フーリエ変換を起点に信号処理を実応用する上での基礎知識を説明します。

1. 2022.02.08
Naoya Taguchi
株式会社ディー・エヌ・エー ＋ 株式会社 Mobility Technologies
信号処理実応用入門
DS 輪講

2. 2
▪ 信号処理の実応用における入門レベルの知見
▪ フーリエ級数展開
▪ フーリエ変換
▪ デジタル信号処理
▪ FIR filter と IIR filter
今日の話

3. 3
フーリエ級数展開

4. ▪ 周期関数は三角関数の重み付き和で表せる
▪ フランスの数学者ジョセフ・フーリエによって金属板の中での
熱伝導に関する研究において導入された
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フーリエ級数展開
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg

5. ▪ 周期関数は三角関数の重み付き和で表せる
▪ フランスの数学者ジョセフ・フーリエによって金属板の中での
熱伝導に関する研究において導入された
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フーリエ級数展開
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg
周期 T/n の三角関数
(T/n 進んだら一周)
各基本的な波をどれ
くらいの割合でブレ
ンドするか
級数展開式両辺を積分
すると、三角関数の直
交性からきれいに導出
される

6. ▪ 実際に試してみる
▪ 任意の曲線 (１周期 分のみを描く) が構築されていく様子
6
フーリエ級数展開
https://eman-physics.net/web_app/fourier/fourier.html

7. ▪ 複素数を用いて表記するとスッキリする
▪ オイラーの公式を想像すると繋がりが想像しやすい
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フーリエ級数展開
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Fourier2.jpg
式変形しただけ！

8. ▪ 詳細知りたい方はここにいけばよくわかります
8
フーリエ級数展開
https://www.youtube.com/watch?v=HNHb0_mOTYw

9. 9
フーリエ変換

10. ▪ フーリエ級数展開の理論を周期関数以外にも拡張
▪ フーリエ級数展開において周期を無限大にして導出
▪ 正確にはフーリエ変換はスペクトル強度の部分の値
▪ つまり、An, Bn, Cn に当たる部分
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フーリエ変換
この部分がフーリエ変換

11. ▪ 例1. 周期信号
11
フーリエ変換

12. ▪ 例2. 非周期信号 (デルタ関数)
12
フーリエ変換

13. ▪ 例3. 非周期信号
13
フーリエ変換

14. ▪ フーリエ変換できたら何が嬉しい？
▪ 要は信号を周波数という観点で解釈可能
▪ ★特定の周波数成分を抽出・除去することで目的を達成できる
ことがよくある
▪ 特定周波数帯がノイズである
▪ 抽出したい信号が特定周波数帯の信号により形成されている
▪ ML の特徴量計算？
▪ スペクトログラム
▪ 音声 ⇨ 画像の変換 ⇨ CNN みたいなケースを見ますよね
14
フーリエ変換

15. 15
デジタル信号処理

16. ▪ コンピューターで扱う場合、信号はデジタル化される
▪ 連続信号をサンプリングして離散的なデータとする
▪ フーリエ変換を離散的に行う必要がある
16
アナログ信号のデジタル化

17. ▪ フーリエ変換をコンピュータ上で扱うため工夫したもの
▪ 離散的に扱え、積分や ∞ の問題がなくなっている
▪ ★ 工夫の過程で、信号が周期的という前提が追加されている
17
離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform)

18. ▪ 離散フーリエ変換を高速に行うアルゴリズム
▪ 愚直にやると O(N^2) のところ O(NlogN) で実行可能
▪ python では numpy.fft.fft で実行可能
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▪ 高速フーリエ変換 (Fast Fourier Transform)
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FFT_Butterfly_radix8.svg

19. ▪ サンプリング周波数が元信号の２倍 (ナイキストレート)
より大きければ、サンプリング結果から元信号を復元可
能
▪ 10Hz でサンプリングしたら 2Hz 6Hz が同じに見えてしまう
19
サンプリング定理とナイキストレート

20. ▪ 高周波数成分があったらどうなる？
▪ 復元不可 & フーリエ変換結果がおかしくなる (エイリアシング)
▪ 実用上は信号にローパスフィルタを掛けて帯域制限をした後 FFT
をかけるみたいなことをする
20
サンプリング定理とナイキストレート

21. ▪ DFT で周期関数を前提としたので、開始・終端をなめらか
につなぐ必要がある
▪ 実用上は、窓関数をかけた後に FFT をする
21
窓関数

22. 22
FIR filter と IIR filter

23. ▪ 周波数領域で特定周波数をキャンセルして逆変換？
▪ 窓関数やその他の問題で難しい
⇨ 実は線形のフィルタで実現可能
23
FIR・IIR フィルタ
FIR:
IIR:

24. ▪ ~5Hz のローパスフィルタを設計
▪ scipy.signal.iirdesign で設計
▪ ボード線図で作ったフィルタの特性を見る
▪ 青線が周波数ごとの強度。5Hz までは残ることが可視化されている
▪ 緑線が周波数ごとの遅延。
24
フィルタの設計

25. ▪ 確かにきれいにかかっている
▪ 3Hz はほぼ失われず 30Hz 成分がなくなっている
▪ それっぽく (1rad 程？) 遅延が起きている
25
実際にフィルタをかけた結果

26. 26
EOF