1. 行列プロが教える
競技プログラミングでの線型方程式系
前原 貴憲 (@tmaehara)

2. 線型方程式系
入力：n × n 行列 A，ベクトル b
出力：以下を満たすベクトル x
Ax = b
標準的な解法：ピボット選択つき Gauss 消去法（LUP 分解）
競技プログラミングでは
→ Givens 消去法（QR 分解）がオススメ
かもしれない
1/ 10

3. 説明
2/ 10

4. 普通の Gauss 消去法（LU 分解）
for i = 1, . . . , n: /* 前進消去 */
for i′ = i + 1, . . . , n:
α := A[i′ , i]/A[i, i]
b[i′ ] ← b[i′ ] − αb[j]
for j = i, . . . , n:
A[i′ , j] ← A[i′ , j] − αA[i, j]
for i = n, . . . , 1: /* 交代代入 */
for j = i + 1, . . . , n:
bij] ← b[j] − A[i, j]b[j]
b[i] ← b[i]/A[i, i]
3/ 10

5. ピボット選択つき Gauss 消去法（LUP 分解）
計算中に A[i, i] が小さくなって精度悪化（or ゼロ割）
⇒ 普通は行ピボット選択で対応
※行ピボット選択つき Gauss は理論上不安定だが，
破綻例を作るのは相当大変（良い例を作ると論文）
ここでは実装量的に Givens 消去法での対応をオススメ
- Givens 消去法 = 2 × 2 回転で掃き出す Gauss 消去法
- 計算時間：ピボット選択つき Gauss より少し遅い
- 数値安定性：非常に高（回転は誤差を拡大しない）
ピボット選択が不要なので，実装が非常にシンプルになる
（see: 次ページ）
4/ 10

6. Givens 消去法（QR 分解）
for i = 1, . . . , n: /* 前進消去 */
for i′ = i + 1, . . . , n:
MAKEROT(A[i, i], A[i′ , i], c, s);
ROT(b[i], b[i′ ], c, s);
for j = i + 1, . . . , n:
ROT(A[i, j], A[i′ , j], c, s);
for i = n, . . . , 1: /* 交代代入 */
for j = i + 1, . . . , n:
b[i] ← b[i] − A[i, j]b[j]
b[i] ← b[i]/A[i, i]
ピボット選択なしの Gauss 消去法と同じ手続き
5/ 10

7. MAKEROT / ROT
#define MAKEROT(x, y, c, s)
√
{ r = x2 + y 2 ; c = x/r; s = y/r; }
= 以下を満たす c, [ の計算 [ ]
s ] [ ]
c s x r
=
−s c y 0
#define ROT(x, y, c, s)
{ u = cx + sy; v = −sx + cy; x = u; y = v; }
= 以下の計算の適用 ]
[ [ ][ ]
x c s x
←
y −s c y
6/ 10

8. QR 分解 補足
A = QR (Q : 直交， : 上三角)
R
☆ QR 法のよくある計算方法
• Gram-Schmidt の直交化
数値不安定なので，基本的に使ってはいけない
• Householder 変換
数値安定かつ早いので線型計算の教科書はこれを説明
• Givens 回転（今回紹介）
数値安定だが Householder より遅いので説明されない
しかし，実装が超シンプルになるので競プロ向き！
7/ 10

9. 参考
8/ 10

10. 参考：Gauss が破綻する例（Wilkinson 行列）
 
1 0 0 1
−1 1 0 1
A=
−1

−1 1 1
−1 −1 −1 1
- Gauss 消去法をすると一番右の列が指数的に増加
- LU 分解の代わりに UL 分解するとうまくいく
（LU・UL 両方が破綻する例の存在は open problem）
- 行・列両方をピボットする Gauss は，常にうまくいく
9/ 10

11. 参考：なにをやってもダメな例（Hilbert 行列）
 
1/1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
A=
1/3

1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
- 線型方程式の条件数：cond(A) := ∥A−1 ∥∥A∥
（条件数 ≃ 誤差の拡大率）
- 条件数が大きいと，何をやってもだいたい無理
⇒ 競プロでは，この手の入力は考えなくて良い
10/ 10