Noen oppgaver som kursdeltakere på et kurs i GeoGebra jobbet med. GeoGebra kan lastes ned fra www.geogebra.org

1. Diverse oppgaver
Dette he et består av en del oppgaver som kan løses ved å bruke GeoGebra. Ikke alle
oppgavene vil passe på ungdomstrinnet og tilsvarende for videregående. Noen er mer
tekniske enn andre, så føl deg fri til å hoppe over en oppgave eller to!
1 Funksjoner og grafer
Oppgave  (Hentet fra he et til Sigbjørn Hals)

a) Plasser disse punktene i koordinatsystemet: A = (−, −), B = (−, ), c = (,  ),
D = (, ), E = (, −), F = (, −) og G = (, ).
b) Trekk linjestykker mellom AB, BC, CD, DE, EF, FG og GD. Hva skal figuren forestille?
c) Hvor langt er det mellom punktene B og D? Hvor langt er det mellom F og G?
Tips: I GeoGebra er det greit å skrive inn punktene i Intastingsfeltet: . Det
er et eget verktøy for måling av avstand: . Velg dette og klikk på linjestykkene.
Prøv også kommandoen Avstand[B, D].
Oppgave 
Plott grafene:
a) y = x − 
b) y = x  − x − 
c) Bruk verktøyet «Skjæring mellom to objekter» til å finne nullpunktene (skjæring
med x-aksen) til funksjonene ovenfor. Velg verktøyet og klikk så først på grafen og
så på x-aksen.
Oppgave 
I denne oppgaven skal vi utforske de kvadratiske funksjonene. Bruk verktøyet «Glider»
og klikk i grafikkfeltet. Du vil da få opp følgende vindu:


2. Her kan du velge hvilke verdier glidere skal kunne ta. Klikk bruk og gjenta med to til
glidere. Du har da tre glidere: a, b og c. Skriv så inn f(x)=a*x^2+b*x+c i inntastings-
feltet.
a) Varier a og se hva som skjer. Hvordan ser grafen ut når a > ? Hva om a < .
b) Varier b og se hvilken effekt det har på grafen.
i. Grafen har et topp- eler bunnpunkt (når a = ). Finn dette ved å bruke komman-
doen Ekstremalpunkt[f]
ii. Høyreklikk på topp- eller bunnpunktet og slå på sporing (se figur ). Endre nå på
b og se hva som skjer. Kan du forklare/bevise det du ser?
c) Hva skjer når du varierer c?
Figure : Du kan slå på sporing i GeoGebra. Høyreklikk på punktet og hak av «Slå på
sporing».
Oppgave 
I denne oppgaven skal vi løse likningssytemet
x − y = −
x + y = 
a) Skriv inn likningene i inntastingsfeltet. Én om gangen.
b) Finn skjæringspunktet mellom linjene.
Oppgave 
a) Plott grafen til f (x) = x  − x + 
b) Finn nullpunktene til f .
c) Bruk kommandoen Ekstremalpunkt[f] til å finne topp- og bunnpunkt til f .


3. d) Finn tangenten til grafen til f gjennom (, ). Til dette kan du bruke kommandoen
Tangent[0, f].
e) Kopier grafen inn i et Word-dokument.
2 Geometri
Oppgave 
Åpne en ny GeoGebra-fil og slå av aksene og algebrafeltet (under Vis i menyene). Kon-
struer en likesidet trekant. Start med å tegne to punkt A og B. Du kan finne C ved å bruk
verktøyet «Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt» .
Når alle punkta er tegnet kan du bruke verktøyet «Mangekant» får å få tegnet trekan-
ten. Når dette verktøyet er valgt er det bare til å klikke rundt på trekanten. Husk at du må
avslutte mangekanten ved å klikke på det første punktet.
Høyreklikk på sirklene og hakk vekk «Vis objekt» for å gjøre figuren penere.
Oppgave 
Åpne en ny GeoGebra-fil og slå av aksene (under Vis i menyene).
a) Tegn en sirkel
b) Konstruer en diameter til sirkelen og merk av skjeæringspunktene A og B mellom
sirkelen og diameteren. (Skjæring mellom objekt ).
c) Tegn et nytt punkt C på sirkelen. Hva kan du si om trekanten ABC? Ta tak i punktet
C og flytt det rundt på sirkelen.
Oppgave 
a) Lag en firkant ABCD. Finn midtpunktet på hver av D G C
de fire sidene. La disse bli hjørner i en ny firkant. Kall
denne EFGH.
H
b) Grip fatt i ett av hjørnene av den opprinnelige firkan- F
ten, flytt på det og forandre på figuren. Ser du noe?
c) Hvor stort er arealet til firkant ABCD i forhold til A E B
firkant EFGH?
d) Prøv om du kan forklare det du så i c) og


4. Oppgave 
Tegn en trekant. Konstruer vinkelhalveringslinjen til to av sidene i trekanten. Bruk verk-
tøyet «Halveringslinje for vinkel» .
C
D B
A
Konstruer så den tredje halveringslinjen. Hva ser du? Undersøk om dette gjelder alltid
ved å ta tak i hjørnene og forandre på trekanten.
Konstruér så normalen fra D og ned på en av sidene i trekanten. Kall dette punktet for
E. Konstruér så sirkelen med sentrum i S og som går gjennom E. Forklar det du ser!
Oppgave 
Tegn en trekant ABC. Konstruer midtnormalen til to av sidene. Konstruer så den tredje
midtnormalen. Hva ser du? Gjelder dette alltid? Undersøk dette ved å ta tak i et hjørne
og flytt på det.
Vi ønsker å omskrive trekanten ABC med en sirkel. Nå vet vi at senteret i sirkelen må
ligge like langt fra A som fra B. Derfor må midtnormalen til AB gå gjennom senteret av
sirkelen. På samme måte må de andre tre midtnormalene gå gjennom senteret av sirkelen.
Derfor må dette senteret være O. Bruk dette til å omskrive sirkelen.
Oppgave 
Tegn en likesidet trekant. Velg et punkt i det indre og mål avstanden fra de tre sidene.
Velg et nytt punkt i det indre og mål igjen avstanden fra sidene. Hva ser du da? Formuler
en hypotese.
Oppgave 
Tegn en firkant ABCD og et punkt E utenfor firkanten. Speil punktet E om A og få F.
Speil D om B og få G som du speiler om C og får H. Speil dette om D og få punktet I.
Eksperimenter så med forkanten ABCD og finn ut hva som må til for at I og E skal være
sammenfallende. Se figur :
B F
G
A
D E
H
C I
Figure : Speiling om hjørnene i en firkant. Når er E = I?


5. 3 Statistikk
GeoGebra er et ypperlig verktøy til å tegne Histogrammer og søyle-/stolpediagrammer.
For å gjøre dette kan bruke regnearket i GeoGebra til å føre inn tallene.
Oppgave 
Åpne en ny GeoGebra-fil og åpne regnearket ved å hake av «Regneark» under Vis-menyen.
Elevene i en klasse hadde følgende skostørrelser:
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 
Skriv tallene inn i en av kolonnene i regnearket. Marker tallene (svarte dem) og høyre-
klikk i kolonnen som vist på figuren til høyre. Du vil da få laget en liste L (i algebrafeltet).
Før så inn i en kolonne grensene du vil bruke i GeoGebra, f.eks. , ,  og . La en
liste L av også disse tallene.
Skriv så inn kommandoen Histogram[L_2, L_1] i intastingsfeltet. Dersom du flytter
på grafikkfeltet slik at du kan se tall mellom  og  på x-aksen, så vil du se histogram-
met.
Figure : Lag liste i regnearket Figure : Histogram i GeoGebra
Oppgave 
I en undersøkelse ble en del elever spurt om hvor mange blyanter de hadde med seg på
skolen. Her er resultatet:
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
a) Lag et histogram som viser viser hvor mange elever som hadde mellom  og  blyanter,
 og  blyanter og  og .
b) Du kan også lage et søylediagram. Skriv inn Søylediagram[0, 4, L_1].
c) Finn gjennomsnittet ved å bruke kommandoen Middelverdi[L_1].
d) Finn typetallet ved å bruke kommandoen Typetall[L_1].
