Giasudhsphn.com.cac pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

CHUYÊN ð TÍCH PHÂN

B ng công th c tích phân b t ñ nh :

∫ 0dx = C ∫ dx = x + C
x n +1 1
∫ x dx = +C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C
n

n +1
ax
∫ e dx = e + C ∫ a dx =
x x x
C
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C
1 1
∫ cos 2
x
dx = tan x + C 2
x ∫ sin
dx = − cot x + C

u′( x) 1 1 x−a
∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
x 2 a
∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C
2 2

Phương pháp bi n s ph :

Cho hàm s f (x) liên t c trên ño n [a; b] có nguyên hàm là F (x) .
Gi s u (x) là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [α , β ] và có mi n giá tr là [a; b]
thì ta có :
∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C
BÀI T P

Tính các tích phân sau :
1 1 e
xdx e x dx 1 + ln x dx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫
0
x2 + 1 0
ex − 1 1
x

Bài làm :
dt
a) ð t t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
2
x = 0 → t = 1
ð ic n: 
x = 1 → t = 2
2 2 2
xdx 1 dt 1 1
V y : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2
1 x +1 21 t 2 1
2
b) ð t t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx

Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 1

x = 1 → t = e − 1
ð ic n: 
x = 2 → t = e − 1
2

e 2 −1
1 e2 −1
e x dx dt
V y : I2 = ∫ x = ∫ = ln t = ln(e + 1)
0
e −1 e −1
t e−1
1
c) ð t t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx
x
x = 1 → t = 1
ð ic n: 
x = e → t = 2

3 2
1 + ln x dx
e 2
2 2
I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
1
x 1
3 1 3

Tích phân lư ng giác :
β
D ng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx
α

Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng .
β
D ng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx
α

Cách làm :
N u m, n ch n . ð t t = tan x
N u m ch n n l . ð t t = sin x (trư ng h p còn l i thì ngư c l i)
β
dx
D ng 3 : I = ∫
α a. sin x + b. cos x + c
Cách làm :
 2t
sin x =
ð t : t = tan ⇒  1+ t2
x

cos x = 1 − t
2
2

 1+ t2
β
a. sin x + b. cos x
D ng 4 : I = ∫ .dx
α
c. sin x + d . cos x
Cách làm :
a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x)
ð t: = A+
c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c .
β
a. sin x + b. cos x + m
D ng 5: I = ∫ .dx
α c. sin x + d . cos x + n
Cách làm :


a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C
ð t: = A+ +
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c.

BÀI T P

Tính tích phân :
π π π
2 2 4
cos xdx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx
0
(sin x + 1) 4 0 0

Bài làm :

a) ð t : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1
ð ic n:  π

x = 2 → t = 2

π
2 2 2
cos xdx dt 1 7
V y : I1 = ∫ =∫ 4 =− 3 =
0 (sin x + 1)
4
1 t 3t 1 24
b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π

x = 2 → t = 1

π
1 1
( ) ( )
2
2
I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt
V y: 0 0 0
1
1
 t5 2  8
= ∫ − t3 + t =
 
0
5 3  0 15
c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π

x = 4 → t = 1

π
1 1
4
t 6 dt  1 
I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2
6
= ∫ t 4 − t 2 +1− 2 dt
0 0 t +1 0 t + 1
V y: π
1
 t5 t3  4
13 π
=  − + t  − ∫ du =
5 3  −
 0 0 15 4


π π
2 3
sin x. cos x cos x
a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx
0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x

Bài làm :
a) ð t : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx
x = 0 → t = a 2
ð ic n:  π

x = → t = b
2

 2
N u a≠b
π
2 b2
sin x. cos x 1 dt
I1 = ∫
V y: 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x
dx =
2 b − a2
2
( )∫
a2 t
b2
1 a−b 1
= 2 t = =
b − a2 a2 b −a 2 2
a+b
N u a=b
π π
2 2
sin x. cos x sin x. cos xdx
I1 = ∫ dx = ∫
0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0
a
V y: π π
2 2
1 1 1
= ∫
2a 0
sin 2 xdx = −
4a
cos 2 x =
2a
0

b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π
 3
x = → t =
 3 2
π 3 3
3 2 2
cos x dt 1 dt
V y : I2 = ∫ dx = ∫ = ∫
2 + cos 2 x 3 − 2t 2 2 3 2
0 0 0
−t
2
3 3
ð t: t= cos u ⇒ dt = − sin udu
2 2
 π
t = 0 → u = 2
ð ic n:  
t = 3 → u = π

 2 4


3 π 3
2 2 sin udu
1 dt 1 2
I2 = ∫ = ∫
2 0 3 2
2
−t
2 π
4
3
2
(1 − cos 2 u )
V y: π
π 2
1 4
1 π
= ∫ du =
2π 2
u =
4 2
π
4
4

π π
2
1 2
sin x + 7 cos x + 6
a) I 1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx
0
4 sin x + 3 cos x + 5 0
4 sin x + 3 cos x + 5

Bài làm :

x x  2dt
a) ð t : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2

2 2  t +1
x = 0 → t = 0
ð ic n:  π 
x = 2 → t = 1

2
1 1
I1 = ∫ 1+ t2 dt = ∫
dt
1− t 0 (t + 1)
2 2
2t
V y:
0
4 +3 +5
1+ t2 1+ t2
1
1 1
=− =
t+2 0 6

sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C
b)ð t : = A+ B +
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = 1 , B = 1 , C = 1
π π

sin x + 7 cos x + 6
2 2
 4 cos x − 3 sin x 1 
I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx
V y: 0
4 sin x + 3 cos x + 5 0
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 
π
π
= (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln +
9 1
2 8 6

B n ñ c t làm :
π π π
2 3 2 2
cos x dx
a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫
π sin 2x 0 0 sin x + 2
6


π π π
2
4 sin 3 x 2
1 2
sin x − cos x + 1
c) I 3 = ∫ dx d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫ dx
0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t

dx 1 1
D ng 1 : I = ∫ =− . + C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có :
(x − a )n
n − 1 ( x − a )n−1
dx
N u n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C
x−a
αx + β α , β , a, b, c ∈ R
D ng 2 : I = ∫ 2 dx trong ñó : 
(
ax + bx + c
n
)
∆ = b − 4ac < 0
2

* Giai ño n 1 : α ≠ 0 ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c ax 2 + bx + c ,
sai khác m t s :
2 aβ
2ax + b + −b
α α α 2ax + b α  2 aβ  dx
2a ∫ (ax 2a ∫ (ax
I= dx = dx +  − b ∫
2
+ bx + c )
n 2
+ bx + c )
n
2a  α  (ax + bx + c )
2 n

* Giai ño n 2 :
n
dx  4a  − ∆ dt
Tính I = ∫ n dx =  . ∫ +b 1 + t 2
(ax + bx + c
2
 − ∆  2a 2 ax
t=
) ( )n

−∆

* Giai ño n 3 :
1
Tính I = ∫ dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ
(t 2
+1 ) n

Pm ( x )
D ng 3 : I = ∫ dx
Qn ( x )
Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
Ta có : =
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0
Pm ( x ) R (x )
N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta th c hi n phép chia = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó
Qn ( x ) Qn ( x )
Rr ( x )
phân s có deg(R ) < deg(Q )
Qn ( x )
N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui t c sau :
Pm ( x )
A1 An −1 An
*Qt 1: + ...... += +
(x − a ) (x − a ) n
(x − a ) n −1
(x − a )n
Pm ( x ) n
Ai
Vd 1a : n =∑
(x − ai )i
∏ (x − ai ) i=1
i

i =1

Pm ( x ) A B C D
Vd 1b : = + + +
( x − a )( x − b)( x − c) 2
x − a x − b x − c ( x − c )2


Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn
*Qt 2': =
+ ...... + + v i ∆<0
(
ax + bx + c
2
) (
ax + bx + c
2 n
ax + bx + c
2 ) n −1
(
ax 2 + bx + c ) ( )
n

Pt (x ) m
Ai n
Ai x + B1
*Qt 3: =∑ +∑
( )
(x − α ) ax 2 + bx + c i =1 (x − α ) k =1 ax 2 + bx + c i
m n i
( )
Pt ( x ) A Bx + C
Vd 1 : = +
(
( x − α ) ax + bx + c
2
x −α )
ax 2 + bx + c ( )
Pt ( x ) A B1 x + C1 B2 x + C 2
Vd 2 : = + +
( )
(x − α ) ax 2 + bx + c (x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2
2 2
( ) ( )
BÀI T P

1 1
dx dx
a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫
0 x + 3x + 2
2
0 (x 2
+ 3x + 2 ) 2

Bài làm :
1 1 1
dx dx  1 1 
a) I 1 = ∫ 2 =∫ = ∫ − dx
0 x + 3x + 2 0
(x + 1)(x + 2) 0  x + 1 x + 2 

= [ln x + 1 − ln x + 2 ]0 = ln
4 1

3
1
dx
1
 1 1 2 
b) I 2 = ∫ 2 dx = ∫  + − dx
0 (x + 3 x + 2 )
2
0  ( x + 1)
2
(x + 2) (x + 1)(x + 2)
2

1
 1 
− 2(ln x + 1 − ln x + 2 ) = OK
1
= − −
 x +1 x + 2 0

1 1
dx 4x − 2
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx
0
x + 3x 2 + 3
4
0 ( 2
)
x + 1 (x + 2)

Bài làm :
dx 1 x
a)* B n ñ c d dàng ch ng minh ñư c I 0 = ∫ = arctan + C v i a > 0
x +a 2
a a 2

1 1 1
dx dx 1  1 1 
I1 = ∫ 4
x + 3x 2 + 3 ∫
= = ∫ 2 − 2 dx
0 0
(2 2
)( )
x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3 
1
1
=  arctan x −
2
1
3
arctan
x  π
 = 9−2 3
30 2
( )

4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A
b) ð t : = + 2 =
(x + 2) x 2 + 1 x + 2 x + 1 ( ) (x + 2) x 2 + 1 ( )
A + B = 0  A = −2
Do ñó ta có h : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2


2C + A = 0 C = 0
 
1
4x − 2
1
 2 2x 
V y : I2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx
0 ( )
x 2 + 1 (x + 2) 0
x + 2 x +1

[ ]
1
= − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln
0
4
9

B n ñ c t làm :
3 5
x +1 dx
a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫
2
x ( x − 1)
2
2
x + 2x − 3
2

2 2
x −13
x
c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫x dx
1
4x3 − x 3
4
− 3x 2 + 2

HD:

x +1 A B C 1 A B
a) = + 2+ b) 2 = +
x ( x − 1) x x
2
x −1 x + 2x − 3 x −1 x + 3
x −1 1 
3
x−4  x A B C D
c) 3 = 1 +
 x(2 x + 1)(2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 +
 +
4x − x 4   x+ 2 x− 2

ð ng th c tích phân :

Mu n ch ng minh ñ ng th c trong tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s và nh n
xét m t s ñ c ñi m sau .
* C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n trên + c n dư i, ….
Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y và xem nó như 1 b ñ áp d ng.

BÀI T P
1 1
Ch ng minh r ng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx
0 0

Bài làm :
1
Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx
0

ð t : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt


x = 0 → t = 1
ð ic n: 
x = 1 → t = 0
1 0 1
V y : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm)
m n m n

0 1 0

Ch ng minh r ng n u f (x) là hàm l và liên t c trên ño n [− a, a ] thì :
a
I=
−a
∫ f (x )dx = 0

Bài làm :
a 0 a
I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1)
−a −a 0
0
Xét
−a
∫ f (x )dx . ð t t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

 x = −a → t = a
ð ic n: 
x = 0 → t = 0
0 a a
V y: ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt
−a 0 0

Th vào (1) ta ñư c : I = 0 (ñpcm)
Tương t b n ñ c có th ch ng minh : N u f (x) là hàm ch n và liên t c trên ño n
a a
[− a, a] thì I= ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
−a 0

Cho a > 0 và f (x ) là hàm ch n , liên t c và xác ñ nh trên R .
f (x )
α α
Ch ng minh r ng :
−
∫α a x + 1 dx = ∫ f (x )dx
0

Bài làm :
f (x ) f (x ) f (x )
α 0 α

∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1)
−
x
+1 −α
a +1 0
a +1

f (x )
0
Xét
−
∫α a x
+1
dx . ð t t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt

 x = −α → t = α
ð ic n: 
x = 0 → t = 0
f (x ) f (− t ) a t f (t )
0 α α
V y: ∫ ax + 1 0 a + 1 0 a + 1
−α
dx = ∫ − t dt = ∫ t


f (x ) a x f (x ) f (x )
α 0 α α
Th vào (1) ta ñư c : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm)
−α
a +1 −α
a +1 0
a +1 0

Cho hàm s f ( x ) liên t c trên [0,1] . Ch ng minh r ng :
π π
π
∫ x. f (sin x )dx =
0
2 ∫ f (sin x )dx
0

Bài làm :
π
Xét ∫ x. f (sin x )dx . ð t t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
0

x = 0 → t = π
ð ic n: 
x = π → t = 0
π π π
V y : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt
0 0 0
π π
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt
0 0
π π
⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx
0 0
π π
π
⇒ ∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx
0 0

T bài toán trên , b n ñ c có th m r ng bài toán sau .
N u hàm s f (x ) liên t c trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có :
π
a+b
b

∫ x. f (x )dx =
a
2 ∫0
f ( x )dx

Cho hàm s f ( x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T .
a +T T
Ch ng minh r ng : ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
a 0

Bài làm :
a +T T a +T 0 T a +T

∫ f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx
a a T a 0 T
a a +T
V y ta c n ch ng minh ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
0 T
a
Xét ∫ f (x )dx . ð
0
t t = x + T ⇒ dt = dx


x = 0 → t = T
ð ic n: 
x = a → t = a + T
a +T a +T
V y: ∫ f (t − T )dt = ∫ f (t )dt
T T
a +T T
Hay : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
a 0
(ñpcm)

T bài toán trên , ta có h qu sau :
N u hàm s f (x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
T
T 2
có : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx
0 T
−
2

B n ñ c t làm :
( )
1 1
a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx 6
b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx
0 −1
π π
x. sin x x. sin x
c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx
0
9 + 4 cos 2 x 0
1 + cos 2 x
π
2
x 2 sin x 1
x 2 + sin x
e) I 5 = ∫π 1+ 2x
dx f) I 6 = ∫
−1
1+ x2
dx
−
2

( )
2π 2009π
g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx
∗ 2 ∗
h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx
0 0

Tích phân t ng ph n :
Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có :
b b

∫ udv = [uv] a − ∫ vdu
b

a a

Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau :
*ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c.

BÀI T P



π
1 2 e
a) I1 = ∫ x.e x dx b) I 2 = ∫ x 2 . cos xdx c) I 3 = ∫ ln xdx
0 0 1

Bài làm :
u = x ⇒ du = dx
a) ð t : 
dv = e dx ⇒ v = e
x x

1 1
V y : I1 = ∫ x.e x dx = x.e x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1
1 1

0 0

u = x ⇒ du = 2 xdx
2
b) ð t : 
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
π π

π
1 π 2 2 2
V y : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x 02 − 2 ∫ x. sin xdx = − 2 ∫ x. sin xdx (1)
0 0
4 0
π
2
Ta ñi tính tích phân ∫ x. sin xdx
0

u = x ⇒ du = dx
ð t: 
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π π
2 π 2 π π
V y: ∫ x. sin xdx = − x. cos x 02 + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1
0 0
1
π2 −8
Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx =
0
4
 1
u = ln x ⇒ du = dx
c) ð t :  x
dv = dx ⇒ v = x

e e
V y : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1
e e e

1 1

π
π 4 eπ
x
a) I1 = ∫ e . sin xdx
x
b) I 2 = ∫ 2 dx c) I 3 = ∫ cos(ln x )dx
0 0
cos x 1

Bài làm :
u = e x ⇒ du = e x dx
a) ð t : 
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π π
π
V y : I1 = ∫ e x . sin xdx = − e x . cos x 0 + ∫ e x . cos xdx = eπ + 1 + J (1)
0 0


u = e x ⇒ du = e x dx
ð t: 
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
π π
π
V y : J = ∫ e x . cos xdx = e x . sin x 0 − ∫ e x . sin xdx = − I
0 0

eπ + 1
Th vào (1) ta ñư c : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 =
2
u = x ⇒ du = dx
b) ð t : 
 1
dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x

π π
4
x π 4
π π
π 2
V y : I2 = ∫ 2
dx = x. tan x 04 − ∫ tan xdx = + ln (cos x ) 04 = + ln
0
cos x 0
4 4 2
 1
u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx
c) ð t :  x
dv = dx ⇒ v = x

eπ eπ
V y : I 3 = ∫ cos(ln x )dx = x. cos(ln x ) 1 + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J
eπ

1 1

 1
u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx
ð t:  x
dv = dx ⇒ v = x

eπ eπ
eπ
V y : I 3 = ∫ sin (ln x )dx = x. sin (ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = 0 − I 3
1 1

eπ + 1
Th vào (1) ta ñư c : 2 I 3 = −(eπ + 1) ⇒ I 3 = −
2
B n ñ c t làm :
ln 2 e
a) I1 = ∫ x.e − x dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x )2 dx
0 1

( )
2 1
c) I 3 = ∫ 
1 1 
 2
− dx d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x 2 dx
e  ln x ln x  0
π
3 e
e) I 5 = ∫ sin x. ln(tan x )dx f) I 6 = ∫ cos 2 (ln x )dx
π 1
4
π π
4 2
1 + sin x x
g) I ∗ 7 = ∫ x 2 cos 2 x h) I ∗ 7 = ∫ e dx
0 0
1 + cos x

Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max :


b
Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i
a
b
Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b]
a
b
Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b]
a

4 2
a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx
1 0

Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
2 4
4 2 4
 x2   x2 
V y : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x 
1 1 2  2 1  2 2
  1  5
= (4 − 2 ) −  2 −  + [(8 − 8) − (2 − 4 )] =
  2  2
b) L p b ng xét d u x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [0,2] tương t ta ñư c
2 1 2
( ) (
I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx )
0 0 1

.
1 2
 x3   x3 
I1 = 3 x − x 2 −  +  − 3 x + x 2 +  = 4
 3 0  3 1

1
Tính I a = ∫ x x − a dx v i a là tham s :
0

Bài làm :
x −∞ a +∞
x-a - 0 +

(T b ng xét d u trên ta có th ñánh giá ).
N u a ≤ 0.


1
1 1
 x 3 ax 2 
I a = ∫ x x − a dx = ∫ (x − ax dx =  −
2
) 1 a
 =3−2
0 0 3 2 0
N u 0 < a < 1.
1 a 1
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx( 2
) ( )
0 0 a
a 1
 ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a 2 a3
= −  + − +  = − +
 2 3 0  2 3 a 3 2 2
N u a ≥ 1.
1
1
 x 3 ax 2 
1
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − ( 1 a
 =−3+ 2
2
)
0 0 3 2 0

2 3
Tính : a) I1 = ∫ min (1, x )dx 2
( )
I 2 = ∫ max x 2 , x dx
0 0

Bài làm :
a) Xét hi u s : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [0,2]
2 1 2 2

(
V y : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx =
2
)x3
3 0
2
+ x1 =
4
3
2

0 0 1

b) Xét hi u s : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương t như trên ta có .
3 1 3 1 3

( )
I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx =
2 x2
+
x3
=
2 0 3 1 6
55 2

0 0 1

B n ñ c t làm :
π 3π
3
a) I1 = ∫ min (x, x 2 − 3)dx b) I 2 = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx
2 4

−2 0 0
3 5
d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx
 
−2 1
 

Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t :
Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel

(
D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ) ñây ta ñang xét d ng h u t .
− ∆   2ax + b  
2
a > 0
 → ax + bx + c =
2
1 +   
∆ < 0 4a   − ∆  
 
∫ R(x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t,
2 ax +b
)
1 + t 2 dt T i ñây , ñ t t = tan u .
t=
−∆


− ∆   2ax + b  
2
a < 0
D ng 2:  → ax + bx + c =
2
1 −   
∆ < 0 4a   − ∆  
 
∫ R (x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t ,
2 ax + b
)
1 − t 2 dt T i ñây , ñ t t = sin u .
t=
−∆

∆  2ax + b  
2
a > 0
D ng 3:  → ax + bx + c =
2
  − 1
∆ > 0 4a  − ∆ 
 


∫ R (x, ) ∫ S (t , ) 1
ax 2 + bx + c dx = t 2 − 1 dt T i ñây, ñ t t = .
2 ax + b sin u
t=
∆

dx dt
D ng 4 (d ng ñ c bi t) : ∫ (αx + β ) ax + bx + c
2
= ∫1 αt + µt + ζ
2
t=
αx + β

M t s cách ñ t thư ng g p :
(
∫ S x, a − x dx
2 2
)
ñ t x = a. cos t 0≤t ≤π

∫ S (x, +x )x
π π
a2 d2
ñ t x = a. tan t − <t <
2 2

∫ S (x, −a ) x
a π
x2 d2
ñ t x= t≠ + kπ
cos t 2
 ax 2 + bx + c = xt ± c ; c > 0

∫ S (x, ax 2 + bx + c dx ) ñ t  ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0

 ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0

 ax + b  ax + b
∫ S  x,

m 
cx + d 
ñ t t=m
cx + d
; ad − cb ≠ 0
 

dx
Tính : I = ∫
(x 2
+ 4x + 7 )3

Bài làm :
dx dt
∫ = ∫
(x 2
+ 4x + 7 )
3
t = x+ 2 (t 2
+3 )
3

ð t : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 (tan 2 u + 1)du
(
3 tan 2 u + 1 du ) 1
Ta có I = ∫ = ∫ cos udu
3 3. tan u + 1
3 tan u 3 tan u( 2
)3 3
1 1 t 1 x+2
= sin u + C = +C = +C
3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7


xdx dx
Tính : a) I = ∫ b) I = ∫
x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1

Bài làm :
xdx xdx 1 3t − 1
a) ∫ =∫ = ∫ dt
x + x +1
2
 1 3
2 2
t=
2 x +1 t2 +1
x +  + 3
 2 4

I=
1
2 ∫
2 x +1
3t − 1
t2 +1
dt =
2
3 2 1
(
t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C
2
)
t=
3

1  1 
= x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C
2  2 
1 dt
b)ð t : x = ⇒ dx = − 2
t t
dx dt t +1
I =∫ =−∫ = − arcsin +C
x x 2 − 2x −1 2 − (t + 1)
2
1 2
x=
t

1
+1
x +1
= − arcsin x + C = − arcsin +C
2 2

Tìm các nguyên hàm sau
dx dx
a) I = ∫ b) I = ∫
1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1

Bài làm :
a)ð t : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx
dx t 5 dt  1 
V y :I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− dt 
1+ x + 1+ x
3
t = 6 1+ x
t +t t = 6 1+ x 
t +1 
= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C
= 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C

1+ x − x +1 1  −2 
1
dx 1 x +1
b) I = ∫ =∫  x + 1dx − ∫
dx = ∫  dx
x +1+ x +1 2 x 2   2 x

1 1 x +1
= x+ x − ∫ dx (1)
2 2 x
x +1 x +1 1 2t
Xét ∫ x
dx ð t: t=
x
⇒ x=
t −1
2
⇒ dx = −
(
t 2 −1 )
2
dt


x +1 t 2 dt
V y: ∫ x
dx = −2 ∫ (t − 1)2 = OK
x +1
t=
x

Tìm các nguyên hàm sau :
a) I = ∫ x 2 . x 2 + 9dx b) I = 16 ∫ x 2 . x 2 + 4dx

Bài làm :
t2 − 9 t2 + 9
a)ð t : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt
2t 2t 2
 t2 + 9   − t2 − 9 
I1 = ∫ 
(t2 − 9
2
) 1 t 4 − 81
dt = − ∫
2
( )
 2t 2 . 2t
 
. 4t 2 16 t5
dt
  
1  3 162 6561  1  t4 6561 
V y:
=−
16 ∫ t
t − + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C
t  4
16  4t 

=− 
(
1  x − x2 + 9 ) − 162 ln x −
4

x2 + 9 −

+C
6561
16 

4 ( 4 
4 x− x +9 
2
)
t2 − 4 t2 + 4
b)ð t : x2 + 4 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt
2t 2t 2
t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4
I = 16 ∫  . .
( )2

dt = − ∫
(t 4
− 16 )
2

dt
 2   4t 2 t5
 2t   2t 
 36 256  t4 64 
= −∫  t 3 − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C
4
 t t   t 

= −
(
 x − x2 + 4 )
4

+ 36 ln x − x 2 + 4 −

+C
64


4 ( 4 
x− x +4 
2
)
1 −8
dx
a) I1 = ∫ x − x 2 dx b) I 2 = ∫ dx
1 −3 x 1− x
2

Bài làm :
1 1
1
I1 = ∫ x − x dx = ∫ 1 − (2 x − 1) dx
2 2

1 21
2 2


1
ð t : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt
2
 1
x = 2 → t = 0
ð ic n: 

x = 1 → t = π

 2
π π π

V y : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t 
2
1 2 12 1 1 2
 
40 80 8 2 0
1  π   π
=  − 0  − (0 + 0 ) =
8  2   16

b) ð t : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx
 x = −3 → t = 2
ð ic n: 
 x = −8 → t = 3
−8 3 3
dx tdt dt
V y : I2 = ∫ dx = 2 ∫ = 2∫
−3 x 1 − x 2
1− t t
2
( 2
1− t 2 )
3
t −1  1 
= − ln = − ln − ln 1 = ln 2
t +1 2  2 

B n ñ c t làm :
dx dx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫
x x2 + 1 (x 2
+4 )
3

1 + x2 − 1 1
d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I ∗6 = dx
1 − x2 − 1 1 + x2 + 1

B t ñ ng th c tích phân :
b
N u f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0
a
b b
N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx
a a
b
N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a )
a

Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bư c ch n sinx,cosx
BÀI T P

Ch ng minh các b t ñ ng th c sau :
c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2
1 2 1
1 2 x 1
a) ∫ x(1 − x )dx ≤ b) ≤ ∫ dx ≤
0
4 5 1
x +1
2
2 0

Bài làm:
a)Áp d ng AM-GM ta có :
 x + (1 − x ) 
2
1
x(1 − x ) ≤ 
 2  = 4 ∀x ∈ [0,1]

1 1
1 1
V y : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm)
0
40 4
x
b) Xét hàm s : f (x ) = ∀x ∈ [1,2]
x +1
2

ð o hàm :
1 − x2
f ′( x ) =
(x 2
+1 )2

x = 1
f ′( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1
 1
 f (1) = 2
Ta có : 

 f (2 ) = 2

 5
2 x 1
≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2]
5 x +1 2
2 2 2
2 x 1
V y : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ 2 dx ≤ ∫ dx
51 1
x +1 21
2
2 x 1
⇒ ≤∫ 2 dx ≤
5 1 x +1 2
Áp d ng Bunhicopxki ta có :
1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [0,1]

∫( )
1
V y: 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 )
0

∫( )
1
1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (ñpcm)
0

e − x . sin x π
3
Ch ng minh r ng : ∫ x 2 + 1 dx < 12e
1


Bài làm :
∀x ∈ 1, 3 [ ] ⇒ − x ≤ −1 ⇒ e − x ≤
1
e
e − x . sin x 1 e − x . sin x
3 3
1
⇒ < ⇒ ∫ 2 dx < ∫ e(x
x +1
2
e x +1
2
( ) 1 x +1 1
2
) dx
+1
3
1
Xét ∫ e(x
1
2
+1 ) dx
ð t : x = tan t ⇒ dx = (tan 2 t + 1)dt
 π
x = 1 → t = 4
ð ic n: 

x = 3 → t = π

 3
π π

Do ñó : ∫
(tan t + 1)dt = dt = π
3 2 3

e(tan t + 1) ∫ e 12
π
2
π
4 4

T ñó ta ñư c ñpcm.

B n ñ c t làm :
Ch ng minh r ng :
π π π

π 2
dx π 3 3
sin x 1 π 3
dx π 2
a) ≤∫ ≤ b) <∫ dx < c) ≤∫ ≤
16 0
5 + 3 cos x 10
2
4 π x 2 6 π 4 − x2 − x3 8
6 6

f : [0,1] → [0,1] ; g : [0,1] → [0,1]
*
d ) Cho 2 hàm s liên t c :
2
1  1 1
Ch ng minh r ng :  ∫ f (x ).g (x )dx  ≤ ∫ f (x )dx.∫ g (x )dx
0  0 0

M ts ng d ng c a tích phân thư ng g p :

1)Tính di n tích :
Cho hai hàm s f (x )& f (x ) liên t c trên ño n [a, b] . Di n tích hình ph ng gi i h n b i
các ñư ng là :
x = a x = b
 ; 
 y = f (x )  y = g (x )
ðư c tính như sau :
b
S = ∫ f ( x ) − g (x ) dx
a

2)Tính th tích :


N u di n tích S (x ) c a m t c t v t th do m t ph ng vuông góc v i tr c t a ñ , là
hàm s liên t c trên ño n [a, b] thì th tích v t th ñư c tính :
b
V = ∫ f ( x )dx
a

N u hàm s f ( x ) liên t c trên [a, b] và (H) là hình ph ng gi i h n b i các ñư ng:
x = a , x = b

 y = f (x )
Ox

Khi (H) quay quanh Ox ta ñư c 1 v t th tròn xoay . Lúc ñó th tích ñư c tính :
b
V = π ∫ [ f (x )] dx
2

a

Tương t ta cũng có th tính th tích v t th quay quanh oy

3)Tính gi i h n :
n b
 xi −1 ≤ ξ i ≤ x
lim ∑ f (ξ i ).∆xi = ∫ f ( x )dx trong ñó 
∆ x = xi − xi −1
n →∞
i =1 a

T ñó ta xây d ng bài toán gi i h n như sau :
n
1 i
Vi t dãy s thành d ng : S n = ∑ f   sau ñó l p phân ho ch ñ u trên [0,1] , ch n
i =1 n n
1
i 1 i
n
ξ i = xi = ta có lim ∑ f   = ∫ f ( x )dx
n n→∞
i =1 n n 0
4)Tính ñ dài cung ñư ng cong trơn:
N u ñư ng cong trơn cho b i phương trinh y = f (x ) thì ñ dài ñư ng cung nó ñư c tính
như sau :
b
l = ∫ 1 + ( y ′) dx v i a, b là hoành ñ các ñi m ñ u cung .
2

a

4)Tính t ng trong khai tri n nh th c Newton.
Tìm công th c t ng quát , ch n s li u thích h p,sau ñó dùng ñ ng nh t th c, bư c cu i
cùng là tính tích phân .

Hình1a hình1b


hình1c hình1d

BÀI T P

Tính di n tích hình tròn , tâm O , bán kính R.

Bài làm : (hình 1a)
Phương trình ñư ng tròn có d ng :
x2 + y2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2
R
Do tính ñ i x ng c a ñ th nên : S = 4∫ R 2 − x 2 dx
0

ð t : x = R sin t ⇒ dx = R cos tdt
x = 0 → t = 0 x = 0 → t = 0
ð ic n: 
 π

 π
x = R → t = 2
 x = R → t = 2

π π
2 2
S = 4 ∫ R 2 − sin 2 t R cos tdt = 2 R 2 ∫ (1 + cos 2t )dt
0 0
V y: π
 1 2
= 2 R 2  x + sin 2t  = πR 2 (dvdt )
 2 0

Xét hình ch n phía dư i b i Parabol y = x 2 , phía trên b i ñư ng th ng ñi qua ñi m
A(1,4) và h s góc là k . Xác ñ nh k ñ hình ph ng trên có di n tích nh nh t .

Bài làm (hình 1b)
Phương trình ñư ng th ng có d ng.
y = k ( x − 1) + 4
Phương trình hoành ñ giao ñi m .
x 2 = k ( x − 1) + 4 ⇔ x 2 − kx + k − 4 = 0
Phương trình trên luôn có hai nghi m , gi s x1 < x2

V y di n tích là :
x2
 x3 k 
x2

S= ∫[ ]
k ( x − 1) + 4 − x dx = − + x 2 + (4 − k )x 
2

x1  3 2  x1
 1 2
( )1
= ( x2 − x1 )− x2 + x1 x2 + x12 + k ( x2 + x1 ) + (4 − k )

(*)
 3 2 
 x2 + x1 = k

V i :  x2 .x1 = k − 4


( x2 − x1 )2 = (x 2 2 + x 21 ) − 4 x2 .x1 = k 2 − 4(k − 4 )
2

Th vào (*) ta ñư c :
S = k 2 − 4k + 16 − (k 2 − 4k + 4 ) + k 2 + (4 − k )
 1 1 
 3 2 
k − 4k + 16 (k 2 − 4k + 16 )
1 2
=
6
=
1
6 6
[
(k 2 − 4k + 16)3 = 1 (k − 2)2 + 12 3 ≥ 4 3]
V y : min S = 4 3 khi k = 2
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng :

ax = y
2


ay = x 2


Bài làm : (hình 1c)
Do tính ch t ñ i x ng c a ñ th mà ta ch c n xét a > 0
ax = y 2 ( x − y )( x + y + a ) = 0
 
Xét : ay = x 2 ⇔ ay = x 2
a > 0 a > 0
 
V i x = y ta ñư c :
x = y
  x = a (n )
ay = x ⇔ 
2

a > 0  x = 0 (l )

V i x + y + a = 0 ta ñư c :
x + y + a = 0  x 2 + ax + a 2 = 0
  x = a (n )
ay = x ⇔ ay = x 2 ⇔
2

a > 0 a > 0 x = 0 (l )
 
Ta l i có :


 y = ± ax
ax = y 2 
  x2
ay = x ⇔  y =
2

a > 0  a
 a > 0

V y di n tích c n tính là :
a
 x2 
a
 1
x2 
S = ∫  ax − dx = ∫  a x 2 − dx
0
a 0
a
a
3 3
x3  1
=  ax 2 −  = a2 (dvtt )
2 3a 
0
3

B n ñ c t làm :
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng :
x − y3 + 1 = 0 y = x2 x = y  x2 y 2
   + =1
a)  x + y − 1 = 0 b)  y = 4 x c)  x + y − 2 =0 d)  a 2 b 2

x = 2 y = 4 y = 0 a , b ≠ 0
   
Hình v tương ng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d

V i m i s nguyên dương n ta ñ t :
15 + 2 5 + 35 + ... + n 5
Sn =
n6
Tính lim S n .
n →∞

Bài làm :
1  1  5  2  5  3  5 n 
5

Sn =   +   +   + ....... +   
n  n   n   n 
 n 
5
n
1i
= ∑ . 
i =1 n  n 

Xét hàm s f (x ) = x 5 ∀ ∈ [0, 1] .
Ta l p phân ho ch ñ u trên [0,1] v i các ñi m chia :
1
0 = x0 < x1 < x2 < .....xn−1 < xn = 1 và chi u dài phân ho ch l = xi − xi−1 =
n
5

ta có lim ∑ (xi − xi −1 ) f (ζ i ) = ∑ . 
n n
i 1 i
Ch n ξ i = xi =  
i =1 n  n 
n n →∞
i =1
1
1
⇒ lim S n = lim S n = ∫ x 5 dx =
l →0 n →∞ 0
6

V i m i s nguyên dương n ta ñ t :
1 1 1 1
Sn = + + + ...... +
n +1 n + 2 n + 3 n+n
Tính lim S n .
n →∞

Bài làm :
 
1  1 1 1 1 
Sn =  + + + ...... + 
n 1
+1
2 3 n
 +1 +1 +1 
n n n n 
 
n
1 1 
= ∑ . 
ni 
i =1
 +1
n 
1
Xét hàm s ∀ ∈ [0,1] .
f (x ) =
x +1
Ta l p phân ho ch ñ u trên [0,1] v i các ñi m chia :


1
0 = x0 < x1 < x2 < .....xn−1 < xn = 1 và chi u dài phân ho ch l = xi − xi−1 =
n
 
i n n
1 1 
Ch n ξ i = xi = ta có lim ∑ (xi − xi−1 ) f (ζ i ) = ∑ . 
i =1 n  
n n →∞ i
i =1
 + 1
 n 
1
dx 1
⇒ lim S n = lim S n = ∫ = ln x + 1 0 = ln 2
l →0 n→∞ 0
x +1


Giasudhsphn.com.cac pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (13)

Más de Nhập Vân Long

Más de Nhập Vân Long (20)

Último

Último (20)

Giasudhsphn.com.cac pp-tim-nguyen-ham-tich-phan