Objeto de aprendizagem que demonstra o Terema de Pitágoras através do software educativo GeoGebra.

1. INFORMÁTICA EDUCATIVA I – UFF – Suelen Sant’ Ana

2. No Egito, os antigos egípcios
utilizavam uma corda com 13 nós
igualmente espaçados que era
dividida em 12 partes iguais para
marcação das áreas dos territórios
na agricultura, mas com a cheia
anual do Rio Nilo, estas marcações
eram desfeitas e eles novamente
remarcavam.
Os egípcios já sabiam que um
triângulo de unidades (3, 4 e 5)
tem ângulo reto, porém foi
Pitágoras que conquistou o
domínio da geometria referente às
relações do triangulo retângulo.

3. Pitágoras (580-497 a.C.) foi
matemático grego. Autor do
Teorema de Pitágoras: "num
triangulo retângulo, o quadrado
da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos".
Desenvolveu trabalhos na área da
filosofia, música, moral, geografia e
medicina.

4. Um dos conteúdos mais utilizados na Matemática é o Teorema de
Pitágoras, que pode ser representado através da geometria e da
álgebra. São conhecidas cerca de mais de 300 demonstrações
distintas. Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe
ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos
historiadores acredita que foi uma demonstração geométrica,
baseada na comparação de áreas.

5. Com auxílio da informática utilizando o software educativo
GeoGebra, segue a demonstração do Teorema de Pitágoras a partir
das ferramentas deste recurso tecnológico:
PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO:
Apresentação da interface I - do Geogebra:
II- Construção de dois segmentos de retas quaisquer. Que serão os catetos do triângulo
retângulo.

6. III- Construir uma reta dado dois pontos.
IV- Construir uma reta perpendicular a reta “c” no ponto “E”.
V- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “a”.
VI- Marcar a interseção entre a circunferência e a reta “c”.
VII- Utilizar a Ferramenta (exibir e esconder eixo) para ocultar as construções que não são
úteis, a partir deste momento esse passo é necessário para melhor visualização da
construção desejada.

7. VIII- Construir um segmento entre o Ponto “E” e o ponto “H” fazendo uma observação que
este segmento possui o mesmo comprimento do segmento “a”. Caso necessário utilizar a
ferramenta (Distância ou Comprimento) para melhor visualização.
IX- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “b”.
X- Marcar a intercessão entre a circunferência e a reta “d”.
XI- Construir um segmento entre o ponto “E” e o ponto “J”, fazer a mesma observação do
item VIII. Em seguida construir um segmento entre o Ponto “J” e o ponto “H”. Obtendo assim
um triângulo. Utilizando a ferramenta é (Ângulo) para medir o ângulo e verificar se
se é retângulo.

8. XII- O próximo passo é a construção de quadrados em cada lado do triângulo, utilizando a
ferramenta (Polígono regular). Em seguida utilizar a ferramenta (Área), para medir
medir a área de cada polígono.
Então, temos a comprovação do Teorema de Pitágoras.

9. Para refletir sobre a comprovação do Teorema de Pitágoras a partir da comparação das
áreas dos quadrados construídas sobre os lados do triângulo retângulo:
* Com o movimentação dos pontos E e F com auxílio da ferramenta mover ponto verifique o
que acontece com as áreas dos quadrados?
* Com o auxilio de uma calculadora, some as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor
encontrado?
* Movimente novamente os pontos E e F com o auxílio da ferramenta mover ponto e some
as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor encontrado?
* Podemos afirmar que a soma das áreas dos quadrados menores, é igual a área do
quadrado maior?
* Utilizando um triângulo qualquer, movimente os pontos A e C com a ferramenta mover
ponto, verifique se é possível supor a mesma coisa para todos os tipos triângulos?
* Baseados nas observações acima, é possível afirmar que “o quadrado da hipotenusa
é igual a soma dos quadrados dos catetos se e somente se o triângulo for
retângulo”?

10. Outra demonstração, Relação Métrica e o Teorema de Pitágoras:
Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:
Passo 2: No menu “Exibir”, desmarque a opção “Eixos”;
Passo 3: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e
clique em dois pontos na área de trabalho e teremos os pontos A e B.
Passo 4: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por
dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e B. Observe que no lado esquerdo da tela
aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora um segmento “a” e o
valor de sua medida em centímetros. Peça aos alunos que selecione, no primeiro botão da
barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida
do segmento “a”.

11. Passo 5: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em
seguida, clique no segmento “a” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “b” que é
perpendicular ao segmento “a” e passa pelo ponto A.
Passo 6: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e
clique em um ponto sobre a reta “b”. Será criado um ponto C sobre a reta “b”.

12. Passo 7: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por
dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e C, e depois nos pontos B e C.
Passo 8: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em
seguida, clique no segmento “d” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “e” que é
perpendicular ao segmento “d” e passa pelo ponto A. Com isto temos um triângulo
retângulo.

13. Com estes descritos até o momento, temos um triângulo ABC, retângulo em A.
Passo 9: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Interseção de Dois
Objetos” e clique sobre a reta “e” e o segmento “d”. Será criado um ponto “D”.
Passo 10: No último botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Exibir/Esconder
objetos” clique nas retas “b” e “e”. Teremos uma figura com menos poluição visual.

14. Passo 11: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por
dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e D. Será criado o segmento “f”,
correspondente à altura referente ao lado BC do triângulo.
Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e
mova-o; e observe o valor da medida do segmento “a”. Faça o mesmo com os pontos B e C.

15. Passo 12: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por
dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos B e D; e nos pontos C e D. Serão criados,
respectivamente, os segmentos “g” e “h”.

16. Criar uma variável “i” que terá como conteúdo o valor (medida do cateto)2, e outra variável “j”
que terá como conteúdo o valor do produto (medida da sua projeção) X (medida da
hipotenusa). Proceda da seguinte forma:
Passo 13: Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de
dados e de fórmulas,
Digite:
• i = a ^ 2
• j = g * d
Observe os valores de “i” e de “j” em “Objetos dependentes”. São iguais? O que significa
isto? Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto
A e mova-o; e observe os valores das medidas dos “Objetos dependentes.” Faça o mesmo
procedimento com as outras relações métricas.
Estas atividades auxiliam a compreensão de conceitos geométricos que são analisados e
lembrados esclarecendo eventuais dúvidas quanto a ângulos, retas, semi-retas, entre
outros.

17. Para atividades com o Teorema de
Pitágoras, o jogo online é um excelente
recurso visando o entusiasmo e
proporcionando divertimento durante a
aprendizagem. No jogo o Teorema de
Pitágoras, contém questões com graus de
dificuldade diferentes com no máximo
quatro questões para cada grau, com o
objetivo de responder a dez questões e
obter o maior número de pontos possíveis.
Para desempate, teremos o tempo. Essas
questões envolvem a biografia de Pitágoras
e exercícios usando sua fórmula.

18. O vídeo é utilizado em diversas escolas, como recurso didático e auxílio na aprendizagem.
Estes em destaque, abordam o tema relatado.
- Apresentação do vídeo “O
Teorema de Pitágoras”:
Disponível em:
https://www.youtube.com/watc
h?v=Pxs0pnWLJu8
- Apresentação do vídeo
“Triangular é Preciso”
Disponível em:
http://m3.ime.unicamp.br/recurso
s/1185

19. REFERÊNCIAS:
VIEIRA, Josilei Passos; ANTONOW, Liliane Martinez. Trabalhando as Relações do Teorema de
Pitágoras no Software GeoGebra. Disponível em:
< http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf > Acesso em 20 set. 2014.
2000, Programa Prof. Disponível em:
< http://www.prof2000.pt.users/hjco/pitagora > Acesso em 20 set. 2014.
http://conhecendopitagoras.blogspot.com.br/2010/04/atividade-teorema-de-pitagoras-no.
html > Acesso em 21 set. 2014.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=4374 > Acesso em 21 set.
2014.