Ângulos: conceitos e propriedades

Prof.: Roberto Calazans Blog: http://cantinhodocalazans.blogspot.com/
OBS.
ÂNGULOS
Ângulo é a união de duas semi-retas distintas
de mesma origem e não opostas, onde:
•O → vértice
•OA e OB→lados
•Indica-se:
•Ângulos Consecutivos
Dois ângulos que tem um lado comum entre
outros dois lados. Na figura A seguir, os
ângulos AÔC e COB sao consecutivos.
•Ângulos Adjacentes
Dois ângulos que tem um único lado em
comum e os lados não comuns são semi
retas opostas.
Na figura os ângulos AOB e BOC são adjacentes.
•Medida de um Ângulo
A medida de um ângulo corresponde a
abertura entre duas semi – retas, unidas pelo
vértice O.
Indica-se: AOB = α ou O = α .
A unidade de medida de um ângulo
corresponde a razão de um grau (10
).
Existem três sistemas que são utilizados para
obter a medida de um ângulo. São eles os
seguintes:
I) Sistema sexagesimal (Unidade: grau)
II) Sistema decimal (Unidade: grado)
III) Sistema circular (Unidade: radiano)
I)SISTEMA SEXAGESIMAL
•Unidade: grau (simbologia)  ( º )
1º
90
1
do ângulo reto
•Submúltiplos do grau
a) Minuto (simbologia)  ( ’ )
b) Segundo (simbologia)  ( ” )
TEIA DE ENSINO PROFESSOR: ROBERTO CALAZANS
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
ASSUNTO: ÂNGULOS
FINALIDADE: CONCURSO EEAR
/EsSA
ESCOLARIDADE: NÍVEL MÉDIO

2
•Relação entre grau, minuto e segundo
1º = 60’ = 3600”
1’ = 60”
•Transformações
• Ângulos Congruentes
São dois ângulos de medidas iguais, na mesma
unidade.
•Ângulos Nulos
São ângulos cujos lados coincidem.
Na figura , AOB é nulo.
• Ângulos rasos
São ângulos cujos lados são semi – retas
opostas. Na figura AOB é raso.
•Ângulo reto
É todo ângulo congruente ao seu adjacente. A
medida de um ângulo reto é 90°.
•Ângulo agudo
É todo ângulo cuja medida é menor que um ângulo reto.
•Ângulo obtuso
É todo ângulo cuja medida é maior que um ângulo reto.
•Ângulos Complementares
Dois ou mais ângulos cujas medidas somam 90°.
Complemento de x
90º - x
•Ângulos Suplementares
Dois ou mais ângulos cujas medidas somam 180°.
Suplemento de x
180º - x
•Ângulos Replementares
Dois ou mais ângulos cujas medidas somam
360°.

3
OBS:
Replemento de x
360º - x
•Ângulos explementares
Dois ângulos são explementares, quando o
módulo da diferença das suas medidas é igual a
180º.
•Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)
Duas retas concorrentes determinam dois pares
de ângulos opostos pelo vértice.
Em ângulos opostos pelo vértice,os lados de
um são semi-retas opostas aos lados do
outro.
RETA TRANSVERSAL
Reta transversal a outras retas, é uma reta que
tem interseção com as outras retas em pontos
diferentes.
t  transversal
Na figura anterior, a reta t é transversal às retas
m e n e estas três retas formam 8 ângulos,
sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos
internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos
externos. Cada par destes ângulos, recebe
nomes de acordo com a localização em relação à
reta transversal e às retas m e n.
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser
internos ou externos:
Ângulos
Correspondentes
Estão do mesmo lado da reta
transversal.
Um deles é interno e o outro é
externo.
1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8
Ângulos Alternos
Estão em lados opostos da reta
transversal.
Ambos são externos ou ambos
são internos.
1 e 8 2 e 7 3 e 6 4 e 5
Ângulos Colaterais
Estão do mesmo lado da reta
transversal.
Ambos são externos ou ambos
são internos.
1 e 7 2 e 8 3 e 5 4 e 6
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser
internos ou externos:
ALTERNOS
Alternos internos 3 e 6 4 e 5
Alternos externos 1 e 8 2 e 7
COLATERAIS
Colaterais internos 3 e 5 4 e 6
Colaterais externos 1 e 7 2 e 8
DUAS RETAS PARALELAS DISTINTAS
CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Se as duas retas cortadas pela transversal são
paralelas, então:

4
OBS.
•Os ângulos alternos internos são
congruentes.
c=e e d=f
•Os ângulos alternos externos são
congruentes.
a=g e b=h
•Os ângulos colaterais internos são
suplementares .
d+e=180
0
e c+f=180
0)
•Os ângulos colaterais externos são suplementares.
a+h=180
0
e b+g=180
0
•Os ângulos correspondentes são congruente.
a=e d=h b=f c=g
Sendo r // s,temos:
• os ângulos agudos são congruentes.
•os ângulos obtusos são congruentes.
•se um ângulo é agudo e o outro é obtuso, eles
são suplementares, ou seja: α + β = 1800
ÂNGULOS DE LADOS
RESPECTIVAMENTE PARALELOS.
São ângulos cujos lados são paralelos, sendo
que tais ângulos podem ser congruentes ou
suplementares
•CONGRUENTES.
Quando ambos os ângulos são agudos, retos ou
obtusos.
•SUPLEMENTARES
Quando ambos os ângulos são retos ou quando
um deles for agudo e o outro obtuso.
ÂNGULOS DE LADOS
RESPECTIVAMENTE
PERPENDICULARES
Ângulos de lados perpendiculares são ângulos
cujos lados são perpendiculares e também
podem ser congruentes ou suplementares.
•CONGRUENTES
Quando os dois ângulos são agudos, retos ou
obtusos.
•SUPLEMENTARES
Quando os dois ângulos são retos ou um dos
ângulos é agudo e o outro obtuso.

5
QUESTÕES PROPOSTAS
01.(EsSA/1977)O ângulo de 20
08'25" equivale
a:
a)9.180" b)2.825" c)625" d)7.705"
Solução:
20
x60
120’
+ 08’
128’
x60
7.680”
+ 25”
7.705”
Resposta:Alternativa D
02.(EsSA/1979)Efetuando 140
28' + 150
47" +
380
56'23", encontramos:
a)670
24'10" c)680
24'10"
b)680
25'10" d)670
25'10"
Solução:
Temos:
140
28'
+ 150
00’ 47"
380
56’ 23"
670
84’ 70”
Como 70” = 60” + 10” = 1’ + 10”, vem:
670
85’10”
Como 85’ = 60’ + 25’ = 10
+ 25’, vem:
680
25’10”
Resposta:Alternativa B
03.(EsSA/1981)Sendo A = 330
53'41" e
B = 140
12'49", o resultado da operação A – B é:
a)190
41'52" c)190
40'52"
b)190
41'08" d)190
40'08"
Solução:
330
53' 41"
- 140
12' 49"
Como 53’
= 52’
+ 1’ = 52’
+ 60”, vem:
330
52’ 101”
-140
12’ 49”
190
40’ 52”
Resposta:Alternativa C
04.(EEAR/2005)O quádruplo da medida
86°28’36’’ é igual a
a) 46°52’24’’. c)345°52’24’’
b)346°54’24’’. d)345°54’24’’
Solução:
86°28’36’’
x4
3440
112’144”
Como 144” = 120” + 24” = 2’ + 24” , vem:
3440
112’144” = 3440
114’24”
Como 114’ = 60’ + 54’ = 10
+ 54’ , vem:
3440
114’24” = 3450
54’24”
05.(EsSA/1975)Dividindo o ângulo de 320
em 6
partes iguais, obtemos:
a)50
30' b)60
20' c)40
20' d)50
20'
Solução:
320
6
20
50
200
x60
120’

6
00’
06.(EEAR/2006)O valor da expressão
(27°38'+18°42'20")●3 − 50°52'38" , na forma
mais simplificada possível, é
a)139°59'20" . c)88°51'38" .
b)138°51'38" . d)88°8'22" .
Solução:
(27°38'+ 18°42'20")●3 − 50°52'38"
I) 27°38'+ 18°42'20" = 450
80’20” = 460
20’20”
II) 460
20’20”x3 = 1380
60’60”
III) 1380
60’60”- 50°52'38" = 880
08’22”
07.(EEAR/2007)Dois ângulos medem
2𝜋
9
rad. e
5𝜋
18
rad. O menor deles, em graus, mede:
a)30 b)40 c)50 d)60
Solução:
O menor desses dois ângulos é
2𝜋
9
rad.,pois
2𝜋
9
rad. =
4𝜋
18
rad. <
5𝜋
18
rad. Sendo assim ,
temos:
900
----------- 
𝜋
2
rad
x ----------
2𝜋
9
rad.
onde x =
900●2𝜋
9
𝜋
2
=> x =
20𝜋
𝜋
2
=> x = 20●
2
𝜋
 x = 400
08.(EEAR/2013)Ao expressar
16𝜋
9
rad. em
graus, obtém-se:
a)1700
b)2200
c)2800
d)3200
Solução:
900
----------- 
𝜋
2
rad
x ----------
16𝜋
9
rad.
onde x =
900●16𝜋
9
𝜋
2
=> x =
160𝜋
𝜋
2
=>
x = 160●
2
𝝅
 x = 3200
09.O ângulo convexo formado pelos ponteiros
das horas e dos minutos às 10 horas e 15
minutos é:
a)142° 30' d)141° 30'
b)142° 40' e)141° 40'
c)142°
Solução:
11 12
10 1
2
3
Se em 1 hora = 60 minutos o ponteiro das horas
anda 300
, em 15 minutos ele andará:
15𝑚𝑖𝑛 .●300
60𝑚𝑖𝑛 .
=
300
4
= 70
30min.
Logo, às 10 horas e 15 minutos o ângulo
formado pelos ponteiros das horas e dos
minutos é :
5●300
– 70
30’
1500
- 70
30’

7
1490
60’ - 70
30’
1420
30’
Resposta:Alternativa A
10.(EEAR/2006)De acordo com a figura, é
falsa a afirmação:
a)> 1000
c)1250
< <1380
b)<1500
d)1120
< <1450
Solução:
Temos:
I)x + y = 2x – y => y + y = 2x – x  2y = x
II) = 4x – 2y =>  = 4x – x  = 3x
III) + x + y = 1800
(●2)
2 + 2x + 2y = 3600
=> 2●3x + 2x + x = 3600
6x + 2x + x = 3600
=> 9x = 3600
(÷9)
 x = 400
Como = 3x, vem:
 = 3●400
 = 1200
11.(EEAR/2006)Dadas duas semi-retas
colineares opostas OA e OB , e um ponto C não
pertencente à reta AB, é correto afirmar que
os ângulos AÔC e CÔB são
a) suplementares e não consecutivos.
b) consecutivos e não suplementares.
c) não consecutivos e não suplementares.
d) consecutivos e suplementares.
Solução:

12.(EEAR/2009)Dois ângulos são adjacentes
se eles forem consecutivos e
a)os lados de um forem semi-retas
coincidentes com os lados do outro.
b)os lados de um forem as semi-retas opostas
aos lados do outro.
c)não possuírem pontos internos comuns
d)possuírem pontos internos comuns.
Solução:
Dois ângulos são adjacentes quando têm o
mesmo vértice, um lado em comum e seus
interiores não se interceptam(não têm pontos
internos comuns).
13.(EEAR/2009)Na figura , AOC é um ângulo
raso.O valor de x é
a)1330
32’ c) 1340
32’
b) 1330
28’ d) 1340
28’
Solução:
Da figura, temos:
x + 460
28’ = 1800
. Logo, vem:
x + 460
28’ = 1790
60’

8
x = 1790
60’ - 460
28’  x = 1330
32’
14.(EEAR/2007)Na figura, OC é bissetriz de
BOD . Então o ângulo EOC mede
a)140° b)130° c)120° d)110°
Solução:
Como OC é bissetriz do ângulo BOD,temos:
Ângulo DOC = Ângulo COB = 

Logo, vem:
900
+ 2x = 1300
=> 2x = 1300
- 900
2x = 400
(÷2)  x = 200
Portanto, o ângulo EOC mede:
900
+ 200
1100
15.(EsSA/1976)A metade do complemento de
um ângulo é 300
30'. Esse ângulo mede:
a)270
b)390
c)290
30' d)290
Solução:
Sendo o ângulo em questão igual a x, temos:
900− 𝑥
2
= 300
30’
900
– x = 2(300
30’) => 900
– x = 600
60’
Como 60’ = 10
, vem:
900
– x = 610
=> 900
– 610
= x 290
= x
16.(EsSA/2003) O suplemento do ângulo
45º17’27” foi dividido em três partes iguais. A
medida de cada parte é:
a)22º54’41” d)34º42’33”
b)44º54’11” e)11º34’51”
c)54º44’33”
Solução:
O suplemento do ângulo 45º17’27” é igual a:
1800
- 45º17’27”
179º60’ - 45º17’27”
179º59’60” - 45º17’27”
1340
42’33”
Dividindo este ângulo por 3, obtemos:
1340
42’33” 3
140
440
54’11”
20
x60
120’
+42’
162’
12’
0’
+ 33”
33”
0”
17.(EsSA/1978)O suplemento de um ângulo
excede o dobro do seu complemento de 30. A
medida desse ângulo é:
a)600
b)500
c)300
d)450
Solução:
Sendo o ângulo igual a x, temos:
1800
– x = 2(900
– x) + 300

9
1800
– x = 1800
– 2x + 300
- x + 2x = 300
 x = 300
18.(EsSA/1982) Se dois ângulos são
suplementares e a medida de um deles é triplo
da medida do outro, então as medidas dos
ângulos são:
a)20 e 60 c)30 e 90
b)25 e 75 d)45 e 135
Solução:
Sendo x e y as medidas dos ângulos em
questão,temos:
I)x = 3y
II)x + y = 1800
3y + y = 1800
=> 4y = 1800
(÷4)  y = 450
Logo, x = 1350
19.(EEAR/2008)A razão entre o complemento
e o suplemento de um ângulo é
2
7
. Esse ângulo
mede
a) 28° b)32° c)43° d)54°
Solução:
Sendo o ângulo igual a x, temos:
900−𝑥
1800−𝑥
=
2
7
2(1800
– x) = 7(900
– x)
3600
– 2x = 6300
– 7x => -2x + 7x = 6300
- 3600
5x = 2700
(÷5)  x = 540
20.(EEAR/2008)Se OP é bissetriz de AÔB,
então o valor de x é
a)10° b)12° c)15° d)18°
Solução:
Como OP é bissetriz do ângulo AOB, temos:
3x – 50
= 2x + 100
3x – 2x = 100
+ 50
 x = 150
21.(EEAR/2010)A bissetriz de um ângulo AOB
forma 600
com o lado OB.Assim,AOB pode ser
classificado como
a)reto b)raso c)agudo d)obtuso
Solução:
Como OC é bissetriz o ângulo AOB mede 1200
,
portanto ele é obtuso.
22.A medida do ângulo formado pelas
bissetrizes de dois ângulos adjacentes que
medem, respectivamente, 24º30’ e 105º30’ é
igual a:
a)760
b)650
c)580
d)860
e)590
Solução:

10
A medida do ângulo formado pelas bissetrizes
de dois ângulos adjacentes é igual a semi-
soma das medidas dos mesmos.Sendo x o ângulo
em questão, temos:
x =
24030′ +105030′
2
=> x =
129060′
2
=>
x =
1300
2
 x = 650
23(EEAR/1997)Dois ângulos adjacentes a e b,
medem, respectivamente, 1/5 do seu
complemento e 1/9 do seu suplemento.Assim
sendo, a medida do ãngulo formado por suas
bissetrizes é:
a)800
30’ d)240
30’
b)740
30’ e)160
30’
c)350
30’
Solução:
Temos:
I)a =
900− 𝑎
5
=> 5a = 900
– a => 5a + a = 900
6a = 900
(÷6)  a = 150
II) b =
1800− 𝑏
9
=> 9b = 1800
– b =>
9b + b = 1800
=> 10b = 1800
(÷10) b = 180
A medida do ângulo formado pelas bissetrizes
de dois ângulos adjacentes é igual a semi-
soma das medidas dos mesmos.Sendo  o
ângulo em questão, temos:
 =
150+180
2
=>  =
330
2
330
2
130
160
30’
10
x60
60’
00’
  = 160
30' Resposta:Alternativa E
24.(EsSA/1981) Se dois ângulos â e b são
opostos pelo vértice, então â e b são
necessariamente:
a)suplementares b)replementares
c)adjacentes d)congruentes
Solução:
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles
são congruentes.
25.O ângulo cujo dobro do seu complemento,
mais a metade do suplemento de sua metade é
igual a 130º,mede:
a)620
13’ 20’’ d)540
18’ 24’’
b)710
23’ 10’’ e)630
13’ 23’’
c)420
53’ 30’’
Solução:
Sendo x o ângulo em questão,temos:
2(900
–x) +
1
2
(1800
-
𝑥
2
) = 1300
(●2)
4(900
–x) + 1800
-
𝑥
2
= 2600
(●2)
8(900
–x) + 3600
- x = 5200
7200
– 8x + 3600
– x = 5200
10800
– 9x = 5200
=> 10800
– 5200
= 9x
5600
= 9x => x =
5600
9
5600
9
200
620
13’20”
20
x60
120’
30’
3’
x60
180”

11
00”
 x = 620
13’20”
26.O triplo do complemento de um ângulo é
igual à terça parte do suplemento deste
ângulo. Este ângulo mede:
a)
7𝜋
16
rad d)
7𝜋
4
rad
b)
7𝜋
8
rad e)
5𝜋
8
rad
c)
5𝜋
16
rad
Solução:
Sendo x o ângulo em questão,temos:
3(900
– x) =
1800−𝑥
3
3●3(900
– x) =1800
– x => 9(900
– x) =1800
– x
Como 900
=
𝜋
2
radianos e 1800
=  radianos,vem:
9(
𝜋
2
– x) =  – x =>
9𝜋
2
– 9x =  – x(●2)
x = 2x => 2x + 18x
 = x => x =
7𝜋
16
rad
27.A soma de dois ângulos explementares é
igual a 2350
. A medida do menor desses ângulos
é:
a)360
11’ d)380
40’
b)260
34’ e)540
48’
c)270
30’
Solução:
Dois ângulos são explementares quando a
diferença positiva entre as suas medidas é
igual a um ângulo raso.Sendo x e y os ângulos
em questão, temos:
I)x – y = 1800
 x = 1800
+ y
II)x + y = 2350
1800
+ y + y = 2350
=> 2y = 2350
- 1800
2y = 550
=> y =
550
2
550
2
150
270
30’
10
x60
60’
00’
 y = 270
30’
Como x = 1800
+ y,vem:
x = 1800
+ 270
30’  x = 2070
30’
28.(EsSA/1976)O suplemento do complemento
de um ângulo de 30 é:
a)60 b)120 c)90 d)110
Solução:
O suplemento do complemento de um ângulo x é
dado por 900
+ x.Sendo assim,temos:
900
+ 300
1200
29.(EsSA/1979)O complemento do suplemento
de um ângulo de 115 mede:
a)650
b)1800
c)350
d)250
Solução:

12
O complemento do suplemento de um ângulo x é
dado por x - 900
.Sendo assim, temos:
1150
- 900
250
30.O ângulo cujo replemento do suplemento
do seu complemento é igual a oito vezes o valor
do mesmo, mede:
a)300
b)400
c)500
d)600
e)650
Solução:
O replemento do suplemento do complemento
de um ângulo x é dado por 2700
– x.Sendo
assim, temos:
2700
– x = 8x
2700
= 8x + x => 2700
= 9x(÷9)  300
= x
31.Na figura abaixo a = c = 300
e a + b + c =
1200
.Então x é:
a)agudo b)obtuso c)reto d)raso
Solução:
Temos:
a = c = 300
.Logo, a + c = 600
.Como
a + b + c = 1200
, podemos concluir que b = 600
.A
medida do ângulo x é igual a a + b.Portanto, o
ângulo x mede:300
+ 600
= 900
32.(EsSA/1988) Na figura x e y são ângulos
retos. Então:
a)a = 2b d)b = 2a
b)a = b e)b < a
c)a < b
Solução:
Da figura ,temos:
900
– a = 900
- b => b = a
33.(EEAR/2010)Sejam três ângulos
adjacentes AOB, BOC e COD tais que AOB é o
triplo de COD, e este é a metade de BOC.Se
AOD é um ângulo raso,então a medida de AOB
é
a)1200
b)900
c)600
d)450
Solução:

13
Sendo  e q, respectivamente, as medidas
dos ângulos AOB,BOC e COD, do
enunciado,temos:
e  =
𝛽
2
 

Como AOD é um ângulo raso,vem:
 = 1800
 = 1800
=> 6 = 1800
(÷6) = 300
Como  = 3 , temos:
 = 3●300
 = 900
34.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:
a)1080
b)1100
c)1070
d)1150
e)1200
Solução:
x = 450
+ 620
 x = 1070
35.Na figura abaixo as retas r e s são
paralelas. A medida do ângulo 𝛼 é igual a:
a)1000
b)800
c)780
d)650
e)840
Solução:
1300
+  + 1500
= 3600
 + 2800
= 3600
=>  = 3600
- 2800
 = 800
36.(EEAR/2002)Na figura , BA // EF . A
medida X é
a)1050
b)1060
c)1070
d)1080
Solução:
x + 420
= 960
+ 520
=> x = 1480
- 420
 x = 1060
37.Dada a figura a seguir, determine o valor
de 𝛼:

14
a)600
b)7000
c)800
d)900
e)1000
Solução:
Dois ângulos agudos(ou obtusos) de lados
respectivamente perpendiculares são
congruentes.Sendo assim, temos:
𝛼
2
= 40 =>  = 2●400
  = 800
38.Dada a figura a seguir, determine o valor
de  :
2
400
a)600
b)700
c)800
d)900
e)1000
Solução:
Se dois ângulos, um agudo e o outro obtuso,
possuem os lados respectivamente
perpendiculares, eles são suplementares.Sendo
assim, temos:
400
+ 2x = 1800
2x = 1800
– 400
=> 2x = 1400
(÷2)  x = 700
39.(EEAR/2007)Na figura, r // s. O valor de x
+ y é:
a)18° b)38° c)42° d)60°
Solução:
I)Como as retas r e s são paralelas, os ângulos
agudos 2x e 5y são congruentes.Logo, temos:
2x = 5y(●3)  6x = 15y
II)Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo 3x – 500
e o ângulo obtuso 2y + 1160
são
suplementares.Sendo assim, temos:
3x – 500
+ 2y + 1160
= 1800
3x + 2y = 1800
+ 500
- 1160
3x + 2y = 1140
(●2) => 6x + 4y = 2280
15y + 4y = 2280
=> 19y = 2280
(÷19)
 y = 120
Como 6x = 15y,vem:
6x = 15●120
=> 6x=1800
(÷6)  x = 300
Portanto,temos:
x + y = 120
+ 300
 x + y = 420
40.(EEAR/2007)Quando uma transversal
intercepta duas retas paralelas, formam-se
ângulos alternos internos, cujas medidas são
expressas por 4x – 20° e 2x + 42°. A medida de
um desses ângulos é
a)31° b)62° c)104° d)158°

15
Solução:
Os ângulos alternos internos são
congruentes.Sendo assim,temos:
4x – 200
= 2x + 420
4x – 2x = 420
+ 200
=> 2x = 620
(÷2) x = 310
Logo, temos:
4x – 200
= 4●310
– 200
= 1240
– 200
= 1040
41.(EsSA/2.000)Duas retas paralelas ,
cortadas por uma transversal, determinam dois
ângulos alternos externos cujas medidas são
a = 2x + 57º e b = 5x + 12º . Calcule , em graus,
as medidas de a e b :
a)a = 70º e b = 70º d)a = 87º e b = 87º
b)a = 60º e b = 60º e)a = 93º e b = 93º
c)a = 78º e b = 78º
Solução:
Os ângulos alternos externos são
congruentes.Sendo assim,temos:
a = b
2x + 570
= 5x + 120
=> 570
- 120
= 5x – 2x
450
= 3x(÷3)  150
= x
Como a = 2x + 570
,vem:
a = 2●150
+ 570
=> a = 300
+ 570
 a = 870
Logo, b = 870
42.(EEAR/2005)Duas retas r e s, cortadas por
uma transversal t, determinam ângulos
colaterais internos de medidas 3p + 14° e
5p – 30°. O valor de p, para que as retas r e s
sejam paralelas, é
a)5°30' b)23°40' c)24°30' d)30°40'
Solução:
Para que as retas sejam paralelas, os ângulos
colaterais internos devem ser
suplementares.Sendo assim , temos:
3p + 140
+ 5p – 300
= 1800
8p = 1800
- 140
+ 300
=> 8p = 196 => p =
1960
8
1960
8
360
240
30’
40
x60
240’
00’
 p = 240
30’
43.(EEAR/2009)Algumas pessoas têm o hábito
de “cortar o sete”.No “sete cortado” da figura ,
o “corte” é paralelo ao traço horizontal acima
dele.O valor de x é
a)400
b)410
c)420
d)430
Solução:
Como o corte é paralelo ao traço, o ângulo
agudo x e o ângulo obtuso 3x + 80
são
suplementares.Sendo assim, temos:
x + 3x + 80
= 1800
4x = 1800
- 80
=> 4x = 1720
(÷4)  x = 430

16
44.(EsSA/1976) Na figura abaixo, as retas r e
s são paralelas. Quanto mede o ângulo z se y é
o triplo de x?
a)600
b)900
c)450
d)300
Solução:
Como as retas r e s são paralelas, o ângulo
agudo x e o ângulo obtuso y são suplementares.
Sendo assim ,temos:
x + y = 1800
Do enunciado , sabemos que y = 3x,logo, vem:
x + 3x = 1800
=> 4x = 1800
(÷4)
 x = 450
agudo x e o ângulo agudo z são congruentes.
Portanto, z = x z = 450
45.As retas r e s são interceptadas pela
transversal "t", conforme a figura. O valor de x
para que r e s sejam, paralelas é:
a)200
b)260
c)280
d)300
e)350
Solução:
agudo x + 200
e o ângulo obtuso 4x + 300
são
suplementares. Sendo assim ,temos:
x + 200
+ 4x + 300
= 1800
6x = 1800
– 200
– 300
=> 5x = 1300
(÷5)
 x = 260
46.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:
a)720
b)180
c)1360
d)1440
e)1800
Solução:
agudo x - 360
e o ângulo agudo
𝑥
4
são
x - 360
=
𝑥
4
+ 18
0
(●4)
4x – 1440
= x + 720
=> 4x – x = 720
+ 1440
=>
3x = 2160
(÷3)  x = 720
agudo x - 360
,ou seja 720
– 360
= 360
e o ângulo
obtuso y são suplementares.Sendo assim,
temos: y = 1440
47.Considere as retas r, s, t, u, todas num
mesmo plano, com r // u. O valor em graus de
( 2x + 3y ) é:

17
a)640
b)5000
c)5200
d)6600
e)5800
Solução:
Como as retas r e u são paralelas, o ângulo
obtuso 200
+ y e o ângulo obtuso 1200
são
200
+ y = 1200
=> y = 120 – 20  y = 1000
Na figura, os ângulos x e y são opostos pelo
vértice.Logo, eles são congruentes, ou seja,
x = y = 1000
.Portanto, temos que 2x + 3y é igual
a:
2●1000
+ 3● 1000
2000
+ 3000
5000
48.(UFGO) Na figura abaixo as retas r e s
são paralelas. A medida do ângulo b é igual a:
a)1000
b)1200
c)1100
d)1050
e)1300
Solução:
obtuso 4x + 2x e o ângulo obtuso 1200
são
congruentes..Sendo assim, temos:
4x + 2x = 1200
=> 6x = 1200
(÷6)  x = 200
Logo, o ângulo 4x mede 4●200
= 800
.
Como os ângulos 4x, ou seja , 800
e b são
colaterais internos eles são
suplementares.Logo, b = 1000
.
“As pessoas vencedoras não são aquelas que
nunca falham,e sim, aquelas que nunca
desistem.”

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