1) O documento apresenta a derivação matemática das leis de Kepler a partir da lei da gravitação universal de Newton. 2) A primeira lei de Kepler, sobre as órbitas elípticas dos planetas, é demonstrada a partir da equação diferencial do movimento de dois corpos e da conservação do momento angular. 3) A segunda lei de Kepler, sobre a área varrida em tempos iguais, é mostrada como consequência direta da conservação do momento angular.

1. Cap´ıtulo 12
Leis de Kepler generalizadas
A lei da gravita¸c˜ao universal, que relaciona a for¸ca entre duas massas M e
m, separadas por r, derivada por Newton ´e dada por:
F = −G
Mm
r2
r
r
y’
x’
z’
z
x
yr
m
m
M
M
rr
95

2. 12.1 Equa¸c˜ao do movimento
Vamos utilizar a nomenclatura:
dr
dt
≡ v ≡ ˙r
d2r
dt2
≡ a ≡ ¨r
Na verdade, qualquer que seja a vari´avel x,
˙x ≡
dx
dt
Da lei da gravita¸c˜ao de Newton se pode derivar as leis de Kepler. Apli-
cando-se a lei da gravita¸c˜ao e a segunda lei do movimento (F = m · ¨r),
temos:
m¨rm = −G
Mm
r3
r,
e pela lei da a¸c˜ao e rea¸c˜ao,
M ¨rM = G
Mm
r3
r,
onde
r = rm − rM ,
e rm e rM s˜ao os vetores posi¸c˜ao de m e M com rela¸c˜ao a um sistema inercial.
Essas equa¸c˜oes podem ser escritas como:
¨rm = −
GM
r3
r,
¨rM =
Gm
r3
r.
Subtraindo-se essas duas equa¸c˜oes:
¨r = −
G(M + m)
r3
r.
Definindo-se µ = G(m + M), podemos escrever:
¨r +
µ
r3
r = 0. (1)
96

3. Essa ´e a equa¸c˜ao diferencial vetorial do movimento relativo de dois corpos. A
solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao nos d´a a ´orbita relativa dos corpos (planeta, cometa,
sat´elite, etc). Em princ´ıpio, a solu¸c˜ao descreve como o raio vetor r varia
com o tempo, mas sua solu¸c˜ao n˜ao ´e simples. Como a equa¸c˜ao ´e diferencial
vetorial de segunda ordem, isto ´e, envolve segunda derivada de vetores, pre-
cisamos de seis constantes para obter a solu¸c˜ao. Por exemplo, se soubermos
a posi¸c˜ao tridimensional e a velocidade de um planeta num certo tempo,
poderemos calcular sua posi¸c˜ao e velocidade em qualquer outro tempo.
Nossa solu¸c˜ao envolve demonstrar que a conserva¸c˜ao da energia e do
momentum angular s˜ao conseq¨uˆencias das leis de Newton.
12.2 Conserva¸c˜ao da energia total do sistema
Multiplicando-se a equa¸c˜ao (1) escalarmente por ˙r temos:
˙r · ¨r +
µ
r3
r · ˙r = 0.
Como v = ˙r e ˙v = ¨r, temos:
v · ˙v +
µ
r3
r · ˙r = 0.
Seja α o ˆangulo entre o raio vetor e a velocidade:
r · ˙r = r v cos α
˙r · ¨r = v ˙v cos(−α)
Tendo em vista que cos(−α) = cos α, e ainda que:
d
dt
v2
2
= v ˙v,
e
d
dt
µ
r
= −
µ ˙r
r2
r
r
= −
µ ˙rr
r3
,
ent˜ao:
d
dt
1
2
v2
−
µ
r
= 0,
de onde se conclui, imediatamente, que:
1
2
v2
−
µ
r
= = constante, (2)
1
2
v2
−
G(m + M)
r
= = constante,
que ´e a equa¸c˜ao de energia do sistema ( = energia por unidade de massa).
97

4. 12.3 Conserva¸c˜ao do momentum angular
Multiplicando-se vetorialmente a equa¸c˜ao de movimento (1) por r pela es-
querda, temos:
r × ¨r +
µ
r3
r × r = 0.
Como r × r ≡ 0, temos
r × ¨r = 0.
Mas
d
dt
(r × ˙r) = ˙r × ˙r + r × ¨r.
Como ˙r × ˙r ≡ 0, a equa¸c˜ao acima implica
d
dt
(r × ˙r) = 0,
ou o termo entre parˆenteses deve ser uma constante, que vamos chamar de
momentum angular, h:
(r × ˙r) = h = constante. (3)
Essa ´e a lei da conserva¸c˜ao do momentum angular. h ´e o momentum angular
por unidade de massa. Note que h, o vetor momentum angular, ´e sempre
perpendicular ao movimento, por sua defini¸c˜ao (3).
12.4 Primeira lei de Kepler: Lei das ´orbitas
Multiplicando-se vetorialmente a equa¸c˜ao (1) por h:
¨r × h =
µ
r3
(h × r) (4)
j´a levando-se em conta que: a × b = −b × a. A parte da direita de (4) pode
ser escrita como:
µ
r3
(h × r) =
µ
r3
(r × v) × r.
Como
(a × b) × c = (a · c)b − a(b · c),
ent˜ao:
µ
r3
(r × v) × r =
µ
r3
v r2
−
µ
r3
(r · ˙r)r =
µ
r
v −
µ
r3
(r · ˙r) r.
98

5. Como
µ
d
dt
r
r
=
µ
r
v −
µ
r3
r · ˙r r,
ent˜ao:
µ
r3
h × r = µ
d
dt
r
r
.
O lado esquerdo da equa¸c˜ao (4) pode ser escrito como:
¨r × h =
d
dt
˙r × h ,
j´a que:
d
dt
˙r × h = ¨r × h + ˙r ×
˙
h
e como h ´e constante,
˙
h = 0. A equa¸c˜ao (4) pode, portanto, ser escrita
como:
d
dt
˙r × h = µ
d
dt
r
r
,
ou seja, integrando-se sobre t:
˙r × h =
µ
r
r + β,
onde β ´e um vetor constante. Como h ´e perpendicular ao plano da ´orbita,
˙r × h est´a no plano da ´orbita, junto com r, de modo que β tamb´em. Na
verdade, β est´a na dire¸c˜ao do pericentro, como veremos a seguir.
At´e agora, encontramos dois vetores constantes, h e β, e um escalar
constante, , de modo que j´a temos sete integrais. Entretanto, elas n˜ao s˜ao
todas independentes. Por exemplo, como β est´a no plano da ´orbita, e h em
um plano perpendicular a este, β · h = 0.
Multiplicando-se escalarmente por r, temos:
r · ˙r × h =
µ
r
r · r + β · r.
Como
a × b · c = a · b × c,
r × ˙r · h =
µ
r
r2
+ β r cos γ,
onde γ ´e o ˆangulo entre r e β, e r × ˙r = h, temos:
h2
= µ r + β r cos γ
99

6. ou
h2
= r µ 1 +
β
µ
cos γ
e, finalmente:
r =
h2
µ
1 + β
µ cos γ
que ´e a equa¸c˜ao da trajet´oria. Essa ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica com foco na
origem:
r =
p
1 + e cos θ
onde p ´e chamado de semi-lactus rectum, e ´e a excentricidade e θ ´e o ˆangulo
entre o foco e o vetor posi¸c˜ao r. As cˆonicas foram estudadas pelo matem´atico
grego Apolˆonio de Perga (c. 262 a.C.- c. 190 a.C.) em 200 a.C. Somente
Figura 12.1: Componentes de uma cˆonica.
para β/µ < 1 o movimento ´e finito, e a ´orbita ´e uma elipse. Note que r ´e
m´ınimo quando γ = 0, isto ´e, na dire¸c˜ao de β, provando que β aponta na
dire¸c˜ao do pericentro.
100

7. Lembrando que µ = G(m + M), e comparando com a equa¸c˜ao da elipse
r =
a(1 − e2)
1 + e cos θ
vemos que a equa¸c˜ao da trajet´oria descreve uma elipse com:
h2
µ
≡ p = a(1 − e2
),
e
e =
β
µ
.
p ´e o semi-lactus rectum, e ´e a excentricidade da elipse, e θ = γ ´e o ˆangulo
entre o ponto da elipse mais pr´oximo do foco (pericentro) e o vetor posi¸c˜ao
r. Essa ´e a demonstra¸c˜ao de que a ´orbita ´e el´ıptica, como diz a primeira lei
de Kepler.
Se e = β/µ ≥ 1, o movimento ´e infinito, isto ´e, n˜ao se repete. Se e = 1
o corpo se move em uma par´abola, e se e > 1 em uma hip´erbole, o que n˜ao
´e o caso dos planetas, mas as vezes dos cometas e aster´oides.
Da equa¸c˜ao que introduziu β temos:
β = ˙r × h −
µ
r
r,
β2
= ( ˙r × h) · ( ˙r × h) + µ2 r · r
r2
− 2( ˙r × h) ·
µ
r
r.
Como ˙r ´e perpendicular a h, pela defini¸c˜ao do momentum angular h:
| ˙r × h| = | ˙r||h| → (( ˙r × h) · ( ˙r × h) = v2
h2
,
de modo que:
β2
= v2
h2
+ µ2
− 2
µ
r
[ ˙r × h · r ].
Mas
[ ˙r × h · r ] = −[ h × ˙r · r ] = [ h · ˙r × r ],
e como ˙r × r = h,
β2
= v2
h2
+ µ2
− 2
µ
r
h2
.
Como e = β
µ , β2 = µ2e2, logo:
µ2
e2
− µ2
= v2
h2
− 2
µ
r
h2
= 2h2 v2
2
−
µ
r
= 2h2
,
101

8. ou seja:
µ2
(e2
− 1) = 2h2
→ =
µ2
2h2
(e2
− 1)
Dessa forma, fica provado que a excentricidade depende da energia do sis-
tema.
Resumindo, a lei das ´orbitas el´ıpticas dos planetas ´e uma conseq¨uˆencia
do tipo de for¸ca que atua entre os planetas e o Sol. Newton mostrou que as
´unicas ´orbitas poss´ıveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com
outro s˜ao as sec¸c˜oes cˆonicas: c´ırculo, elipse, par´abola ou hip´erbole.
Um c´ırculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b. Uma
par´abola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞. Uma
hip´erbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0.
Se o corpo tiver movimento peri´odico, como os planetas, sua trajet´oria
ser´a circular ou el´ıptica; se o movimento n˜ao for peri´odico, como ´e o caso de
alguns cometas e aster´oides, a trajet´oria ser´a parab´olica ou hiperb´olica. O
fator decisivo sobre o tipo de ´orbita ´e a energia do sistema.
12.5 Segunda lei de Kepler: Lei das ´areas
A partir da conserva¸c˜ao do momentum angular (3),
h = r × v,
e escrevendo em coordenadas polares, v = dr/dt = r dΦ/dt ˆeΦ + dr/dtˆer,
onde ˆeΦ ´e o vetor unit´ario na dire¸c˜ao de Φ e ˆer o vetor unit´ario na dire¸c˜ao
de r. Logo
|r × v| = h = r · r
dΦ
dt
· sen(ˆer, ˆeΦ)
Como ˆer e ˆeΦ s˜ao perpendiculares entre si, segue que
h = r2 ˙Φ = constante
Sejam P1 e P2 duas posi¸c˜oes sucessivas do corpo num intervalo δt. O ele-
mento de ´area nesse intervalo de tempo ´e:
δA =
r · rδΦ
2
,
ou
δA
δt
=
r2
2
δΦ
δt
.
102

9. P
P
1
2
r
φ
φ
φ
rd
d
Figura 12.2: Trajet´oria em coordenadas esf´ericas.
Para δt → 0,
dA
dt
=
r2 ˙Φ
2
=
h
2
. (5)
Como a conserva¸c˜ao do momentum angular (3) prova que h ´e uma constante,
dA/dt ´e uma constante, que ´e a lei das ´areas. A lei das ´areas de Kepler
´e, portanto, um conseq¨uˆencia direta da lei de conserva¸c˜ao do momentum
angular.
12.6 Terceira lei de Kepler: Lei harmˆonica
Duas rela¸c˜oes das elipses s˜ao:
A = πab,
onde A ´e a ´area, a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor, e
b = a 1 − e2
1
2
.
103

10. Da lei das ´areas, (5), temos:
dA =
h
2
dt.
Integrando-se sobre um per´ıodo, P,
πab =
h
2
P. (6)
Substituindo-se b acima, e a defini¸c˜ao do semi-lactus rectum,
b = a 1 − e2
1
2
= (pa)
1
2 =
ah2
µ
1
2
.
Elevando-se (6) ao quadrado:
π2
a2 a
µ
h2
=
h2
4
P2
ou
P2
=
4π2a3
µ
Essa ´e a terceira lei de Kepler, generalizada por Newton,
P2
=
4π2
G(m + M)
a3
(7)
Dessa forma fica demonstrado que as tres leis de Kepler podem ser deduzidas
das leis de Newton.
A “constante” de Kepler depende, portanto, da soma das massas dos
corpos. No caso dos planetas do sistema solar, que orbitam o Sol, essa
soma ´e praticamente igual `a massa do Sol e, portanto, aproximadamente
constante. Na sec¸c˜ao 11.2, vimos como a 3.a lei de Kepler, na forma derivada
por Newton ´e usada para determinar massas de corpos astronˆomicos.
12.7 A equa¸c˜ao da energia
Podemos derivar a equa¸c˜ao da energia calculando-se o valor do momentum
angular e da energia no peri´elio, j´a que s˜ao constantes. No peri´elio:
rp = a(1 − e),
104

11. h = rpvp,
j´a que r e v s˜ao perpendiculares entre si. Para a energia (2), temos:
=
v2
2
−
µ
r
=
h2
2r2
p
−
µ
rp
=
1
rp
h2
2rp
− µ .
Por outro lado, da defini¸c˜ao do semi-lactus rectum, temos
h2
= µ p = µ a(1 − e2
)
Substituindo-se h e rp em , temos:
=
1
a(1 − e)
µ a(1 − e2)
2a(1 − e)
− µ =
µ
a(1 − e)
(1 + e)
2
− 1 ,
pois (1 − e)(1 + e) = 1 − e2,
=
µ
2a
(1 + e − 2)
(1 − e)
= −
µ
2a
(1 − e)
(1 − e)
,
= −
µ
2a
(8)
que ´e v´alido para qualquer ´orbita cˆonica e mostra que o semi-eixo maior da
´orbita s´o depende da energia do sistema.
< 0 ⇒ a > 0 elipse
= 0 ⇒ a = ∞ par´abola
> 0 ⇒ a < 0 hip´erbole.
Da defini¸c˜ao de semi-lactus rectum p,
p =
h2
µ
= a(1 − e2
) ⇒ a =
h2/µ
(1 − e2)
Como a energia ´e definida por (8),
= −
µ
2a
= −
µ2(1 − e2)
2h2
Escrevendo a excentricidade em termos da energia:
−
2h2
µ2
= 1 − e2
⇒ e2
= 1 +
2h2
µ2
105

12. e = 1 +
2h2
µ2
.
Logo, se:
< 0 ⇒ e < 1 elipse
= 0 ⇒ e = 1 par´abola
> 0 ⇒ e > 1 hip´erbole.
Das equa¸c˜oes (2) e (8), vemos que
= −
µ
2a
=
v2
2
−
µ
r
,
logo
v = µ
2
r
−
1
a
que ´e a equa¸c˜ao da velocidade do sistema.
12.7.1 Velocidade circular
Na ´orbita circular a ≡ r, e substituindo na equa¸c˜ao da velocidade temos:
vcirc = µ
2
r
−
1
r
=
µ
r
Para um ´orbita circular, vemos que a energia total ´e negativa, j´a que:
=
µ
2r
−
µ
r
= −
µ
2r
= −
G(M + m)
2r
< 0.
12.7.2 Velocidade de escape
Da equa¸c˜ao de velocidade se pode deduzir facilmente a velocidade de escape
do sistema, que representa a velocidade m´ınima para que o corpo escape da
atra¸c˜ao gravitacional do sistema. Essa velocidade ´e, por defini¸c˜ao, aquela
com a qual o corpo chega com velocidade zero no infinito (v = 0 em r = ∞),
o que representa um ´orbita parab´olica, j´a que = 0. Assim, uma ´orbita
parab´olica pode ser considerada uma ´orbita el´ıptica com e = 1 e a = ∞.
Nesse caso,
=
v2
esc
2
−
µ
r
= 0 ⇒ vesc =
2µ
r
=
2G(M + m)
r
=
√
2vcirc
106

13. Para um ´orbita hiperb´olica, a energia total ´e positiva; a energia cin´etica
´e t˜ao grande que a part´ıcula pode escapar do sistema e se afastar dele.
A par´abola ´e o caso-limite entre a ´orbita fechada (elipse) e a hip´erbole.
Halley, usando o m´etodo de Newton, verificou que v´arios cometas tˆem ´orbita
parab´olica.
12.7.3 Problema de muitos corpos
Assumimos, at´e aqui, que a ´orbita ´e um problema de dois corpos. Na reali-
dade, os planetas interferem entre si, perturbando a ´orbita dos outros. Ainda
assim, suas ´orbitas n˜ao se desviam muito das cˆonicas, s´o que os elementos
da ´orbita variam com o tempo e precisam ser calculados por aproxima¸c˜oes
sucessivas, pois a ´orbita n˜ao pode ser resolvida analiticamente. Para a ´orbita
da Terra em torno do Sol, como a massa do Sol ´e 1047 vezes maior que a
massa de J´upiter e J´upiter est´a 5,2 vezes mais distante do que o Sol, a for¸ca
gravitacional de J´upiter sobre a Terra ´e 28 000 vezes menor que a do Sol e,
portanto, seu efeito pode ser calculado pelo m´etodo das pertuba¸c˜oes. Al´em
disso, mesmo para s´o dois corpos macrosc´opicos, com a Terra e a Lua, a
solu¸c˜ao de dois corpos n˜ao ´e exata, pois nem a Terra nem a Lua s˜ao esferas
perfeitas e, portanto, n˜ao se comportam como massas pontuais. Mais ainda,
devido `as mar´es, a Terra e a Lua n˜ao s˜ao sequer r´ıgidas1.
12.7.4 Exemplos
1) O Cometa Austin (1982g) se move em uma ´orbita parab´olica. Qual foi
sua velocidade em 8 de outubro de 1982, quando estava a 1,1 UA do Sol?
Como a ´orbita ´e parab´olica, = 0, e a velocidade chama-se velocidade
de escape, vesc, logo:
=
v2
esc
2
−
µ
r
= 0 → vesc =
2µ
r
=
2G(m + M )
r
,
vesc =
2GM
r
= 40 km/s.
2) o semi-eixo do planet´oide 1982RA ´e de 1,568UA e sua distˆancia ao
Sol em 8 de outubro de 1982 era de 1,17 UA. Qual era sua velocidade?
= −
µ
2a
→ =
v2
2
−
µ
r
= −
µ
2a
→ v = µ
2
r
−
1
a
= 31 km/s.
1
O momento de quadrupolo da Terra e da Lua causam perturba¸c˜oes tanto perpendi-
culares ao plano da ´orbita quanto radiais.
107

14. Sat´elites artificiais
Desde o primeiro sat´elite artificial, o Sputnick, lan¸cado pela Uni˜ao Sovi´etica
em 1957, mais de 3800 foguetes e 4600 sat´elites artificiais foram lan¸cados da
Terra. Desses, mais de 500 est˜ao em funcionamento. Muitos explodiram,
dando origem a mais de 100 000 fragmentos, menores que 10 cm, que n˜ao
podem ser detectados por radares aqui na Terra. Esses fragmentos consti-
tuem o lixo espacial; cerca de 8000 fragmentos maiores s˜ao monitorados aqui
da Terra, porque podem causar s´erios danos `as naves e sat´elites, tripulados
ou n˜ao.
3) Qual ´e a altura de um sat´elite geoestacion´ario? Se o sat´elite ´e geoes-
tacion´ario, isto ´e, permanece posicionado sobre um mesmo local da Terra,
ent˜ao seu per´ıodo orbital tem que ser igual a um dia sideral = 23h 56m =
86 160 segundos. Usando a Terceira Lei de Kepler,
P2
=
4π2
G(MT + ms)
a3
com MT = 5, 98 × 1024 kg, ms MT , G = 6, 67 × 10−11 N · m2/kg2, temos:
a =
P2GMT
4π2
1
3
= 42172 km.
Como o raio da Terra ´e RT = 6370 km, ent˜ao a altura ser´a a − RT = 42 172
km - 6370 km = 35 800 km.
4) Qual ´e a velocidade de um sat´elite em ´orbita circular a 300 km de
altura sobre a Terra?
v = µ
2
r
−
1
a
,
mas para uma ´orbita circular r=a, de modo que:
vcirc =
µ
r
.
Como r= 300 km + RT = 6670 km:
vcirc =
GMT
r
= 7, 5 km/s.
Qual ´e o per´ıodo orbital?
P2
=
4π2
G(MT + mC)
a3
= 90 min.
108

15. 5) Considerando que a ´orbita de menor energia para lan¸camento de uma
nave a Marte, conhecida como transferˆencia de Hohmann2, ´e aquela que tem
uma distˆancia no peri´elio de 1UA (a da ´orbita da Terra) e uma distˆancia de
af´elio de 1,52 UA (a da ´orbita de Marte), qual ´e o tempo de viagem?
1,52 UA
1 UA
O semi-eixo maior a da ´orbita do nave ´e
a =
rP + rA
2
= 1, 26 UA
e, portanto, seu per´ıodo ´e:
P2
=
4π2
G(M + mn)
a3
−→ P = 1, 41 anos
O tempo de viagem ser´a metade do per´ıodo orbital, portanto, de 8,5 meses.
Qual a velocidade de lan¸camento?
v = µ
2
r
−
1
a
,
e r=1 UA. Logo v= 33 km/s. Considerando-se que a Terra orbita o Sol com
velocidade de:
v =
2π · 1UA
1 ano
= 30 km/s,
s´o precisamos lan¸car a nave com 3 km/s, na mesma dire¸c˜ao da ´orbita da
Terra. Note que o lan¸camento da nave tem de ser bem programado para
que Marte esteja na posi¸c˜ao da ´orbita que a nave chegar´a.
2
Proposta pelo engenheiro alem˜ao Walter Hohmann (1880-1945) em 1925.
109

16. 6) Qual ´e o semi-eixo maior da ´orbita de um sat´elite lan¸cado a 300 km
de altura com uma velocidade de 10 km/s?
v = µ
2
r
−
1
a
eliminado a, obtemos a = 3, 17 RT .
7) Qual ´e a velocidade necess´aria para um sat´elite artificial escapar o
campo gravitacional da Terra?
Como a massa do sat´elite pode ser desprezada em rela¸c˜ao `a massa da
Terra:
v⊗
esc =
2GM⊗
R⊗
=
2 · 6, 67 · 10−11 N m2 kg−2 · 5, 95 · 1024 kg
6 370 000 m
= 11, 2 km/s
Buraco Negro
8) Qual ´e o raio de um buraco negro com a massa igual `a massa do Sol?
Um buraco negro tem velocidade de escape igual a c, a velocidade da
luz, j´a que nem a luz escapa dele, e nada pode ter velocidade maior do que
a velocidade da luz. Ent˜ao,
vesc =
2GM
R
= c,
e o raio ´e chamado de Raio de Schwarzschild, ou raio do horizonte de eventos:
RSchw =
2GM
c2
RSchw =
2GM
c2
= 3 km
Embora o termo buraco negro s´o tenha sido introduzido em 1967 por
John Archibald Wheeler (1911-2008), em 1783 o inglˆes John Michell (1724-
1793) j´a tinha proposto que, se uma estrela tivesse massa suficiente, a for¸ca
gravitacional impediria a luz de escapar. Karl Schwarzschild (1873-1916), em
1916 resolveu as equa¸c˜oes da Relatividade Geral de Albert Einstein (1879-
1955) e derivou corretamente o raio do horizonte de eventos, isto ´e, o tama-
nho da regi˜ao, em volta da singularidade, da qual nada escapa.
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