Dinàmica de física

1. 1
DINÀMICA
1r batxillerat

2. 2
Sentit
Mòdul
Direcció
Elements dels vectors força
 Mòdul o intensitat és la longitud del vector.
 Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva
inclinació.
 Sentit, indicat per la fletxa.
 Punt d’aplicació, punt on comença el vector
Una força és una magnitud
vectorial. La seva unitat en el SI és
el Newton (N)
Dinamòmetre,
aparell per mesurar
forces

3. 3
Forces concurrents són aquelles les direccions de les
quals es tallen en algun punt.
Mateixa direcció i sentit
Mateixa direcció i sentits oposats
El mòdul és la suma dels mòduls
El mòdul és la diferència dels mòduls
F1 = 6 N
F2 = 5 N
R = 11 N
R = 2 N
F2 = 4 N
F1 = 6 N
Suma de forces concurrents amb la mateixa direcció (4t)

4. 4
Regla del paral·lelogram
F1
→
F2
→ R
→
R
→
F2
→
F1
→
Suma de forces concurrents amb diferent direcció (4t)
2
2
2
1 F
F
R 

Teorema de Pitàgores
2 forces:
Més de 2 forces:
Si són perpendiculars

5. 5
Força neta o resultant d’un sistema de forces
...
f
f
f
R 3
2
1








En general:
F1

F1

F1

F2

F2

F2

F3

R

R

R




Composició de forces

6. 6
El mòdul de la resultant és la suma
dels mòduls de les dues forces.
El seu sentit és el de la força més
intensa i el seu mòdul és la diferència
de mòduls.
El mòdul, direcció i sentit de la força
resultant queden determinats gràficament
a partir de la regla del paral·lelogram.
Numèricament: cal descomposar els
vectors en les seves components
El mòdul de la força resultant es pot
calcular gràficament mitjançant la regla
del paral·lelogram i numèricament per
mitjà del teorema de Pitàgores.
Força neta o resultant d’un sistema de forces

7. 7
Descomposició de forces (batx)


Coordenades cartesianes: components d’una força
X
Y
 Cada component :
F

Fx

Fy

F
F
F y
x





j
F
i
F
F y
x





 Es pot escriure el vector com a suma de dos
vectors dirigits sobre els eixos X i Y
F

 El mòdul del vector :
F

| |
F

F = F
F
2
y
2
x 
=

Fx = F cos  ; Fy = F sin 

i

j
 Es pot expressar de 2 formes:
F


8. 8
 La suma de dues forces: j
F
i
F
F y
1
x
1
1





j
F
i
F
F y
2
x
2
2





j
)
F
F
(
i
)
F
F
(
F
F y
2
y
1
x
2
x
1
2
1









Suma de forces mitjançant components

9. 9
L’allargament de les molles
és proporcional al pes que hi
pengem.
La llei de Hooke diu que quan s’ aplica
una força a una molla, li provoca una
deformació directament proporcional al
valor d’aquesta força.
Llei de Hooke
F = k· ∆l= k · ( l –lo )

10. 10
LES FORCES I EL MOVIMENT DE ROTACIÓ
Els sòlids poden ser de 3
tipus:
- Rígid:un cos format per un
conjunt de punts que
sempre estan a la mateixa
distància entre ells.
- Flexible: un cos que és pot
deformar.

11. 11
MOMENT D’UNA FORÇA
El moment d'una força indica
la tendència d'un cos a girar
respecte a un eix que passa
per un punt específic.
M=F·d=F·r·sin ;
M= moment d’una força F
d = distància entre el punt a la
recta d’aplicació de la força
F
r = distància entre el punt i el
punt d’aplicació P
 = angle que formen la recta
d’aplicació de la força F i la
recta que passa pel punt P i
el punt.

12. 12
• I el sentit ve donat per la
regla de la ma dreta:
• “Si posem els dits de la palma
de la ma dreta en la direcció
que va des del punt on
calculem el moment cap al
punt d’aplicació de la força. i
després el girem cap al
• sentit de la força , el dit gros
de la ma dreta ens indica el
sentit del moment de la força
respecte el punt.

13. 13
MOMENT RESULTANT D’UN SISTEMA DE FORCES
• Si sobre un cos hi
actuen simultàniament
diverses forces, el
moment resultant del
sistema és
• igual a la suma
vectorial dels
moments de
cadascuna de les
forces.
• Mt= M1+ M2+
...+Mn

14. 14
ISAAC NEWTON (1643-1727)
• “Si he logrado ver mas lejos, ha sido
porque he subido a hombros de gigantes”
• Dona les gràcies als treballs de Copèrnic,
Descartes i a Kepler.
• Va escriure el llibre Principia, el primer
llibre de física teòrica que és considerat
com l’obra més important de la història de
la ciència.

15. 15
• Va escriure els 3 llibres que formen Principia en
18 mesos.
• Amb 5 anys construïa rellotges, cometes i dibuix
arquitectònic però en l’escola era considerat
com un dels pitjors estudiants.
• Van marcar la seva vida la seva arrogància i
disputes(sobre tot amb Hooke).
• Va escriure: “No se que pareix el món, però tinc
la impressió d’haver sigut com un infant jugant
en la costa”

16. 16
La primera llei de Newton o llei d’inèrcia
Si sobre un cos no actua cap força o la resultant de les forces que hi
actuen és zero, el cos resta indefinidament en el seu estat de repòs o
de moviment rectilini i uniforme se s’estava movent.
Quan el cotxe arrenca, et quedes enganxa’t
en el seient, ja que tendeixes a seguir en
repòs.
Quan el cotxe frena, et desplaces cap a
davant, ja que tendeixes a estar en
moviment.

17. 17
La segona llei de Newton
Quan sobre un cos actua una força resultant no nul·la, el cos adquireix
una acceleració d’igual direcció i sentit que la força aplicada.
L’acceleració adquirida és proporcional a la força neta i la constant de
proporcionalitat és la massa del cos.
a
m
F


.


a
→
F
→
FR = m ·a

18. 18
Tercera llei de Newton. Principi d’acció i reacció
Quan un cos A exerceix una força sobre un altre cos B, el cos B
exerceix sobre el cos A una força oposada, és a dir, d’igual mòdul i
direcció però de sentit contrari.
- P
→
P
→
P
→
N
→
S’anomena força normal (N)
a la força de reacció d’un pla
sobre un
cos que està sobre d’ell. És una
força perpendicular al pla i de
sentit oposat al de la superfície.
El pes (P) d’un cos és la força
amb que la Terra l’atrau.
Quan un cos cau per acció del
seu propi pes, es mou amb
l’acceleració de la gravetat,
a = g = 9,8 m/s2. Tenint en
compte el principi fonamental
de la dinàmica:
F = m ⋅ a → P = m ⋅ g
No s’anul·len perquè actuen sobre cossos diferents

19. 19
La força normal.
Quan un cos està damunt d’una superfície, fa una força sobre ella a
conseqüència del pes. Per la 3ª llei de Newton, la superfície fa una
força igual però de sentit contrari sobre el cos, que anomenem força
normal.
Sense forces externes
Amb forces externes verticals
Cossos sobre una superfície horitzontal
Sense que
s’aixequi

20. 20
El fregament és una força que sempre s’oposa al
moviment
P
→
N
→
Fmotor
→
Ff
→
Ff = μc · N
Força de fregament
Fmotor-Ff = m · a

21. 21
Resolució de problemes
Esquema de les forces que actuen.
Descomposició de les forces en la direcció x (tangencial -la del moviment) i en
la direcció y (normal o perpendicular).
Suma de forces en la direcció normal: Càlcul de la Normal.
Càlcul de la Força de fregament (sempre en contra del sentit del moviment).
Segona llei de Newton en el sentit del moviment, tenint com a
sentit positiu aquell en el qual en mòbil començarà a moure's.
Càlcul de l'acceleració.
Amb l'acceleració (constant) puc calcular la posició, velocitat,energia mecànica,
potencial i cinètica en qualsevol moment o en qualsevol punt.

22. 22
La força normal-1
Amb forces externes horitzontals
Cossos sobre una superfície horitzontal
Y
X
 f = N - P = 0  N = m g
iy
F
N
P = m g
ix x
 f = F = m a
El cos adquireix un MRUA d’acceleració
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

v
m
F
ax


23. 23
La força normal-2
Amb forces externes
Cossos sobre una superfície horitzontal
Y
X
F
N
P = m g
Fx
Fy
v

F : força aplicada
Fx = F cos 
Fy = F sin 
 f = m a  F = m a
ix x
x x
 f = m a  N + F - P = 0
iy y
y
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

m
F
ax 
N = P- Fy

24. 24
La força normal-3
Cossos sobre una superfície inclinada
N = Py
Y
X
N
Px

Py
P = m g

v o = 0
Px = mg sin 
Py = mg cos 
 f = m a  P = m a
ix x
x x
mg sin  = m a x a = g sin 
x
 f = m a  N - P = 0
iy y y
v
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

Sense forces externes

25. 25
La força normal-4
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes

 f = m a  N - P = 0
iy y y N = Py
L’acceleració del cos serà:
Y
X
N
Px

Py
P = m g

v
F
Per a que el cos pugi, F  P x
Px = mg sin 
Py = mg cos 
ix x
x x
mg sin  = m a x
F -
 f = m a  F - P = m a
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

 

sin
1
g
m
F
m
ax
-


26. 26
La força normal-5
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes
Y
X
N

Py
P = m g

v
F
Px = mg sin 
Py = mg cos 
F  mg sin  = m ax
fix = m ax  F  Px = m ax
fiy = m ay  N - Py = 0  N = Py
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

 

sin
1
g
m
F
m
ax


Px

27. 27
La força normal-6
Cossos sobre una superfície inclinada
Amb forces externes
Y
X
N

Py
P = m g

F
Px = mg sin 
Py = mg cos 
F cos  - mg sin  = m ax
fix = m ax  Fx - Px = m ax
fiy = m ay  N +Fy- Py = 0 
N = Py- Fy= mg cos -F sin 
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

 

 sin
cos
1
g
m
F
m
ax
-

Px
Fx
Fy
v
Fx = F cos 
Fy = F sin 
β

28. 28
La tensió
Força que experimenten les cordes quan
s’estiren en aplicar una força, com per
exemple un pes.

29. 29
Força de fregament-1
µ  µ
c e, max
Coeficient de fregament cinètic

El coeficient de fregament estàtic és sempre més
gran que el dinàmic.
X
Y v
F
N - P = 0  N = P = m g
F - F = m a
f
F = µ N
f
 F - µ N = m a x
P = m g
N
Ff
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

)
.
(
1
g
m
F
m
a 
-


30. 30
Y
X
N

Py
P = m g

v
Ff
y
N - P = 0  N = P = m g cos 
y
m
a = ( F - mg sin  - µ mg cos  )
1
f
F = µm g cos 
F - P - F = m a
x f x
F - P - µm g cos  = m a
x
Px
F
F : força aplicada
Forces en la direcció de l’eix X

Forces en la direcció de l’eix Y

Força de fregament-1

31. 31
Cal seguir els següents passos:
1-Elegir un sentit lògic del moviment. Si al final l’acceleració obtinguda és negativa,
significa que el sentit correcte és el contrari i caldrà fer de nou els càlculs.
2-Dibuixar totes les forces i descomposar les que no siguin ni paral·leles ni
perpendiculars al desplaçament del cos. Despreciar les politges en els càlculs.
3-Considerem positives les forces que van a favor del moviment i negatives les
que van en contra.
4-Si hi ha varis cossos units, cal plantejar la segona llei de Newton per cada cos
per separat, posant per cada cos una equació on només hi hagi les forces
directament implicades sobre el cos i que coincideixin amb la direcció amb que es
mou el cos.
5-El sistema d’equacions obtingut es resolt fàcilment sumant totes les
equacions
Cossos units

32. 32
Cossos units-1: Màquina d’Atwood

33. 33
Cossos units-2.
Cos 1:
Cos 2:

34. 34
Cossos units-3.
Cos 1:
Cos 2:

35. 35
Dinàmica del moviment circular.

v1

Fc

Fc

v2

v3

Fc

v4

Fc
R
v
m
a
m n
c
F
2




Força centrípeta: força que cal
aplicar a un cos perquè segueixi
una trajectòria circular.

36. 36
Dinàmica del moviment circular.

37. 37
Dinàmica del moviment circular horitzontal.
1) Cos amb corda
Fc = T
N = mg
Eix Y:
Eix X:
T
R
v
m 
2
2) Cotxe
mg
R
v
m 
 
2
Fc = Ff
 f = N - P = 0  N = m g
iy
Forces en la direcció de l’eix Y

 fix = Fc = Ff = m an
Forces en la direcció de l’eix X

Ff =  N

Rg
v 

38. 38
3) Cos amb corda (con)
Eix Y:
Eix X:
R
v
m
T
F x
c
2


Ty = mg
Tx= T sin
Ty = T cos 
g
m
T
R
v
m
T




sin
cos
2
Rg
v
tg
2


4) Cotxe amb peralt
Eix Y:
Eix X:
Ny = mg
Nx= N sin
R
v
m
N
F x
c
2


Ny = N cos 
g
m
N
R
v
m
N




sin
cos
2
Rg
v
tg
2


Dinàmica del moviment circular horitzontal.

39. 39
Dinàmica del moviment circular vertical.
R
v
m
mg
T
Fc
2

-

R
v
m
T
Fc
2


R
v
m
mg
T
Fc
2


 V min quan T=0
Rg
v 
T serà màxima
Punt baix : A
Punt alt : B

40. 40
S’anomena quantitat de moviment o moment lineal el producte
de la massa d’un cos per la seva velocitat.


 v
·
m
p
 És el producte d’un escalar positiu (massa) per un vector
(velocitat). És, per tant, un altre vector amb la mateixa direcció
i el mateix sentit que el vector velocitat.
 En el SI s’expressa en kg·m·s-1.
m
v
 p

Quantitat de moviment.
Definició

41. 41
Relació amb la força resultant
Relació entre la força resultant constant aplicada a un
cos i la seva quantitat de moviment:
Δt
p
Δ
F
F






a
m·
F




t
v
a
a m







Si l’acceleració és constant:
Substituint:
 
t
p
t
p
-
p
t
v
m
-
v
m
t
v
-
v
m
t
v
m·
F o
o
o






















Quantitat de moviment.
2ª llei de Newton:

42. 42
 L’equació anterior és una forma alternativa d’enunciar la segona llei de Newton. El
seu interès radica en què:
Δt
p
Δ
F




 S’acosta més a la formulació original de Newton.
 És vàlida tant per a la mecànica clàssica com per a la relativista.
La resultant de totes les forces aplicades a un cos és igual al quocient
entre la variació de la seva quantitat de moviment i l’interval de temps
transcorregut.
Quantitat de moviment.

43. 43
Conservació de la quantitat de moviment d’una partícula
 L’equació
t
p
F






constant
p
0
p
0
t
p
0
F
si 














permet formular:
Si la força resultant que actua sobre un cos és zero, la quantitat de
moviment del cos es manté constant.
Quantitat de moviment.

44. 44
Impuls mecànic d’una força constant
L’impuls mecànic que una força constant F
dóna a un cos és el producte de la força pel
temps que hi actua.
t
·
F
I 



 És una magnitud vectorial, producte del vector força per l’escalar positiu t.
Té, per tant, la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector força.
 En el SI el seu mòdul s’expressa en N·s.
Impuls mecànic.
(La pilota canvia la direcció de moviment i el mòdul
de la velocitat. Per tant varia la quantitat de
moviment)
(Si acompanyem la pilota,
l’impuls és major)

45. 45
 Considerem una força constant F que actua un temps t sobre un cos.
Representem la força en ordenades i el temps en abscisses:
t
F
to t
t
F
L’impuls que proporciona la força
ve donat per la superfície del
rectangle ombrejat.
ombrejada
Àrea
)
t
-
(t
·
F
t
·
F
I 0 



Impuls mecànic.
Impuls mecànic d’una força constant
Si la força és variable, igualment, l’impuls serà
l’àrea sota la corba o recta.

46. 46
L’impuls d’una força és l’àrea
continguda sota la corba F-t.
La força és constant.
La força és
variable.
Una força variable es pot substituir per una
força mitjana que provoca el mateix impuls
(les àrees sota els dos gràfics són iguals).
Impuls mecànic.

47. 47
Relació entre l’impuls mecànic i la quantitat de moviment
m
vo v
t
F
de:
Δt
p
Δ
F


 t
·
F
p 




i com: t
·
F
I 



p
I




s’obté:
 En la deducció anterior s’ha suposat que la força F és constant i que el moviment és
unidimensional. El resultat, però, pot extendre’s a una força variable i a un moviment
tridimensional.
L’impuls mecànic proporcionat a un cos és igual a la
variació que experimenta la seva quantitat de moviment.






 p
p
-
p
I 0
Impuls mecànic.

48. 48
Forces internes i forces externes
 Les forces que actuen sobre un conjunt de n partícules poden ser de dos tipus:
1. Forces internes. Són les forces d’interacció entre les partícules.
 Poden ser gravitatòries, electrostàtiques, de contacte, …
 Es presenten sempre per parelles (tercera llei de Newton), de manera
que quan es considera el sistema de dues partícules, les forces
internes s’anul·len.
2. Forces externes. Són exercides per agents exteriors al sistema.
Sistemes de partícules.

49. 49
Conservació de la quantitat de moviment
 Considerem dos cossos que es troben aïllats del seu entorn. Sobre el sistema de dos
cossos no hi actuen, doncs, forces externes, només les forces internes d’interacció.
Força que actua sobre el cos 1 (deguda a 2):
t
p
F 1
1





2
1 F
-
F


 
Força que actua sobre el cos 2 (deguda a 1):
t
p
F 2
2





 Segons la tercera llei de Newton:

t
p
-
t
p 2
1







0
t
p
t
p 2
1









 0
t
p
p
( 2
1






)
 constant
p
p 2
1 



0
p
p
( 2
1 




) 
m1
m2
F1
F2
Sistemes de partícules.

50. 50
 Aquest resultat pot generalitzar-se per a un sistema amb un nombre qualsevol
de partícules i constitueix el principi de conservació de la quantitat de
moviment per a un sistema de partícules.
Si la suma de forces externes que actuen sobre un sistema de
partícules és zero, la quantitat de moviment del sistema es
manté constant.
 








constant
p
0
p
0
F exteriors
cte
















n
2
1
n
2
1 v
m
...
v
m
v
m
p
...
p
p
p
on:
Sistemes de partícules.
Per 2 cossos
v
m
v
m
v
m
v
m 2
2
1
1
02
2
01
1







Aplicació: xocs