1. 統計的推測 2 Statistical
Inference
検定

2. 検定 testing
仮説検定 Hypothesis testing
母集団の特性値についてある情報を持っ
ている
その情報が正しいか否かを知りたい
帰無仮説と対立仮説
null hypothesis/ alternative hypotheis

3. 仮説検定の考え方
H 0 : µ = µ0 帰無仮説 (null hypothesis)
H1 : µ ≠ µ 0
対立仮説 (alternative hypothesis)
のどちらが尤もらしいか、データに基づいて確率的に判定
検定の誤り
第１種の誤り 帰無仮説が正しいときに棄
却
第２種の誤り 帰無仮説が正しくないとき
に受容
両方の誤りの確率をできるだけ小さくし

4. 有意水準 (significance level)
第１種の誤りの確率を「有意水準」以下
に抑え、その上で、第２種の誤りの確率
を最小化する。H } ≤ α
Pr{H |
1 0
という条件で
Pr{H 0 | H1} → 最小化
有意水準 α としては、 0.05 、 0.01 とい
う値が例ではよく使われる

5. 「有意」 (significance) とは
H0 を棄却したとき、その結論が誤ってい
る（第１種の誤り）確率は高々有意水準 α
H0 を受容したとき、その結論が誤ってい
る（第２種の誤り）確率は計算できない
場合がおおい。
このため最悪の場合を考えると H0 を受容
しても、それが誤りである確率は大きい
と考える
＝＝＞この結論には意味が無い

6. P 値 (P-value)
多くの統計ソフトでは、検定統計量の値とともに「 P
値」が表示される。
P 値とは検定結果を有意にする（ H0 を棄却する）最小
の有意水準のこと
有意水準 α をいくらにすれば有意になるか
逆に言えば
P 値＜ α  有意
P 値＞ α  有意でない

7. 検定統計量の作り方
H0 を正しいと仮定して、データから求め
た統計量が得られる確率を計算
その確率が小さいとき、
確率が小さい（めずらしい）ことがたまたま
起きた
データ得られている以上、確率は小さくない
はず
H0 を正しいと仮定したので確率がちいさく
なった
H0 は正しくない

8. 棄却域と受容域
棄却域 (rejection region) R
受容域 (acceptance region) A
帰無仮説 H0 を正しいと仮定して、
検定統計量 T=T(X1,…,Xn) の分布を求め、
T∈R ＝＞ H0 を reject
T∈A ＝＞ H0 を accept
言うまでもなく、
T∪A=[-∞,∞], Pr(T ∈R|H0)=α

9. 正規分布の母平均の検定
（分散既知）
データ
X 1 , X 2 , , X n～NID ( µ , σ 2 )
仮説
H 0 : µ = µ 0
H1 : µ ≠ µ 0
有意水準 α より
H 0を正しいと仮定すると
Z > kα / 2 ) = α
Pr(
X 1 , X 2 , , X n～NID ( µ 0 , σ ) 2
となるkα / 2を数表から求め
n
Xi 2
σ
X = ∑ ～N ( µ 0 )
, > kα / 2 帰無仮説H 0を棄却
Z ⇒
i =1 n n
Z =
X − µ0
～ N (0,1)
≤ kα / 2 帰無仮説H 0を受容
Z ⇒
σ2
n

10. シミュレーション
> (ntest 10 0.05)
有意水準 α=0.05 で検定し NoSig
NIL
> (ntest 10 0.05) 有意水準 α=0.05 で検定し NoSig
NIL
> (ntest 10 0.05)
有意水準 α=0.05 で検定し Significant
T
> (def rslt (ntest-sim 100 10 0.05))
RSLT 有意水準 α=0.05 での検定を 100 回
> rslt シミュレーションで繰り返した
(NIL NIL NIL NIL NIL NIL 途中省略
NIL NIL NIL NIL)
> (which rslt)
100 回中、第 28 回目と、 29 回目の
(28 29)
2 回が significant

11. > (which (ntest-sim 100 10 0.05)) 100 回中、 5 回が significant
(13 53 64 80 94)
> (which (ntest-sim 100 10 0.05)) 100 回中、 6 回が significant
(1 34 36 52 66 80)
100 回中何回有意になるか、
有意の回数の分布はどんなものか？

12. 有意水準 0.05 の検定で 100 回
中、
有意になる回数の分布
> (def data (hist-sig 1000 100 10 0.05))
DATA
> (fivnum data)
(0 3 5 6 13)
> (def gh (histogram data))
GH
> (send gh :num-bins 14)
14
> (send gh :bin-counts)
(36 65 153 182 188 151 99 73 26 19 5 2 1 0)

13. 正規分布の母平均の検定（分散未
知）
H 0 : µ = µ0
H1 : µ ≠ µ 0
X − µ0 X − µ0
Z= ~ N (0,1), T = ~ t n −1
σ 2
u2
n n
有意水準αよりtα / 2 (n − 1)を求める
T > tα / 2 (n − 1)) = α
Pr(
T > tα / 2 (n − 1) ⇒ 帰無仮説H 0を棄却
その他の場合 ⇒ 帰無仮説H 0を受容

14. 母分散の検定（平均未知）
仮説
χ 0 > χ n −1 (α / 2)または
2 2
H 0 : σ 2 = σ 0
2
χ 0 < χ n −1 (1 − α / 2) H 0棄却
2 2
⇒
H1 : σ 2 ≠ σ 0
2
その他の場合 H 0受容
⇒
データ
X 1 , X 2 ,  , X n～N ( µ , σ 0 )
2
帰無仮説 H 0 が真のとき
Xi − X 2
n
χ = ∑ (
2
0 ) ～χ n −1
2
i =1 σ0

15. 検定統計量
∑i =1
n
n
xi − x 2 ( xi − x ) 2
χ = ∑(
2
0 ) =
i =1 σ0 σ0
2
1
∑
n
(n − 1) ( xi − x ) 2
= n − 1 i =1
σ0
2
1
∑i =1
n
(n − 1)( ( xi − x ) 2 ) 2
= n −1
σ02
(n − 1)u 2
=
σ0 2