Chapter4 1 takmin

第４回「コンピュータビジョン最先端
ガイド」勉強会
テンソルと多視点幾何
1&2
Presented by takmin

やりたいこと
• 複数枚の画像から撮影対象の３次元の情報
を復元したい

例えばこんなの
http://grail.cs.washington.edu/rome/

エピポーラ幾何

A

カメラ１の撮
影画像カメラ２の撮
影画像

A’1 A’2

カメラ１のカメラ２の
焦点焦点

• ３次元空間上の点Aが、それぞれのカメラで
取得した画像のどの位置に映っているかが
わかれば，三角測量の原理から，点Aの三次
元空間上の座標がわかる！

• 前提条件として、以下の情報が既知
• カメラの位置（X,Y,Z）と向き（θ,φ,ψ）カメラパラメータ
• カメラの焦点距離
• カメラの解像度（縦/横）

• ２枚の画像に共通して映っている点が多いな
ら，その関係からカメラパラメータを逆算でき
る！（幾何学的拘束）

• ２つのカメラに映っている共通の点群を見つ
けてあげることで，カメラの校正（キャリブレー
ション）と各点の３次元座標を同時に求めよ
う！

多視点幾何
• カメラを２つから３つ以上に拡張することで，
より多くのカメラの校正を一度で行う
A

A’3

A’1 A’2

斉次座標
• 直線の公式
ax  by  c  0 y
傾き成分平行移動成分 l
x
l  a, b, c x  x, y,1
T T

とおくと

l x0
T x

平行移動成分を含めて行列の積で表すために、次元を１つ増やした座標

テンソルの利点
• テンソル：
– 配列の概念を拡張/一般化したもの
• 今までは２つのカメラを使った３次元再構成
が一般的だが、テンソルを使用することで複
数カメラへ簡単に拡張できる

テンソルの基礎
0階のテンソル 0次元配列（スカラー）

1階のテンソル 1次元配列（ベクトル）

2階のテンソル 2次元配列（配列）

3次元配列
3階のテンソル

テンソルの厳密な定義：多重線形性を持つ数値の集合（後述）

テンソルの表記
• ベクトルのテンソル表記

V1 
V 
V   2 Vi
V3 
  テンソル表記

ベクトル１階のテンソル

• 行列のテンソル表記

A
1
1 A1
2 A
1
3
  i
A  A
1
2
A2
2
2
A 
3 A j
A3
A3
A 
3
1 2 3 テンソル表記

行列２階のテンソル

• ベクトルの内積
a  a1 , a2 , a3 
T

b  b ,b ,b
1 2

3 T

3

c a b T c   ai b i
c  ai b i
i 1

テンソル表記

内積アインシュタイン規約

• 行列とベクトルの積
a,b : ベクトル A : 行列

 b1   A1
1 1
A2 A3   a1 
1

b   Ai a
 2  2 2  2 
b  Aa b    A1
2
A2 A3  a  j j i
b3   A13 3
A2 A3   a 3 
3
     i

行列・ベクトルの積

• 行列とベクトルの積
a,b : ベクトル A : 行列

b  Aa b   Ai a
j j i
b  Ai a
j j i

i

テンソル表記

行列・ベクトルの積アインシュタイン規約

• まとめ
行列表記テンソル表記

i
ベクトル
a ai , a
行列 ij j i
A Aij , A , Ai , A j
内積
c a bT
c  ai b i

座標変換
b  Aa b  Ai a
j j i

反変テンソルと共変テンソル
• テンソルの上付きと下付きの違いについて
z
a  a e1  a e2  a e3
1 2 3
(10)
a

基底ベクトル
y
e3
e2
a  Ea (11)
e1
E  e1 , e 2 , e 3  
a  a ,a ,a
1 2

3 T
x

E  e1 , e 2 , e 3  
a  a ,a ,a
1 2

3 T

y
a  Ea (11)
a2
a

e2
e1 a1 x

E  e1 , e 2 , e 3  
a  a ,a ,a
1 2

3 T

y
a  Ea (11)
a

a2 '
H
1
a  EHH a (12)
e2’ a1 '

 
e1’ x
EH  e1 ' , e 2 ' , e 3 ' H 1a  a1 ' , a 2 ' , a ' 3 T

• 共変テンソル
– 基底ベクトルを変換したとき，基底ベクトルと同じ
変換を受けるベクトル

• 反変テンソル
– 基底ベクトルを変換したとき，基底ベクトルと逆の
変換を受けるベクトル

• テンソルの添字のルール
– 共変テンソルが下付添字
a1 , a2 , a3
– 反変テンソルが上付き添字
1 2 3
b ,b ,b

• 点xを通る直線lの例

l  l1 , l2 , l3 
T

x  x ,x ,x
1 2

3 T y
l
l x0
T
x

1
l HH x  0
T
x
共変ベクトル反変ベクトル

• 点xを通る平面Sの例

S  S1 , S 2 , S3 , S 4 
T

X X ,X ,X ,X
1 2 3

4 T

z
S X0
T
S

X
y
1
S HH X  0
T

共変ベクトル反変ベクトル

x

テンソルの積
• 一階テンソル同士の積
共変テンソル同士の積

Ai B j  Cij (17)

反変テンソル同士の積

A B C
i j ij (18)

共変テンソルと反変テンソルの積

A Bj  C
i i
j
(19)

テンソルの積
• テンソルに基底の考え方を入れた方が，テン
ソルの積は理解しやすい！
A  A1e1  A2e 2 B  B1e'1  B 2e'2
C  AB ei  e' j  eij
 ( A1e1  A2e 2 )  ( B1e'1  B 2e'2 )
 A1 B1e1  e'1  A1 B 2e1  e'2  A2 B1e 2  e'1  A2 B 2e 2  e'2
 C 11e11  C 12e12  C 21e 21  C 22e 22

C AB
ij i j

テンソルの積
• n階テンソルとm階テンソルの積
– n+m階テンソルになる

1階×1階 → ２階

A1 B1 A1 B1 A1B2
A2 B2 A2 B1 A2 B2

テンソルの積

2階×1階 → 3階
A11B1 A12 B1
A11 A12 B1 A21B1 A22 B1
A21 A22 B2 A11 B2 A12 B2

A21B2 A22 B2

テンソルの積

Ai1i2 in B j1 j2  jm  Ci1in j1 jm (17)

反変テンソル同士の積

Ai1i2 in
B j1 j2  jm
C i1in j1 jm (18)

共変テンソルと反変テンソルの積

A i1i2 in
B j1 j2  jm  C i1in
j1 jm
(19)

テンソルの積
２階テンソル
A  A11e1  e'1  A12e1  e'2  A21e 2  e'1  A22e 2  e'2
１階テンソル
B  B1e' '1  B 2e' '2 ei  e' j e' 'k  eijk
C  AB
 A11B1e111  A12 B1e121  A21B1e 211  A22 B1e 221
 A11B 2e112  A12 B 2e122  A21B 2e 212  A22 B 2e 222

C A B
ijk ij k

テンソルの積
• テンソルが同じ添字を持っている場合
– テンソルの縮約により階数が減少する

2階×1階 → 1階

A11 A12 B 1
A11 B  A12 B
1 1

A21 A22 B 2
A21 B 2  A22 B 2

Aij B  Ci
j

テンソルの積
– テンソルの縮約により階数が減少する

A Bl Cm  D
ijk ijk
lm
(23)

A B j Ck   A B j Ck
ijk ijk

j k

D i (24)

テンソルの積
– 双対基底を持っているため縮約が起こる！
２階テンソル
A  A11e1  e'1  A12e1  e'2  A21e 2  e'1  A22e 2  e'2
１階テンソル
B  B1e'1  B2e'2 e'i e' j   i j
C  AB
 A11B1e1  A12 B2e1  A21B1e 2  A22 B2e 2
 C1e1  C 2e 2
C  A Bj
i ij

テンソルの積
• テンソル同士では積の順番を入れ替えられな
い
Cij  Ai B j  B j Ai

掛け算ひっくり返しただけじゃん！
なんで入れ替えられないの？？？

テンソルの積
い
A  A e1  A e 2
1 2 B  B1e'1  B 2e'2

e1  e'2  e'2 e1 なので

A B  B  A

C AB B A
ij i j j i
←基底が変わってしまう

テンソルの積
い
– 縮約できるテンソルなら入れ替え可

 B1 
A1 A2    A1B1  A2 B2
 B2 

 A1 
B1 B2    A1B1  A2 B2
 A2 

テンソルの積
い
– 縮約できるテンソルなら入れ替え可

A B j Ck   A B j Ck
ijk ijk

j k

  Ck B j A ijk

j k

 Ck B j A ijk

イプシロンテンソル
1 ：(i,j,k)から(1,2,3)が偶置換

 ijk   1 ：(i,j,k)から(1,2,3)が奇置換 (26)

0
 ：(i,j,k)に重複がある

1 ：(i,j,k)から(1,2,3)が偶置換

 ijk   1 ：(i,j,k)から(1,2,3)が奇置換 (27)

0
 ：(i,j,k)に重複がある

イプシロンテンソル
• 例

 312  1 312 → 132 → 123 置換２回

 132  1 132 → 123 置換１回

112  0 重複

外積の例
行列表現
a 2b 3  a 3b 2   a1   b1 
 3 1 1 3  2  2
c  ab  a b  a b  a  a  b  b 
 a1b 2  a 2b1  a 3  b 3 
     

c=a×b
テンソル表現
S b
ci   ijk a b
j k
(28) S

a

外積の例
行列表現
a 2b 3  a 3b 2   a1   b1 
 3 1 1 3  2  2
c  ab  a b  a b  a  a  b  b 
 a1b 2  a 2b1  a 3  b 3 
     

テンソル表現 c1  123a 2b3  132a3b2  a 2b3  a3b2

ci   ijk a b
j k c2   213a1b3   231a3b1  a1b3  a3b1

c3   312a1b2   321a 2b1  a1b2  a 2b1

外積の例
行列表現
a2b3  a3b2   a1   b1 
a b a b 
c  ab   3 1 1 3  a   a2 
  b  b2 
 
 a1b2  a3b1   a3 
  b3 
 
 

テンソル表現

c   a j bk
i ijk (29)

イプシロンテンソル同士の積
3 3 3
 ijk ijk
   ijk ijk

i j k

  123 123
  132 132
  213 213

  231 231
  312 312
  321 321

6 (30)

あるいは単に 3! 6

歪対称行列
 0 x 3
x 
2


x  x ,x ,x
1 2

3 T  3
x   x 0 1
x  (31)

 x 2 x1
0 
 
xの歪対称行列

 0  x 3 x 2   x'1   x 2 x'3  x 3 x'2 
 3 1 2   3 1 1 3
x  x'  x x'   x 0  x   x'    x x'  x x' 
 x 2 x1 0   x'3   x1 x'2  x 2 x'1 
    
外積が行列同士の積として表せる

歪対称行列
 0 x 3
x 
2


x  x ,x ,x
1 2

3 T  3
x   x 0 1
x  (31)

 x 2 x1
0 
 
xの歪対称行列

 ijk x j
(32)

xの歪対称行列のテンソル表現

歪対称行列
 0 x 3
x  2


x  x ,x ,x
1 2

3 T  3
x   x 0 1
x  (31)

 x 2 x1
0 
 
xの歪対称行列

   1 j1 x j j 1 j 2 x j j 1 j 3 x j   0  x3 x2 
 j   3 1
 ijk x j   j  2 j1 x j j  2 j2 x j  j  2 j3 x    x
j
0 x 

 j  3 j1 x j  x j
j  3 j3 x 
j

 x 2
 x1 0 

 j 3 j2

(32)

歪対称行列
• 共変ベクトル l に対する歪対称行列 l 

 lj
ijk
(33)

行列式
3次元ベクトルの行列式


x1  x , x , x
1
1
2
1 1
3 T

x2  x , x , x
1
2
2
2 2
3 T

x3  x , x , x
1
3
2
3 3
3 T

detx1 x 2 x3   (x1  x 2 )  x3
  ijk x1i x2j x3
k X3

(34) X4

X1

行列式
4次元ベクトルの行列式

detX1 X2 X3 X 4    ijkl X X X X
i
1 2
j k
3
l
4
(35)


Xi  X , X , X , X
1
i i
2
i
3
i
4 T

行列式
３つの直線l

det l  1
l 2 3

l  l l l ijk 1 2 3
i j k
(36)


l  l ,l ,l
1 1
1
1
2
1 T
3  
l  l ,l ,l
2
1
2 2
2 3
2 T
l  l ,l ,l
3
 3
1
3
2 3
3 T

４つの平面S

det S  1
S 2
S 3
S 4
 ijkl 1 2
SS S S
i j
3 4
k l
(37)


S  S ,S ,S ,S
i i
1
i
2
i
3
i T
4 

行列式
あれ？今までXは反変テンソル、lは共変テンソルとして
扱ってたのに、なんで行列式では反対なんだ？？？？

detx1 x2 x3    x x x
i j k
ijk 1 2 3
(34)


det l 1
l 2 3

l  l l l
ijk 1 2 3
i j k (36)

1,2,3というのはテンソルの添字ではないので注意！

多重線形性
• ベクトルTとベクトルxの内積＝スカラー
行列表現

T  (x1  x 2 )   (T  x1 )   (T  x 2 ) (38)

テンソル表現

Ti (x  x )  T x  T x
i
1
i
2
i
i 1
i
i 2
(39)

多重線形性
• 行列Tとベクトルx, yの積＝スカラー
行列表現

T  (x1  x 2 )  y   (T  x1  y)   (T  x 2  y)
T  x  (y1  y 2 )   (T  x  y1 )   (T  x  y 2 )
テンソル表現

Tij (x  x ) y  T x y  T x y
i
1
i
2
j i
ij 1
j i
ij 2
j
(40)

Tij x (y  y )  Tij x y  Tij x y
i i
1
i
2
j i
1
j i
2 (41)

２重線形性!

多重線形性
• ３階テンソルの積＝スカラー
テンソル表現

Tijk (x  x ) y z  T x y z  T x y z
i
1
i
2
j k i
ijk 1
j k i
ijk 2
j k
(42)

Tij x (y  y ) z  Tijk x y z  Tijk x y z
i
1
j
2
j k i
1
j k i
2
j k
(43)

Tijk x y (z  z )  Tijk x y z  Tijk x y z
i j k
1
k
2
i j k
1
i j k
2
(44)

３重線形性!

多重線形性
• “厳密には多重線形性をもつものをテンソル
という”
• “一般にn階のテンソルはn階の変数それぞれ
に関して線形であるというn重の線形性を持
つ”

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