Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành khoa học giáo dục với đề tài: Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán 50000116

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------
PHAN DUY HÙNG
SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU
ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU
Huế, năm 2018

2. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------
PHAN DUY HÙNG
SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU
ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN & PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRẦN VUI
Huế, năm 2018

3. i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, đƣợc các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Phan Duy Hùng

4. ii
LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Vui, ngƣời thầy,
ngƣời hƣớng dẫn khoa học đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và động viên tôi trong
quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo đã giảng dạy chúng tôi trong suốt
thời gian học tập tại trƣờng ĐHSP Huế.
Luận văn này hoàn thành cũng nhờ đƣợc sự tạo điều kiện của Ban giám hiệu, học
sinh trƣờng THPT Phan Đăng Lƣu, tỉnh Thừa Thiên Huế. Đặc biệt là giáo viên
Nguyễn Văn Thơ, là ngƣời thầy của tôi đã hết sức tạo điều kiện và ủng hộ trong quá
trình triển khai ý tƣởng nghiên cứu và tiến hành khảo sát.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, các anh
chị, bạn bè lớp Cao học Toán K25, đặc biệt là các học viên chuyên ngành
LL&PPDH bộ môn Toán, trƣờng ĐHSP Huế đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Tôi rất mong nhận đƣợc những góp ý và nhận xét để bổ sung cho những thiếu sót
không thể tránh khỏi của luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!

5. iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................ii
MỤC LỤC................................................................................................................. iii
Chƣơng 1: GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ........................................................................1
1. Giới thiệu ............................................................................................................1
2. Nhu cầu nghiên cứu ............................................................................................3
3. Phát triển vấn đề nghiên cứu...............................................................................4
4. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................6
5. Các câu hỏi nghiên cứu.......................................................................................7
6. Ý nghĩa của nghiên cứu ......................................................................................7
7. Tiểu kết chƣơng 1 ...............................................................................................8
Chƣơng 2: SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM...........9
TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN...............................................................9
1. Quan niệm về “hiểu toán”.................................................................................10
2. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán..........................................................................14
2.1. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán....................................................................15
2.2. Tiếp cận SPUR............................................................................................16
2.3. Phân bậc tƣ duy MATH ..............................................................................18
2.4. Cấu trúc đánh giá hiểu toán theo phân loại nhận thức: tiếp cận đa chiều
SPUR và phân loại tƣ duy MATH .....................................................................24
3. Áp dụng vào thực hành đánh giá ......................................................................28
4. Tiểu kết chƣơng 2 .............................................................................................29
Chƣơng 3: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU...............................................................30
1. Thiết kế nghiên cứu...........................................................................................30
2. Công cụ nghiên cứu ..........................................................................................30
3. Phân tích tiên nghiệm........................................................................................30
4. Tiểu kết chƣơng 3 .............................................................................................42

6. iv
Chƣơng 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU................................................................43
1. Định hƣớng phân tích kết quả nghiên cứu........................................................43
2. Phân tích............................................................................................................43
3. Phân tích câu trả lời ..........................................................................................45
4. Tiểu kết chƣơng 4 .............................................................................................55
Chƣơng 5: THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN.........................................................56
1. Thảo luận câu hỏi nghiên cứu...........................................................................57
2. Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.............................................................................57
3. Câu hỏi nghiên cứu thứ hai...............................................................................59
4. Hƣớng phát triển của đề tài...............................................................................60
5. Tiểu kết chƣơng 5 .............................................................................................61
KẾT LUẬN..............................................................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................63

7. 1
Chƣơng 1
GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
1. Giới thiệu
Ngày nay, trong tình hình thế giới đang tiến tới sự hội nhập, phát triển bên cạnh sự
cạnh tranh khốc liệt, mỗi quốc gia, dân tộc cần có một đội ngũ công dân năng động,
sáng tạo và đặc biệt là giàu chất xám, có những kiến thức nói chung và hiểu biết
toán học nói riêng để đáp ứng đƣợc những vấn đề nảy sinh trong thực tế cuộc sống
ngày càng phức tạp. Điều này đặt ra mục đích chính yếu của giáo dục là làm cách
nào để giúp ngƣời học có đƣợc những nội dung kiến thức, kĩ năng, quy trình để giải
quyết đƣợc các tình huống bất ngờ trong cuộc sống của mình. Giáo dục Toán cũng
không ngoại lệ. Bản thân Toán là một môn học đòi hỏi sự tƣ duy sáng tạo gần nhƣ
là bậc nhất trong các môn học, học sinh đƣợc học rất nhiều kiến thức phức tạp và
đôi lúc cũng tự đặt ra câu hỏi là chúng ta học những cái này để làm gì? Vấn đề đƣợc
nói tới chính là ứng dụng của Toán học vào trong cuộc sống! Toán học và cuộc
sống luôn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, chúng nhƣ hai sợi dây bện chặt vào
nhau không tách rời, con ngƣời học Toán để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống
và những nảy sinh phức tạp trong cuộc sống dùng Toán học để xử lí và giải quyết.
Hình 1.1. Quan hệ chặt chẽ giữa toán học và cuộc sống.
Nhƣng đó chỉ là những quan điểm đơn giản trong suy nghĩ của nhiều ngƣời. Để đào
tạo đƣợc một con ngƣời hay nói đúng nhất là học sinh nhƣ vậy còn rất nhiều khía
Toán
học
Cuộc
sống

8. 2
cạnh cần phải thực hiện. Thứ nhất là tạo ra một kế hoạch đào tạo thật đúng đắn và
phù hợp với thời đại, nội dung chƣơng trình, kiến thức phù hợp nhất. Thứ hai là
phải có đƣợc một sự đánh giá kiến thức của học sinh một cách khách quan, công
bằng, bên cạnh đó là xem xét khả năng của các em về sự phản ánh và áp dụng
những nội dung đã đƣợc học vào các vấn đề thực tế. Nếu hiểu và thấy đƣợc khả
năng của học sinh đang ở mức độ nào thì các nhà giáo dục mới đƣa ra đƣợc những
phƣơng pháp giáo dục thích hợp và hiệu quả nhất với đối tƣợng.
Để đáp ứng nhu cầu phát triển đó, nhiều nhà giáo dục toán đã nhận ra tầm quan trọng
của việc sử dụng nhiều quan điểm để đánh giá việc học các nội dung toán. Ví dụ,
Freudenthal (1983) đã xem xét các cách khác nhau trong một chủ đề có thể đƣợc sử
dụng và những cách nhìn nhận khác biệt có thể dẫn đến những hiểu biết khác nhau.
Trong một tổng hợp các nghiên cứu về sự hiểu biết của học sinh về toán học ở Mỹ,
Kilpatrick, Swafford và Findell (2001) đã xác đinh sự thành thạo toán học nhƣ một
cây gồm năm nhánh liên kết chặt chẽ với nhau: thành thạo quy trình, suy luận thích
ứng, hiểu khái niệm, lên kế hoạch giải hiệu quả và có năng lực đƣa ra phƣơng án giải
quyết vấn đề. Các nhánh này có mối quan hệ trong và phụ thuộc lẫn nhau, với nhu
cầu học sinh phát triển năng lực trong cả năm nhánh đồng thời để có một sự hiểu biết
sâu sắc về toán học. Tƣơng tự nhƣ vậy, Krutetskii (1976) cho thấy, ít nhất trong số
các học sinh có khả năng toán học, một số học sinh thƣờng sử dụng phƣơng pháp đại
số hoặc giải tích để giải quyết vấn đề, trong khi một số khác lại sử dụng phƣơng pháp
hình học hoặc không gian. Để phát triển việc hiểu toán của học sinh, chƣơng trình
toán bậc phổ thông cần phải chú trọng đến: các kĩ năng toán học, các khái niệm và
các quá trình toán học là chính yếu trong việc học và áp dụng toán học.
Các quan điểm đƣợc các nhà giáo dục thực hiện và phản ánh trong các khuyến nghị
chƣơng trình giảng dạy ở nhiều nƣớc. Chẳng hạn ở Mỹ, các nguyên tắc và tiêu
chuẩn cho toán học (Hội đồng Giáo viên Toán Quốc gia [NCTM], 2000) đã hƣớng
dẫn việc phát triển tài liệu giảng dạy và khung chƣơng trình, phác thảo một tầm
nhìn mới cho toán học dành cho học sinh. Đặc biệt, văn bản về các tiêu chuẩn dạy
học toán nhấn mạnh tầm quan trọng của một quan điểm cân bằng đến sự thành thạo
các quy trình giải toán và hiểu khái niệm. Tƣơng tự nhƣ vậy, các khuyến nghị về

9. 3
chƣơng trình ở Singapore cũng đã nhấn mạnh đến sự phát triển các kĩ năng, khái
niệm và quy trình toán học thiết yếu trong việc học và áp dụng toán học.
Với những khuyến nghị này, các tài liệu giảng dạy sử dụng quan điểm đa chiều thể
hiện quan điểm cân bằng của toán học phù hợp với lớp học, với nhiều học sinh có
thế mạnh về toán học và phong cách học tập khác nhau. Nếu tài liệu giảng dạy phản
ánh một quan điểm đa chiều thì đánh giá cũng cần phản ánh đƣợc quan điểm này
nhƣ giảng dạy để đánh giá một cách phù hợp và chính xác.
Xuất phát từ xu thế đổi mới chƣơng trình học tập và đánh giá về toán học trên thế
giới, chúng tôi thấy sự cần thiết và thiết yếu trong việc tìm hiểu kĩ hơn về quan
điểm tiếp cận đa chiều trong dạy học và trong đánh giá toán học của học sinh.
2. Nhu cầu nghiên cứu
Học toán không chỉ đơn thuần là học sinh nắm bắt đƣợc các khái niệm, các định lí,
tính chất, công thức đƣợc giáo viên cung cấp đề giải quyết các bài tập trong SGK,
các bài tập mà giáo viên đƣa ra theo một quy trình, cách thức đã có sẵn. Mà việc
dạy và học toán cần cung cấp, trang bị cho học sinh biết đƣợc cách vận dụng các
kiến thức, kĩ năng đã đƣợc học trong ghế nhà trƣờng và việc giải quyết các tình
huống thực tế nảy sinh trong cuộc sống. Mục tiêu và mục đích quan trọng nhất của
giáo dục là đào tạo ra những con ngƣời không những đƣợc trang bị đầy đủ kiến
thức, mà còn năng động, sáng tạo trong xã hội ngày càng hiện đại và phát triển.
Bắt kịp với xu hƣớng phát triển của thế giới, nhiều nƣớc trên thế giới đã nhận ra
tầm quan trọng của giáo dục toán nên đã xây dựng một hệ thống chƣơng trình giáo
dục mới và dần cải tiến nó cho phù hợp với tình hình đất nƣớc và bối cảnh quốc tế.
Mới nhất có thể kể đến các chƣơng trình giáo dục nhƣ chƣơng trình Đánh giá Học
sinh Quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment: PISA) của
Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for Economic Co-operation
and Development: OECD), chƣơng trình Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Toán với tên
viết tắt MATH (Mathematical Assessment Task Hierarchy), chƣơng trình phân loại
CAPS, TIMSS hay chƣơng trình hiểu toán theo tiếp cận đa chiều SPUR (Skills: Kỹ
năng, Properties: Tính chất, Uses: Sử dụng, Repressentations: Biểu diễn). Ở đây,

10. 4
tiếp cận đa chiều nhƣ là một công cụ đƣợc sử dụng trong đánh giá việc học các nội
dung toán của học sinh, làm cơ sở để tạo ra một chƣơng trình dạy học và đánh giá
toán một cách phù hợp nhất. Điểm chung đáng chú ý nhất của các chƣơng trình giáo
dục toán hiện nay ở các nƣớc đã và đang phát triển là hƣớng học sinh đến việc hiểu
sâu các khái niệm toán theo nhiều cách thức tiếp cận khác nhau, bên cạnh đó việc
đánh giá sự hiểu toán của học sinh cũng đƣợc thực hiện một cách khoa học với
chiều hƣớng tƣơng tự là theo nhiều hình thức, phƣơng pháp khác nhau, nhƣng vẫn
hƣớng trọng tâm của đánh giá là việc giải quyết các bài toán ứng dụng các kiến thức
đã đƣợc học vào các vấn đề trong thực tế cuộc sống.
Trong bối cảnh hội nhập quốc tế, một quốc gia nếu không có nguồn nhân lực đầy đủ
chất xám thì sẽ bị tụt hậu so với thời đại. Việt Nam đƣợc đánh giá là một quốc gia
có trình độ toán học khá tốt khi tham gia vào các cuộc thi quốc tế, thế nhƣng các
cuộc đánh giá này đã chỉ ra rằng học sinh Việt Nam chỉ mạnh khi áp dụng các kiến
thức đã học để giải các bài toán đã đƣợc học hay các bài toán có mức độ khó nhƣng
vẫn theo quy cách là áp dụng trực tiếp các kiến thức mà các em đã đƣợc học, còn
đối với các vấn đề mới lạ, các tình huống trong thực tế cuộc sống nảy sinh ra cần
toán học hóa để giải quyết thì các em lại gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết
chúng. Đây là một điều làm cho các nhà giáo dục Toán ở Việt Nam đang suy ngẫm
và tìm cách khắc phục, bởi học sinh đƣợc học cho dù là nhiều kiến thức, kĩ năng gì
đi nữa thì mục đích cuối cùng là chúng sẽ đƣợc dùng để phục vụ cho cuộc sống của
chính bản thân các em.
Một chƣơng trình toán học mới với sự cân bằng giữa Toán học và các vấn đề thực
tế của cuộc sống sẽ là thích hợp với nhu cầu của ngƣời học và cả nhu cầu chung của
xã hội.
3. Phát triển vấn đề nghiên cứu
Học toán để rồi hiểu toán một cách sâu sắc, toàn diện… là những gì mà toán học
muốn mang lại cho học sinh, để rồi học sinh tự tin sử dụng toán học một cách thành
thạo trong cuộc sống đã và đang là một vấn đề cấp thiết, là mục tiêu của nhiều nền
giáo dục toán trên thế giới nói chung và ở Việt Nam nói riêng.

11. 5
Thực tế cho thấy rằng việc dạy và học toán ở Việt Nam hiện nay vẫn còn quá chú
trọng đến việc cung cấp, trang bị một khối lƣợng kiến thức khổng lồ cho học sinh
nhƣng chƣa thực sự quan tâm đến việc phát triển các năng lực toán học và hình
thành sự hiểu biết toán cho học sinh, đặc biệt quan trọng nhất là cho học sinh hiểu
đƣợc rằng các em học đƣợc những kiến thức ấy để làm gì? Bên cạnh còn là sự thiếu
thốn về trang thiết bị dạy học, thiếu các nguồn vốn đầu tƣ cho toán học, môi trƣờng
học tập còn gặp nhiều hạn chế và thiếu sót.
Nếu ta đặt một giả thuyết rằng hiệu quả của giáo dục toán đƣợc đánh giá theo góc
độ học sinh áp dụng kiến thức đã học vào trong các vấn đề thực tế và bối cảnh xã
hội, thì nền giáo dục toán THPT ở nƣớc ta hiện nay vẫn chƣa có một công cụ đánh
giá nào đƣợc cho là hiệu quả. Việc đánh giá chỉ đƣợc thực hiện một cách bài bản
theo các bài kiểm tra một chiều, các con điểm đƣợc cho theo cách giải các bài toán
của các em, rồi còn các mảng tối trong mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh. Liệu
rằng đó có phải là đánh giá một cách công bằng, khách quan và đúng đắn, liệu đó có
phải là những gì mà giáo dục toán muốn mang lại. Mỗi khái niệm, tính chất toán
đƣợc học là một công trình nghiên cứu, một kết quả có ý nghĩa về nhiều mặt đƣợc
các nhà toán học tìm ra và để lại cho nhân loại. Vì vậy làm thế nào để đƣa những
khái niệm, tính chất ấy vào trong suy nghĩ, trí óc của học sinh một cách sâu sắc,
hiệu quả là một vấn đề hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn
đề “Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán”
làm đề tài nghiên cứu của luận văn này.
Một ví dụ về tiếp cận đa chiều trong dạy học và đánh giá: bài toán cực trị và đồ
thị của hàm số bậc 3 dạng 3 2
y ax bx cx d    .
 Thực hiện đạo hàm, vẽ bảng biến thiên rồi tìm ra các điểm cực trị, hình dáng của
hàm số bậc 3 là nhiệm vụ khá đơn giản của học sinh dƣới sự hƣớng dẫn của giáo
viên, chẳng hạn nhƣ khảo sát hàm số 3
3 2y x x   , nhƣng rất nhiều học sinh đặt
câu hỏi là tại sao lại phải thực hiện theo quy tắc nhƣ vậy và ý nghĩa của nó là gì?
 Hãy thử trả lời các câu hỏi sau:

12. 6
 Khi hệ số 3b   thay đổi thì hình dáng của đồ thị và các điểm cực trị sẽ thay
đổi nhƣ thế nào?
 Cũng câu hỏi trên với sự thay đổi của các hệ số a và b? Liệu sẽ có những hình
dạng nào của đồ thị hàm số bậc 3 tƣơng ứng khi hệ số a, b và c thay đổi? Làm
sao bạn biết đƣợc?
 Nếu cho một đồ thị hàm số với các điểm cực trị và hình dáng, bạn có thể đƣa
ra đƣợc một hàm số tƣơng ứng hay là không?
Nếu câu hỏi trên đƣợc học sinh trả lời một cách chính xác chứng tỏ học sinh đã nắm
đầy đủ và chắn chắn các thủ thuật khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Thay
vì giáo viên đƣa ra một hàm số cụ thể để học sinh thực hiện theo quy trình có sẵn
trong SGK, việc để học sinh trả lời các câu hỏi trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về
một số vấn đề quan trọng nhƣ: các điểm cực trị của hàm số bậc ba sẽ phụ thuộc vào
ba hệ số a, b, c tƣơng ứng với số mũ giảm dần, hình dáng của ĐTHS thì phụ thuộc
vào cả bốn hệ số a, b, c, d. Học sinh có thể tìm ra đƣợc điều kiện của các hệ số để
suy ra ĐTHS có số điểm cực trị là bao nhiêu… Với bài kiểm tra nhƣ thế này sẽ khai
thác nhiều hƣớng suy nghĩ của học sinh tùy thuộc vào từng mức độ. Nhƣ vậy, tiếp
cận đa chiều tạo ra một cách đánh giá khách quan và chính xác hơn so với các bài
kiểm tra truyền thống trƣớc đây.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu này đƣợc thực hiện nhằm mục đích khảo sát quá trình dạy toán và học
toán ở bậc THPT hiện nay, với chú trọng là phƣơng pháp tiếp cận đa chiều trong
dạy học và đánh giá năng lực của học sinh. Nếu chúng ta thừa nhận cả hai khía cạnh
là quan trọng, vấn đề đƣợc đặt ra là làm sao để đề xuất một chƣơng trình dạy học và
chƣơng trình đánh giá phù hợp với học sinh và tình hình dạy học toán hiện nay.
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng tìm hiểu một số thông tin về phƣơng pháp
tiếp cận đa chiều ở trƣờng THPT. Theo đó, luận văn đi sâu vào nghiên cứu các vấn
đề cụ thể sau:

13. 7
 Tìm hiểu, khảo sát quá trình sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa chiều của giáo
viên THPT trong dạy học và đánh giá hiện nay.
 Phân tích những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh khi ứng dụng
phƣơng pháp tiếp cận đa chiều.
 Những lợi ích mà học sinh có đƣợc khi áp dụng phƣơng pháp phù hợp trong việc
hiểu toán.
5. Các câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã đƣợc đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với các câu
hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi 1. Giáo viên THPT hiện nay sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa chiều để
giúp học sinh hiểu các khái niệm toán nhƣ thế nào?
Câu hỏi 2. Các hoạt động tiếp cận đa chiều trong đánh giá trình độ Toán sẽ giúp
cho học sinh có đƣợc những cách hiểu toán khác nhau nhƣ thế nào?
6. Ý nghĩa của nghiên cứu
Thực tế đã chỉ ra rằng, nếu học sinh hiểu ý nghĩa một cách sâu sắc, toàn diện các
khái niệm, tính chất mà các em học, biết chúng sẽ đƣợc sử dụng để làm gì trong
cuộc sống thì các em sẽ gặp nhiều thuận lợi khi các em đối mặt với các tình huống
thực tế hơn những ngƣời chỉ học một cách thụ động, chỉ biết áp dụng công thức,
thuật toán cơ bản mà ai cũng biết đến. Kết quả nghiên cứu của luận văn mong đợi sẽ
góp phần:
 Làm rõ ý nghĩa của việc hiểu khái niệm toán học ở học sinh.
 Làm rõ chƣơng trình dạy học và đánh giá theo phƣơng thức tiếp cận đa chiều sẽ
có ý nghĩa nhƣ thế nào trong bối cảnh thế giới hiện nay.
 Từ kết quả thực tế đƣa ra đƣợc những kết luận đúng đắn của việc áp dụng
phƣơng pháp tiếp cận đa chiều trong dạy học và đánh giá.
 Đề xuất một số phƣơng pháp đáng tin cậy cho giáo dục toán ở bậc THPT sao cho
phù hợp với tình hình thế giới hiện nay.

14. 8
7. Tiểu kết chƣơng 1
Trong chƣơng này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu.
Đồng thời, chúng tôi phát biểu hai câu hỏi nghiên cứu, đƣa ra các vấn đề cụ thể
đƣợc hƣớng đến trong luận văn. Nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hƣớng cho
nghiên cứu sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng tiếp theo.

15. 9
Chƣơng 2
SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM
TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN
Tiếp cận đa chiều là một thuật ngữ tuy mới và có vẻ khá trừu tƣợng trong giáo dục
toán, tuy nhiên việc sử dụng khái niệm này đã đƣợc hình thành từ rất lâu thông qua
các hình thức đổi mới quá trình dạy và học toán. Nhìn chung các giáo viên toán đều
đồng ý rằng dạy để hiểu là một điều tốt. Nhƣng làm thế nào để nắm bắt đƣợc: Hiểu
là gì? Hiểu là khả năng tư duy và hành động linh hoạt đối với một chủ đề hay khái
niệm? Đây là một trong những thách thức lớn nhất dành cho đội ngũ giáo viên và
các nhà giáo dục toán trên thế giới. Bởi vì, hiểu toán phải là mục đích cơ bản nhất
của việc dạy toán (National Council of Teachers of Mathematics – NCTM, 2000).
Thành thạo quy trình là trọng tâm chính của dạy học toán trong quá khứ và cho đến
nay vẫn còn giữ vai trò quan trọng, nhƣng hiểu khái niệm cũng là một mục đích quan
trọng ngang với thành thạo quy trình. Nhiều báo cáo và các tiêu chuẩn dạy và học toán
đã nhấn mạnh sự tích hợp hài hòa giữa thành thạo kĩ năng toán và hiểu khái niệm.
Hình 2.1. Sơ đồ biểu thị nhiệm vụ cơ bản của dạy toán.
Nhiều nhà giáo dục trên thế giới đã kêu gọi xây dựng chƣơng trình toán và việc dạy
cần chú trọng đến quan điểm cân bằng giữa thành thạo kiến thức quy trình với kiến
thức hiểu khái niệm. Sự phân biệt giữa hai khái niệm này đóng một vai trò quan
trọng trong việc xác định những kiến thức mà học sinh thu nhận đƣợc. Nhƣ vậy,
Quy
trình
Hiểu
khái
niệm
Dạy
học
toán

16. 10
đánh giá trình độ toán cũng cần chú ý đến sự cân bằng này. Hiện nay, có rất nhiều
hình thức đánh giá toán học khác nhau theo từng bối cảnh xã hội và nền giáo dục ở
các nƣớc, tuy nhiên chúng tôi nhấn mạnh việc sử dụng phƣơng pháp tiếp cận đa
chiều để hiểu trình độ Toán của học sinh, đặc biệt là khả năng các em với các kĩ
năng, tính chất toán học, sử dụng ứng dụng toán học và các biểu diễn của khái niệm.
Chúng tôi cho rằng mỗi chiều tiếp cận sẽ cung cấp những nhìn nhận khác nhau về
việc hiểu toán của học sinh.
1. Quan niệm về “hiểu toán”
Từ xƣa, việc định nghĩa về việc hiểu toán hay đơn thuần chỉ là những quan điểm về
toán đã đƣợc rất nhiều nhà giáo dục toán quan tâm khi họ cho rằng mục đích cao nhất
của việc dạy toán là để cho học sinh hiểu toán. Mỗi ngƣời đều đƣa ra quan điểm của
bản thân mình dựa vào kinh nghiệm và quá trình nhìn nhận, phân tích thực tế.
 Một số quan điểm về việc hiểu toán
Chúng ta có thể bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản nhƣ sau:
Trong 2 hình vẽ trên, hình vẽ nào có thể là đồ thị của một hàm số? Hãy giải thích
câu trả lời của bạn?
Rất nhiều học sinh khối THPT sẽ bất ngờ trƣớc câu hỏi tuy đơn giản nhƣng gần nhƣ
các em ít khi đƣợc gặp. Các em đã đƣợc học về hàm số và đồ thị hàm số rất nhiều,
giải các bài tập từ khó đến dễ với các thủ thuật từ đơn giản đến phức tạp, tuy nhiên

17. 11
một bài tập nhƣ thế này để nhận ra đƣợc bản chất của khái niệm hàm số thực sự gây
bất ngờ và khó khăn cho các em.
Trong giáo dục toán, chúng ta thƣờng nghe thấy học sinh có thể “làm” một bài toán
nào đó nhƣng các em “không hiểu” là đang làm gì, và cho dù làm ra đƣợc thì mục
đích của việc các em đƣợc học lí thuyết này là để làm gì? Điều này đồng hành với
sự khác biệt giữa thuyết hành vi và thuyết nhận thức (hay thuyết kiến tạo) trong tâm
lí học. Chúng ta xem “việc hiểu” nhƣ là một cái gì đó xảy ra bên trong trí óc mà
không có những hành động bên ngoài, chúng ta mong muốn học sinh thể hiện việc
hiểu của các em khi trả lời các nhiệm vụ mà chúng ta đặt ra cho các em. Đặc biệt,
với tƣ cách là ngƣời theo thuyết hành vi, chúng ta muốn học sinh trả lời đúng các
câu hỏi và đôi khi không quan tâm đến quá trình các em đạt đƣợc đến lời giải nhƣ
thế nào. Với tƣ cách là ngƣời theo thuyết kiến tạo, chúng ta muốn biết học sinh
đang tƣ duy những gì khi các em đang làm toán và chúng ta yêu cầu học sinh phải
trình bày bài làm của mình.
Trở lại với ví dụ trên, yêu cầu mà giáo viên muốn học sinh trả lời đƣợc là định
nghĩa thế nào là hàm số và giải thích đƣợc hình 1 không phải là đồ thị của một hàm
số, còn hình 2 thì phải. Mỗi học sinh có thể đƣa ra đƣợc kết quả bài toán của riêng
mình và phải làm rõ đƣợc câu trả lời mà bản thân mình đƣa ra.
Câu trả lời mong muốn học sinh đƣa ra:
 Hàm số: Giả sử có hai đại lƣợng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc
tập số D. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tƣơng
ứng của y thuộc tập số thực thì ta có một hàm số. Ký hiệu: ( )y f x .
 Giải thích hình vẽ bằng trực quan:

18. 12
Chúng ta xem xét một vài định nghĩa hay giải thích về “hiểu toán”.
 Skemp (1976) xác định hai loại hiểu mang tính: quan hệ và công cụ. Ông mô tả
việc hiểu có tính quan hệ là “biết cả hai: là gì và tại sao” và quá trình học toán
với mối quan hệ nhƣ là “xây dựng một cấu trúc khái niệm”. Các cụm từ: “hiểu
công cụ và hiểu quan hệ”, chủ yếu có nghĩa là hiểu quy trình và hiểu khái niệm.
Ông viết: “Cho đến bây giờ, tôi tin rằng có hai chủ đề khác nhau (hiểu công cụ và
hiểu quan hệ) được dạy một cách hiệu quả dưới cùng một cái tên là toán”.
 Nickerson (1985) đã xác định một số kết quả về việc hiểu nhƣ: đồng ý với các
chuyên gia, có khả năng thấy đƣợc sâu hơn các đặc trƣng của một khái niệm,
nhanh chóng tìm kiếm đƣợc các thông tin cụ thể trong một tình huống, có khả
năng biểu diễn các tình huống và hình dung một tình huống bằng cách sử dụng
các mô hình trí tuệ. Tuy nhiên, Nickerson cũng đề xuất rằng:
“Việc hiểu trong đời sống hàng ngày được nâng cao bởi khả năng xây dựng những
chiếc cầu nối giữa một miền khái niệm với khái niệm khác”.
Chúng ta có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc hiểu toán, hay cụ thể hơn là việc
hiểu đƣợc khái niệm toán học có ý nghĩa nhƣ thế nào? Việc giáo viên giúp cho học
sinh hiểu đƣợc khái niệm toán sẽ giúp cho học sinh thấy rõ đƣợc nguyên nhân và ý
nghĩa các khái niệm đó ra đời, công lao của các nhà toán học, từ đó sẽ kích thích
đƣợc các em hứng thú hơn trong việc học toán ở từng khía cạnh khác nhau.
“Khi một người biết càng nhiều về một đối tượng, thì sẽ hiểu nó tốt hơn. Bối cảnh
khái niệm mà con người nhúng một sự kiện mới vào càng phong phú, thì có thể nói
là hiểu nhiều hơn sự kiện đó” Nickerson (1985).
 Hiebert và Carpenter (1992) xác định việc hiểu toán một cách cụ thể nhƣ gắn liền
với việc xây dựng nên “bối cảnh khái niệm” hay “cấu trúc” đƣợc đề cập ở trên:
“Toán học được hiểu nếu biểu diễn trí tuệ của nó là một phần của một mạng lưới các
biểu diễn. Mức độ hiểu được xác định bởi số lượng và thế mạnh của các liên kết của
nó. Một ý tưởng, một quy trình hay một sự kiện toán học được hiểu thông suốt nếu nó
được kết nối với các mạng lưới đang tồn tại với nhiều mối liên kết mạnh hơn”.

19. 13
 Sierpinska (1994) phân loại việc hiểu theo ba dạng khác nhau:
Hình 2.2. Sơ đồ phân loại “việc hiểu” của Sierpinska (1994).
Sierpinska thấy các quá trình của việc hiểu nhƣ là “hoạt động nhận thức xảy ra theo
những khoảng thời gian dài hơn”. Để tạo ra các liên kết giữa các việc hiểu về một
khái niệm qua suy luận, từ đây chúng ta phát triển xa hơn việc hiểu về khái niệm
toán học.
 Duffin và Simpson (2000) đã phát triển các phạm trù của Sierpinska và phân biệt
thành ba thành phần của việc hiểu:
Hình 2.3. Các thành phần của “việc hiểu” theo Duffin và Simpson (2000).
 Barmby và nnk., (2007) đã đề xuất định nghĩa về hiểu toán nhƣ sau:
 Hiểu toán là tạo ra liên kết giữa các biểu diễn trí tuệ của một khái niệm.
 Hiểu là mạng lưới các biểu diễn thu được kết hợp với khái niệm toán học đó.
Chúng ta có thể lấy một ví dụ cụ thể nhƣ sau:
Hành động
Các quá
trình
Việc hiểu
Xây dựng
Có đƣợc
Tham gia vào

20. 14
Khi dạy định nghĩa về khái niệm hàm số liên tục, thay vì áp đặt học sinh hiểu đƣợc
định nghĩa cụ thể ngay từ lúc đầu hay bằng các ví dụ toán học nặng về lí thuyết, hãy
tìm một ví dụ thực tế để biểu thị cho tính liên tục cho hàm số. Chẳng hạn, ta lấy ví
dụ:
Hình ảnh cầu sông Hàn ở Đà Nẵng là một ví dụ minh họa cụ thể để học sinh thấy rõ
sự liên tục hay không liên tục của nó. Đây có thể là một ví dụ làm cho học sinh cảm
thấy thú vị về cách hiểu khái niệm về hàm số liên tục và tự mình có thể tìm ra nhiều
ví dụ khác nữa.
2. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán
Bản thân toán học là một môn học gắn liền chặt chẽ với thực tế cuộc sống, mục đích
của việc học toán cũng là giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày.
Đáp ứng với nhu cầu hội nhập của thế giới, các nƣớc đã và đang trong quá trình xây
dựng và phát triển một chƣơng trình giáo dục toán học phù hợp với xu thế và tình
hình của đất nƣớc. Nhiều nhà giáo dục trên thế giới đã kêu gọi chƣơng trình và dạy
toán nhắm mục đích cân đối giữa thành thạo quy trình cũng nhƣ hiểu khái niệm.
Quan điểm tiếp cận đa chiều trong dạy học toán là một trong các quan điểm đang
đƣợc nhiều nƣớc phát triển trên thế giới áp dụng và cho thấy sự hiệu quả.
Có nhiều tiếp cận đa chiều về hiểu toán, trong luận văn này chúng tôi xin chủ yếu
đề cập đến quan điểm đa chiều theo tiếp cận SPUR (Skills, Properties, Uses,

21. 15
Representations) và tiếp cận đa chiều theo phân loại tƣ duy MATH (Mathematical
Assessment Task Hierarchy).
2.1. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán
Nhiều nhà giáo dục toán đã nhận ra tầm quan trọng của việc sử dụng quan điểm tiếp
cận đa chiều để đánh giá việc học các nội dung toán học. Freudental (1983) đã xem
xét các cách khác nhau mà một chủ đề toán học vận dụng và những tiếp cận khác
nhau đó đã dẫn đến những hiểu toán khác nhau.
Hình 2.3. Sơ đồ hình thành việc hiểu toán theo quan điểm của Freudental (1983).
Trong lớp học, mỗi học sinh có một thế mạnh riêng biệt của mình, có em thì
nghiêng về đại số, giải tích nhƣng có em thì lại nghiêng về hình học… Mỗi khái
niệm, kiến thức toán học có thể đƣợc tiếp cận bằng nhiều con đƣờng khác nhau tùy
thuộc vào kinh nghiệm và năng lực của giáo viên. Điều này đòi hỏi giáo viên trong
mỗi tiết học cần lựa chọn cách thực hiện các hoạt động học toán một cách phù hợp
nhất có thể.
Để phát triển việc hiểu toán của học sinh, chƣơng trình toán bậc phổ thông cần phải
chú trọng đến: các kĩ năng toán học, các khái niệm và các quá trình toán học là
chính yếu trong việc học và áp dụng toán học vào cuộc sống. Tuy nhiên để xây
dựng một khung chƣơng trình nhƣ vậy không phải là chuyện dễ thực hiện. Để thay
đổi tƣ duy của học sinh sau một quá trình dài đƣợc sống trong một môi trƣờng giáo
dục cũ theo cách cách tiếp cận và đánh giá toán học truyền thống đã làm cho các em
gần nhƣ là thích nghi. Điều này đòi hỏi một sự kiên trì và cố gắng của các nhà giáo
dục toán của mỗi đất nƣớc để tạo ra một chƣơng trình toán theo quan điểm mới có
nhiều tiến bộ và hiệu quả.
Toán học Quan điểm Hiểu

22. 16
Một chƣơng trình giáo dục toán học mới theo quan điểm tiếp cận đa chiều sẽ tạo ra
một sự cân bằng và phù hợp với các đối tƣợng học sinh. Nếu chúng ta đổi mới
phƣơng pháp dạy học thể hiện tiếp cận đa chiều đến một kiến thức toán học thì
trong đánh giá cũng cần tuân theo tiếp cận này để cho việc dạy và việc đánh giá
đƣợc đồng bộ.
Hình 2.5. Thành thạo toán học theo Hội đồng Quốc gia Hoa Kỳ (NRC, 2001).
2.2.Tiếp cận SPUR
Usiskin (1985) có quan điểm về hiểu toán khá độc lập đối với Skemp (1976).
Usiskin đồng ý với Skemp rằng hiểu công cụ và hiểu quan hệ là khác nhau nhƣng
không đồng ý là chúng là hai chủ đề khác nhau. Ông xem chúng nhƣ là những khía
cạnh khác nhau của việc hiểu một chủ đề. Đƣơng nhiên là có nhiều hơn hai khía
cạnh hay cách hiểu toán, nhƣng tất cả những khía cạnh đó là những chiều của việc
hiểu toán.
Thompson và Kaur (2011), Bleider và Thompson (2013) đề xuất một tiếp cận đa
chiều mô phỏng từ mô hình gốc đƣợc sử dụng trong phát triển chƣơng trình
(Usiskin, 1985) để đánh giá chất lƣợng hiểu toán của học sinh thông qua bốn chiều
chính: kĩ năng, tính chất, sử dụng, biểu diễn (Thompson và Senk, 2008), trong đó:
(1)
Thành thạo
quy trình
(2)
Suy luận
thích ứng
(3)
Hiểu khái
niệm
(4)
Kế hoạch giải
(5)
Phƣơng án
giải quyết

23. 17
 Kĩ năng
Kĩ năng chỉ những quy trình mà học sinh cần phải thực hiện thành thạo, những kĩ
năng có thể là việc áp dụng những thuật toán tiêu chuẩn cho đến việc khám phá
ra các thuật toán bao gồm cả quy trình với công nghệ.
 Tính chất
Tính chất chỉ những nguyên tắc cơ bản của toán học, bao gồm những tính chất
đƣợc sử dụng đến kiểm chứng các kết luận đạt đƣợc và các chứng minh.
 Sử dụng
Sử dụng chỉ việc áp dụng các khái niệm toán học vào thế giới thực tế hay vào các
khái niệm khác của toán học, bao gồm từ “các bài toán bằng lời” quen thuộc đến
việc phát triển và sử dụng các mô hình toán học.
 Biểu diễn
Biểu diễn chỉ các đồ thị, hình vẽ và các thể hiện trực quan khác của các khái
niệm toán học, bao gồm những biểu diễn chính thống của khái niệm và các mối
quan hệ đến khám phá các cách mới để biểu diễn khái niệm (Thompson & Senk,
2008).
Tiếp cận đa chiều này đƣợc biết với tên viết tắt là SPUR (Skills, Properties, Uses,
Representations), cung cấp cho giáo viên những thông tin hữu ích về chiều sâu hiểu
toán của học sinh.
Mặc dù, đầu tiên SPUR đƣợc dùng để thiết kế chƣơng trình toán toán phổ thông,
nhƣng sau đó ngƣời ta đã sử dụng SPUR nhƣ là một công cụ đầy sức mạnh trong
đánh giá việc hiểu toán của học sinh. Khi học sinh có hiểu biết sâu sắc về toán học
các em sẽ thu đƣợc việc hiểu ở bốn chiều: kĩ năng, tính chất, vận dụng và biểu diễn.
Nếu đánh giá chỉ quan tâm một chiều thì giáo viên sẽ thu nhận những cái nhìn sai
lệch và thiếu sót về việc hiểu toán của học sinh. Chẳng hạn một bài kiểm tra toán
mà học sinh bị điểm thấp, giáo viên vội kết luận khả năng toán học của học sinh đó
là thấp hay không có thì liệu đó có phải là quan điểm đúng? Nếu đánh giá quan tâm
đến cả bốn chiều thì giáo viên sẽ nhận đƣợc sự hiểu biết sâu sắc về điểm mạnh,
điểm yếu trong kiến thức về khái niệm của học sinh, điều đó sẽ đem lại những định
hƣớng cho việc lên kế hoạch bài học tiếp theo.

24. 18
Hình 2.6. Bốn chiều của việc hiểu Toán theo tiếp cận SPUR.
Nếu mục đính giáo dục là phát triển học sinh với một hiểu biết sâu sắc và linh hoạt
về toán học thì chúng ta không thể chỉ đánh giá các kiến thức, kĩ năng của các em.
Việc viết các câu hỏi kiến thức, kĩ năng thƣờng dễ hiểu hơn, với các kiến thức của
các chiều khác về việc hiểu toán, giáo viên cần phải điều chỉnh các câu hỏi kĩ năng
đó, hay viết các câu hỏi hoàn toàn mới để thu thập những khía cạnh khác về việc
hiểu toán của học sinh. Những phản hồi về việc hiểu các khái niệm toán của học
sinh có thể đƣợc sử dụng để đổi mới cách dạy, để học sinh xây dựng đƣợc một nền
tảng vững chắc về kiến thức toán học.
2.3. Phân bậc tƣ duy MATH
Việc đánh giá việc học toán của học sinh hiện nay chủ yếu đƣợc thực hiện qua
hình thức các bài kiểm tra tự luận truyền thống hoặc trắc nghiệm khách quan để
xem xét sự thành thạo các kĩ năng, quy trình và công thức của các em. Các câu hỏi
thƣờng kiểm tra các kĩ năng riêng lẻ, không đánh giá đƣợc liệu học sinh có hiểu
các khái niệm toán hay không, có khả năng sử dụng toán học để giải quyết các vấn
đề nảy sinh đƣợc hay không? Theo Schoenfiel (1988), một số học sinh đƣa ra “lời
giải” đúng cho câu hỏi có thể không hiểu đƣợc ngay lời giải mà mình đƣa ra. Đây
là điều mà giáo viên không mong muốn đạt đƣợc, họ muốn cung cấp kiến thức để
học sinh thực sự hiểu ý nghĩa và vận dụng chúng theo các hình thức khác nhau.
Chúng ta cần xác định những gì học sinh nên biết và có thể là hiểu đƣợc sau khi
học môn Toán, và những điều đó nên đƣợc chuyển thành các mục tiêu và mục
đích của các đánh giá.
Kĩ
năng
Tính
chất
Vận
dụng
Biểu
diễn

25. 19
Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Toán có tên viết tắt MATH (Mathematical Assessment
Task Hierarchy) đặc biệt đƣợc thiết kế để phát triển những đánh giá toán học nâng
cao để đảm bảo rằng học sinh đƣợc đánh giá theo nhiều dạng kiến thức và kĩ năng
khác nhau (Darlington, 2013). Phân loại MATH xác định tám phạm trù kĩ năng và
kiến thức và sắp xếp chúng vào trong ba nhóm A, B và C. Tám phạm trù này đƣợc
xếp thứ tự theo bản chất của hoạt động tƣ duy toán, chứ không phải theo mức độ
khó của hoạt động đòi hỏi để hoàn thành tốt nhiệm vụ.
a) Các phạm trù
Phân loại tƣ duy MATH có ba nhóm: A (Tái tạo); B (Liên kết) và C (Suy luận). Các
phạm trù của MATH đƣợc thiết kế để mô tả “bản chất” của hoạt động làm toán chứ
không phải “mức độ khó” (Smith và nnk, 1996). Điều đó có nghĩa là một nhiệm vụ
ở nhóm A có thể xem là khó hơn một nhiệm vụ ở nhóm C theo một học sinh cụ thể,
tùy thuộc vào sự thừa nhận của các em về độ khó, cũng nhƣ các thách thức cụ thể
gắn liền với nhiệm vụ đó. Chúng ta cũng có thể xem các nhóm A, B, C tƣơng ứng
với ba mức A, B, C đƣợc xếp theo thứ bậc từ thấp đến cao một cách phù hợp theo
bối cảnh.
 Mức A bao gồm việc nhớ lại các sự kiện, công thức và nhận ra các tình huống và
những tính toán quen thuộc và áp dụng những thuật toán đã cho.
 Mức B tiếp tục với sự phân loại một đối tƣợng toán học, chuyển thể một tình
huống hay một câu trả lời và khả năng thiết kế một kế hoạch hay chọn những đặc
trƣng để thực hiện một phân công học tập.
 Mức C liên quan đến suy luận, kiểm chứng, phản ví dụ, tranh luận hay chứng
minh, phát biểu những tiền giả thuyết và áp dụng, so sánh các tình huống, nhận
ra hay khám phá các dạng mẫu, xây dựng một ví dụ hay mở rộng một khái niệm.

26. 20
Bảng 2.7. Phân loại tuy duy MATH (Smith và nnk., 1996).
Mức A: Tái tạo Mức B: Liên kết Mức C: Suy luận
A1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 C3
Kiến
thức sự
kiện
Thông
hiểu
Sử dụng
quen
thuộc các
quy trình
Chuyển
đổi
thông
tin
Áp dụng
vào các
tình
huống
mới
Kiểm
chứng
và
chuyển
thể
Vận
dụng, đặt
giả thuyết
và so
sánh
Đánh
giá
b) Các sử dụng
Các kĩ năng toán học gắn liền với Nhóm C là “những gì mà chúng ta gán với một
nhà toán học đang thực hành công việc và người giải quyết vấn đề” (Pountney,
Leinbach và Etchells, 2002). Không may là sinh viên đại học còn thiếu những kĩ
năng đó, còn trong các kì thi tú tài ban khoa học tự nhiên nâng cao đề thi toán chủ
yếu dành cho những nhiệm vụ ở Nhóm A chủ yếu nhớ lại công thức để giải các bài
toán quen thuộc (Ball và nnk., 1998; Smith và nnk., 1996).
Chúng ta có thể thiết lập ma trận hai chiều gồm các phạm trù nhận thức của MATH
và các chủ đề nội dung toán học cụ thể.
Bảng 2.8. Phân loại tư duy MATH với các chủ đề toán.
Nội dung
toán cụ
thể
Phân loại tƣ duy MATH
A1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 C3
Chủ đề 1 _ _ _ _ _ _ _ _
Chủ đề 2 _ _ _ _ _ _ _ _
Chủ đề 3 _ _ _ _ _ _ _ _
Chủ đề 4 _ _ _ _ _ _ _ _

27. 21
Bảng 2.9. Phân loại tư duy MATH (Smith và nnk., 1996).
Nội dung toán cụ thể
Chủ đề 1 Chủ đề 2 Chủ đề 3 Chủ đề 4
Phân
loại tƣ
duy
MATH
A1: Kiến thức sự kiện _ _ _ _
A2: Thông hiểu _ _ _ _
A3: Sự quen thuộc của
các quy trình
_ _ _ _
B1: Chuyển đổi thông
tin
_ _ _ _
B2: Áp dụng vào tình
huống mới
_ _ _ _
C1: Kiểm chứng và
chuyển thể
_ _ _ _
C2: Vận dụng, đặt giả
thuyết và so sánh
_ _ _ _
C3: Đánh giá _ _ _ _
Bảng 2.10. Các phạm trù trong phân loại tư duy MATH, Smith và nnk. (1996).
NHÓM A
Tái tạo
Các quy trình quen thuộc
A1: Kiến thức
sự kiện
Nhớ lại thông tin, sự kiện, công thức đã học
trƣớc đây theo dạng nó đƣợc cho.
A2: Thông hiểu
Quyết định liệu các điều kiện của một định
nghĩa đơn giản thỏa mãn hay không, hiểu
đƣợc ý nghĩa của các kí hiệu trong một công
thức hay thay thế dữ liệu vào, nhận ra các ví
dụ và phản ví dụ phù hợp.
A3: Sử dụng
quen thuộc các
quy trình
Sử dụng một quy trình hay thuật toán trong
một bối cảnh tƣơng tự. Khi thể hiện đúng,
mọi ngƣời giải đúng bài toán theo cùng một
cách.

28. 22
NHÓM B
Liên kết
Sử dụng kiến thức toán đang có theo những cách mới
B1: Chuyển đổi
thông tin
Chuyển đổi thông tin từ lời nói thành số hay
ngƣợc lại, quyết định liệu các điều kiện của
một định nghia có tính khái niệm thỏa mãn
hay không, nhận ra tính khả dụng của một
công thức tổng quát cho các bối cảnh cụ thể,
tóm tắt theo các thuật ngữ không mang tính kĩ
thuật, hình thành một lập luận toán học từ một
bài toán có lời văn, giải thích các quá trình,
sắp xếp lại các thành phần đã cho của một lập
luận theo thứ tự logic của chúng.
B2: Áp dụng vào
tình huống mới
Chọn và áp dụng các phƣơng pháp hay thông
tin phù hợp vào các tình huống mới.
NHÓM C
Suy luận
Áp dụng kiến thức khái niệm để xây dựng các lập luận toán học
C1: Kiểm
chứng và
chuyển thể
Chứng minh một định ý để kiểm chứng một
kết quả, phƣơng pháp hay mô hình, tìm các
sai phạm trong lập luận, nhận ra các hạn chế
trong một mô hình, thảo luận ý nghĩa quan
trọng của câc ví dụ đã cho, nhận ra các giả
thiết chƣa đặt ra.
C2: Vận dụng,
đặt giả thuyết
và so sánh
Tìm ra một kết quả, rút ra những ứng dụng,
đặt giả thuyết và chứng minh chúng. Học sinh
có thể so sánh, kiểm chứng trong nhiều bối
cảnh toán học khác nhau.
C3: Đánh giá
Phán xét giá trị của kiến thức đối với mục
đích theo các tiêu chí xác định có thể đƣợc
cho hay cần phải chỉ rõ.

29. 23
Một ví dụ về các câu hỏi nhiều lựa chọn năm 2009 đƣợc phân loại theo MATH nhƣ sau:
Nhóm A: Tái tạo Nhóm B: Liên kết Nhóm C: Suy luận
Giá trị nhỏ nhất của
1
2 2
0
( ) ( )I a x a dx 
khi a thay đổi là:
A.
3
20
.
B.
4
45
.
C.
7
13
.
D. 1.
Điểm trên đƣờng tròn
x2
+ y2
+ 6x + 8y = 75
gần nhất với gốc tọa độ
có khoảng cách đến gốc
tọa độ là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 10.
Trên đoạn 0 x 2 ,
phƣơng trình
2 2
sin cos
2 2 2x x
 
A. Có 0 nghiệm.
B. Có 1 nghiệm.
C. Có 2 nghiệm.
D. Nghiệm đúng với
mọi giá trị của x.
Một số ngƣời đặt câu hỏi là liệu có nên cho phép những đánh giá mà cho đạt đối với
những học sinh chỉ có các kĩ năng ở Nhóm A và B. Họ đề xuất chúng ta chỉ nên
dành điểm cao cho những học sinh với những kĩ năng ở Nhóm C. Pountney,
Leinbach và Etchells (2002) đề xuất:
“Những kĩ năng ở nhóm B và C nên được giới thiệu và vận dụng thường xuyên theo
cách phát triển sâu sắc quá trình giải quyết vấn đề toán học và thực tế cho những
cá nhân học sinh ở nhóm A để tạo ra lời giải trực tiếp cho vấn đề”
Việc nâng dần các kĩ năng từ A đến B và rồi từ A và B lên C luôn đƣợc những nhà
giáo dục toán tìm kiếm những biện pháp cụ thể thực hành cho lớp học.
Mặc dù đƣợc cho là một phân loại tƣ duy có nhiều hiệu quả và đáp ứng đƣợc nhu
cầu việc cả việc dạy và học, tuy nhiên phân loại tƣ duy MATH cũng không tránh
đƣợc những hạn chế của mình. Các hạn chế chính gắn liền với MATH cũng mang
tính chất chung nhƣ hầu hết các phân loại tƣ duy khác. Đặc biệt, một số nhiệm vụ
có thể liên quan đến việc sử dụng nhiều hơn một loại kiến thúc hay hoạt động, ngay
ở cả các kĩ năng bậc cao cũng có những phần mang tính quy trình. Ví dụ, trƣớc khi
đi đến một kết luận lớn hơn, chúng ta cần phải để cho học sinh thể hiện việc sử

30. 24
dụng quen thuộc quy trình hay chứng tỏ đƣợc việc hiểu để tiếp tục tiến triển việc
làm toán. Ball và nnk. (1998) đƣa ra ví dụ sau:
Hãy mô tả và cho một ví dụ cụ thể đối với mỗi trƣờng hợp sau bằng ngôn ngữ của
chính bạn:
i. Một không gian vector;
ii. Một không gian con của một không gian vector;
iii. Một tập độc lập tuyến tính;
iv. Một cơ sở của không gian vector V.
Ở đây, khi yêu cầu sinh viên sử dụng những thuật ngữ của chính mình đòi hỏi các
em chứng tỏ sự thông hiểu về các thuật ngữ, kí hiệu, và rồi chuyển đổi các thông tin
có đƣợc để đƣa ra đƣợc giải thích của riêng mình. Phần sau của câu hỏi, yêu cầu
sinh viên tìm ra một ví dụ đòi hỏi các em dùng các giả thuyết, so sánh, thực hiện
giải quyết vấn đề.
Phân loại tƣ duy MATH đòi hỏi sự nghiên cứu và áp dụng một cách phù hợp đối
với từng điều kiện cụ thể của mỗi đất nƣớc có nền giáo dục và điều kiện riêng biệt.
Điều này đặt ra một thách thức không hề nhỏ cho các giáo nhà giáo dục toán và đội
ngũ giáo viên toán hiện nay.
2.4. Cấu trúc đánh giá hiểu toán theo phân loại nhận thức: tiếp cận đa chiều
SPUR và phân loại tƣ duy MATH
Usiskin (2012) đã cụ thể hóa chiều hiểu toán thành bốn lĩnh vực của hiểu khái niệm:
kĩ năng – thuật toán, tính chất – chứng minh, sử dụng – áp dụng, biểu diễn – sơ đồ
nhận thức. Đôi khi bốn chiều đó đƣợc viết lại gọn hơn là: kĩ năng, tính chất, sử
dụng và biểu diễn. Trong khi đó, phân bậc tƣ duy MATH sắp xếp các mức độ tƣ
duy toán từ thấp đến cao theo ba phạm trù xác định. Trong từng phạm trù và mức
độ tƣ duy cụ thể, cũng có sự tham gia của việc hiểu toán theo một cách tiếp cận đa
chiều. Chúng ta sẽ kết hợp tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tƣ duy MATH để
xây dựng cấu trúc thiết kế các đề kiểm tra nhằm đánh giá việc hiểu toán ở các mức
tƣ duy khác nhau.

31. 25
Bảng 2.11. Công cụ xem xét các yêu cầu nhận thức toán.
Hiểu
nội
dung
toán
Quá trình nhận thức toán theo MATH
A1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 C3
Kĩ năng _ _ _ _ _ _ _ _
Tính chất _ _ _ _ _ _ _ _
Sử dụng _ _ _ _ _ _ _ _
Biểu diễn _ _ _ _ _ _ _ _
Trong thực hành đánh giá, một ứng dụng của phân loại để mô tả công cụ xem xét
yêu cầu nhận thức toán của học sinh, chỉ xét sáu mức nhận thức toán gồm: A1, A2,
A3, B1, C1, C2. Phạm trù B2 áp dụng vào tình huống mới và C3 đánh giá không có
trong công cụ này. Các câu hỏi yêu cầu áp dụng sẽ đƣợc đƣa vào phạm trù A3 sử
dụng. Các câu hỏi trong chƣơng trình toán trung học hiếm khi đòi hỏi mức nhận
thức đánh giá.
Bảng 2.12. Công cụ để xem xét các yêu cầu nhận thức toán (Wong & Kaur, 2015).
Phạm trù Kĩ năng Tính chất
A1
Viết ra công thức. Nêu tên các tính chất.
A2
- Sử dụng công thức phù hợp.
- Viết một biểu thức phù hợp.
- Nhận ra các ví dụ và phản ví dụ.
- Thiết lập mệnh đề bằng cách sử
dụng các tính chất.
A3
Thực hiện các bƣớc trong một
quy trình hay thuật toán.
Thực hiện một quy trình hay thuật
toán dựa theo các tính chất.
B1
Nhận ra công thức, phƣơng
pháp nào là phù hợp cho một
bối cảnh cụ thể.
Chuyển dịch thông tin từ một khái
niệm sang một khái niêm khác.
C1
Chứng minh một định lí, công
thức hay biểu thức, phƣơng
trình dại số.
Kiểm chứng hay lí giải một kết quả
đã cho theo các tính chất.
C2 Rút ra các ứng dụng, lập giải
thuyết hay đi đến chứng minh.

32. 26
Phạm trù Sử dụng Biểu diễn
A1 Xác định một khái niệm
trong bối cảnh thực tế.
Nêu tên của dạng biểu diễn.
A2
Chuyển thể một bài toán
bằng
lời trong bối cảnh thực tế.
Rút ra những thông tin từ biểu diễn.
A3
Thực hiện một quy trình hay
thuật toán trong bối cảnh
thực tế.
- Thực hiện các phép tính theo thông
tin từ biểu diễn.
- Biểu diễn thông tin theo dạng đƣợc
yêu cầu.
B1
Áp dụng một khái niệm vào
một tình huống thực tế hay
các khái niệm khác.
- Chuyển đổi thông tin từ dạng này
sang dạng khác.
- Giải thích thông tin từ biểu diễn.
C1
Kiểm chứng hay lí giải các
kết quả đã cho trong một bối
cảnh thực tế.
Kiểm chứng việc sử dụng một dạng
biểu diễn.
C2
Rút ra ứng dụng hay lập giả
thuyết cho một tình huống
thực tế.
Rút ra ứng dụng từ các biểu diễn.
Các phân loại tƣ duy đƣợc tạo ra nhằm làm khung lí thuyết để xây dựng, thiết kế
các bài dạy học, bài kiểm tra, đánh giá phù hợp nhất. Điều quan trọng là làm thế nào
để chuyển các mô tả theo nội dung toán cụ thể vào trong phân loại tƣ duy. Phân loại
tƣ duy MATH và tiếp cận đa chiều SPUR chỉ là một trong các công cụ nhỏ đang
đƣợc nghiên cứu phát triển và mang lại những kết quả hữu ích thực sự, đáp ứng
đƣợc mục tiêu cơ bản của giáo dục toán là việc sử dụng toán học nhằm giải quyết
các vấn đề nảy sinh trong thực tế cuộc sống. Đây là một trong thách thức không nhỏ
dành cho đội ngũ giáo viên nói riêng và các nhà giáo dục toán nói chung phải luôn
tìm tòi, nghiên cứu để tạo ra đƣợc một khung chƣơng trình dạy học, các bài kiểm
tra, đánh giá chất lƣợng học sinh một cách phù hợp và đáp ứng với nhu cầu của xã
hội đặt ra.

33. 27
 Mối quan hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm với phân loại tư
duy MATH.
Kiến thức toán học bao gồm cả KTQT và KTKN, do đó việc tìm hiểu mối quan hệ
giữa hai dạng kiến thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu sự hình
thành và phát triển kiến thức về các khái niệm toán học của học sinh. Có nhiều quan
điểm về mối quan hệ giữa KTQT và KTKN.
 Quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần nhƣng chƣa đủ cho KTKN.
Quy trình theo quan điểm này nhƣ là một phần cơ bản của sự phát triển khái
niệm. Các giai đoạn phát triển KTQT xảy ra trƣớc KTKN chỉ ra một hƣớng quan
hệ nhân quả giữa chúng.
 Quan điểm tương tác động cho rằng KTKN là điều kiện cần nhƣng chƣa đủ cho
KTQT. Quan điểm này cho rằng, KTKN là cần thiết nhƣng không đủ điều kiện
để hiểu biết KTQT.
 Quan điểm đồng hoạt hóa ủng hộ việc xem KTQT là điều kiện cần và đủ cho
KTKN. Quan điểm này nói lên rằng, sự thiếu hiểu biết về KTKN tạo nên sự thiếu
hiểu biết về KTQT, sự phát triển KTQT và KTKN đƣợc xem là đồng thời, khi
làm việc với KTQT, KTKN đƣợc sử dụng và tiếp tục phát triển.
 Quan điểm bất hoạt hóa lại cho rằng KTQT và KTKN không liên quan với nhau.
Các lập luận ủng hộ quan điểm này cho rằng học sinh có thể có một mức độ cao
về KTKN nhƣng lại thiếu các kỹ năng về KTQT, hay học sinh có thể đạt mức độ
cao trong KTQT nhƣng rất hạn chế trong KTKN.
Mỗi quan điểm đều đƣa ra đƣợc lập luận và các phân tích có cơ sở để chứng minh
đƣợc phát biểu của mình. Phân loại tƣ duy MATH cũng đã khẳng định hai quá trình
trên là cơ bản trong quá trình học và chúng có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.
Nhƣng khác với quan các điểm trên, phân loại MATH đƣa ra ba nhóm phạm trù A
(Tái tạo); B (Liên kết) và C (Suy luận), mỗi phạm trù lại đƣợc chia ra thành các mức
khác nhau theo từng dạng đƣợc xếp theo thứ bậc từ thấp đến cao. MATH không giải
thích và chứng minh mối quan hệ thực sự của hai quá trình nhƣng lại dựa trên cơ sở
của chúng để đƣa ra các thang mức phân loại của mình.

34. 28
Bảng 2.13. Mối quan hệ giữa KTQT – KTKN với phân loại tư duy MATH.
Phân loại tƣ duy
MATH
Kiến thức quy
trình
Kiến thức khái niệm
Phạm trù A Phạm trù B Phạm trù C
3. Áp dụng vào thực hành đánh giá
Chúng tôi sẽ sử dụng cấu trúc đánh giá hiểu toán theo các mức phân loại nhận thức,
đó là sẽ kết hợp giữa tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tƣ duy MATH để thiết
kế một bài kiểm tra về chủ đề “hàm số” nhằm đánh giá học sinh về mức độ hiểu về
khái niệm này ở các thang mức tƣ duy khác nhau.
Hình 2.13. Các thang mức độ nhận thức theo SPUR – MATH.
Số lƣợng câu hỏi trong đề kiểm tra là 9 câu. Các câu hỏi đều thuộc chủ đề “hàm số”
nhƣng theo nhiều mảng khác nhau nhƣ định nghĩa, tính chất, thuật toán, ứng
dụng… và đƣợc xếp theo công cụ xem xét các yêu cầu nhận thức toán. Không giống
nhƣ các bài kiểm tra đánh giá truyền thống, bài kiểm tra này nhằm đánh giá học
sinh nhìn nhận khái niệm hàm số và ứng dụng nó trong một số tình huống là nhƣ
thế nào. Mỗi câu hỏi là một mảng riêng biệt đòi hỏi học sinh phải vận dụng tối đa

35. 29
các kiến thức đã đƣợc học và cách hiểu, nhận thức của mình về khái niệm để tiến
hành giải toán. Đặc biệt, một số câu hỏi hƣớng đến các vấn đề thực tế trong cuộc
sống để làm tăng mức độ sinh động cho bài kiểm tra. Việc giải quyết các bài toán
tùy thuộc vào mức độ tƣ duy và năng lực của mỗi học sinh nên số lƣợng câu trả lời
không giới hạn và không quá phụ thuộc vào đáp án có sẵn trƣớc. Đây là một trong
những điều bài kiểm tra hƣớng đến là tạo ra không gian làm việc độc lập và năng
động cho mỗi cá nhân học sinh
4. Tiểu kết chƣơng 2
Trong chƣơng này, chúng tôi đã giới thiệu các quan điểm về việc hiểu, quan điểm
về tiếp cận đa chiều theo SPUR và MATH và ứng dụng trong đánh giá, từ đó xác
định hƣớng nghiên cứu cho luận văn. Nền tảng lí thuyết trong chƣơng này sẽ làm cơ
sở cho việc thiết kế nghiên cứu đƣợc trình bày trong chƣơng 3.

36. 30
Chƣơng 3
THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
1. Thiết kế nghiên cứu
Để xem xét kiến thức của học sinh THPT về khái niệm hàm số, trong luận văn này
chúng tôi tập trung vào nghiên cứu các kiến thức về khái niệm, thuật toán tính toán,
các bài toán về đồ thị của hàm số, kĩ năng sử dụng toán học để giải quyết vấn đề…
về kiến thức hàm số. Một mặt, chúng tôi muốn khảo sát xem mức độ hiểu về khái
niệm hàm số của học sinh THPT mà cụ thể là khối 12 là nhƣ thế nào. Mặt khác,
chúng tôi muốn xem thử ngoài các hình thức đánh giá truyền thống mà các em lâu
nay đã đƣợc kiểm tra thì với một số bài toán ứng dụng thực tế và mẫu đánh giá với
phƣơng pháp đƣa nhiều loại bài tập theo các hƣớng khác nhau thì các em sẽ thực
hiện nhƣ thế nào? Phiếu thực nghiệm bao gồm 9 câu hỏi, trong đó bao gồm các câu
hỏi về kiến thức, nội dung đã đƣợc học cũng nhƣ kĩ năng giải các bài toán thuần túy
và bài toán vận dụng vào thực tế liên quan đến khái niệm hàm số.
Đối tƣợng tham gia vào nghiên cứu này là học sinh khối 12 THPT. Chúng tôi tiến
hành khảo sát ngẫu nhiên một lớp 12 với sự tham gia của 37N  học sinh trƣờng
THPT Phan Đăng Lƣu, tỉnh Thừa Thiên Huế.
2. Công cụ nghiên cứu
Công cụ của nghiên cứu này gồm phiếu khảo sát. Nội dung của phiếu khảo sát đƣợc
trình bày cụ thể ở phần phụ lục. Phần phân tích tiên nghiệm các bài toán đƣợc trình
bày ở phần sau để làm rõ ý định của tác giả luận văn về lựa chọn các bài toán cũng
nhƣ kiến thức dự định mà học sinh sẽ dùng để giải quyết những bài toán này.
3. Phân tích các không gian lời giải
Trong phần này, chúng tôi trình bày phân tích các câu trả lời có thể xảy ra của bài
toán đƣa ra trong phiếu khảo sát. Mục đích của phân tích tiên nghiệm là làm rõ các
mục tiêu của từng bài toán đƣa ra, dự kiến các phƣơng án trả lời của học sinh,
những sai lầm mà học sinh có thể gặp phải trong quá trình trả lời phiếu khảo sát.

37. 31
Phiếu khảo sát đƣợc đƣa ra với 9 câu hỏi khác nhau, mỗi câu hỏi đƣợc xếp vào
từng mức độ theo ma trận đề theo SPUR-MATH nhƣ sau:
Phạm trù Kĩ năng Tính chất
A1 Câu 1
A2 Câu 6
A3 Câu 3
B1 Câu 4
C1
C2
Phạm trù Sử dụng Biểu diễn
A1
A2 Câu 2
A3 Câu 5
B1 Câu 8
C1 Câu 7
C2 Câu 9
Mỗi câu hỏi đƣợc đƣa ra với các cách giải quyết hoàn toàn khác nhau. Trong 9 câu
hỏi thì 6 câu đầu tiên là những bài toán các em đã đƣợc học và tiếp cận ở chƣơng
trình học, độ khó của các câu hỏi đƣợc sắp xếp tăng dần và theo từng khối lớp. Ba
câu hỏi cuối lại tạo ra một sự mới mẻ để các em tìm tòi cách giải quyết một cách
phù hợp với chủ đề ứng dụng toán học vào thực tế. Ba bài toán gắn với ba tình
huống cụ thể và gần gũi với học sinh. Mỗi học sinh giải quyết bài toán theo năng
lực của cá nhân với cách giải quyết không bó buộc trong phạm vi một câu trả lời
nhƣ các bài toán truyền thống trƣớc đây.
Cả 9 câu hỏi đƣợc đƣa ra nằm trong nhiều lình vực khác nhau nhƣ đại số, giải tích,
hình học… để tạo ra sự khách quan khi đánh giá. Không có câu hỏi nào thuộc dạng
đúng sai, các câu hỏi dự đoán đáp án đều kèm theo lời giải thích cụ thể cho kết quả
mà các em đƣa ra. Điều này tạo ra không gian làm việc hiệu quả và năng động trong

38. 32
lớp học hơn là một bài kiểm tra chỉ gói gọn trọng một phạm vi đại số hay hình học,
hay hoàn toàn trắc nghiệm.
Câu 1: Nêu định nghĩa thế nào là hàm số ( )y f x theo cách hiểu của em?
Bải tập này đƣợc thiết kế để đánh giá mức độ ghi nhớ của học sinh THPT về khái
niệm của hàm số. Khái niệm về hàm số các em đã đƣợc học ở lớp 7 khối THCS, lớp
10 và lớp 12 khối THPT. Hơn nữa hàm số là khái niệm khá căn bản trong toán học
và học sinh đƣợc tiếp xúc thƣờng xuyên nên câu trả lời câu hỏi này có lẽ không quá
khó khăn đối với học sinh.
Dự đoán câu trả lời của học sinh: Giả sử có hai đại lƣợng biến thiên x và y, trong đó
x nhận giá trị thuộc tập số D. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ
một giá trị tƣơng ứng của y thuộc tập số thực thì ta có một hàm số. Ký hiệu:
( )y f x .
Sai lầm có thể gặp phải khi trả lời câu hỏi này có lẽ là học sinh chỉ ghi nhớ chủ yếu
tính chất đặc trƣng của hàm số là một x cho một và chỉ một giá trị y và quên đi tập
xác định D và tập giá trị. Một số học sinh có thể sẽ không nhớ định nghĩa hàm số vì
nó chỉ đƣợc dạy và chủ đạo ứng dụng vào các bài toán nên mức độ nhớ sẽ giảm dần
theo thời gian.
Câu 2: Trong các hình vẽ sau, có bao nhiêu hình vẽ có thể là đồ thị của một hàm
số? Hãy giải thích câu trả lời của bạn?
Hình 1 Hình 2

39. 33
Hình 3 Hình 4
Bài toán này đƣợc thiết kế để đánh giá việc hiểu định nghĩa khái niệm hàm số của
học sinh là nhƣ thế nào. Khái niệm hàm số là một phần kiến thức quan trọng trong
toán học. Việc học định nghĩa khá trừu tƣợng trong SGK hiện hành có thể làm cho
học sinh cảm giác lúng túng, khó khăn, không hiểu rõ đƣợc bản chất vấn đề. Một số
học sinh có thể học thuộc lòng định nghĩa nhƣng việc giải quyết một bài toán đơn
giản này lại gặp những cản trở nhất định.
Câu trả lời mong muốn nhận đƣợc: chỉ có hình 2 và hình 3 là đồ thị của hàm số, còn
hình 1 và hình 4 thì không phải. Hình 2 và hình 3 là ĐTHS do bất kì một đƣờng
thẳng ox x cũng cắt đồ thị không quá một điểm. Đặc biệt hình 3 chính là ĐTHS
của hàm bậc hai trên bậc nhất
2
ax bx c
y
dx e
 


mà học sinh đã đƣợc học ở chƣơng
trình 12 THPT.
Một số sai lầm dự đoán học sinh mắc phải:
 Hình 1: đƣờng tròn đã đƣợc học ở hình giải tích lớp 10, học sinh đa số nghĩ nó là
đồ thị của một hàm số với dạng: 2 2 2
( ) ( )x a y b R    nhƣng thực chất không
phải vì tồn tại một đƣờng thẳng ox x sẽ cắt đƣờng tròn tại 2 điểm phân biệt,
không thỏa mãn định nghĩa của hàm số.
 Hình 2,3,4: học sinh nhận thấy rõ ràng các đƣờng trên bị cách quãng, không liên
tục nên vội vàng kết luận không phải là đồ thị của một hàm số. Nhƣng thực chất
theo định nghĩa thì có hình 2 và hình 3 là đồ thị của một hàm số. Hai hình còn lại

40. 34
không phải vì cũng tồn tại một số đƣờng thẳng ox x sẽ cắt đồ thị tại 2 điểm.
Nếu học sinh dự đoán không phải cũng có thể xảy ra trƣờng hợp may mắn.
Câu 3: Cho biết ( )f x là một hàm số bậc hai. Hãy viết biểu thức của ( )f x biết
(1) 0f  , (0) 1f  và ( 1) 4f   ?
Đây là một bài toán gần nhƣ là đơn giản nhất đƣợc đƣa ra để kiểm tra khả năng áp
dụng các thuật toán căn bản của học sinh. Với bài toán căn bản này, các em học sinh
sẽ cảm thấy quen thuộc và xử lí một cách đơn giản. Học sinh đã đƣợc trải nghiệm
dạng toán cơ bản này từ bậc THCS và đầu bậc THPT là lớp 10. Câu trả lời mong
muốn học sinh đạt đƣợc:
Giả sử hàm số bậc hai cần tìm là: 2
( )y f x ax bx c    (a khác 0).
Từ giả thiết ta có đƣợc hệ phƣơng trình:
0
1
4
a b c
c
a b c
  


   

41. 35
Giải hệ phƣơng trình ta tìm đƣợc:
1
2
1
a
b
c


 
 
Vậy hàm số cần tìm là: 2
( ) 2 1y f x x x    .
Điểm lƣu ý ở bài toán này là có thể xảy ra sự bất cẩn của học sinh khi các em không
phân biệt thế nào là phƣơng trình, thế nào là hàm số. Có thể sẽ xảy ra trƣờng hợp
các em gọi hàm số bậc hai có dạng 2
0ax bx c   (a khác 0) và kết luận đáp án là
2
2 1 0x x   . Một số em có thể sẽ thiếu điều kiện hệ số a khác 0 để thỏa mãn một
hàm số bậc hai. Đây là một số sai lầm khá cơ bản học sinh sẽ mắc phải nếu giáo
viên không làm rõ và chú ý trong quá trình dạy của mình.
Câu 4: Hàm số ( )f x có đồ thị nhƣ hình vẽ, hãy xác định:
a) (0)f , (1)f và ( 1)f  ?
b) Số nghiệm của phƣơng trình ( ) 1 0f x   ?
Bài toán đƣợc đƣa ra nhắm đánh giá khả năng dựa vào đồ thị của hàm số của học
sinh để giải quyết vấn đề đƣợc đƣa ra.
 Câu a): Yêu cầu đặt ra là muốn học sinh biết cách xác định tọa độ của một điểm
bất kì thuộc đồ thị hàm số. Cụ thể là cho biết hoành độ của một điểm từ đó suy ra
đƣợc tung độ của điểm đó. Câu trả lời khá đơn giản: (0) 1, (1) ( 1) 2f f f      .
Học sinh không giải quyết đƣợc bài toán này nếu không hiểu đƣợc cách xác định
tọa độ của một điểm bất kì thuộc đồ thị của hàm số. Hơn nữa tại 1x   thì hai giá
trị 1 và -1 không xuất hiện trên đồ thị, đòi hỏi học sinh phải hiểu đƣợc từ đồ thị

42. 36
suy ra cách chia tỉ lệ rồi suy ra đƣợc kết quả. Đây là một trở ngại mà bài toán
muốn đặt ra cho học sinh.
 Câu b): Bài toán này là một kiến thức khá căn bản về sự tƣơng giao của hai đồ
thị. Cho phƣơng trình ( ) ( )f x g x , số nghiệm phƣơng trình là số giao điểm của
hai đồ thị hàm số ( )y f x và ( )y g x . Từ đây cách giải quyết của bài toán trở
nên khá đơn giản. Câu trả lời mà học sinh cần đạt đƣợc:
( ) 1 0 ( ) 1f x f x     . Số nghiệm phƣơng trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x và đƣờng thẳng 1y   .
Khó khăn lớn nhất của câu hỏi này chính là ở chỗ một số học sinh không hiểu đƣợc
các kiến thức về sự tƣơng giao của hai đồ thị hàm số, các em cứ ngỡ xét số nghiệm
phƣơng trình là phải giải cụ thể ra nghiệm của phƣơng trình đó rồi kết luận, nhƣng
( )f x không có phƣơng trình cụ thể. Một số em có thể vẫn theo hƣớng giải quyết này
cố tìm ra cho đƣợc hàm số cụ thể dựa vào đồ thị rồi thay vào phƣơng trình để giải.
Nhƣng đó không phải là yêu cầu chủ đạo của bài toán này.
Câu 5: Cho hàm số ( )f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hãy vẽ các đồ thị của hàm số ( )f x
và ( )f x ?

43. 37
Bài toán đƣợc đặt ra với mục đích yêu cầu học sinh hiểu đƣợc các tính chất và vẽ
đƣợc đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối từ đồ thị hàm số ban đầu. Đây là kiến
thức đã đƣợc học ở bậc THCS, và bắt đầu lớp 10 khối THPT đƣợc mở rộng hơn với
các kiến thức về hàm chẵn, hàm lẻ và các tính chất đối xứng qua trục Ox và Oy,
cách vẽ các hàm này ra sao. Câu trả lời của bài toán này nhƣ sau:
Dựa vào các tính chất đã đƣợc học của đồ thị hàm số, đồ thị của hàm số ( )f x là
đƣờng màu xanh lục và đồ thị của hàm số ( )f x là đƣờng màu hồng.
Đầu tiên để vẽ đƣợc hàm số ( )f x thì cần phải nhắc lại tính chất sau:
( ), 0
( )
( ), 0
f x x
f x
f x x

 
 
Cách vẽ:
 Bƣớc 1: Giữ nguyên ĐTHS ( )f x với 0x  . (I)
 Bƣớc 2: Lấy đối xứng của (I) qua trục Oy.
 Kết luận: ĐTHS ( )f x là (I)  (II).
Đồ thị của hàm số ( )f x vẽ đƣợc khi ta đã vẽ đƣợc đồ thị hàm số ( )f x .
( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
f x f x
f x
f x f x
 
 
 

44. 38
Cách vẽ:
 Bƣớc 1: Giữ nguyễn ĐTHS ( )f x với ( )f x  0. (I)
 Bƣớc 2: Lấy đối xứng phần còn lại của ĐTHS ( )f x qua trục Ox. (II)
 Kết luận: ĐTHS ( )f x là (I)  (II).
Câu 6: Cho hàm số 3 2
( ) 4 5 1f x x x x    .
a) Tìm x sao cho hàm số đạt giá trị cực đại?
b) Xác định tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số?
Một bài toán khá căn bản đƣợc đặt ra. Đạo hàm là kiến thức trọng tâm trong chƣơng
trình toán bậc THPT và quy trình giải quyết các bài toán này đƣợc nêu rõ trong
SGK lớp 12 hiện hành. Câu trả lời mà học sinh cần đạt đƣợc:
a) Tập xác định: D  .
2
'( ) 3 8 5.f x x x  
5
'( ) 0 1
3
f x x x

     
Bảng biến thiên:
x -
5
3

-1 +
f‟(x) + 0 - 0 +
f(x)
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị cực đại tại
5
3
x

 .
Ngoài ra học sinh có thể giải quyết theo hƣớng sử dụng đạo hàm cấp 2 nhƣ sau:

45. 39
Tập xác định: D  .
2
'( ) 3 8 5.f x x x  
5
'( ) 0 1
3
f x x x

     
"( ) 6 8f x x  .
"( 1) 2 0f    nên hàm số đạt giá trị cực tiểu tại 1x   .
5
" 2 0
3
f
 
   
 
nên hàm số đạt giá trị cực đại tại
5
3
x

 .
b) ''( ) 6 8,f x x 
4 79
''( ) 0 .
3 27
f x x y
 
    
Vậy tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số là:
4 79
,
3 27
  
 
 
.
Để giải quyết bài toán này, yêu cầu căn bản là học sinh cần nắm đƣợc các bƣớc căn
bản trong cách tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số. Đặc biệt đối với bài
toán tìm điểm cực trị, các em cần xét dấu đạo hàm cấp một thật cẩn thận để tránh
kết luận sai lầm, còn đối với cách sử dụng đạo hàm cấp hai thì các em cần nhớ đƣợc
định lí trong SGK hiện hành. Đối với bài toán tìm điểm cực trị, các em cần nhận ra
đƣợc khi cho một hàm bất kì thì nên sử dụng phƣơng pháp sử dụng bảng biến thiên
hay sử dụng đạo hàm cấp hai thì xử lí bài toán một cách dễ dàng và nhanh hơn.
Câu 7: Đồ thị chỉ số liệu của ba lọ nƣớc khác nhau A, B, C nhƣ hình vẽ:
Chiều cao (cm)
Lƣợng nƣớc (cốc)

46. 40
a) Lọ nào cao nhất? Tại sao?
b) Lọ nào chứa nhiều nƣớc nhất? Tại sao?
c) Lọ nào phình rộng nhất? Tại sao?
Một bài toán thực tế khá thú vị đƣợc đặt ra dành cho học sinh giải quyết. Hầu nhƣ
dạng toán này các em chƣa bao giờ đƣợc tiếp xúc trong các kiểm tra toán truyền
thống trƣớc kia. Bài toán thực chất chỉ là cho đồ thị của 3 hàm số nhƣng đƣợc triển
khai dƣới dạng ngôn từ thực tế để tăng độ thú vị và độ phức tạp cho bài toán.
Câu a và câu b là cơ sở để trả lời đƣợc câu c. Đáp án câu a và b chỉ đơn giản là dựa
vào đồ thị xem đồ thị nào có giá trị chiều cao (cm) và giá trị lƣợng nƣớc (cốc) để
chọn đáp án. Và đơn giản, lọ cao nhất là lọ C và lọ chứa nhiều nƣớc nhất là lọ B.
Đối với câu c, học sinh phải có lập luận của bản thân mình để đƣa ra đƣợc đáp án
chính xác. Do lọ B có chứa nƣớc nhiều nhất nhƣng lại có nhiều cao thấp nhất trong
3 bình nên nó sẽ phình rộng nhất.
Bài toán này làm cho học sinh cảm thấy thú vị và tăng hứng thú học toán, toán
không chỉ thông qua các con số, các phƣơng trình… mà chỉ cần qua một hình vẽ có
thể giải quyết và trả lời đƣợc các câu hỏi tƣởng nhƣ rất đơn giản trong cuộc sống
hàng ngày mà cần phải sử dụng lập luận toán.
Câu 8: Một sợi dây kim loại dài 100 (cm) đƣợc cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất
đƣợc uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai đƣợc uốn thành hình vuông (hình bên).
Hỏi phải chia đoạn dây kim loại nhƣ thế nào để tổng diện tích hai hình là bé nhất?
Đây là một bài toán thực tế nhƣng mức độ khó đã đƣợc tăng lên khá nhiều và khối
lƣợng kiến thức khá rộng. Học sinh để xử lí đƣợc bài toán này phải thuộc các công
thức về diện tích tam giác đều, hình vuông, cách giải quyết bài toán hàm số bằng
công cụ đạo hàm… Một thách thức không nhỏ dành cho học sinh đối với bài toán
này. Câu trả lời mong muốn học sinh thực hiện đƣợc:

47. 41
Gọi x (cm) là độ dài cạnh tam giác đều (0 100x  ). Gọi S và S’ lần lƣợt là diện
tích tam giác đều và hình vuông. Ta có: 2 3
.
4
S x và
2
(100 3 )
'
16
x
S

 (cm2
).
Tổng diện tích nhỏ nhất khi: 2 3
.
4
x +
2
(100 3 )
16
x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số:
2
2 3 (100 3 )
( ) .
4 16
x
y f x x

   (0 100x  ).
Bài toán trở về khá đơn giản vì đây là hàm số bậc hai với hệ số 0a  . Hàm số đạt
giá trị nhỏ nhất tại vị trí đỉnh của đồ thị (Parabol).
Ta có,
2
2 23 (100 3 ) 4 3 9 75
( ) . 625
4 16 16 2
x
f x x x x
  
      
 
.
Hoành độ đỉnh của Parabol:
75
2
18.83
2 4 3 9
2.
16
b
x
a
 
    
 
 
 
.
Ngoài cách sử dụng tìm ra tọa độ đỉnh của Parabol, học sinh có thể sử dụng công cụ
khảo sát hàm số ( )f x để tìm x.
Đối với một bài toán nhƣ thế này, nhiều học sinh có thể sẽ gặp trở ngại rất lớn vì
các em không hiểu sẽ xử lí và giải quyết nó nhƣ thế nào, thậm chí có thể còn không
hiểu đƣợc ý nghĩa của bài toán là sẽ sử dụng các kiến thức nào để giải quyết. Đây là
một vấn đề thƣờng gặp ở học sinh THPT hiện nay khi đa số các bài kiểm tra truyền
thống không hoặc ít đề cập đến các bài toán thực tế nhƣ vậy.
Câu 9: Ngƣời ta muốn xây dựng một con đƣờng giữa
hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách
bởi một con sông. Ngƣời ta cần xây một cây cầu bắc
qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành
phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 (km), thành phố
B cách bờ sông một khoảng bằng 4 (km), khoảng cách
1 km
4 km
10 km
Sông
D
C
N
A
B
M

48. 42
giữa hai đƣờng thẳng đi qua A, B và vuông góc với bờ sông là 10 (km) ( hình vẽ).
Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quảng đƣờng đi từ thành phố A đến thành phố B
là nhỏ nhất?
Bài toán này có mục tiêu giống nhƣ bài toán trên nhƣng mức độ khó đã đƣợc tăng
thêm. Yêu cầu bài giải nhƣ sau:
Đặt CM x (với 0 10x  ) thì 10DN x  .
Khi đó AM = 2
1x  và BN = 2 2
(10 ) 16 20 116x x x     .
 Tổng quảng đƣờng đi từ thành phố A đến thành phố B là : AM + MN + BN
Do MN không đổi nên tổng quảng đƣờng nhỏ nhất khi và chỉ khi:
AM + BN = 2 2
1 20 116x x x    nhỏ nhất.
 Xét hàm số   2 2
1 20 116f x x x x     với 0 10x  .
 Ta có:   2 2
10
1 2 116
x x
f x
x x x

  
  
   2 2
0 2 116 10 1f x x x x x x       
    2 2 2 2
20 116 20 100 1x x x x x x      
2 2 2
16 20 100 15 20 100 0x x x x x       
10
; 2
3
x x    ; Do 0 10x  nên ta chọn 2x  .
 Ta có      0 11; 2 5 5; 10 2 101f f f    nên
 
 0;10
min 5 5 2f x x   .
 Vậy CM = 2 km.
4. Tiểu kết chƣơng 3
Trong chƣơng này chúng tôi đã trình bày thiết kế nghiên cứu, đối tƣợng tham gia,
công cụ nghiên cứu, cách thu thập và phân tích dữ liệu của nghiên cứu này. Chúng
tôi sẽ phân tích các câu trả lời dự kiến dựa trên năng lực học toán và kiến thức vốn
có của học sinh. Những phân tích sẽ làm cơ sở để so sánh, đối chiếu với kết quả bài
làm thực tế của học sinh.

49. 43
Chƣơng 4
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Định hƣớng phân tích kết quả nghiên cứu
Thu thập dữ liệu khảo sát đƣợc thực hiện vào tháng 4/2018, đối tƣợng tham gia bao
gồm 37N  học sinh lớp 12B11, trƣờng THPT Phan Đăng Lƣu, tỉnh Thửa Thiên
Huế. Bài khảo sát nhằm mục đích đánh giá và tìm hiểu năng lực của học sinh về
kiến thức “hàm số”. Lớp 12B11 là một lớp có chất lƣợng thuộc tốp đầu ở trƣờng
THPT Phan Đăng Lƣu, có nhiều học sinh đạt giải trong kì thi HSG cấp tỉnh. Trong
bài khảo sát này, chúng tôi chủ yếu sử dụng phƣơng pháp định tính và tập trung vào
phân tích các bài làm của học sinh, từ đó so sánh, đối chiếu và đƣa ra các nhận xét
một cách chính xác nhất.
2. Phân tích
Với cách thiết kế phiếu khảo sát theo ma trận đề SPUR-MATH tạo ra một bài đánh
giá toàn diện, cụ thể hơn trong chủ đề hàm số. Các kiến thức về khái niệm hàm số
đều đƣợc đƣa ra với nhiều cách khác nhau nhƣ dạng câu hỏi có sẵn yêu cầu hoặc
vận dụng hàm số vào trong giải quyết bài toán. Bài kiểm tra có sự cân bằng giữa hai
quá trình cơ bản của việc học toán là thành thạo quy trình và hiểu khái niệm chứ
không nghiêng hoàn toàn về một mảng cụ thể nào. Hơn nữa, ngoài kiến thức hàm số
là trọng tâm, các kiến thức liên quan khác mà học sinh đã đƣợc học cũng đƣợc thiết
kế một cách phù hợp nhằm hƣớng đến việc học sinh phải sử dụng kiến thức đó vào
giải toán. Điều này giúp giáo viên ngoài việc đánh giá đƣợc nội dung chủ đạo là
hàm số còn có thể kiểm tra việc lĩnh hội các kiến thức toán khác của học sinh là nhƣ
thế nào? Ngoài ra, mục đích của việc thiết kế này còn giúp học sinh có đƣợc một
tiết kiểm tra 45 phút với chiều hƣớng tƣ duy độc lập theo cá nhân, không phụ thuộc
nhiều vào các học sinh học tốt trong lớp. Mỗi em có năng lực toán riêng của bản
thân nên sẽ thực hiện giải quyết các bài toán và đƣợc đánh giá theo chính bài làm
của các em.
Sau đây là kết quả cụ thể thu đƣợc:

50. 44
Bảng 4. Kết quả câu trả lời của học sinh trong bài khảo sát.
Câu hỏi
Kiểu câu trả lời (tỉ lệ %)
Đúng Sai Không trả lời
Câu 1 0.00 83.78 16.22
Câu 2 0.00 81.08 18.92
Câu 3 89.19 8.11 2.70
Câu 4 64.87 32.43 2.70
Câu 5 48.65 51.35 0.00
Câu 6 83.78 16.22 0.00
Câu7 29.73 64.86 5.41
Câu 8 10.81 32.43 56.76
Câu 9 10.81 5.41 83.78
Kết quả cụ thể đã phản ánh chính xác hơn về quá trình học tập của học sinh trong
lớp khảo sát. Với 9 câu hỏi chủ yếu chia thành ba dạng cơ bản: khái niệm, thuật
toán và bài toán thực tế thì các em chủ yếu thực hiện khá tốt các câu hỏi về tính
thuật toán có sẵn, các bài toán về khái niệm là gây rất nhiều khó khăn cho học sinh
vì các em hầu nhƣ không còn nhớ đƣợc khái niệm hàm số. Đặc biệt với 3 bài toán
thực tế đƣợc các em khá thích thú giải quyết vì sự mới lạ và hấp dẫn của chúng
nhƣng số học sinh tìm ra đƣợc đáp án đúng lại không có nhiều. Trong quá trình thực
hiện bài kiểm tra không có tình trạng học sinh không thực hiện đƣợc một câu nào,
các em tiến hành giải quyết các câu hỏi phù hợp với mình trƣớc, các câu còn lại
thực hiện sau hoặc không đủ thời gian nghiên cứu. Một bài đánh giá nhƣ vậy sẽ tạo
ra một sự tích cực hơn trong việc dạy và học toán, nếu một học sinh không làm
đƣợc một câu hỏi nào trong đề kiểm tra nào sẽ tạo ra áp lực và ý nghĩ tiêu cực cho
cả giáo viên và học sinh đó. Ma trận đề kiểm tra SPUR-MATH hƣớng đến một sự
tích cực trong đánh giá, không để xuất hiện tình trạng học sinh không làm đƣợc bài
kiểm tra dù ở mức độ khó nhƣ thế nào.
Cách thiết kế các câu hỏi theo các mảng theo ma trận SPUR-MATH giúp giáo viên
có thể xem xét một học sinh một cách khá toàn diện, tìm ra đƣợc điểm đạt và chƣa
đạt của học sinh để có những tác động giúp em dó hoàn thiện hơn trong việc học

51. 45
toán. Hơn cả, với bài đánh giá theo tiếp cận đa chiều sẽ tránh đƣợc việc lặp lại các
câu hỏi mà học sinh đƣợc gặp trong mỗi lớp nhƣ bài kiểm tra truyền thống. Học
toán không phải là học đƣợc nội dung rồi áp dụng các thủ thuật đƣợc cung cấp để
giải các dạng toán từ năm này sang năm khác, mà học toán là để ứng dụng vào thực
tế nhƣ mục đích mà bất kì một môn học nào muốn mang lại. Việc đƣợc đánh giá cả
hai mảng là thành thạo quy trình và hiểu khái niệm còn giúp cho học sinh nắm rõ và
ghi nhớ đƣợc các khái niệm toán học quan trọng và có thể tự bản thân mình tìm ra
các ứng dụng của chúng trong cuộc sống hàng ngày.
Dƣới đây là một số cách thực hiện các câu hỏi của học sinh với các cách giải quyết
khác nhau, một hiệu quả tích cực mà cách đánh giá tiếp cận đa chiều mang lại.
3. Phân tích câu trả lời thực sự của học sinh
Câu 1: Khái niệm “hàm số” là khái niệm cơ bản, học sinh đã đƣợc học từ cấp 2, tuy
nhiên thật bất ngờ khi lại không có học sinh nào làm đúng toàn vẹn. Câu trả lời
chiếm đa số là: “ Là một phép đặt sao cho một x cho một y”. Kết quả thu đƣợc phản
ánh rõ những nội dung lí thuyết dƣờng nhƣ học sinh chỉ nắm đƣợc một phần ý
nghĩa chứ nội dung thì bị lãng quên theo thời gian và năng lực mỗi ngƣời.
Đây là câu trả lời đa số của học sinh. Các em dƣờng nhƣ chỉ nắm đƣợc bản chất cơ
bản trong định nghĩa hàm số là ứng với mỗi giá trị x sẽ thu đƣợc một giá trị y.
Một câu trả lời khác của học sinh cho rằng hàm số là một tập hợp các điểm nằm trên
một quỹ đạo xác định. Vậy quỹ đạo ở đây là gì, hay chỉ là suy nghĩ đơn giản của các
em? Dƣờng nhƣ các em không nắm chắc về tập xác định và tập giá trị của hàm số.

52. 46
Một câu trả lời khác đƣợc đƣa ra, học sinh đƣa ra một vài ví dụ cụ thể về hàm số.
Tuy nhiên ở đây các em đã sai lầm khi không phân biệt đƣợc thế nào là hàm số và
thế nào là đồ thị của hàm số. Hơn nữa, đƣờng tròn và elip không phải là đồ thị của
một hàm số.
Một câu hỏi hết sức đơn giản tƣởng chừng học sinh sẽ trả lời đƣợc, tuy nhiên không
có em nào trả lời thành công. Đa số chỉ dừng lại ở mức nhớ trọng tâm của định
nghĩa, một số em còn mắc phải các sai lầm căn bản hay đƣa ra các ý tƣởng sai lệch
theo quan điểm riêng của bản thân. Điều này đặt ra một vấn đề đáng để đội ngũ giáo
viên suy nghĩ.
Câu 2: Từ việc trả lời không đúng câu hỏi đầu tiên, kéo theo việc xử lí câu hỏi này
trở nên vô cùng khó khăn đối với học sinh. Bằng chứng là không có một học sinh
nào trả lời đúng câu hỏi đƣợc đặt ra. Một số học sinh chỉ đƣa ra đƣợc số câu trả lời
đúng là 2 nhƣng không chọn đƣợc và giải thích vì sao. Sau đây là một số lập luận
của học sinh:
Một học sinh chọn đƣợc hình (c) hay thứ 3 là đồ thị của hàm số và giải thích rất tốt
rằng đây là đồ thị của hàm số bậc nhất trên bậc nhất
ax b
y
cx d



. Tuy nhiên học sinh
này lại chọn hình (a) hay hình thứ nhất là đồ thị của hàm số. Đây là một sai lầm căn

53. 47
bản vì đƣờng tròn không phải là ĐTHS. Có lẽ các em đã đƣợc học phƣơng trình của
đƣờng tròn năm lớp 10 có dạng 2 2 2
( ) ( )x a y b R    nên nghĩ rằng đây là câu trả
lời đúng. Một câu trả lời khác của học sinh:
Học sinh này giải thích rất tốt rằng đƣờng tròn không phải là đồ thị của một hàm số
vì khi 0x  thì có 2 giá trị y tƣơng ứng. Điều này chứng tỏ học sinh này đã khá hiểu
rõ bản chất của hàm số. Tuy nhiên, em này lại sai khi cho rằng cả 3 hình còn lại đều
là ĐTHS, bởi vì hình cuối cùng không phải. Có thể em này đã mắc phải một sai lầm
nhỏ khi chƣa quan sát kĩ hình cuối cùng vì có một x cũng cho ra hai giá trị của y
tƣơng ứng.
Ở bài toán này, sai lầm mắc phải nhiều nhất của học sinh đó là đƣờng tròn có thể là
ĐTHS với 62.16% học sinh khẳng định điều này. Đa số các em khẳng định và giải
thích khá tốt rằng hình thứ ba là ĐTHS vì cho rằng đây là hàm số bậc nhất trên bậc
nhất. Một phần không nhỏ các em cho rằng đồ thị ba hình cuối không liên tục nên
không phải là ĐTHS. Có rất nhiều quan điểm khác nhau, điều này chứng tỏ rằng
một lớp học sẽ có nhiều ý kiến theo quan điểm của bản thân dựa vào năng lực và
mức độ nhớ, hiểu của cá nhân đó.
Câu 3: Một bài tập mang tính chất thuật toán và quen thuộc đƣợc đƣa ra với kết quả
89.19% em trả lời đúng.

54. 48
Một bài làm gần nhƣ hoàn thiện của học sinh. Tuy nhiên đa số các em lại quên điều
kiện 0a  để thỏa mãn là hàm số bậc hai.
Một học sinh khác thực hiện đúng thủ thuật các bƣớc giải quyết bài toán, tuy nhiên
lại sai sót khi tính toán dẫn đến kết quả sai lầm.
Mỗi bài toán nặng về thuật toán có sẵn trong SGK hiện hành nhƣ thế này luôn đƣợc
học sinh giải quyết một cách dễ dàng và tất cả các em đều giải quyết chúng. Đây là
điều hiển nhiên vì trong các bài kiểm tra theo cách thức truyền thống trƣớc thì các
bài toán dạng này luôn xuất hiện.
Câu 4: Bài toán này chúng tôi muốn xem xét một học sinh về khả năng quan sát và
hiểu đồ thị của một hàm số là nhƣ thế nào.

55. 49
Một bài làm chính xác hoàn toàn của học sinh và đi đúng theo yêu cầu chủ đạo của
bài toán.
Một học sinh khác chỉ thực hiện đúng câu a và câu b thì không có ý tƣởng để thực
hiện, giải quyết bài toán.
Một học sinh khác sử dụng phƣơng pháp đại số để giải quyết câu hỏi b. Đây không
phải là mục tiêu của bài toán này, tuy nhiên lại có học sinh theo hƣớng giải quyết
này và cho ra kết quả cũng hoàn toàn chính xác. Trong mỗi lớp học sẽ có học sinh