transformada de laplace

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
' => !
1
Observación
1.- Dada la función 0Ð>Ñ oe > con > !
Determinar los = − ‘ tales que : ' _
/ =>
† 0Ð>Ñ.> converge !
Solución
' ' ! !
_ _
/=> † 0Ð>Ñ.> oe /=> † >.>
oe lim / † >.>
,Ä_
,
pero, como
' /=> † >.> oe  Ð >  " Ñ † /=> , si = Á !
= =#
oe lim  Ð  Ñ † /
,Ä_
> "
= =
=>
#
, ¸
!
oe lim  Ð  Ñ † / 
,Ä_
, " =,
"
= = =
# #
diverge si
diverge si
si
oe
=  !
= oe !
=  !
ÚÝÝÝÝÛ ÝÝÝÝÜ
"
=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'
ÚÝÝÝÝÛ
ÝÝÝÝÜ
_
!
#
/ † 0Ð>Ñ.> oe
=  !
= oe !
=  !
=>
"
=

2. 2.- Determinar los tales que = − ‘ : ' / † =/8Ð>Ñ.> converge !
2
_
=>
Solución
' ' ! !
_ ,
/=> † =/8Ð>Ñ.> oe lim
/=> † =/8Ð>Ñ.>
,Ä_
pero, como
' /=> † =/8Ð>Ñ.> oe  " /=>Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑ
"=#
, ¸
oe lim  / Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑ
,Ä_
"
"=
=>
#
!
oe lim  / Ð-9=Ð>Ñ = † =/8Ð>ÑÑ
,Ä_
" =>
"
"= "=
# #
diverge si
diverge si
si
oe
=  !
= oe !
=  !
ÚÝÝÝÝÛ
ÝÝÝÝÜ
"
"=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'
ÚÝÝÝÝÛ
ÝÝÝÝÜ
_
!
#
/ † =/8Ð>Ñ.> oe
=  !
= oe !
=  !
=>
"
"=

3. 3.- Determinar los tales que = − ‘ : ' / † / .> converge !
3
_
=> #>
Solución
' ' ' ! ! !
_ _ ,
/=> † /#>.> oe /Ð#=Ñ> .> oe lim
/Ð#=Ñ> .>
,Ä_
oe lim /
,Ä_
"
#=
,
Ð#=Ñ>¸!
oe lim Ð /  Ñ
,Ä_
" Ð#=Ñ,
"
#= #=
diverge si
diverge si
si
oe
=  #
= oe #
=  #
ÚÝÝÝÝÛ
ÝÝÝÝÜ
"
=#
luego, se tiene que :
diverge si
diverge si
si
'
ÚÝÝÝÝÛ
ÝÝÝÝÜ
_
/ † / .> oe
!
=  #
= oe #
=  #
=> #>
"
=#
Definición
Una función 0 se dice continua por tramos en Ò+ß ,Ó
ssi
1.- 0 es acotada en Ò+ß ,Ó
2.- 0 es continua en Ò+ß ,Ó salvo un número finito de puntos
Teorema
Si es continua por tramos en Ò+ß ,Ó
entonces 0 es Riemann Integrable en Ò+ß ,Ó

4. => "
4
Observación
Sea 0 À ‘ 
qqqqqp‘ función , = − ‘ !
se tiene que : '!
_
/=> † 0Ð>Ñ.>
puede ser convergente para ciertos valores de =, siempre que 0 tenga
ciertas caracteristicas que permitan la convergencia .
Si esto es posible, se tendra que es posible definir una función que
asigne a cada uno de los valores de = , el valor de convergencia de la
integral impropia
Definición
Sea 0 À ‘ qqqqqp‘ función !

> qqqqqp 0Ð>Ñ
sea _
E oe Ö! − ‘Î ' / !>
† 0Ð>Ñ.> converge × Á 9 !
Llamaremos Transformada de Laplace de 0 a la función
_Ò0Ð>ÑÓ À E qqqqqp ‘
= qqqp ' _
/ =>
† 0Ð>Ñ.> !
es decir _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ À oe ' _
/ =>
† 0Ð>Ñ.> !
Ejemplo
1.- Si 0Ð>Ñ oe > à > − ‘ 
; se tiene que !
_Ò > Ó À ‘ qqqqqp ‘
= qqqp "
=#
es decir ' _
_Ò > ÓÐ=Ñ À oe / † > .> oe !
#
=

5. 2.- Si 0Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ à > − ‘ 
; se tiene que !
_Ò=/8Ð>ÑÓ À ‘ qqqqqp ‘
=# '!
5
= qqqp "
"=#
es decir ' _
_Ò =/8Ð>Ñ ÓÐ=Ñ À oe / † =/8Ð>Ñ .> oe !
#
=> "
"=
3.- Si 0Ð>Ñ oe /#> à > − ‘
; se tiene que
!
_Ò/#>Ó À Ó#ß _Ò qqqqqp ‘
= qqqp "
=#
_
es decir _Ò /#> ÓÐ=Ñ À oe /=> † /#> .> oe "
Ejemplo
Determinar _Ò0Ð>ÑÓ si 0Ð>Ñ oe " à > − ‘!

Solución
_Ò 0Ð>Ñ ÓÐ=Ñ oe _Ò " ÓÐ=Ñ oe ' _
/ => .> oe "
ß =  ! !
=
con lo cual :
_Ò"Ó À ‘ qqqqqp ‘ es decir _Ò"ÓÐ=Ñ oe "
=
= qqqp "
=
Ejercicio
Determinar :
1.- _Ò>#Ó à 2.- _Ò=/8Ð#>Ñ Ó à 3.- _Ò-9=Ð$>ÑÓ à 4.- _Ò#>  $Ó
5.- _Ò#>#  "Ó à 6.- _Ò> † /> Ó à 7.- _ÒÐ#>  $Ñ † /#>Ó
8.- _Ò/+>Ó à 9.- _Ò=/8Ð+>Ñ Ó à 10.- _Ò-9=Ð+>ÑÓ

6. 8 8 >
> oe ! ß > à > Ÿ /
# >#
6
Definición
Sea 0 À ‘ qqqqqp ‘ función !

> qqqp 0Ð>Ñ
Diremos que 0 es una función de orden exponencial
ssi
 ¸ ¸ !
Ðb- − ‘ÑÐb! − ‘ÑÐa> − ‘ ÑÐ 0Ð>Ñ Ÿ - † / > Ñ
!
Ejemplo
1.- 0Ð>Ñ oe - función constante , es de orden exponencial ya que
¸0Ð>Ѹ oe ¸-¸ Ÿ ¸-¸ † /!†>
2.- 0Ð>Ñ oe > , es una función de orden exponencial ya que
¸0Ð>Ѹ oe ¸>¸ Ÿ " † /> oe />
3.- En general toda función del tipo :
0Ð>Ñ oe /+> ß 0Ð>Ñ oe =/8Ð+>Ñ ß 0Ð>Ñ oe -9=Ð+>Ñ ß 0Ð>Ñ oe /+>=/8Ð,>Ñ ß
0Ð>Ñ oe /+>-9=Ð,>Ñ ß 0Ð>Ñ oe >8 ß 0Ð>Ñ oe > † /+> ß 0Ð>Ñ oe >8 † /+> ß
0Ð>Ñ oe > † =/8Ð,>Ñ ß 0Ð>Ñ oe > † -9=Ð,>Ñ ß 0Ð>Ñ oe ># † =/8Ð,>Ñ ß ÞÞÞÞ
son funciones de orden exponencial.
Observación
1.- 0Ð>Ñ oe >8 es de orden exponencial ya que , se sabe que :
lim >
es decir , se cumple que a partir de cierto
>Ä_
/
> lim e
2.- 0Ð>Ñ oe /> no es de orden exponencial ya que : oe  _
>Ä_ /

7. /=> " .> /=> " .>
È> È>
7
Teorema
Si es continua por tramos y de orden 0 exponencial en ‘!

entonces
Ê' _
Ðb! − ‘ ÑÐa= − ‘ÑÐ=  ! / =>
0Ð>Ñ.> converge Ñ !
Observación
El ser de orden exponencial, es una condición suficiente para la existencia
de la Transformada de Laplace, pero no es una condición necesaria
Ejemplo
0Ð>Ñ oe " no es de orden exponencial ,sin embargo
È>
' _
/=> " .>
converge, basta considerar : !
È>
' 1 y ' _
las cuales son convergentes !
1
Observación
Sean V oe Ö0 Î0 continua por tramos y de orden exponencial ×
Y oe Ö1 ÎH97Ð1Ñ oe Ó=!ß _Ò ó H97Ð1Ñ oe Ò=!ß _Ò con =! − ‘×
se tiene que
Ð V ß  ß Þ Ñ y ÐY ß  ß Þ Ñ son espacios vectoriales sobre ‘ con la suma y
multiplicación por escalar usual
ademas, se tiene que
_ À V qqqqqp Y es una función
0 qqqqp _Ò0Ó
pero : si 0Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ à 1Ð>Ñ oe  =/8Ð>Ñ

8. 8
se cumple que :
=#" =#" si ‘
Ð_Ò0Ó _Ò1ÓÑÐ=Ñ oe _Ò0ÓÐ=Ñ _Ò1ÓÐ=Ñ oe "  " oe ! = −
por otro lado, se tiene que
_Ò0  1Ó Ð=Ñ oe _Ò!ÓÐ=Ñ oe ! si = − ‘
es decir, se tiene que
Ð_Ò0Ó _Ò1ÓÑÐ=Ñ Á _Ò0  1Ó Ð=Ñ por lo tanto _ no es lineal
pero si consideramos que en Y dos funciones son iguales
ssi lo son en algún intervalo del tipo : Ó+ß _Ò ó Ò+ß _Ò
se tendra que _ es lineal, con lo cual podemos decir que
_ À V qqqqqp Y es una función lineal, por lo tanto se cumple que :
0 qqqqp _Ò0Ó
' _
Ð_Ò0Ó _Ò1ÓÑÐ=Ñ oe / =>
Ð0  1ÑÐ>Ñ.> !
' _ ' _
oe / => 0 Ð>Ñ.>  / =>
1 Ð>Ñ.> ! !
oe _Ò0ÓÐ=Ñ _Ò1ÓÐ=Ñ
donde ambas convergen

9. 9
Ejemplo
Se sabe que :
_Ò/$>Ó oe " ß =  $ à _Ò>Ó oe " ß =  ! à _Ò"Ó oe " ß =  !
=$ =# =
_Ò=/8Ð>ÑÓ oe " ß =  ! à _Ò-9=Ð>ÑÓ oe = ß =  !
=#" =#"
por lo tanto , se tiene que :
1.- _Ò/$>  >Ó oe "  " para =  $
=$ =#
2.- _Ò#/$>  %=/8Ð>ÑÓ oe #  % para =  $
=$ =#"
3.- _Ò$ #>Ó oe "  # para =  !
= =#
4.- _Ò # $-9=Ð>ÑÓ oe #  $= para =  !
= =#"
5.- _Ò =/8#Ð>ÑÓ oe _Ò "-9=Ð#>Ñ Ó oe " _Ò "Ó  "
_Ò -9=Ð#>ÑÓ
# # #
oe "  " = para =  !
#= # =#%
Ejercicios
Determinar
1.- _Ò >/#>Ó à 2.- _Ò >#/#>Ó à 2.- _Ò -9=#Ð>ÑÓ
4.- _Ò 0Ð>ÑÓ si 0Ð>Ñ oe
! à ! Ÿ >  %
# à > %
ÚÛ
Ü
5.- _Ò 0Ð>ÑÓ si 0Ð>Ñ oe
> à ! Ÿ >  #
#>  " à > #
ÚÛ
Ü

10.  con númerable
10
Observación
Como sabemos se tiene que :
_ À V qqqqqp Y es una función lineal
0 qqqqp _Ò0Ó
pero, se tiene que : dadas 0ß 1 − V tal que
0Ð>Ñ oe 1Ð>Ñ a> − ‘ ÏE E !
se cumple que :
' _ _
_Ò0ÓÐ=Ñ oe / => 0 Ð>Ñ.> oe ' / =>
1 Ð>Ñ.> oe _Ò1ÓÐ=Ñ ! !
por lo tanto, se tiene que _ no es inyectiva
pero, si consideramos en V que dos funciones son iguales ssi son iguales
casi en todas partes , se tendra que : _ es inyectiva
Teorema(DE LERCH)
Sean 0ß 1 funciones continuas por tramo y de orden exponencial
tal que :
Ðb=! − ‘ ÑÐa=  =!ÑÐ_Ò0ÓÐ=Ñ oe _Ò1ÓÐ=Ñ Ñ
entonces
0Ð>Ñ oe 1Ð>Ñ a>  ! salvo discontinuidades
Observación
Por lo anterior, la ecuación : _ÒCÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ − Y
de tener solución ,ésta es única y la denotaremos por :
C oe _"Ò:Ð=ÑÓ y diremos que es la Transformada Inversa
Teorema
Si 0 es de orden exponencial entonces lim _
Ò0ÓÐ=Ñ oe !
_

11. _" _"
11
Observación
Por lo anterior, se tiene que no es _ epiyectiva ya que
:Ð=Ñ oe =/8Ð=Ñ − Y
pero lim no existe
=/8Ð=Ñ
_
por lo tanto , no existe 0 − V tal que _Ò0ÓÐ=Ñ oe =/8Ð=Ñ
tambien, se tiene que À
:Ð=Ñ oe =
=" − Y
pero lim
_
=
=" oe " Á !
por lo tanto , no existe 0 − V tal que _Ò0ÓÐ=Ñ oe =
="
Ejemplo
Determinar
1.- _" #="
= #= Ò Ó #
Solución
_" #=" _" #="
= #= =Ð=#Ñ Ò Ó oe Ò Ó #
" $
# #
oe _"Ò  Ó
= =#
oe " Ò " Ó $ Ò " Ó
# = # =#
oe "  $/
# #
#>

12. $ # $ #
12
$ #
2.- _" = &= =#
Ò Ó
= % = #
Solución
_" = &= =# _" = &= =#
Ò Ó oe Ò Ó
= % = # = # Ð= #
"Ñ oe _"Ò "  #  #=  $ Ó
= =# =#" =#"
oe _"Ò " Ó _"Ò # Ó _"Ò #= Ó _"Ò $ Ó
= =# =#" =#"
oe _"Ò " Ó #_"Ò " Ó #_"Ò = Ó $_"Ò " Ó
= =# =#" =#"
oe " #>  #-9=Ð>Ñ $=/8Ð>Ñ
#
$ #
3.- _" %= =#
= = Ò Ó
Solución
# #
$ # #
_" %= =# _" %= =#
= = = Ð="Ñ Ò Ó oe Ò Ó
oe _"Ò $  #  " Ó
= =# ="
oe _"Ò $ Ó _"Ò # Ó _"Ò " Ó
= =# ="
oe $_"Ò " Ó #_"Ò " Ó _"Ò " Ó
= =# ="
oe $ #>  />

13. 13
4.- _" #=$
= % Ò Ó #
Solución
_" #=$ _" #= $
= % = % = % Ò Ó oe Ò  Ó # # #
oe _"Ò #= Ó _"Ò $ Ó
=#% =#%
oe #_"Ò = Ó $_"Ò # Ó
=#% # =#%
oe #-9=Ð#>Ñ $=/8Ð#>Ñ
#
Ejercicios
1.- Determinar
3Ñ _Ò /#>%Ó
33Ñ _Ò =/8Ð#>  1 ÑÓ
%
333Ñ _Ò -9=#Ð$>ÑÓ
3@Ñ _Ò Ó Ð#>"Ñ
/#>
2.- Determinar
3Ñ _"Ò #=$ Ó
=#%
$ #
33Ñ _"Ò $= &= =" Ó
%
= "
$
#
333Ñ _" Ò #= ")="! Ó
Ð= *ÑÐ="Ñ
3@Ñ _" Ò #=$ Ó
Ð=#"ÑÐ="Ñ#

14.  ß
=> ¸ ' => !
14
Teorema
Sea continua en y supongamos que es continua 0 ‘ 0 por tramos y !
de orden exponencial en ‘!

entonces
ß
_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe =_Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ
Demostración
ß ' _
ß =>
!
_Ò 0 Ð>Ñ Ó Ð=Ñ oe / 0 Ð>Ñ .>
ß
sea ? oe /=> à .@ oe 0 Ð>Ñ .>
.? oe  =/=>.> @ oe 0Ð>Ñ
con lo cual, se tiene que
ß
_
_
_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe / 0 Ð>Ñ  = / 0 Ð>Ñ .>
!
oe  0 Ð!Ñ  =_Ò 0 Ð>Ñ Ó
oe =_Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ
Observación
En general se tiene que :
ß si Ð8"Ñ 0ß 0 ß ÞÞÞÞß 0 son continuas en 
y supongamos que Ð8Ñ
0 es
‘!
continua por tramos y de orden exponencial en ‘!

entonces
ß
_Ò 0 Ð8ÑÐ>Ñ Ó oe =8_Ò 0 Ð>Ñ Ó =8"0Ð!Ñ =8#0 Ð!Ñ
ßß Ð8"Ñ
 =8$0 Ð!Ñ ÞÞÞÞÞ 0 Ð!Ñ

15. ß ßß
ß
15
Ejemplo
Determinar
1.- _Ò >=/8Ð>Ñ Ó
Solución
sea 0Ð>Ñ oe >=/8Ð>Ñ se tiene que
0 Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ >-9=Ð>Ñ à 0 Ð>Ñ oe #-9=Ð>Ñ >=/8Ð>Ñ
ßß
es decir : 0 Ð>Ñ oe #-9=Ð>Ñ 0Ð>Ñ
por lo tanto, se tendra que
ßß
_Ò0 Ð>Ñ Ó oe _Ò #-9=Ð>Ñ 0Ð>Ñ Ó
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó =0Ð!Ñ 0 Ð!Ñ oe #_Ò -9=Ð>Ñ Ó_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe #_Ò -9=Ð>Ñ Ó _Ò 0Ð>Ñ Ó
Í Ð=#  "Ñ Ò 0 Ð>Ñ Ó oe #=
= " _ #
Í _Ò 0 Ð>Ñ Ó oe #=
Ð=#"Ñ#

16. #> #> #>
16
#.- _Ò >/#>Ó
Solución
sea 0Ð>Ñ oe >/#> se tiene que
ß
0 Ð>Ñ oe /  #>/ oe /  #0Ð>Ñ
por lo tanto, se tendra que
ß
#>
_Ò0 Ð>Ñ Ó oe _Ò /  #0Ð>Ñ Ó
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ oe _Ò /#> Ó #_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe _Ò /#> Ó #_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í Ð=  #Ñ_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe "
=#
Í _Ò 0 Ð>Ñ Ó oe "
Ð=#Ñ#

17. 17
3.- _Ò -9=#Ð>ÑÓ
Solución
sea 0Ð>Ñ oe -9=#Ð>Ñ se tiene que
ß
0 Ð>Ñ oe  #-9=Ð>Ñ=/8Ð>Ñ oe  =/8Ð#>Ñ
por lo tanto, se tendra que
ß
_Ò0 Ð>Ñ Ó oe _Ò  =/8Ð#>Ñ Ó
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ oe  _Ò =/8Ð#>Ñ Ó
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó " oe  _Ò =/8Ð#>Ñ Ó
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó " oe  #
=#%
#
#
Í =_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe = #
= %
#
#
Í _Ò 0 Ð>Ñ Ó oe = #
=Ð= %Ñ
es decir :
#
#
_Ò -9=#Ð>ÑÓ oe = #
=Ð= %Ñ

18. > > >
> >
ß ß
18
4.- _Ò />-9=Ð>ÑÓ
Solución
sea 0Ð>Ñ oe />-9=Ð>Ñ se tiene que
ß
0 Ð>Ñ oe / -9=Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ oe 0Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ
ßß ß
0 Ð>Ñ oe 0 Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ / -9=Ð>Ñ
ß
>
oe 0 Ð>Ñ / =/8Ð>Ñ 0Ð>Ñ
ß
oe #0 Ð>Ñ  #0Ð>Ñ
ßß ß
es decir : 0 Ð>Ñ oe #0 Ð>Ñ  #0Ð>Ñ
por lo tanto, se tendra que
ßß ß
_Ò0 Ð>Ñ Ó oe _Ò #0 Ð>Ñ  #0Ð>Ñ Ó
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó =0Ð!Ñ 0 Ð!Ñ oe #_Ò0 Ð>Ñ Ó #_Ò 0Ð>Ñ Ó
ß
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó =  " oe #_Ò0 Ð>Ñ Ó #_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó =  " oe #Ð=_Ò0 Ð>Ñ Ó 0Ð!ÑÑ #_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í =#_Ò 0 Ð>Ñ Ó =  " oe # =_Ò0 Ð>Ñ Ó #  #_Ò 0Ð>Ñ Ó
Í Ð=#  #= #Ñ_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe = "
Í ÐÐ= "Ñ#  "Ñ_Ò 0 Ð>Ñ Ó oe = "
Í _Ò 0 Ð>Ñ Ó oe ="
Ð="Ñ#"
es decir :
_Ò />-9=Ð>ÑÓ oe ="
Ð="Ñ#"

19. ßß ß ß
19
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial con condición inicial
1.- C  $C  #C oe ! tal que CÐ!Ñ oe $ ß C Ð!Ñ oe %
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
ßß ß
_Ò C  $C  #CÓ oe _Ò !Ó
ßß ß
Í _Ò C Ó $_Ò C Ó #_Ò CÓ oe !
ß
Í =#_Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!Ñ $Ð=_Ò C Ó CÐ!ÑÑ #_Ò CÓ oe !
Í =#_Ò C Ó $=  % $ =_Ò C Ó * #_Ò CÓ oe !
Í Ð=#  $= #Ñ_Ò C Ó oe $= &
Í Ð=  #ÑÐ= "Ñ_Ò C Ó oe $= &
Í _Ò C Ó oe $=&
Ð=#ÑÐ="Ñ
Í _Ò C Ó oe "  #
=# ="
Í C oe _" Ò "  # Ó
=# ="
Í C oe _" Ò " Ó #_" Ò " Ó
=# ="
Í C oe /#>  #/>

20. ß ßß
ßßß ßß ß
ß ßß
" " #* $
# & "! &
= =" =#%
" " #*=$
# & "! &
_" _" _" _" # #
20
ßßß ßß ß
2.- C  C  %C  %C oe  #
tal que À CÐ!Ñ oe ! ß C Ð!Ñ oe " ß C Ð!Ñ oe  "
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
ßßß ßß ß
_Ò C  C  %C  %CÓ oe _Ò  #Ó
Í _Ò C Ó _Ò C Ó %_Ò C Ó %_Ò CÓ oe 
#
=
Í Ð=$_Ò C Ó =#CÐ!Ñ =C Ð!Ñ C Ð!ÑÑ
ß
 Ð=#_Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!ÑÑ
 %Ð=_Ò C Ó CÐ!ÑÑ %_Ò CÓ oe  #
=
Í =$ Ò C Ó  =  "  =# Ò C Ó  "  % = Ò C Ó  % Ò CÓ oe  #
= _ _ _ _
#
Í Ð=$  =#  %= %Ñ Ò C Ó oe = #
= _
#
Í Ð= "ÑÐ=#  %Ñ Ò C Ó oe = #
= _
#
Í _Ò C Ó oe = #
#
=Ð="ÑÐ= %Ñ
Í _Ò C Ó oe  
 =
Í C oe _" Ò   Ó
#
= =" = %
Í C oe " Ò " Ó " Ò " Ó #* Ò = Ó $ Ò # Ó
# = & =" "! = % "! = %
Í C oe " Ó "/ >
 #*-9=Ð#>Ñ $ =/8Ð#>Ñ
# & "! "!

21. ßß ß
3.- C  C oe > tal que CÐ!Ñ oe  " ß C Ð!Ñ oe $
$ #
21
Solución
Aplicando transformada, se tiene :
ßß
_Ò C  CÓ oe _Ò >Ó
ßß
Í _Ò C Ó _Ò CÓ oe
"
=#
ß
Í =# Ò C Ó =CÐ!Ñ C Ð!Ñ Ò CÓ oe "
= _ _
#
Í =# Ò C Ó =  $ Ò CÓ oe "
= _ _ #
Í Ð=#  "Ñ Ò C Ó oe "  $ =
= _ #
Í Ð=#  "Ñ Ò C Ó oe = $= "
= _
#
$ #
# #
Í _Ò C Ó oe = $= "
= Ð= "Ñ
Í _Ò C Ó oe #  ="
=# =#"
Í C oe _" Ò #  =  " Ó
=# =#" =#"
Í C oe #_" Ò " Ó _" Ò = Ó _" Ò " Ó
=# =#" =#"
Í C oe #>  -9=Ð>Ñ =/8Ð>Ñ

22. 22
Observación
1.- El Teorema nos sirve para resolver ecuaciones diferenciales de
coeficientes constantes con condición inicial.
2.- En general dada una ecuación diferencial del tipo :
con coeficientes constantes ,con PÐCÑ oe 2ÐBÑ condición inicial
siempre que 2ÐBÑ sea de orden exponencial ,aplicando Laplace
se transforma en una ecuación del tipo :
_Ò C Ó oe :Ð=Ñ donde C oe _" Ò :Ð=Ñ Ó
Teorema
Sea 0 función de orden exponencial y continua por tramos en ‘!

y sea + − ‘!
Se cumple que
' > = " + _Ò 0ÐBÑ.B Ó _Ò 0Ð>Ñ Ó  "
' 0ÐBÑ.B + = =
!
Demostración
Sea 1Ð>Ñ oe ' >
0ÐBÑ.B +
ß
Ê 1 Ð>Ñ oe 0Ð>Ñ
ß
Ê _Ò 1 Ð>ÑÓ oe _Ò 0Ð>ÑÓ
Ê =_Ò 1Ð>ÑÓ 1Ð!Ñ oe _Ò 0Ð>ÑÓ
> !
Ê =_Ò ' 0ÐBÑ.BÓ ' 0ÐBÑ.B oe _Ò 0Ð>ÑÓ + +
> !
Ê =_Ò ' 0ÐBÑ.BÓ oe _Ò 0Ð>ÑÓ  ' 0ÐBÑ.B + +
' > " + Ê _Ò 0ÐBÑ.BÓ oe _Ò 0Ð>ÑÓ  "
' 0ÐBÑ.B + = =
!

23. + > + > > ' ' 0ÐBÑ.BÞÞÞÞÞÞ ' ' ÞÞÞ' 0ÐBÑ.B .B
"-9=Ð#>Ñ _
23
Observación
1.- En general, se tiene que À
' > ' > _Ò .....' > +
0ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ oe " _Ò 0Ð>ÑÓ  "
' 0ÐBÑ.B  = 8 =
8
+ + + !
8-veces
" " ....
=8" =
! + ! + +
Ð8  "Ñ-veces
2.- Si + oe ! se cumple que :
_Ò ' > 0ÐBÑ.BÓ oe "
_Ò 0Ð>ÑÓ !
=
' > ' > _Ò .....' >
0ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ oe "
_Ò 0Ð>ÑÓ =
8
! ! !
por lo tanto , se tendra que:
'!
>
0ÐBÑ.B oe _"Ò "_Ò 0Ð>ÑÓÓ
=
' ' .....' ! ! !
> > >
8 0ÐBÑ.BÞÞÞ.B oe _"Ò " _Ò 0Ð>ÑÓÓ
=
Ejemplo
Determinar
1.- _Ò ' >
=/8 #
ÐBÑ.BÓ !
Solución
>
_Ò ' =/8 # ÐBÑ.BÓ oe " _Ò =/8 #
Ð>ÑÓ !
=
oe " Ò Ó
= #
oe " Ò"Ó " Ò -9=Ð#>ÑÓ
#= #= _ _
oe "  " = oe #
#=# #= =#% =#Ð=#%Ñ

24. #> #>
_ #> _ #> _ #> _
_ #> _ #> _
24
2.- _Ò >/#>Ó
Solución
Se tiene que
' > #B
¸ !
>
!
B/#B.B oe  / Ð#B  "Ñ
%
#>
oe  / Ð#>  "Ñ "
% %
oe  " >/  "/  "
# % %
por lo tanto
>
_Ò' B/ #B .BÓ oe _Ò  " >/ #>  " / #>  "
Ó !
# % %
Í " Ò >/ Ó oe  " Ò >/ Ó " Ò / Ó " Ò " Ó
= # % %
Í Ð "  " Ñ Ò >/ Ó oe  " Ò / Ó " Ò " Ó
= # % %
Í Ð "  " Ñ _ Ò >/ #>
Ó oe  " "  " "
= # % =# % =
Í Ð #= Ñ _ Ò >/ #>
Ó oe "
#= #=Ð=#Ñ
Í _Ò >/#>Ó oe "
Ð=#Ñ#

25. # ¸!
25
3.- _" #
=Ð= %Ñ Ò Ó #
Solución
_" # _" " #
=Ð= %Ñ = Ð= %Ñ Ò Ó oe Ò † Ó # #
oe _"Ò " † _Ò =/8Ð#>ÑÓÓ
=
>
oe ' =/8Ð#BÑ.B !
oe  "-9=Ð#BÑ
>
oe  "-9=Ð#>Ñ "
# #
Ejercicios
Resolver aplicando el Teorema anterior
1.- _Ò ' >
-9= #
ÐBÑ.BÓ !
2.- _Ò Ð#>  "Ñ/$>Ó
3.- _" #
= Ð="Ñ Ò Ó #
4.- _" #
= Ð= "Ñ Ò Ó # #

26. 26
Teorema
Si _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ entonces _Ò/+> † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð= +Ñ
Demostración
_
_Ò/+> † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe ' /=> /+> † 0Ð>Ñ .> !
' _
oe / =>+>
† 0Ð>Ñ .> !
' _
oe / Ð=+Ñ>
† 0Ð>Ñ .> !
oe _Ò 0Ð>ÑÓÐ= +Ñ oe :Ð= +Ñ
Observación
Como _Ò/+> † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð= +Ñ
Ê /+> † 0Ð>Ñ oe _"Ò:Ð= +ÑÓ
Ê _"Ò:Ð= +ÑÓ oe /+> † 0Ð>Ñ
Ê _"Ò:Ð= +ÑÓ oe /+> † _"Ò:Ð= ÑÓ
Ê _"Ò:Ð= ÑÓ oe /+> † _"Ò:Ð= + ÑÓ
Ejemplo
Se sabe que _ Ò=/8Ð$>ÑÓ oe $ oe :Ð= Ñ
=#*
con lo cual, se tiene que
:Ð= # Ñ oe $ à :Ð= % Ñ oe $
Ð=#Ñ#* Ð=%Ñ#*
por lo tanto :
_ Ò/#>=/8Ð$>ÑÓ oe :Ð= # Ñ oe $
Ð=#Ñ#*
_ Ò/%>=/8Ð$>ÑÓ oe :Ð= % Ñ oe $
Ð=%Ñ#*

27. $Ð=""Ñ" $Ð=" Ñ#
Ò Ó oe Ò Ó oe Ò Ó # # #
# #
# #
"( "$
"! "!
Ò Ó oe Ò Ó oe Ò  Ó #
"( "$
"! "!
_" _"
'>_" %>_"
'> %>
27
Ejemplo
Se tiene que
1.- _ Ò/%>-9=Ð&>ÑÓ oe :Ð= % Ñ oe =%
Ð=%Ñ##&
2.- _ Ò/>>#Ó oe :Ð= " Ñ oe #
Ð="Ñ$
Ejemplo
Se tiene que
1.- _" $=" _" _"
= #="! Ð="Ñ * Ð="Ñ *
oe _" Ò $Ð=" Ñ Ó _" Ò #
Ó
Ð="Ñ * Ð="Ñ *
oe $_" Ò Ð=" Ñ Ó # _" Ò $
Ó
Ð="Ñ * $ Ð="Ñ *
oe $/> " Ò = Ó #/> " Ò $ Ó
_ _
= # * $ = #
* oe $/>-9=Ð$>Ñ #/> =/8Ð$>Ñ
$
2.- _" $=" _" $=" _"
= #=#% Ð='ÑÐ=%Ñ =' =%
oe _" Ò Ó _" Ò Ó
=' =%
oe "( Ò " Ó "$ Ò " Ó
"! =' "! =%
oe "(/ Ò " Ó "$ / Ò " Ó
"! = "! =
oe "(/  "$ /
"! "!

28. $Ð=##Ñ)
Ò Ó oe Ò Ó # #
# #
# #
#Ð=##Ñ$
Ò Ó oe Ò Ó # #
# #
# #
# #
$> $> $> $>
28
3.- _" $=) _"
= %=) Ð=#Ñ %
oe _" Ò $Ð=#Ñ  #
Ó
Ð=#Ñ % Ð=#Ñ %
oe $_" Ò Ð=#Ñ Ó _" Ò #
Ó
Ð=#Ñ % Ð=#Ñ %
oe $/#> " Ò = Ó /#> " Ò # Ó
_ _
= # % = #
% oe $/#>-9=Ð#>Ñ /#>=/8Ð#>Ñ
4.- _" #=$ _"
= %=#! Ð=#Ñ "'
oe _" Ò #Ð=#Ñ  (
Ó
Ð=#Ñ "' Ð=#Ñ "'
oe _" Ò #Ð=#Ñ Ó _" Ò (
Ó
Ð=#Ñ "' Ð=#Ñ "'
oe #_" Ò Ð=#Ñ Ó ( _" Ò %
Ó
Ð=#Ñ "' % Ð=#Ñ "'
oe #/#> " Ò = Ó (/#> " Ò % Ó
_ _
= # "' % = #
"' oe #/#>-9=Ð%>Ñ (/#>=/8Ð%>Ñ
%
& &
&.- _Ò > #>& Ó oe _ Ò >  #>  & Ó
/ / / /
oe _ Ò /$>>&  /$>#>  &/$>ÓÓ
oe _ Ò/ > Ó _ Ò / #>Ó _ Ò& / Ó $> & $> $>
oe _ Ò/ > Ó #_ Ò / >Ó &_ Ò / Ó $> & $> $>
oe "#!  #  &
Ð=$Ñ' Ð=$Ñ# =$

29. ! à ! Ÿ > Ÿ +
" à >  + oe
# > #
# > #
29
Definición
Llamaremos función escalón unitario a :
!
.+ Ð>Ñ oe ß + −
‘
Observación
Dada la función
1.- 0Ð>Ñ oe
$> à ! Ÿ > Ÿ %
&> à >  % oe #
se tiene que :
#
0Ð>Ñ oe $>  .%Ð>ÑÐ&>  $>Ñ
2.- 0Ð>Ñ oe
# à ! Ÿ > Ÿ $
#>  $ à $  > Ÿ &
/  $>  " à >  &
ÚÛ
Ü #>
se tiene que :
#>
0Ð>Ñ oe # .$Ð>ÑÐ#>  $  #Ñ  .&Ð>ÑÐ/  $>  " #>  $ Ñ
#>
oe # .$Ð>ÑÐ#>  "Ñ  .&Ð>ÑÐ/  &>  # Ñ
3.- 0Ð>Ñ oe
! à ! Ÿ > Ÿ #
>  >  " à #  > Ÿ %
/  >  $ à >  %
ÚÛ
Ü
#
>
se tiene que :
0Ð>Ñ oe .#Ð>ÑÐ>  >  "Ñ  .%Ð>ÑÐ/  >  $ >  >  " Ñ
oe .#Ð>ÑÐ>  >  "Ñ  .%Ð>ÑÐ/  # > Ñ

30. ' _
=> !
30
Observación
Se tiene que _Ò.+Ð>ÑÓ oe / .+Ð>Ñ .>
_
oe ' / =>
.> +
' _ +
oe / => .>  ' / =>
.> ! !
oe _Ò "Ó  "/
=
=>¸!
+
=+ =+
oe "  "/  " oe /
= = = =
es decir _Ò.+Ð>ÑÓ oe
=+
/
=
Teorema
Sea 0Ð>Ñ oe .+Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ à + !
función continua por tramos y de orden exponencial, se cumple que
=+
_Ò 0Ð>ÑÓ oe _Ò.+Ð>Ñ † 1Ð>  +ÑÓ oe / † _Ò 1Ð>ÑÓ
Demostración
' _
_Ò 0Ð>ÑÓ oe / =>
. +
Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ .> !
_
oe ' / =>
† 1Ð>  +Ñ .> +
consideremos la sustitución : B oe >  + ß .B oe .>
se tendra :
' _
oe / =ÐB+Ñ
† 1ÐBÑ .B sea B oe > !
_
oe ' / =Ð>+Ñ
† 1Ð>Ñ .> !
_
oe /=+' /= > † 1Ð>Ñ .> !
oe /=+ † _Ò 1Ð>ÑÓ

31. 31
Observación
Si 0Ð>Ñ oe .+Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ à + !
_Ò0Ð>ÑÓ oe /=+ † _Ò 1Ð>ÑÓ
Í 0Ð>Ñ oe _"Ò/=+ † _Ò 1Ð>ÑÓÓ
" =+
Í .+Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ oe _ Ò/ † _Ò 1Ð>ÑÓÓ
Í _"Ò/=+ † _Ò 1Ð>ÑÓÓ oe . Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ
+
Ejemplo
1.- _Ò.$Ð>Ñ † Ð#>  "Ñ Ó oe _Ò.$Ð>Ñ † Ð#Ð>  $ $Ñ "Ñ Ó
oe /$= † _Ò#Ð>  $Ñ " Ó
oe /$= † _Ò#>  ( Ó
oe /$= † Ð#_Ò > Ó (_Ò " ÓÑ
oe /$= † Ð #  ( Ñ
=# =
2.- _Ò.%Ð>Ñ † Ð/ #>$ Ñ Ó oe _Ò.$Ð>Ñ † Ð/ #Ð>%%Ñ$
Ñ Ó
oe /%= † _Ò/#Ð>% Ñ$ Ó
oe /$= † _Ò/# >& Ó
oe /$=& † _Ò/# > Ó
oe /$=& † "
=#

32. > >
> >
>%%
>''
%=% '='
%= '=
# #
32
Ejemplo
Determinar _Ò0Ð>Ñ Ó si
0Ð>Ñ oe
> à ! Ÿ > Ÿ %
/ à %  > Ÿ '
% à >  '
ÚÛ
Ü
>
Solución
se tiene que : 0Ð>Ñ oe >  .%Ð>ÑÐ/ >  > Ñ  .'Ð>ÑÐ% / >
Ñ
con lo cual, se tiene que :
_Ò0Ð>Ñ Ó oe _Ò>  .%Ð>ÑÐ/  > Ñ  .'Ð>ÑÐ% / Ñ Ó
oe _Ò> Ó _Ò.%Ð>ÑÐ/  > ÑÓ  _Ò.'Ð>ÑÐ% / ÑÓ
oe _Ò> Ó _Ò.%Ð>ÑÐ/  Ð>  % %ÑÑ Ó
 _Ò.'Ð>ÑÐ% / Ñ Ó
oe _Ò> Ó /%=_Ò />%  Ð>  % Ñ Ó  /'=_Ò % />' Ó
oe _Ò> Ó /%=%_Ò />Ó  /%=_ÒÐ>  % Ñ Ó
 /'=_Ò %Ó /'='_Ò/>Ó
oe "  /  / † Ð "  % Ñ / † %  /
= =" = = = ="

33. %=% '= '='
%=
# #
33
Ejemplo
Determinar _Ò0Ð>Ñ Ó si
0Ð>Ñ oe
$ =/8Ð>Ñ à ! Ÿ > Ÿ #
"  =/8Ð>Ñ à #  > Ÿ $
=/8Ð>Ñ  > à >  $
ÚÛ
Ü #
Solución
se tiene que :
#
0Ð>Ñ oe $ =/8Ð>Ñ .#Ð>ÑÐ #Ñ.$Ð>ÑÐ>  "Ñ
con lo cual, se tiene que :
#
_Ò0Ð>Ñ Ó oe _Ò$ =/8Ð>Ñ .#Ð>ÑÐ #Ñ.$Ð>ÑÐ>  "Ñ Ó
#
oe _Ò$Ó _Ò=/8Ð>ÑÓ _Ò.#Ð>ÑÐ #ÑÓ _Ò.$Ð>ÑÐ>  "ÑÓ
oe _Ò$Ó _Ò=/8Ð>ÑÓ /#=_Ò  # Ó
 /$=_Ò ÐÐ>  $Ñ#  "ÑÓ
oe _Ò> Ó /%=_Ò />%  Ð>  % Ñ Ó  /'=_Ò % />' Ó
oe _Ò> Ó /%=%_Ò />Ó  /%=_ÒÐ>  % Ñ Ó
 /'=_Ò %Ó /'='_Ò/>Ó
oe "  /  / † Ð "  % Ñ † %/  /
= =" = = = ="

34. %>
_" _" # # # #
%Ð>#Ñ
#= %>)
34
Ejemplo
Determinar
1.- _" /
#=
Ò Ó
= #
)=#! Solución
#=
_" / _" #= " .
Ò Ó oe Ò / † Ó oe Ð>Ñ † 1Ð>  #Ñ
= # )=#! = #
)=#! #donde
1Ð>Ñ oe _"Ò " Ó oe _"Ò " Ó
=#)=#! Ð=%Ñ###
oe " Ò # Ó oe / † Ò # Ó
# Ð=%Ñ # # = #
%>
oe / † =/8Ð#>Ñ
#
con lo cual : 1Ð>  #Ñ oe / † =/8Ð#(>  #ÑÑ
#
es decir : _" / . /
Ò Ó oe #Ð>Ñ † † =/8Ð#>  %Ñ
= #
)=#! # 2.- _" /
=
=$ Ò Ó
Solución
=
_" / _" = " .
Ò =$ Ó oe Ò / † =$ Ó oe "Ð>Ñ † 1Ð>  "Ñ
donde
1Ð>Ñ oe _"Ò " Ó
=$
oe /$> † "Ò " Ó
= _
oe /$>
con lo cual : 1Ð>  "Ñ oe /$Ð>"Ñ
=
es decir : _" / . $>$
Ò =$ Ó oe "Ð>Ñ † /

35. #= # #
# # # #
#! #!
#!
# # # #
35
#=
3.- _" / Ð=#Ñ
Ò Ó
= # Ð= #
#="!Ñ Solución
_" / Ð= '= Ñ _" #= Ð= '= Ñ .
Ò Ó oe Ò / † Ó oe Ð>Ñ † 1Ð>  #Ñ
= Ð=  # ="!Ñ = Ð=  #
="!Ñ #donde
#
1Ð>Ñ oe _"Ò Ð= '= Ñ Ó oe _"Ò "  #  =
Ó
= Ð=  # ="!Ñ = = =  #
="!
"
oe _"Ò " Ó _"Ò # Ó _"Ò = Ó
# #
"
= = =  #
="!
"
oe _"Ò " Ó _"Ò # Ó _"Ò = Ó
# # #
= = Ð="Ñ $
oe _"Ò " Ó _"Ò # Ó />_"Ò = Ó
# # #
= = = $
oe " #>  />-9=Ð$>Ñ />-9=Ð$>Ñ
luego 1Ð> #Ñ oe " #Ð> #Ñ />#-9=Ð$> 'Ñ />#-9=Ð$> 'Ñ
#=
es decir : _" / Ð=#Ñ .
Ò = Ð= #="!Ñ Ó oe #Ð>Ñ †
# # 1Ð> #Ñ

36. : . => oe Ð' / † 0Ð>Ñ .>Ñ !
36
Teorema
Si _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ entonces _Ò>8 † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe Ð "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ
.=
8
8
:
Demostración
como ' _
:Ð= Ñ oe / => † 0Ð>Ñ .> Î .
se tiene !
.=
. Ð= Ñ
.= .=
_
Ð' _ oe `
Ð/ =>
† 0Ð>ÑÑ .> !
`=
' _
oe  >/ =>
† 0Ð>Ñ .> !
' _
oe  / =>
† > † 0Ð>Ñ .> !
oe  _Ò>8 † 0Ð>ÑÓ
con lo cual, se tiene que _Ò> † 0Ð>ÑÓ oe  . :
Ð= Ñ
.=
y así sucesivamente.
Observación
Si _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ se tiene que
_Ò>8 † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe Ð "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ
.=
8
8
:
8
Í >8 † 0Ð>Ñ oe "ÒÐ "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ Ó
.= _
8
:
Í _"ÒÐ "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ Ó oe >8 † 0Ð>Ñ
.=
8
8
:
Í _"ÒÐ "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ Ó oe >8 † _"Ò:Ð=ÑÓ
.=
8
8
:
Í _"Ò . Ò Ð=ÑÓ Ó oe Ð "Ñ8 † >8 † _"Ò:Ð=ÑÓ
.=
8
8
:

37. en particular, se tendra que :
_" . Ò Ð=ÑÓ _" :
.= Ò Ó oe  > † Ò Ð=ÑÓ :
_" . Ò Ð=ÑÓ # _" :
.= Ò Ó oe > † Ò Ð=ÑÓ
# "
# $> . Ò Ó
_ =$
# #
"
=#"
_ .Ò Ó
"
=#*
Ò Ó oe  † Ò Ó oe  † Ò Ó # # # #
"
=#
Ò Ó oe Ò Ó oe  " † > † Ò Ó #
37
#
#
:
Ejemplo
1.- _Ò># † /$>Ó oe Ð "Ñ# † . Ò Ò / ÓÓ oe
.= .=
oe
"
.Ò Ó
#
Ð=$Ñ#
.= Ð=$Ñ
$
2.- _Ò> † =/8Ð>ÑÓ oe  " † oe  .Ò Ò =/8Ð>ÑÓÓ
.= .=
oe #=
Ð=#"Ñ#
3.- _" &= & _" #= & _"
.Ò Ó
Ð= *Ñ # Ð= *Ñ # .=
oe  & † Ð "Ñ † > † Ò " Ó
_" #
# = *
oe  & † Ð "Ñ † > † Ò $ Ó
_" #
' = *
oe & > † =/8Ð$>Ñ
'
.Ò Ó
4.- _" " _" _" "
Ð=#Ñ .= =#
oe  > † /#>

38. Ò 1 Ó oe Ò " † #= Ó
# # # #
"
=#%
" .Ò Ó
_
"
=#%
" " .Ò Ó
_ _ _
' > .Ò "
" Ó # !
.=
# = %
' " !
# # = %
' " !
% = %
' " !
% # % ¸!
Ò 1 Ó oe  " >-9=Ð#>Ñ " =/8Ð#>Ñ
38
Ejemplo
Determinar _"
Ò 1 Ó
Ð= # %Ñ #
Solución
_" _"
Ð= %Ñ #= Ð= %Ñ
oe  " † Ò " † Ó
# = .=
oe  " † Ò " † Ò Ò ÓÓÓ
# = .=
oe  " † _
Ò =#% Ó.B
>
oe  " †  B † Ò " Ó.B
# _
>
oe  " †  "B † Ò # Ó.B
# _
>
oe " † B † Ò # Ó.B
# _
% '!
>
oe " † B † =/8Ð#BÑ.B
oe " † Ò "B-9=Ð#BÑ "=/8Ð#BÑÓ
>
oe  " >-9=Ð#>Ñ " =/8Ð#>Ñ
) "'
luego, se tiene que
_"
# #
Ð= %Ñ ) "'

39. Ò 1 Ó oe Ò " † #= Ó
# # # #
"
=#"
" .Ò Ó
_
"
=#"
" " .Ò Ó
_ _ _
' > .Ò "
" Ó # !
.=
# = "
' " !
# = "
' " !
# = "
' " !
# ¸!
Ò 1 Ó oe  " >-9=Ð>Ñ "=/8Ð >Ñ
39
Ejemplo
Determinar _"
Ò 1 Ó
Ð= # "Ñ #
Solución
_" _"
Ð= "Ñ #= Ð= "Ñ
oe  " † Ò " † Ó
# = .=
oe  " † Ò " † Ò Ò ÓÓÓ
# = .=
oe  " † _
Ò =#" Ó.B
>
oe  " †  B † Ò " Ó.B
# _
>
oe  " †  B † Ò " Ó.B
# _
>
oe " † B † Ò " Ó.B
# _
# '!
>
oe " † B † =/8ÐBÑ.B
oe " † Ò B-9=Ð BÑ =/8Ð#BÑÓ
>
oe  " >-9=Ð>Ñ "=/8Ð >Ñ
# #
luego, se tiene que
_"
# #
Ð= "Ñ # #

40. Ò 1 Ó oe  Ò " † " Ó
# #
.Ò " Ó
=#
Ò 1 Ó oe Ð " >  " Ñ † /  "
40
Ejemplo
Determinar _" "
=Ð=#Ñ Ò Ó #
Solución
_" _"
=Ð=#Ñ = Ð=#Ñ
oe  _"Ò " † Ó
= .=
.Ò " Ó
oe  _"Ò " † _Ò_"Ò =#
ÓÓÓ
= .=
' > .Ò "
Ó
oe  _" Ò =# Ó.B !
.=
>
oe  '  B † _" Ò "
Ó.B !
=#
>
oe ' B † _" Ò "
Ó.B !
=#
>
oe ' B † / #B
.B !
oe Ð "B  " Ñ † /
# %
#B¸>
!
oe Ð " >  " Ñ † / #>
 "
# % %
luego, se tiene que
_" #>
#
=Ð=#Ñ # % %

41. Ò 1 Ó Ò #= Ó
$ # #
#
Ò 1 Ó Ò $= Ó
# $ # #
1
#= =
#
= #
41
Ejercicios
Determinar
$
1.- _" #= 2.- _" =
Ò Ó Ò Ó
Ð= # "Ñ $ = #
#=& 3.- _" 4.- _"
=Ð="Ñ Ð= %Ñ
5.- _" 6.- _"
Ð= "Ñ Ð= "Ñ
7.- _" $/ 8.- _" /
$= " = Ò Ó Ò Ó
9.- _" / 10.- _" =
Ò Ó Ò Ó
= # $=# = $
) #
#
11.- _" =$ 12.- _" = "
=# = $= Ò68Ð ÑÓ Ò68Ð Ó

42. / 0Ð>Ñ.>
"/
/=:5 oe "
42
Teorema
Si es función periodica de periodo , de orden 0 : exponencial y
continua por tramos
entonces
_Ò0Ð>ÑÓ oe
'!
:
=>
=:
Demostración
Como ' _
_Ò0Ð>ÑÓ oe / =>
† 0Ð>Ñ .> !
' : ' #:
oe / => † 0Ð>Ñ .>  / =>
† 0Ð>Ñ .> ! :
' Ð8"Ñ:
 ÞÞÞÞÞÞ / =>
† 0Ð>Ñ .>  ÞÞÞ 8:
es claro que para cualquier 8 se tiene que :
si À B  8: oe > à .B oe .>
cuando > oe 8: ß B oe ! à cuando > oe Ð8  "Ñ: ß B oe :
por lo tanto, se tendra:
' ' 8: !
Ð8"Ñ: :
/=> † 0Ð>Ñ .> oe /=ÐB8:Ñ † 0ÐB  8:Ñ .B
:
oe /8:=' /=B † 0ÐB  8:Ñ .B !
:
oe /8:=' /=B † 0ÐB Ñ .B !
con lo cual :
' : ' #:
_Ò0Ð>ÑÓ oe / => † 0Ð>Ñ .>  / =: † / =>
† 0Ð>Ñ .> ! :
Ð8"Ñ:
 ÞÞÞÞÞÞ /8=: † ' /=> † 0Ð>Ñ .>  8:
ÞÞÞ
:
oe Ð" /=:  ÞÞÞÞÞ /8=:  ÞÞÑ' /=> † 0Ð>Ñ.> !
pero : !
_
5oe!
"/=:
por lo tanto, se tendra que: _Ò0Ð>ÑÓ oe
'!
:
/=>†0Ð> Ñ .>
"/=:

43. " "
= " = "
/ " "
" #-9=Ð#>Ñ=†=/8Ð#>Ñ =>
"/1= #
 =  =
/ "
' ' ' ! !
$ => " => $ =>
" / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .>
"/ = "/ =
' ¸ "
! =
=> =
/ †# .> / ##/ =!
#Ð"/Ñ
"/ = "/ = "/ = =Ð"/ = Ñ
43
Ejemplo
1.- _Ò=/8Ð>ÑÓ oe
'!
#1 =>
/ †=/8Ð>Ñ .>
"/# 1
=
oe Ð Ñ/ "
"/#1=
-9=Ð>Ñ=†=/8Ð>Ñ
= "
=> #
#
! ¸ 1
oe " † † / # 1
=
 "
† "/#1= "/#1=
# #
oe † oe "
"/
= " = "
# =
# #
1
#1=
2.- _Ò=/8Ð>Ñ-9=Ð>ÑÓ oe "_Ò=/8Ð#>Ñ Ó oe "
# #
' / †=/8Ð#>Ñ .> !
1 =>
"/1=
oe " Ð Ñ/
# = %
! ¸1
oe Ð Ñ/ "
"/
#
= %
1
1=
1
oe Ð " Ñ
=#%
3.- si 0Ð>Ñ es una función periodica cuyo grafico es :
_Ò0Ð>ÑÓ oe oe
$ $
" =>
#
=
oe oe oe oe
$ $ $ $

44. 4.- si es una función periodica 0Ð>Ñ cuyo grafico es :
' ' ' ' ! !
& => # => % => & =>
# % / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .> / †0Ð>Ñ .>
"/ = "/ =
/ †> .> / †# .> / †Ð#>"!Ñ .>
"/ =
¸ ¸ ¸
# % &
"/ =
" " # #
=# =# =# =#
#= &= %=
/  / †Ð Ñ /
44
_Ò0Ð>ÑÓ oe oe
& &
oe
' ' ' !
# => % => & =>
# %
&
oe
/=>†Ð> " Ñ Ð#/=>Ñ /=>†Ð #>"! # Ñ
= =# ! = # = =#
%
&
oe
/#= †Ð# " Ñ " #/%=#/#=/&= †Ð # Ñ/%=†Ð# # Ñ
= =# =# = = =# = =#
"/&=
oe

"/
 &
=
DefiniciónÐConvolución)
Dadas las funciones continuas por tramos 0ß 1 la convolución de ellas
se denotara por 0‡1 donde :
(1)' >
0‡Ð>Ñ oe 0Ð>  Ñ † 1Ð Ñ. !
6 6 6
Ejemplo
1.- si 0Ð>Ñ oe -9=Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ
se tiene que :
(1)' >
0‡Ð>Ñ oe -9=Ð>ч=/8Ð>Ñ oe -9=Ð>  Ñ † =/8Ð Ñ. !
6 6 6

45. se sabe que : =/8ÐB  CÑ =/8ÐB  CÑ oe #-9=ÐBÑ=/8ÐCÑ
es decir : -9=ÐBÑ=/8ÐCÑ oe "=/8ÐB  CÑ "=/8ÐB  CÑ
# #
# # 6 6 ¸!
45
por lo tanto se tiene que
(1)' >
0‡Ð>Ñ oe -9=Ð>  Ñ † =/8Ð Ñ. !
6 6 6
oe ' =/8Ð>   Ñ =/8Ð>   Ñ. !
> " "
# # 6 6 6 6 6
oe ' =/8Ð> Ñ =/8Ð>  # Ñ. !
> " "
# # 6 6
>
oe #'!
" Ð=/8Ð> Ñ =/8Ð>  # ÑÑ.
6 6
oe " Ð =/8Ð> Ñ "-9=Ð>  # Ñ
>
oe " Ð >=/8Ð> Ñ "-9=Ð>ÑÑ " Ð "-9=Ð>ÑÑ
# # # #
oe " >=/8Ð> Ñ
#
luego, se tiene que : -9=Ð>ч=/8Ð>Ñ oe " >=/8Ð> Ñ
#
1.- si 0Ð>Ñ oe /> ß 1Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ
se tiene que :
(1)' >
0‡Ð>Ñ oe />‡=/8Ð>Ñ oe /> † =/8Ð Ñ. !
6 6 6
>
oe />' / † =/8Ð Ñ. !
6 6 6
oe  "/ Ð-9=Ð Ñ =/8Ð ÑÑ
#
>
>6 6 6 ¸!
oe  " Ð-9=Ð>Ñ =/8Ð>ÑÑ "/
# #
>
luego, se tiene que : />‡=/8Ð>Ñ oe  " Ð-9=Ð>Ñ =/8Ð>ÑÑ "/>
# #

46. 46
Teorema(Convolución)
Sean funciones continuas por tramo y de 0ß 1 orden exponencial
tal que
_Ò0Ð>ÑÓ oe :Ð=Ñ ß _Ò1Ð>ÑÓ oe <Ð=Ñ
entonces
_Ò0Ð>ч1Ð>ÑÓ oe :Ð=Ñ † <Ð=Ñ
Demostración
' _ :Ð=Ñ † <Ð=Ñ oe / =? † 0Ð?Ñ .? † ' _
/ =@
† 1Ð@Ñ .@ ! !
' _ oe ' _
/ =Ð?@Ñ
0Ð?Ñ † 1Ð@Ñ .@‘.? ! !
sea > oe ?  @ ß .> oe .@
con lo cual, se tiene
' _ oe ' _
/ =t
0Ð?Ñ † 1Ð>  ?Ñ .>‘.? !
?
cambiando orden,se tiene
' _ oe ' >
/ =t
0Ð?Ñ † 1Ð>  ?Ñ .?‘.> ! !
' _ oe / =t
' >
1Ð>  ?Ñ † 0Ð?Ñ .?‘.> ! !
_ _
oe ' / =t 1‡0‘.> oe ' / =t
0‡1‘.> ! !
oe _Ò0Ð>ч1Ð>ÑÓ

47. 47
Observación
1.- si _Ò0Ð>ÑÓ oe :Ð=Ñ ß _Ò1Ð>ÑÓ oe <Ð=Ñ
>
_Ò0Ð>ч1Ð>ÑÓ oe _Ò' 0Ð>  6Ñ † 1Ð6Ñ.6Ó oe :Ð=Ñ † <Ð=Ñ !
>
Í ' 0Ð>  6 Ñ † 1Ð 6 Ñ. 6 oe _" Ò : Ð=Ñ † <
Ð=ÑÓ !
2.- 0Ð>ч1Ð>Ñ oe _"Ò:Ð=ÑÓ‡_"Ò<Ð=ÑÓ
Ejemplo
1.- _" # _" " # _" " _" #
=Ð= %Ñ = = % = = % Ò Ó oe Ò † Ó oe Ò Ó‡ Ò Ó # # #
oe ' "‡=/8Ð#>Ñ
>
oe 0Ð>  Ñ † 1Ð Ñ. !
6 6 6
donde 0Ð>Ñ oe " ß 1Ð>Ñ oe =/8Ð#>Ñ
por lo tanto, se tiene que
>
oe ' " † =/8Ð# Ñ. oe  -9=Ð# Ѹ !
>
!
6 6 " 6
#
oe  "-9=Ð#>Ñ "
# #
2.- _" = _" " = _" " _" =
Ð= "Ñ = " = " = " = " Ò Ó oe Ò † Ó oe Ò Ó‡ Ò Ó # # # # # #
oe oe ' =/8Ð>ч-9=Ð >Ñ
>
0Ð>  Ñ † 1Ð Ñ. !
6 6 6
donde 0Ð>Ñ oe =/8Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ oe -9=Ð>Ñ
por lo tanto, se tiene que
>
oe ' =/8Ð>  6 Ñ † -9= Ð 6 Ñ. 6 oe "
>=/8Ð> Ñ !
#

48. 3.- _" $= _" = = _" = _" =
Ð= "Ñ = " = " = " = " Ò Ó oe $ Ò † Ó oe $ Ò Ó‡ Ò Ó
># " ># " > " >
48
#
# # # # # #
oe $' $Ð-9=Ð>ч-9=Ð >ÑÑ
>
oe 0Ð>  Ñ † 1Ð Ñ. !
6 6 6
donde 0Ð>Ñ oe -9=Ð>Ñ ß 1Ð>Ñ oe -9=Ð>Ñ
por lo tanto, se tiene que
>
oe ' -9=Ð>  Ñ † -9= Ð Ñ. !
6 6 6
oe ÞÞÞÞÞÞ
4.- _" " _" " " _" " _" "
Ð="ÑÐ="Ñ =" =" =" =" Ò Ó oe Ò † Ó oe Ò Ó‡ Ò Ó
oe /> ' ‡/>
>
oe 0Ð>  Ñ † 1Ð Ñ. !
6 6 6
donde 0Ð>Ñ oe /> ß 1Ð>Ñ oe />
por lo tanto, se tiene que
>
oe ' / † / . !
Ð>6Ñ 6 6
' >
>
oe / 6 . 6 oe / 66
¸ oe /  / !
# !
# #
FORMULARIO

49. 1.- _Ò 0 Ð>Ñ Ó oe =_Ò 0 Ð>Ñ Ó 0Ð!Ñ
49
ß
ß
2.- _Ò 0 Ð8ÑÐ>Ñ Ó oe =8_Ò 0 Ð>Ñ Ó =8"0Ð!Ñ =8#0 Ð!Ñ
ßß Ð8"Ñ
 =8$0 Ð!Ñ ÞÞÞÞÞ 0 Ð!Ñ
3.- ' > _Ò 0ÐBÑ.B Ó = " + _Ò 0Ð>Ñ Ó  "
' 0ÐBÑ.B + = =
!
4.- ' > _Ò 0ÐBÑ.BÓ oe "
_Ò 0Ð>ÑÓ !
=
5.- ' > ' > _Ò .....' >
0ÐBÑ.BÞÞÞ.BÓ oe "
_Ò 0Ð>ÑÓ =
8
! ! !
6.- '!
>
0ÐBÑ.B oe _"Ò "_Ò 0Ð>ÑÓÓ
=
7.- ' ' .....' ! ! !
> > >
8 0ÐBÑ.BÞÞÞ.B oe _"Ò " _Ò 0Ð>ÑÓÓ
=
8.- Si _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ entonces _Ò/+> † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð= +Ñ
9.- _Ò 0Ð>ÑÓ oe _Ò.+Ð>Ñ † 1Ð>  +ÑÓ oe / =+
† _Ò 1Ð>ÑÓ
10.- _" =+ _ .
Ò/ † Ò 1Ð>ÑÓÓ oe +Ð>Ñ † 1Ð>  +Ñ
11.- Si _Ò0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe :Ð=Ñ entonces _Ò>8 † 0Ð>ÑÓÐ=Ñ oe Ð "Ñ8 † . Ò Ð=ÑÓ
.=
8
8
:
8
12.- _" . Ò Ð=ÑÓ 8 8 _" :
Ò Ó oe Ð "Ñ † > † Ò Ð=ÑÓ
.= 8
:
'!
:
=>
/ 0Ð>Ñ.>
"/
13.- _Ò0Ð>ÑÓ oe 0 de periodo :
=:
14.-.- si _Ò0Ð>ÑÓ oe :Ð=Ñ ß _Ò1Ð>ÑÓ oe <Ð=Ñ
>
_Ò0Ð>ч1Ð>ÑÓ oe _Ò' 0Ð>  6Ñ † 1Ð6Ñ.6Ó oe :Ð=Ñ † <Ð=Ñ !
15.-.- 0Ð>ч1Ð>Ñ oe _"Ò:Ð=ÑÓ‡_"Ò<Ð=ÑÓ

50. TRANSFORMADAS BÁSICAS
=#+# ¸ ¸
=#+# ¸ ¸
50
1.- _Ò"Ó oe " à =  !
=
2.- _Ò>Ó oe " à =  !
=#
3.- _Ò>8Ó oe 8x à =  !
=8"
4.- _Ò/+>Ó oe " à =  +
=+
5.- _Ò-9=Ð+>ÑÓ oe = à =  !
=#+#
6.- _Ò=/8Ð+>ÑÓ oe + à =  !
=#+#
7.- _Ò=/82Ð+>ÑÓ oe + à =  +
8.- _Ò-9=2Ð+>ÑÓ oe = à =  +
=+
9.- _Ò.+Ð>ÑÓ oe à =  !
/
=