aba" та "сас" ізоморфні.
Відповідне перепозначення: позначимо букву 'a'
буквою 'c', а букву 'b' буквою 'a'. А рядки "xy" та "xx"
не ізоморфні.
Вам задано рядок s. Введемо функцію f(t) (t -
непорожній рядок), який дорівнює кількості підрядків
рядка s, ізоморфних t, помножити на довжину рядка t.
Ваша задача знайти рядок t, який складається з
маленьких латинських букв, такий, що
значення f(t) максимально можливе.
12. Тригонометричні функції і поворот площини
Будь-яке комплексне число, відмінне від нуля можна представити у вигляді:
Так як
Тому,
При цьому, якщо
13. Ми довели, що С0 відмінних від нуля комплексних чисел утворює
групу відносно операції множення, причому множення комплексних
чисел зводиться до множення їх модулів і фазових множників. Іншими
словами група ізоморфна прямій сумі груп і
Якщо z і w – два комплекних числа, то
Це значить, що відображення зберігає відстань між точками
комплексної площини. При цьому рівності мають місце
коли або коли z = 0 . Отже, відображення
або ж є тотожним або ж має одну нерухому
точку z = 0. В обох випадках воно являється поворотом площини навколо
початку координат на нульовий кут
14. При повороті, формулою , точка z = 1 переходить в точку
На мові декартових координат це означає, що точка М(1;0) перехоть в
точку Також точка N(1;0) перейде в точку
Звідки слідує, що вказаний поворот задається в декартових координатах
таким чином: , де
Даному повороту відповідає матриця:
(1)
15. Ми поставили кожному комплексному числу виду поворот, який
заданий матрицею (1). Це дозволяє побудувати теорію тригонометричних
функцій не спираючись на теорію комплексних чисел, а використовуючи
лише теорію матриць. Знайдемо функції cos та sin як елементи
першого стовпчика матриці, яка задає поворот на кут навколо початку
координат. Композицією поворотів на кути та являється поворот
навколо початку координат на кут Оскільки при композиції
поворотів, які задають їх матриці перемножуються , то має місце рівність.
16. Виконуючи множення матриць в правій частині даного рівняння і
порівнюючи елементи першого стовбця зліва та зправа ,отримуємо формули .
Із даних фомул можна отримати всі інші співвідношення між тригономет-
ричними функціями.
Можна довести, що 2 є довжиною круга одиничного радіуса на евклідовій
площині.
17. Тригонометричні функції та
диференціальні рівняння
Тригонометричні функції можна визначити як розв’язок деяких
диференціальних рівнянь. Розглянемо диференціальне рівняння 2-го
порядку: (1)
Та позначимо через cos х його розв’язок, який задовольняє
умови: , а через sin x:
Загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд:
18. Доведемо, що якщо у - розв’язок рівняння (1), то функція
є розв’язком того ж рівняння.
При цьому, якщо функція у задовольняє початкові умови
то функція и задовольняє початкові умови
Тоді,
Застосування даного твердження до функцій cos х та sin x виводим, що
похідна від функції cos х – розв’язок диференціального рівняння (1)
Яке задовольняє початкові умови :
Також переконуємось, що
19. Тобто, при будь-якому а функція тоже являється розв’ язком
диференціального рівняння (1). Звідси слідує, що
(2)
Для того, щоб знайти постійні С1 і С2, покладемо в отриманому рівнянні х=0.
Знаходимо, що С1=cos a. Далі продиференціюєм рівність (2) , отримаємо:
Припустимо, що х=0, С2=-sin a. Так ,
Диференціюємо дану рівність по х , отримаємо:
Отже, ми отримали теореми для cos x і sin x із яких випливає вся тригоно-
метрія. Показали, що тригонометричні функції пов’язані з гомоморфізмами.
