Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho các số a, b, c, a’, b’, c’ ∈ 𝑅 thỏa mãn: (a2 + b2)(a’2 + b’2) # 0. Hệ phương trình
có dạng: ( 𝐼) {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑐′ được gọi là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
VD: {
2𝑥 + 3𝑦 = 4
3𝑥 − 5𝑦 = 6
là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
II. PHƯƠNG PHÁP THẾ:
Không mất tính tổng quát có thể cho b # 0. Rút y từ phương trình đầu và thế vào
phương trình dưới: {
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 +
𝑐
𝑏
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
. (−
𝑎
𝑏
𝑥 +
𝑐
𝑏
) = 𝑐′
 {
( 𝑎𝑏′
− 𝑎′
𝑏) 𝑥 = 𝑐𝑏′
− 𝑐′𝑏
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 +
𝑐
𝑏
Giải và biện luận:
a) Nếu ab’ – a’b # 0 thì hệ (I) có đúng 1 nghiệm: {
𝑥 =
𝑐 𝑏′−𝑐′𝑏
𝑎𝑏′−𝑎′𝑏
𝑦 =
𝑎𝑐′−𝑎′𝑐
𝑎𝑏′−𝑎′𝑏
b) Nếu ab’ – a’b = 0 và cb’ – c’b # 0 thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu ab’ – a’b = cb’ – c’b = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm (x0; y0) thỏa mãn:
ax0 + by0 = c.
VD1: Giải và biện luận hệ phương trình: {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥 + 7𝑦 = 𝑚 + 3
Giải
Ta có: {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥 + 7𝑦 = 𝑚 + 3
↔ {
𝑦 = −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥 + 7(−𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1) = 𝑚 + 3
 {
𝑦 = −𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1
(5𝑚 − 1) 𝑥 = 13𝑚 − 10
Nếu 5m – 1 # 0  𝑚 ≠
1
5
hệ trở thành: {
𝑦 = −𝑚.
13𝑚−10
5𝑚−1
+ 2𝑚 − 1
𝑥 =
13𝑚−10
5𝑚−1

2.  {
𝑥 =
13𝑚−10
5𝑚−1
𝑦 =
−3𝑚2+3𝑚+1
5𝑚−1
. Hệ có nghiệm {
𝑥 =
13𝑚−10
5𝑚−1
𝑦 =
−3𝑚2+3𝑚+1
5𝑚−1
.
Nếu 5m – 1 = 0  𝑚 =
1
5
. Hệ trở thành: {
𝑦 = −
1
5
𝑥 + 2.
1
5
− 1
0𝑥 = 13.
1
5
− 10
↔
{
𝑦 = −
1
5
𝑥 + 2.
1
5
− 1
0 = −
37
10
Vô lý => hệ vô nghiệm.
II. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:
VD2: Giải hệ phương trình: {
𝑥 − 3𝑦 = 6
2𝑥 + 5𝑦 = 23
Giải
Cộng:
Ta có: {
𝑥 − 3𝑦 = 6
2𝑥 + 5𝑦 = 23
↔ {
2𝑥 − 6𝑦 = 12
2𝑥 + 5𝑦 = 23
↔ {
𝑥 − 3𝑦 = 6
(2𝑥 + 5𝑦) − (2𝑥 − 6𝑦) = 23 − 12
 {
𝑥 = 3𝑦 + 6
11𝑦 = 11
↔ {
𝑥 = 9
𝑦 = 1
. Vậy (x; y) = (9; 1)
Thế: {
𝑥 − 3𝑦 = 6
2𝑥 + 5𝑦 = 23
↔ {
𝑥 = 3𝑦 + 6
2(3𝑦+ 6) + 5𝑦 = 23
↔ {
𝑥 = 9
𝑦 = 1
III. ĐỊNH THỨC:
Xét hệ phương trình: ( 𝐼){
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑐′
Ta ký hiệu: 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑎′ 𝑏′
| = 𝑎𝑏′
− 𝑎′
𝑏; 𝐷𝑥 = |
𝑐 𝑏
𝑐′ 𝑏′
| = 𝑐𝑏′
− 𝑐′
𝑏;
𝐷 𝑦 = |
𝑎 𝑐
𝑎′ 𝑐′
| = 𝑎𝑐′
− 𝑎′
𝑐 .
Khi đó:{
𝑥𝐷 = 𝐷𝑥
𝑦𝐷 = 𝐷 𝑦
Giải và biện luận:

3. a) Nếu D # 0 thì hệ (I) có đúng 1 nghiệm: {
𝑥 =
𝐷 𝑥
𝐷
𝑦 =
𝐷 𝑦
𝐷
b) Nếu D = 0 và Dx # 0 hoặc Dy # 0 thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm (x0; y0) thoản mãn: ax0 + by0 = c
Ví Dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình: {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥 + 7𝑦 = 𝑚 + 3
bằng
phương pháp dùng định thức.
Giải
Ta có: 𝐷 = |
𝑚 1
(2𝑚 + 1) 7
| = 7𝑚 − (2𝑚 + 1) = 5𝑚 − 1
𝐷𝑥 = |
2𝑚 − 1 1
𝑚 + 3 7
| = (2𝑚 − 1).7 − ( 𝑚 + 3) = 13𝑚 − 10
𝐷 𝑦 = |
𝑚 (2𝑚 − 1)
(2𝑚 + 1) 𝑚 + 3
| = 𝑚( 𝑚 + 3) − (2𝑚 + 1)(2𝑚 − 1)
= −3𝑚2
+ 3𝑚 + 1
Nếu D = 5m – 1 # 0  𝑚 ≠
1
5
. hệ có nghiệm duy nhất: {
𝑥 =
13𝑚−10
5𝑚−1
𝑦 =
−3𝑚2+3𝑚+1
5𝑚−1
Nếu D = 5m – 1 = 0  𝑚 =
1
5
thì Dx = 13.
1
5
− 10 = −
37
5
≠ 0. Hệ vô nghiệm.
IV. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC:
Xét hai đường thẳng (d): ax + by = c và (d’): a’x + b’y = c’. Ta biện luận số
nghiệm của (I):
a) Nếu (d) và (d’)cắt nhau thì hệ (I) có đúng 1 nghiệm.
b) Nếu (d) và (d’)song song với nhau thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu (d) và (d’)trùng nhau thì hệ (I) có vô số nghiệm. Đó là tập nghiệm S của
phương trình ax + by = c.
Ví Dụ 4: Cho hệ phương trình: {
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥 + 7𝑦 = 𝑚 + 3
.

4. a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m (khỏi làm).
b) Khi hệ có nghiệm (x0; y0) xác định hệ thức liên hệ giữa x0 và y0 không chứa m.
Giải
b) Giả sử hệ có nghiệm (x0; y0) thì ta có:
{
𝑚𝑥0 + 𝑦0 = 2𝑚 − 1
(2𝑚 + 1) 𝑥0 + 7𝑦0 = 𝑚 + 3
↔ {
𝑦0 + 1 = 𝑚(2 − 𝑥0)
𝑚(1 − 2𝑥0) = 𝑥0 + 7𝑦0 − 3
Nhân vế với vế của hai phương trình được:
m(1 – 2x0)(y0 + 1) = m(2 – x0)(x0 + 7y0 – 3)
Khi m # 0 ta có hệ thức: (1 – 2x0)(y0 + 1) = (2 – x0)(x0 + 7y0 – 3) (*)
Khi m = 0 ta có: {
𝑦0 + 1 = 0
𝑥0 + 7𝑦0 − 3 = 0
↔ {
𝑥0 = 10
𝑦0 = −1
Khi đó thay x0 = 10 và y0 = -1 vào (*) vẫn đúng.
Vậy hệ thức cần tìm là: (1 – 2x0)(y0 + 1) = (2 – x0)(x0 + 7y0 – 3) .
Bài Tập Tự Luyện
Dùng Phương Pháp Thế Giải:
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) {
√3𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − √3𝑦 = −8
b) { 𝑥 − 2𝑦 = −6 + 2√5
4𝑥 − 3𝑦 = 15
Bài 4: Xác định các hệ số a và b, biết hệ phương trình {
𝑎𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 + 𝑏𝑦 = 4
Có nghiệm (3; -2).
Bài 5: Tìm a; b để đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm M(-3; -10) và N(2; 5)
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
a) {
5
𝑥
+
1
𝑦
= 4
10
𝑥
−
3
𝑦
= 23
b) {
4𝑥2
+ 𝑦3
= −11
5𝑥2
− 3𝑦3
= −61
Bài 7: Giải và biện luận hệ phương trình: {
𝑚𝑥 − 𝑦 = −3𝑚
9𝑥 − 𝑚𝑦 = 8𝑚 − 3
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (3x – y + 3)2 + (ax + y – 7)2 (a là hằng số)

5. Dùng Phương Pháp Cộng Đại Số Giải:
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) {
2𝑥 + √2𝑦 = 4
√2𝑥 − 3𝑦 = −2√2
b) {
√3𝑥 − 2√2𝑦 = 11
√2𝑥 + 3√3𝑦 = −5√6
Bài 4: Xác định a và b để đường thẳng ax + by = -4 đi qua hai điểm A(2; 5) và B(-6; -7).
Bài 5: Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + 2.
Xác định a, b biết P(-2) = 24; P(3) = 14.
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
a) {
3
𝑥−𝑦+1
+
2
𝑥+𝑦−2
= −21
2
𝑥−𝑦+1
−
3
𝑥+𝑦−2
= −1
b) {
7
√𝑥−8
+
2
√ 𝑦+7
=
8
3
3
√𝑥−8
−
5
√ 𝑦+7
=
1
6
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:
a) {
𝑥𝑦 = 𝑥 + 3𝑦
𝑦𝑧 = 2(2𝑦 + 𝑧)
𝑥𝑧 = 3(3𝑧 + 2𝑥)
b) {
3𝑥𝑦 = 2(𝑥 + 𝑦)
5𝑦𝑧 = 6(𝑦 + 𝑧)
4𝑥𝑧 = 3(𝑥 + 𝑧)
Giải
a) Nếu x = 0 => y = z = 0. Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là 1 nghiệm của hệ.
Nếu x # 0 thì y # 0; z #0.
Ta có: {
𝑥𝑦 = 𝑥 + 3𝑦
𝑦𝑧 = 2(2𝑦 + 𝑧)
𝑥𝑧 = 3(3𝑧 + 2𝑥)
↔
{
1
𝑦
+
3
𝑥
= 1
4
𝑧
+
2
𝑦
= 1
9
𝑥
+
6
𝑧
= 1
(I)
Đặt 𝑎 =
1
𝑥
; 𝑏 =
1
𝑦
; 𝑐 =
1
𝑧
, hệ (I) trở thành:
{
3𝑎 + 𝑏 = 1
2𝑏 + 4𝑐 = 1
9𝑎 + 6𝑐 = 1
↔ {
𝑏 = 1 − 3𝑎
2(1 − 3𝑎) + 4𝑐 = 1
9𝑎 + 6𝑐 = 1
↔ {
𝑏 = 1 − 3𝑎
6𝑎 − 4𝑐 = 1
9𝑎 + 6𝑐 = 1

6.  {
𝑏 = 1 − 3𝑎
18𝑎 − 12𝑐 = 3
18𝑎 + 12𝑐 = 2
↔ {
𝑏 = 1 − 3𝑎
6𝑎 − 4𝑐 = 1
36𝑎 = 5
↔ {
𝑏 = 1 − 3𝑎
𝑐 =
6𝑎−1
4
𝑎 =
5
36
↔
{
𝑎 =
5
36
𝑏 =
7
12
𝑐 = −
1
24
=> {
𝑥 =
36
5
𝑦 =
12
7
𝑧 = −24
Kết luận: ( 𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ {(0;0;0),(
36
5
;
12
7
; −24)}
Dùng Định Thức Giải
Bài 2: Với các giá trị nào của m thì hệ (I) sau đây có nghiệm duy nhất:
{
2𝑚𝑥 − 3𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 2𝑚
(I)
Bài 3: Với các giá trị nào của tham số a thì hệ {
𝑎2
𝑥 + 4𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 𝑎
(𝐼)
a) Có nghiệm duy nhất b) vô nghiệm c) vô số nghiệm
Bài 4: Với các giá trị nào của a và b thì hệ phương trình:
{
2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 12
𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 = −6
(𝐼) có nghiệm là (x; y) = (-2; 1)
Bài 5: Giải hệ phương trình: {
3𝑥
𝑥−1
−
2𝑦
𝑦+2
= 13
𝑥
𝑥−1
+
3𝑦
𝑦+2
= −3
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:
a) {
5
𝑥−1
+
1
𝑦−1
= 10
1
𝑥−1
−
3
𝑦−1
= 18
b) {
4
𝑥+2𝑦
−
1
𝑥−2𝑦
= 1
20
𝑥+2𝑦
+
3
𝑥−2𝑦
= 1
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
a) {
√ 𝑥 − 1 − 3√ 𝑦 + 2 = 2
2√ 𝑥 − 1 + 5√ 𝑦 + 2 = 15
b) {
√ 𝑥 + 3 − 2√ 𝑦 + 1 = 2
2√ 𝑥 + 3 + √ 𝑦 + 1 = 4