2. Содержание
1 Орбитальная подвижная система координат
2 Движение станции
3 Уравнения относительного движения
4 Интегрирование уравнений движения
5 Задание
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 2
4. Орбитальная подвижная система координат
Относительное движение
Космическая станция движется по круговой орбите радиусом r0
Рассматривается движение объекта (КА или космонавта)
относительно станции
Предполагается, что расстояние между станцией и объектом
намного меньше радиуса r0 орбиты станции:
ρ ! r0
Движение объекта относительно станции рассматривается
относительно орбитальной подвижной системы координат
Ox0y0z0, движущейся со станцией
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 4
5.
6. Орбитальная подвижная система координат
Направление осей системы координат Ox0y0z0
КРУГОВАЯ ОРБИТА
ОРБИТАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ
ОРБИТАЛЬНАЯ ПОДВИЖНАЯ
СИСТЕМА КООРДИНАТ
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 6
7. Орбитальная подвижная система координат
Орбитальная подвижная система координат
Направления осей орбитальной подвижной системы координат,
связанной со станцией:
Ox0 – направлена вдоль радиус-вектора центра масс станции
относительно центра Земли
Oy0 – направлена вдоль вектора орбитальной скорости станции
Oz0 – направлена перпендикулярно плоскости орбиты
Положение объекта относительно системы координат Ox0y0z0
определяется вектором ⃗ρ
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 7
9. Движение станции
Скорость движения по орбите
Ускорение при центра масс станции при её движении по круговой
орбите с постоянной скоростью
a0 =
V2
0
r0
= ω2
0r0 (1)
Это ускорение вызвано действием силы притяжения Земли:
a0 =
F
m
=
µ
r2
0
(2)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 9
10. Движение станции
Скорость движения по орбите
Из равенства
ω2
0r0 =
µ
r2
0
(3)
следует выражение для угловой скорости движения по орбите
ω0 =
c
µ
r3
o
(4)
и линейная скорость движения по орбите
V0 = ω0r0 =
c
µ
r0
(5)
Для орбиты высотой 500 км r0 = RC + 500 км, V0 = 7788 м/с,
ω0 = 0.001185 рад/c
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 10
11. Движение станции
Скорость движения по орбите
Период обращения по круговой орбите высотой h0
T =
2π
ω0
= 2π
d
r3
o
µ
= 2π
d
(RC + h0)3
µ
(6)
Для круговой орбиты h0 = 500 км: T = 5668 с = 94 минуты.
Для круговой орбиты h0 = 200 км: T = 5301 с = 88 минут.
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 11
13. Уравнения относительного движения
Уравнение относительного движения КА
m¨⃗ρ = ⃗F +⃗Fe +⃗Fc (7)
⃗Fe – переносная сила
инерции
⃗Fc – сила инерции
Кориолиса
⃗F – гравитационная
сила
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 13
14. Уравнения относительного движения
Ox0y0z0 – неинерциальная система координат
Система координат Ox0y0z0 вращается с
угловой скоростью ωo вокруг оси Ozo
ωo =
c
µ
r3
o
(8)
Начало системы координат Ox0y0z0
движется с ускорением
ao = ω2
oro =
V2
o
ro
(9)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 14
15. Уравнения относительного движения
Силы
m¨⃗ρ = ⃗F +⃗Fe +⃗Fc (10)
⃗Fe – переносная сила инерции:
⃗Fe = ´m⃗ae = ´m(⃗ao + ⃗ωo ˆ (⃗ωo ˆ ⃗ρ)) (11)
⃗Fc – сила инерции Кориолиса:
⃗Fc = ´m⃗ac = ´2m ⃗ωo ˆ ˙⃗ρ (12)
⃗F – гравитационная сила.
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 15
16. Уравнения относительного движения
Переносная сила инерции
⃗Fe = ´m⃗ae = ´m[⃗ao + ⃗ωo ˆ (⃗ωo ˆ ⃗ρ )] (13)
⃗ao = ´ω2
o⃗ro
⃗ωo ˆ (⃗ωo ˆ ⃗ρ) = ´ω2
o ⃗ρxy
⃗Fe = m(ω2
o⃗ro + ω2
o ⃗ρxy) (14)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 16
17. Уравнения относительного движения
Гравитационная сила
m¨⃗ρ = ⃗F +⃗Fe +⃗Fc (15)
Гравитационная сила, действующая на КА
⃗F = ´G
MCm
|⃗r |2
¨
⃗r
|⃗r |
= ´µ
m
|⃗r |2
¨
⃗r
|⃗r |
(16)
⃗F = ´µ
m
|⃗r |2
¨
⃗r
|⃗r |
= ´µ
m⃗r
|⃗r |3
(17)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 17
18. Уравнения относительного движения
Уравнение движения
После подстановки выражения, полученного для µ в выражение для
гравитационной силы, действующий на КА
⃗F = ´µ
m⃗r
|⃗r |3
= ´ω2
o
(ro
r
)3
m⃗r (18)
уравнение относительного движения КА принимает вид
m¨⃗ρ = ´ω2
o
(ro
r
)3
m⃗r + m ω2
o(⃗ro + ⃗ρxy) ´ 2m ⃗ωo ˆ ˙⃗ρ (19)
или
¨⃗ρ = ´ω2
o
(ro
r
)3
(⃗ro + ⃗ρ ) + ω2
o(⃗ro + ⃗ρxy) ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρ (20)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 18
19. Уравнения относительного движения
Линеаризация (ro/r)3
(ro
r
)3
=
(
r
ro
)´3
=
[(
r
ro
)2
]´3
2
=
[
(⃗ro + ⃗ρ )2
r2
o
]´3
2
=
=
[
r2
o + 2⃗ro ¨ ⃗ρ + ρ2
r2
o
]´3
2
=
(
r2
o + 2 rox + ρ2
r2
o
)´3
2
=
=
(
1 +
2x
ro
+
ρ2
r2
o
)´3
2
(21)
(ro
r
)3
«
(
1 +
2x
ro
)´3
2
(22)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 19
20. Уравнения относительного движения
Линеаризация (ro/r)3
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.4
0.6
0.8
1.0
x, км
(1+2x/r0)-3/2
0 20 40 60 80 100
0.96
0.97
0.98
0.99
1.00
x, км
(1+2x/r0)-3/2
Для x ! ro выражение (1 + 2x/r0)´3/2 можно разложить в ряд по
степеням x в окрестности x = 0, оставив только линейную часть
разложения
(
1 +
2x
ro
)´3
2
« 1 ´ 3
x
ro
(23)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 20
21. Уравнения относительного движения
Линеаризованное уравнение движения
Исходное уравнение относительного движения (нелинейное)
¨⃗ρ = ´ω2
o
(ro
r
)3
(⃗ro + ⃗ρ ) + ω2
o(⃗ro + ⃗ρxy) ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρ (24)
Линеаризованное уравнение
¨⃗ρ = ´ω2
o
(
1 ´ 3
x
ro
)
(⃗ro + ⃗ρ ) + ω2
o(⃗ro + ⃗ρxy) ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρo =
= ´ω2
o⃗ro ´ ω2
o ⃗ρ + 3 ω2
o
x
ro
⃗ro + 3 ω2
o
x
ro
⃗ρ + ω2
o⃗ro + ω2
o ⃗ρxy ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρo =
= 3 ω2
o
x
ro
⃗ro + ω2
o(⃗ρxy ´ ⃗ρ ) ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρo (25)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 21
22. Уравнения относительного движения
Линеаризованное уравнение
Векторное уравнение
¨⃗ρ = 3 ω2
o
x
ro
⃗ro + ω2
o(⃗ρxy ´ ⃗ρ ) ´ 2 ⃗ωo ˆ ˙⃗ρ (26)
Уравнение в координатной форме, в системе координата Oxoyozo
¨x
¨y
¨z
= 3 ω2
o
x
ro
ro
0
0
+ ω2
o
0
0
´z
´ 2
⃗i ⃗j ⃗k
0 0 ωo
˙x ˙y ˙z
(27)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 22
25. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 3
Движение вдоль оси z независимо от движений вдоль осей x и z
¨z + ω2
oz = 0
Вид решения
z(t) = C1 sin ωot + C2 cos ωot
С учётом начальных условий
z(0) = C2, ˙z(0) = ∆Vz = C1ωo
z(t) =
∆Vz
ωo
sin ωot + z0 cos ωot (30)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 25
26. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 2
¨y = ´2 ωo ˙x (31)
Введем обозначение uy = ˙y и проинтегрируем уравнение (31)
ż uy
∆Vy
duy = ´2 ωo
ż x
x0
dx Ñ uy ´ ∆Vy = ´2 ωo(x ´ x0)
˙y = ∆Vy ´ 2 ωo(x ´ x0) (32)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 26
27. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 1
После подстановки решения
˙y = ∆Vy ´ 2 ωo(x ´ x0)
в первое уравнение системы
¨x = 3 ω2
ox + 2ωo ˙y
уравнение движения вдоль оси x принимает вид
¨x + ω2
ox = 2ωo∆Vy + 4 ω2
ox0 (33)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 27
28. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 1
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение
¨x + ω2
ox = 2ωo∆Vy + 4 ω2
ox0
Вид решения
x(t) = C3 sin ωot + C4 cos ωot + C5
где C5 – частное решение неоднородного дифференциального
уравнения
C5 =
2 ωo∆Vy + 4 ω2
ox0
ω2
o
=
2∆Vy
ωo
+ 4 x0 (34)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 28
29. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 1
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение
¨x + ω2
ox = 2ωo∆Vy + 4 ω2
ox0
Вид решения
x(t) = C3 sin ωot + C4 cos ωot + C5
Постоянные интегрирования C3, C4 определяются из начальных
условий
x(0) = x0 = C4 + C5 Ñ C4 = ´
2∆Vy
ωo
´ 3 x0 (35)
˙x(0) = ∆Vx = C3ωo Ñ C3 =
∆Vx
ωo
(36)
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 29
30. Интегрирование уравнений движения
Уравнение 1
После подстановки решения первого уравнения (для оси x0)
x(t) =
∆Vx
ωo
sin ωot ´
(
2∆Vy
ωo
+ 3 x0
)
cos ωot +
2∆Vy
ωo
+ 4 x0
во второе уравнение
˙y = ∆Vy ´ 2 ωo(x ´ x0)
˙y = ´2 ωo
(
∆Vx
ωo
sin ωot ´
(
2∆Vy
ωo
+ 3 x0
)
cos ωot
)
´ 3 ∆Vy ´ 6 ωo x0
и интегрирования
y = y0 + 2
∆Vx
ωo
(cos ωot ´ 1) +
(
4
∆Vy
ωo
+ 6 x0
)
sin ωot ´ (6 ωo x0 + 3 ∆Vy)t
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 30
31. Интегрирование уравнений движения
Уравнения относительного движения
x(t) =
∆Vx
ωo
sin ωot ´
(
2∆Vy
ωo
+ 3 x0
)
cos ωot +
2∆Vy
ωo
+ 4 x0
y(t) = y0 + 2
∆Vx
ωo
(cos ωot ´ 1) +
(
4
∆Vy
ωo
+ 6 x0
)
sin ωot ´ (6 ωo x0 + 3 ∆Vy)t
z(t) =
∆Vz
ωo
sin ωot + z0 cos ωot
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 31
32. Интегрирование уравнений движения
Уравнения относительного движения
Для случая x0 = y0 = z0 = 0
x(t) =
∆Vx
ωo
sin ωot ´
2∆Vy
ωo
cos ωot +
2∆Vy
ωo
y(t) = 2
∆Vx
ωo
(cos ωot ´ 1) + 4
∆Vy
ωo
sin ωot ´ 3∆Vyt
z(t) =
∆Vz
ωo
sin ωot
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 32
33.
34.
35.
36. Интегрирование уравнений движения
Отделение по нормали к орбите
∆Vx = ∆Vy = 0, ∆Vz ‰ 0
x(t) = 0,
y(t) = 0,
z(t) =
∆Vz
ω0
sin ω0t
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 36
37. Интегрирование уравнений движения
Выводы
Объект, отделившийся от станции вдоль нормали к плоскости
орбиты, вернётся на станцию через половину орбитального
периода станции.
Объект, отделившийся от станции вдоль её радиус-вектора,
возвратится на станцию через орбитальный период.
Если вектор приращения объекта относительно станции
направлен вдоль вектора её орбитальной скорости, то с каждым
орбитальным периодом расстояние между объектом и станцией
будет увеличиваться.
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 37
41. Задание
Групповое отделение КА
От носителя (орбитальной ступени) одновременно отделяется три
малых космических аппарата.
Векторы приращений скоростей малых КА относительно
орбитальной ступени лежат в плоскости орбиты.
Используя уравнения относительного орбитального движения,
определите наилучший угол отделения КА – α.
Постройте траектории движения КА относительно носителя (на
одном рисунке).
Постройте графики изменения расстояний между КА и носителем
и между каждой парой КА (на одном рисунке).
Определите минимальное расстояние между КА и носителем и
между каждой парой КА через один орбитальный период
носителя.
Кафедра теоретической механики Относительное орбитальное движение 41
